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第四讲 常见分布的期望 方差

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常用分布的数学期望及方差

常用分布的数学期望及方差

方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差

8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ;2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =;参见P66～723、分布函数(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x,y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x,y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　　,有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x yF x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy duF y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分布的边缘分布为一维正态分布;6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X,Y 相互独立;简称X 与Y 独立;7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++);9、期望的性质：……3、()()()E XY E X E Y +=+；4、若X,Y 相互独立,则()()()E XY E X E Y =;10、方差： 22()()(())D X E X E X =-; 若X,Y 不相关,则()()()D X Y D X D Y +=+,否则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++,()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11、协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E XE X Y E Y =--,若X,Y 独立,则(,)0Cov X Y =,此时称：X 与Y 不相关;12、相关系数：(,)()()XY Cov X Y X Y ρσσ==,1XY ρ≤,当且仅当X 与Y 存在线性关系时1XY ρ=,且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩ 当 当。

常见分布的期望与方差的计算

常见分布的期望与方差的计算

σ2
+ ∫ e− x θ d x
0
+∞ 2
+∞
=θ
D( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] = ∫0
= 2θ 2 − θ 2
1 −x θ x ⋅ e d x − θ2 θ
= θ2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) = e 2 πσ
( x − μ )2 − 2σ 2
i =1
n
(法二) X 的分布律为 ⎛ n⎞ k P { X = k } = ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k , ( k = 0,1,2,", n), ⎝k⎠ n n ⎛ n⎞ k 则有 E ( X ) = ∑ k ⋅ P{ X = k } = ∑ k ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k k =0 ⎝ k ⎠ k =0
∞
a < x < b,
其他 .
b
1 1 E ( X ) = xf ( x ) d x = x d x 则有 = (a + b). ∫−∞ ∫a b − a 2 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 1 ⎛ a + b ⎞ (b − a ) 2 =∫ x dx−⎜ ⎟ = a b−a ⎝ 2 ⎠ 12
+∞ 2
( x − μ )2 − 2σ 2
分
布
参数
0< p<1 n ≥ 1, 0< p<1 λ>0
a<b
数学期望
p np
方差
p(1 − p )
np(1 − p )
两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布

4_2方差及常见分布的期望方差

4_2方差及常见分布的期望方差

甲:
乙:
D ( X ) 8 9.2 0.3 9 9.2 0.2 10 9.2 0.5 0.76 ;
2 2 2
D (Y ) 8 9.2 0.2 9 9.2 0.4 10 9.2 0.4 0.624 ,

n

D(X i) .
i 1
《概率统计》
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证明：(2) D(CX) = E {[CX - E(CX)]2} = C2 E{[X - E(X)]2} = C2 D(X). (3) D(X+C)= E{[(X+C)- E(X+C)]2}= E{[X – E(X)]2}= D(X). (4) D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}= E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}2 = E{[X-E(X)]2}+ E{[Y-E(Y)]2}+ 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = D(X)+D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，而 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E[XY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)] = E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)， 由于 X,Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，从则有 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= 0 , 于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)． 练习：若X，Y相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .

2

0

常见分布的数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差

e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).

常见分布的期望和方差.pdf

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x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：

概率论各种分布的期望和方差

概率论各种分布的期望和方差

概率论各种分布的期望和方差
概率论是描述和研究不确定性现象的基础学科，而概率分布是统计中最基本的概念，其中包括期望和方差。

期望是描述抽样变量数据的一个重要的描述统计量，它反映了该变量的总体分布特征。

方差，也称样本方差，是围绕其期望计算的一个重要的统计量，它能够揭示该抽样变量的变异程度。

对常见的概率分布来说，它们的期望和方差都是可以计算的。

针对均匀分布，它具有特定的概率赋值范围，同时，数学期望采用其平均值作为衡量标准即可计算出，而方差则是概率变量的期望值在两个方向上偏离之和的1/2倍。

此外，对于二项分布来说，它是表示在抽样次数已知且抽样几率未发生变化的情况下，典型抽样变量发生成功事件的次数分布，而它的期望和方差都是根据其抽样概率和抽样次数计算出的，期望是抽样概率乘以抽样次数，而方差则是期望乘以其补数，再乘以抽样次数。

此外，高斯分布是最常用、有着重要作用的概率分布之一，它具有广泛的应用场景，例如在定量分析中，用来进行参数估计或数据拟合，而它的期望和方差的计算也是基于其均值和标准差的，期望就是均值，而方差则是标准差的平方。

此外，指数分布也是一种常用的概率分布，它会用来描述随机变量的行为，主要是其它类型的连续分布之一，其期望和方差也是可以计算的，其期望直接取常数α，而方差是取α²。

综上所述，期望和方差都是无偏抽样变量分析中重要的统计量，它们是针对常见概率分布可以实行计算的重要概念，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而使其可以更加准确地进行应用和分析。

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差x n N() (0,1)概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()YX fy f x h y h y =。

（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　　，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

6、随机变量的独立性：若(,)()()XY F x y Fx F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。

简称X 与Y 独立。

7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()ZX Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy+∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++)。

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

欢迎下载 2概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。

（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=；⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy duF y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰ 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。

简称X 与Y 独立。

欢迎下载 37、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++):。

常见分布的数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差

分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等

方差及常见分布的期望方差课件

方差及常见分布的期望方差课件
0
,令 t ? y 得 2
? ? ? ? ? ? D()X ? 4 2 ?? y ed 2 ? y2 y ? 2 2 ? ()3
2
? ? 0
2
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结束
证明： (2) D(CX)=E{[CX-E(CX)]
(3) D(X+C)= E{[(X+C)- E(X+C)] (4) D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)] = E{[X-E(X)]
?
1
(a 2
?
ab
?
b2
)
?
a (
?
b )2
?
(b ? a)2
3
2
12
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结束
4. 常见分布的期望与方差
5) 指数分布 设X ～E(λ) 概率密度为：
?? e??x , x ? 0
fp((xx))?? ? ? 0, x ? 0
? ? ? ? ??
??
E ( X ) ? xf ( x)dx ?
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§4.2 方 差 0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量 取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的 .
引例1：从甲、乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸如下： 甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为 10(cm), 公差d=0.5cm, 问那一台车床好？
3) 泊松分布 设随机变量X~π（λ），其概率分布为：
P{X ? k} ? ?k e? ? ，k = 0,1,2,3,…,λ＞0
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第四讲 几种常见的分布及其期望和方差 第一类： 离散型 一 0-1分布 二 二项分布 B(n,p) EX np DX npq
三 Poisson分布 π (λ)
EX DX
第二类： 连续型 四 指数分布 五 均匀分布 U(a, b) 六 正态分布 N(μσ2)
EX DX 2
dx 0 x x x ' x(e ) dx x(e ) 0 e dx 0 0
1 x 1 e 0

x ( x)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
xe
x
指数分布X的概率密度为
EX x ( x)dx
则X称为二项分布，记为 X ~ B(n,p)
X
0
1
n
2
n-1 2 n 2
…
n- 2
k
C p q
k n k
…
n- k
n
p
n
P
q
C pq
1 n
1
C p q
二项分布X~B(n,p)的期望和方差
方法一
EX
2
k k Cn p k q n k k 0 n
np
nk
EX k C p q
X 0 1
x 2 x3 xk ex 1 x ... ... 2! 3! k!
… 2 3 … k 2 k 3 e … e … P e e e 3! 2! k! k 2 3 2 2 2 2 EX e 2 e 3 e +… k e +… k! 2! 3! 3 k 2 e 2 e 3 e +… k e +… 2! (k 1)! 3 k 2 e e e +… e +… 2! (k 1)! k 4 2 3 e e e +… e +… (k 2)! 2! 2
2 k 0 k n k
n
npq n 2 p 2
DX EX (EX )
2
2
npq
二项分布X~B(n,p)的期望和方差
方法二 Xi 表示第i次试验结果 (i=1,2,3...n) 0 第i次试验A不发生 Xi= 1 第i次试验A发生 Xi
P 0 q 1 p
EX i p DX i pq
X 0 1
DX EX EX
2 2
四 指数分布 若X的概率密度为
则称X服从参数为λ的指数分布
记作 X ～ Exponential (λ)
指数分布可以用来表示独立随机事件发生 的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔,或 电子元件的寿命
指数分布X的概率密度为
指数分布的期望和方差
EX
0
x e
2
x
dx


2
x '
2
x
DX EX EX
2 2
1

2
五 均匀分布 若X的概率密度为
(x)
a
b
x
则称X服从区间( a, b)上的均匀分布
记作 X ～ U(a, b) 它的实际背景是： X取值在区间 (a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间内的概率 与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b) 上的均匀分布.
X X
P
n次试验中A发生的次数
k n
P{ X k} C
p q
n-1
k
nk
=b(k,n,p)
…
2 n- 2
0
1
n
2
2 n
k
C p q
k n k
…
n- k
n
p
n
q
C pq
1 n
1
C p q
二项式(Binomial[baɪ'nomɪəl)定理
1 ( p q) n q n Cn p1q n1 Cn2 p 2 q n2 ... Cni p i q ni ... p n
X X 1 X 2 ... X n
EX EX 1 EX 2 ... EX n np DX DX 1 DX 2 ... DX n npq
三 X
Poisson(1781-1840法国数学家)分布 0

1
P e
e
2 3 … 2 3 e … e 3! 2!
2

2

x (e ) dx x (e ) 2 x(ex )dx 0 0 0 1 x ' 1 x 1 x 2 x( e ) dx 2 x( e ) 2( e dx 0 0 0 2 x 2 1 x 2 2 e dx 2 e 0 0
k k
k!
…
e

…
称X为泊松分布 记为: P(λ)
( 0)
(2) Poisson分布主要用于描述在单位时间 (空间)中稀有事件的发生数 . 参数λ是单位时间内随机事件的平均发生率
… 2 3 … k 2 k 3 e … e … P e e e 3! 2! k! Poisson分布的期望和方差 3 k 2 EX e 2 e 3 e +… k e +… 3! k! 2! 3 k 2 e e e +… e +… 2! (k 1)! 2 3 k 1 e (1 ... ...) 2! 3! (k 1)! e e
一
0-1分布 (伯努利试验) 只产生两个对立的结果A(成功)和A(失败) 的试验 如果成功的概率为p, 则失败的概率为1-p=q 1 成功 0 失败 X 表示试验结果 X 0 1 则 X 称为两点分布 P p 1-p
EX p EX p
2
DX pq
二 贝努里 (Bernoulli) 定理 每次事件A发生的概率为p 进行n次相同的试验,
均匀分布X的概率密度为
区间[a,b]中点
均匀分布的期望和方差

1 ab dx EX x ( x)dx x a 2 ba b 1 b3 a 3 2 2 2 dx EX x ( x)dx x 3(b a ) a ba 2 (b a) 2 2 DX EX EX 12
b


六 正态分布的期望与方差
正态分布的X的概率密度为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
( x )
其中和2为常数，且＞0 则 称 x 服从参数为、2的正态分布 记为 X~N(, 2)
1 EX xf ( x)dx x e 2

( x )2 2 2
dx dx 2 2
1 EX x f ( x)dx x e 2
2

2

( x )2 2 2
2
DX EX 2 (EX ) 2 2