第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。

5.2 二次函数的图像和性质（3）一、学习目标：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系；2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。

二、学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。

三、自学质疑：【要点梳理】(活动一)复习二次函数2y ax k =+的图象和性质：当0a >时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最小＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .当0a <时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最大＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .二次函数2()y a x h =-的图象(活动二)在同一平面直角坐标系中，画出221x y -=、()2121--=x y 、()2121+-=x y 的图象，并比较它们的开口方向，对称轴和顶点坐标以及增减性.由图象可知1：抛物线()2121--=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 抛物线()2121+-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ；2.把抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121--=x y ，将抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121+-=x y .(活动三)小结：1．二次函数2()y a x h =-的图象与抛物线2y ax =形状相同，只是位置不同，可由抛物线2y ax =左右平移得到：①当0h >时，抛物线2y ax =向左平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象； ②当0h <时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象. 2．抛物线2()y a x h =-的性质：①当0a >时，开口向上，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最小＝0；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜h 时，y 随x 的增大而减少.②当0a <时，开口向下，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最大＝0；当x ＞例 抛物线y ax =向右平移3个单位后经过点（－1，4），求a 的值和平移后的抛物线解析式.【课堂操练】2．抛物线()253-=x y 可由抛物线()233+=x y 向 平移 个单位而得到.3．抛物线()2121+-=x y 向右平移3个单位得 . 4．将抛物线2y ax =向左平移2个单位后，经过点（－4，－4），求原抛物线的解析式.【课后盘点】1.抛物线21(5)2y x =-+的图象开口向________，对称轴为___________，当x ＝__________时，y 有最_____值，为_______，当x ________时， y 随x 的增大而增大.2.把函数()2121--=x y 的图象沿x 轴对折，得到的图象解析式是____ ____； 把函数()2121--=x y 的图象沿y 轴对折，得到的图象解析式是_____ ___.3.函数()212-=x y 的图象是由()212+=x y 的图象经过________得到的．4.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A ． y =3（x ﹣2）2﹣1 B ． y =3（x ﹣2）2+1C ． y =3（x +2）2﹣1D ． y =3（x +2）2+15.顶点坐标为(-3，0)开口方向、形状与函数231x y =的图象相同的抛物线是 ( ) A ．()2331-=x y B ．()2331+=x y C ．()2331--=x y D ．()2331+-=x y6.已知抛物线2()y a x h =-的对称轴为1x =-，与y 轴交于（0，2），求a 和h 的值.7. y=－3(x -1)2的图象（1）向左平移2个单位，（2）向右平移3个单位．写出平移后的解析式.8.抛物线()2h x a y +=的对称轴是直线2-=x ，过点（1，-3），（1）求解析式，（2）求抛物线的顶点坐标，（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？9．一条抛物线的形状、开口方向与221x y =相同，对称轴与抛物线()223-=x y 相同，求其解析式.10．将抛物线()2123-=x y 向右平移3个单位后得抛物线与y 轴交于点A ，求点A 的坐标.11．将抛物线221x y -=向左平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y x =分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），求三角形ABC 的面积.12．二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．13．如图所示，已知直线122y x =-+与抛物线2(2)y a x =+ 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； （2）若P 为线段AB 上一个动点（A 、B 两端点除外），连接PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出2l 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以A 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案二次函数y =a (x-h )2的图象（第3课时）【要点梳理】上，y 轴，（0，k ）, k ,增大，减小，下，y 轴，（0，k ）, k , 减小，增大．二次函数2()y a x h =-的图象 (活动二)图象略，下， x =1，（1，0）,＞1，减小，＜，增大． 下，x =－1，（－1，0）,＞－1时，减小，＜－1时，增大． 2.右，1，左，1．例 a =14，()2134y x =-．【课堂操练】2．右，8． 3． ()2122y x =--4． 2y x =-．【课后盘点】1.下，直线x =－5，－5，大，0，＜－5．2. ()2112y x =-，()2112y x =-+．3.向右平移2个单位．4. B5. B6. h =－1，a =2．7. y=－3(x +1)2 ，y=－3(x -4)2.8.⑴y=－13(x +2)2 ，⑵（－2，0），⑶x ＜－2．9． y=21(x －2)2 10．（0，24）11．由题意，得平移后抛物线的解析式为()2142y x =-+，与y x =联立可得A （－8，－8）、B （－2，－2），∴三角形ABC 的面积为21×4×8－21×4×2=12．12．⑴由题意，得C （h ，0），A （0，h ），∴212h h =，∴h =2，0（不合题意，舍去），∴()2122y x =-．13．（1）A 的坐标是（0，2）抛物线线的解析式是21(2)2y x =+（2）如图，P 为线段AB 上任意一点，连接PM ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D设P 的坐标是（x ，122x -+），则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2+PD 2即 222215(2)(2)2824l x x x x =--+-+=++x 的取值范围是：－5<x <0（3）存在满足条件的点P连接AM，则题意得，AM === ①当PM ＝PA 时，2225128(22)42x x x x ++=+-+- 解得：x ＝－4，此时y ＝4∴点P 1（－4，4）②当PM ＝AM 时，225284x x ++= 解得：128,05x x =-=（舍去），此时1814()2255y =-⨯-+= ∴点P 2（85-，145）③当PA ＝AM 时，2221(22)2x x +-+-=解得：1255x x =-=（舍去）此时110(2255y =-⨯-+=∴点P 3（）综上所述，满足条件的点为P 1（－4，4）、P 2（85-，145）、P 3（）．。

第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.【过程与方法】使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【教学难点】理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.◇教学过程◇一、情境导入在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移后所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?二、合作探究探究点1二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系典例1抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.[解析]抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,.把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=14∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=1(x-3)2.4).已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-12(1)求这个二次函数的表达式.(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B 吗?若能,请写出平移方案.[解析] (1)由已知可得y=a (x+1)2,又∵过点A (-2,-12),∴a=-12, ∴y=-12(x+1)2.(2)当x=2时,y=-12×(2+1)2=-92≠-2, ∴点B (2,-2)不在这个函数图象上.(3)能,因为左、右平移只改变m 的值,∴-2=-12(2+m )2,∴2+m=±2,∴m 1=0,m 2=-4,∴y=-12x 2或y=-12(x-4)2∴方案一:把y=-12(x+1)2向右平移1个单位;方案二:把y=-12(x+1)2向右平移5个单位.探究点2 函数y=a (x+h )2的图象特征典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x 2,y=2x 2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:(1)它们的形状相同吗?(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.[解析] 画出函数的图象如图:(1)它们的形状相同;(2)函数y=2x 2的图象开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴;函数y=2x 2+1的图象开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y 轴;函数y=2(x+1)2的图象开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.探究点3 函数y=a (x+h )2的增减性典例3 若二次函数y=-(x-m )2,当x>1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .[解析] ∵y=-(x-m )2,∴二次函数对称轴为x=m ,开口向下,∴当x>m 时,y 随x 的增大而减小,∵当x>1时,y 随x 的增大而减小,∴m ≤1.≤1对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是()A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x=-1时,y有最小值0D.当x>1时,y随x的增大而增大[答案] D三、板书设计二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学反思◇通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.。

2.2 二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(+h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，并答复：(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗这两个函数的图象之间有什么关系二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。

问题3：现在你能答复前面提出的问题吗2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗教学要点1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。

21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。