初中-数学-人教版-6 二次函数的应用 第三课时

第3课时二次函数与拱桥问题教师备课素材示例●情景导入(1)欣赏一组石拱桥的图片(如图)，观察桥拱的形状．这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图)，喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？【教学与建议】教学：从学生生活中熟知的拱桥和喷泉问题引入新课，为探索二次函数的实际应用提供背景材料．建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题．●置疑导入问题1：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？（问题1图）（问题2图）问题2：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学与建议】教学：从学生熟知的拱桥图片入手，建立数学模型．建议：(1)先复习二次函数解析式的形式；(2)观察图象，找出点和坐标，建立平面直角坐标系，探索函数解析式．【例1】(1)某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为y＝－125时，这时水面宽度AB为(C)A．－20mB．10mC．20mD．－10m(2)如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是__5__m__．【例2】(1)在中考体考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－112x 2＋23x ＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__10__m. (2)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m.①建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；②求水流的落地点D 到喷水枪底部B 的距离．解：①建立平面直角坐标系，如图．由题意，得P(1，3.6)，AB ＝2，A(0，2).设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋3.6.将A(0，2)代入，解得a ＝－1.6，∴抛物线的解析式为y ＝－1.6x 2＋3.2x ＋2；②当y ＝0时，有－1.6x 2＋3.2x ＋2＝0，解得x 1＝2.5，x 2＝－0.5(舍去)，∴BD ＝2.5，∴水流的落地点D 到喷水枪底部B 的距离为2.5m ．高效课堂 教学设计1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题．2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．▲重点建坐标系解决拱桥问题．▲难点建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．◆活动1 新课导入现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？◆活动2 探究新知教材P51探究3.提出问题：(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？(2)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？(3)你还有其他的解决方法吗？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．将线段长度转化为点的坐标问题．2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．◆活动4 例题与练习例1 如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO ＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图①图②解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.依题意，得B(10，0)，∴a ×102＋6＝0，解得a ＝－0.06，即y ＝－0.06．例2 如图，小明的父亲在相距2m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A ，B 距地面高都是2.5m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m 的小明距较近的那棵树0.5m 时，头部刚好接触到绳子C 处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y ＝ax 2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a ＝2，k ＝0.5，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2＋0.5.∵a ＝2＞0，∴y 有最小值，∴当．练习1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是__514__s. 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，则他能否获得成功？解：(1)能投中；(2)当x ＝1时，y ＝3＜3.1，∴能成功．◆活动5 课堂小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题．1．作业布置(1)教材P57习题22.3第3题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。

22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。

九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809 九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809二次函数的应用之三(桥洞问题)1．会根据实际问题构建函数模型，把实际问题中的变量关系表示成二次函数关系；2．会运用二次函数的知识解决有关桥洞、隧道问题．【预习案】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为多少米？【探究案】探究一桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）CO=1米，FG=2米．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）求柱子AD的高度．探究二某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．探究三一座拱桥的轮廓是抛物线型（图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．【训练案】1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若CA=米，则水面的宽度DC为（）．A．160米B．170米C．180米D．190米第2题2．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．。

人教版数学九年级上22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质教学设计图象上下平移的口诀：k 值正上移，负下移. (3)归纳与总结：通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究，你能说出二次函数 y = ax 2 + k （a ＞0）的图象特征和性质吗？ 一般地，当 a ＞0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而增大．当 a ＜0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而减小．完成相应练习2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质画出二次函数y=-2，y=-2，y=-2的图象，并探究它们的图象特征和性质。

(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。

(2)讨论：①观察y ＝－21(x ＋1)2，y ＝－21(x －1)2的图象，分别指出他们的开口方向、对称轴、顶点。

抛物线y ＝－21(x ＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x 轴垂直的直线，把它记作x ＝－1，顶点是(－1，系,总结出二次函数y = ax 2+ k 的图象性质。

教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象，交流合作，各组选派代表发表意见用从特殊到一般的学习方法，还培养了学生的交流沟通能力、总结归纳能力。

0)；抛物线y ＝－21(x －1)2的开口向下，对称轴是x ＝1，顶点是(1，0)．②y=-2，y=-2与抛物线y=-2有什么关系？归纳：抛物线y ＝a(x －h)2与抛物线y ＝ax 2有什么关系？抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2形状相同，位置不同． 当h ＞0时，把抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2；当h ＜0时，把抛物线y ＝ax 2向左平移∣h ∣个单位，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2．图象左右平移的口诀：h 值正右移，负左移.(3)归纳与总结： y=a(x-h)2的图像性质：a>0,开口向____,当x=___时,函数y 有最___值=____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而____,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而____.a<0,开口向____,当x=____时,函数y 有最___值=____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而____,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而_____.完成相应练习3. 类比探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)自主学习：学生观察所画的函数图象，互相交流、探讨，再让学生发表各自的见解，教师补充完善。

人教版义务教育课程标准教科书九年级数学下册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教学设计22.3 实际问题与二次函数（第3课时）教学目标知识技能通过对抛物线型拱桥的探究，让学生掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系数法求二次函数解析式，解决实际问题。

数学思考通过对生活中实际问题的探究，体会建立数学建模的思想，并渗透转化及数形结合的数学思想方法。

解决问题通过对生活实际问题的探究，体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。

情感态度通过二次函数的有关知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。

教学重点探究建立直角坐标系，待定系数法求出二次函数解析式，解决实际问题的方法。

教学难点如何建立适当的平面直角坐标系。

教学过程设计问题与情境师生行为设计意图一、创设情境引出问题（本环节大约需要1分钟）同学们，你们知道世界上最早的石拱桥是哪一座吗？（学生回答：赵州桥）其实，最早的石拱桥是位于我们漯河的小商桥！因为，在1982年的9月，桥梁专家茅以升曾派考察组进行了实地考察，认定小商桥的建造时间比赵州桥还要早！更令我们漯河人自豪的是，2003年3月29日，国家邮政局发行的《中国古桥—拱桥》邮票中，第2枚就是我们漯河的小商桥！结构独特的小商桥在桥拱的造型上就用到了我们的数学知识——美丽的抛物线，今天，我们就来学习抛物线在拱桥中的有关应用。

首先，请看由小商桥呈现的问题情境1。

（漯河小商桥图片）教师用满腔的热爱家乡之情去感染每一位学生，并引导学生观察桥拱的形状。

学生聆听并欣赏图片：教师关注：学生是否对教师提出的知识产生深厚的兴趣，注意力是否迅速集中，最后是否注意到了桥拱的形状。

通过学生的认知冲突，激发了学生的好奇心和学习的兴趣，同时为探究二次函数的实际应用提供了背景材料。

问题与情境师生行为设计意图二、解决问题做好铺垫（本环节大约需要5—6分钟）如图是小商桥的桥拱，把它的图形放在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为：y=21218x(1) 拱桥的最高点离水面多少米？(2) 拱桥的跨度是多少米？(3) 若在跨度中心点O 左右3米处各垂直竖立一根石柱支撑拱桥，则石柱有多高？教师展示问题情境，并读题。

二次函数人教版教材一、引言二次函数是初中数学的重要内容之一，也是高中数学的必修内容。

在中考和高考中，二次函数都是必考知识点。

因此，学好二次函数对于学生的数学成绩和未来的学习都具有重要意义。

人教版教材是许多学校采用的教材之一，本文将重点介绍人教版教材中的二次函数部分，以便学生更好地掌握这一知识点。

二、二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的函数。

其标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

三、二次函数的性质1. 二次函数的图像是一个抛物线。

2. 二次函数的对称轴是x=-b/2a。

3. 二次函数的顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。

4. 二次函数的值域为实数集R。

5. 二次函数的最值点为顶点坐标，即（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。

6. 当a>0时，二次函数的开口方向为向上；当a<0时，二次函数的开口方向为向下。

7. 当b=0时，二次函数为轴对称图形；当a=0时，二次函数为点对称图形。

8. 二次函数与x轴的交点为y=0时的x值，即解一元二次方程的根。

9. 二次函数的开口大小由系数a决定，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

10. 二次函数的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

四、二次函数的应用二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如求最值问题、计算最优方案、分析经济数据等等。

下面介绍几个具体的例子：1. 求最值问题：在生产中经常需要求某一方案的最大利润或最小成本。

通过建立二次函数模型，可以方便地解决这类问题。

例如，在生产某一产品的过程中，需要购买原材料、设备等，同时还需要雇佣工人进行生产。

生产出的产品可以按照不同的价格出售。

通过建立二次函数模型，可以计算出在什么条件下生产该产品的利润最大或成本最小。