浅析放缩法在应用零点存在判定定理时的作用

函数极值问题中的放缩法简介函数极值问题是数学中经常遇到的问题之一。

在解决函数的极值问题时，放缩法是一种常用且有效的策略。

本文将介绍函数极值问题中的放缩法，并探讨其应用。

放缩法的基本原理放缩法的基本思想是通过对函数进行合理的放缩和约束，限制函数取值范围，进而推导出函数的极值点。

其核心是选择合适的放缩因子，使得函数的极值问题转化为更易于求解的问题。

放缩法的步骤放缩法的步骤主要包括以下几个方面：1. 定义放缩因子：根据具体问题的特点，选择适当的放缩因子。

2. 对函数进行放缩：将函数根据放缩因子进行放缩，得到一个新的函数表达式。

3. 约束函数取值范围：根据放缩后的函数表达式，确定函数的取值范围。

4. 求解极值点：在限制条件下，求解函数的极值点。

5. 检验解的有效性：将求得的极值点代入原函数，验证解的有效性。

放缩法的应用范围放缩法在函数极值问题的求解中具有广泛的应用。

它适用于各种类型的函数，包括连续函数、可微函数以及一些特殊函数等。

通过合理选择放缩因子，可以有效地简化问题的求解过程。

示例以下是一个简单示例，展示了放缩法在函数极值问题中的应用：给定函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求函数的极值点。

步骤：1. 定义放缩因子：选择放缩因子 k = 3。

2. 对函数进行放缩：将函数 f(x) 放缩为 g(x) = k * f(x) = 9x^2 -6x + 3。

3. 约束函数取值范围：函数 g(x) 的取值范围为[3, +∞)。

4. 求解极值点：根据函数 g(x) 的取值范围，求得极值点为 x = 0。

5. 检验解的有效性：代入原函数 f(x)，验证得到的极值点 x = 0 是否为函数 f(x) 的极值点。

总结放缩法是解决函数极值问题的一种有效策略。

通过合理放缩和约束函数取值范围，可以简化问题的求解过程。

放缩法的应用范围广泛，而且应用灵活，适用于不同类型的函数。

在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的放缩因子，以得到准确的极值点。

[标签:标题]篇一：《放缩法在不等式的应用》论文放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1. 设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜3322222224。

证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a ＋b＞1，又ab＜1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42 222，故有1＜a＋b＜。

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）222a?ab?b?（a?b）?b2＞（a?b）?a?≥a?，同理22证明：因为b?bc?c2＞b?c，c?ac?a2＞c?。

2a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a＞3（a?b?c）2所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。

a?ca?b证明：由于a、b、c为正数，所以b＞＞＞，所以a＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，a＜2aa为真分数，则b?ca?b?c，同理故b+c＞a，则b＜2bc＜2c，a?ca?b?ca?ba?b?c故a＋b＋c＜＋＋?2.a＋b＋c＜2。

浅谈数列不等式问题的放缩技巧数列不等式问题是指利用数列中的数据进行推理的问题。

在解决这类问题时，放缩技巧是一种有用的方法。

放缩技巧是指在解决数列不等式问题时，通过对数列中的数据进行放大或缩小来推导结论的方法。

这种技巧可以帮助我们更好地理解问题，并找到更简单的解法。

例如，我们可以对数列中的数据进行放大，从而使问题更加简单。

例如，如果有一个数列{a1, a2,在解决数列不等式问题时，放缩技巧还可以用来缩小数据范围，从而使问题更容易解决。

例如，我们可以选择某些特殊的数列元素进行分析，而不是对整个数列进行分析。

这样，我们就可以避免处理过多的数据，使问题变得更加简单。

此外，我们还可以通过选择合适的数列元素来缩小数据范围，例如选择数列中最小的元素或最大的元素进行分析。

这样，我们就可以避免处理所有的数列元素，使问题变得更加简单。

总的来说，放缩技巧是一种有用的方法，可以帮助我们在解决数列不等式问题时更好地理解问题，并找到更简单的解法。

高中数学导数放缩法
放缩法是一种应用较广泛的数学方法，可以帮助我们更准确地预测趋势。

它可以用于研究不同的模式，并帮助我们理解数学的性质。

放缩法的定义很简洁，可以理解为将待研究的函数缩放到另一个函数上。

它通常是利用比较简单的曲线对复杂曲线进行研究，以提升正确性。

这在高中数学中也被广泛应用。

放缩法在微积分科目中探讨变化的情况下比较重要，如识别函数的导数，判断函数的图形特征等。

比如，考生们可以通过放缩法来研究狭义直线段的性质，具体可以将端点和直线段的某点缩放到同一坐标系。

如果直线段的两个端点都缩放到横坐标或纵坐标的1，那么整条直线段就会缩放到一条平行于横坐标轴或纵坐标轴的直线，如此可以容易研究其斜率，表示为一个分数，有助于理解这条直线段的性质。

同理，放缩法也可以用于求取圆的半径、椭圆的长轴短轴，以及曲线的凸包和曲率等。

考生们只需要把函数中若干特定点进行缩放，
并运用对称性质、相似性质，就可以更加准确地研究函数的模型，从
而准确分析函数的特点和性质。

最后要提醒的是，放缩法是一种非常灵活的数学方法，通过不断
尝试和改进，可以辅助理解和分析各种函数的性质。

此外，需要注意
的是，放缩法的运用也必须遵守数学的相关定律和原则，以保证较高
的准确度。

总之，放缩法是高中数学中常用的一种研究数学模型的分析方法，在研究不同函数的性质时都很有用，可以帮助考生更准确地预测趋势。

只要认真研究、了解放缩法的运用方法，考生们就可以掌握这种数学
方法，更好地分析函数的模型和性质，为自己的学习和生活中把握更
多技术拓展工具。

高数放缩法技巧全总结
高等数学中的放缩法是一种常用的求极限、证明不等式等问题的方法，它在解
题过程中具有非常重要的作用。

放缩法的核心思想是通过适当的变形和估计，将原问题转化为一个更容易处理的形式，从而简化解题过程。

下面我们就来总结一下高数放缩法的一些技巧和方法。

首先，对于一些复杂的不等式问题，我们可以尝试使用放缩法来简化证明过程。

例如，对于一些涉及三角函数的不等式，我们可以尝试将其转化为一个更简单的形式，然后再进行证明。

在这个过程中，我们需要灵活运用三角函数的性质和不等式的性质，找到合适的放缩方法，从而达到简化证明的目的。

其次，对于一些涉及极限的问题，放缩法同样可以发挥作用。

在求解极限的过
程中，我们可以通过放缩的方式，将原极限转化为一个更容易处理的形式，然后再进行求解。

这种方法在一些复杂的极限问题中尤其有效，可以大大简化求解过程，提高解题效率。

另外，放缩法还可以应用于一些数学建模和物理问题中。

在实际问题中，我们
经常会遇到一些复杂的模型和方程，通过放缩法，我们可以将原问题简化，从而更好地理解和解决实际问题。

总的来说，高数放缩法是一种非常重要的解题方法，它可以在不等式证明、极
限求解、数学建模等方面发挥重要作用。

在使用放缩法时，我们需要灵活运用数学知识，找到合适的放缩方法，从而简化解题过程，提高解题效率。

希望以上总结的放缩法技巧能够帮助大家更好地掌握这一解题方法，提升数学解题能力。

放缩法在证明不等式中的应用放缩法（also known as阿贝尔不等式法）是证明不等式的一种常见方法。

它利用不等式两边的关系进行比较，然后不断地缩小这种差距，最终得到原问题的解。

该方法非常简便，灵活性也很大，适用于各种形式的不等式问题。

在本文中，我们将具体介绍如何使用放缩法来解决不等式问题。

1.南辕北辙法南辕北辙法也是一个基于放缩法的思想。

这种方法的基本思路是从等式入手，然后在等式两边加上（或减去）相同的数量，无限逼近目标值。

以证明a+b≥ 2√ab为例。

首先我们注意到这是一个“大于等于”符号。

正确的方向是将不等式转化为等式，然后再使用缩放法逼近所求答案的根。

因此，我们可以构造新的表达式：(√a−√b)²≥0。

展开这个式子得：a+b−2√ab≥0。

原不等式成立。

2.杨桃不等式杨桃不等式本质上也是一种变形方式，它比南辕北辙法更易于使用。

在证明a²+b²+1≥ 2a+2b时，我们可以考虑如下表达式：a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥0。

此时，我们发现前三项中有两个可以化为1，于是得到了a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥(a−1)²+(b−1)²。

此时我们已经利用了放缩法，因为这个式子的右边显然大于等于0。

于是我们只需要证明左侧大于等于0即可。

而这个结论可以由a−1和b−1是正数、其平方和大于0来证明。

3.洛谷P5470 (PAM)与以上两种方法不同，这个例子更多地关注了算法实现的问题。

题目可以形式化表示为：设x[i]为正整数数组，设S1=Σx[i]，S2=∑i<j|x[i]−x[j]|，则S1≥S2。

我们可以将绝对值分成两部分来讨论，最后在放缩过程中应用这一点。

设P=∑i<x[i]，Q=∑i>x[i]，则可推导出|P−Q|=P−Q。

又因为P+Q=S1，所以我们有S1=2P(S1−P)≥2∑|xi−xj|。

放缩法在解题中的应用在初中数学竞赛中，经常需要运用放缩法来求解一类问题，所谓放缩法，就是将代数式的某些部分适当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解题的目的． 在使用放缩法解题时，要注意放和缩的“度”．本文举例说明放缩法在解题中的具体用法．一、利用已知数据的大小关系进行放缩 例1 若1111198019812001+++，则S 的整数部分是_______．(2001年山东省初中数学竞赛)分析 此题显然不宜先计算S 的值再求其整数部分．注意到S 中的有关数据满足111198019812001>>>，故可使用放缩法，先判断S 的值所处的范围，然后解决问题．所以S 的整数部分是90．例2 1615与1333的大小关系是1615_______1333．(填“>”，“<”或“＝”) (2002年第13届“希望杯”数学邀请赛初二第2试)注 本题使用作商法比较大小，在判断商3131315511⨯与1的大小时两次使用了放缩法．二、利用已知的不等条件进行放缩例3 已知两个整数a 、b ，满足0<b <a <10，且9aa b+是整数，那么，数对(a ，b )有_______个．(第19届江苏省初中数学竞赛初三第2试)①若9aa b+＝5，则4a ＝5b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(5，4)；②若9aa b+＝6，则a ＝2b ．结合整数a 、b 满足0<b <a < 10，故此时数对(a ，b )有4个，分别为(2，1)、(4，2)、(6，3)、(8，4)；③若9aa b+＝7，则2a ＝7b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(7，2)；④若9aa b+＝8，则a ＝8b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(8，1)．综上可知满足条件的数对(a ，b )有7个．注 本题解法中关键的一步是利用已知的不等条件0<b <a 对9aa b+进行放缩，从而得到了9a a b+的值所处的范围．例4 已知a 、b 、c εR ，且满足a >b >c ，a ＋a ＋c ＝0．那么，ca的取值范围是______．(2006年我爱数学初中生夏令营数学竞赛)解析 利用a >b >c 对a ＋b ＋c 进行三次不同的放缩： 0＝a ＋b ＋c<3a ，故a >0；0＝a ＋b ＋c<2a ＋c ，故ca >－2；0＝a ＋b ＋c>a ＋2c ，故c a <－12．所以c a 的取值范围是－2<c a <－12． 例5 设a 、b 是正整数，且满足56≤a ＋b ≤59，0.9<ab<0.91．则b 2－a 2等于( )． (A) 171 (B)177 (C)180 (D)182 (2005年全国初中数学竞赛)解析 我们首先利用放缩法求出正整数b 的范围：由0.9<ab<0.91，知0.9b <a <0.91b ． ∴56≤a ＋b <0.91b ＋b ，0.9b ＋b <a ＋b ≤59．解得611293119119b <<．接着我们来确定正整数a 、b 的值：由611293119119b <<可知正整数b 的值为30或31．当b ＝30时，由0.9b <a <0.91b ，得27<a <27.3， 这样的正整数a 不存在； 当b ＝31时，由0.9b <a <0.91b ，得27.9<a <28.21， 所以正整数a ＝28.最后将a ＝28、b ＝31代入b 2－a 2，得 b 2－a 2＝177．故选B ． 三、构造不等条件进行放缩例6 已知正整数x 、y 、z 满足11115yz zx xy ++=，这样的数组(x ，y ，z)有_______组．分析 注意到方程11115yz zx xy ++=关于x 、y 、z 对称，故可以先求出那些满足x ≤y ≤z 的正整数组．解 我们分两步来求解本题：①首先求满足x ≤y ≤z 的正整数组(x ，y ，z)．使用放缩法可得2111135yz zx xy x=++≤，∴x 2≤15，x ．所以正整数x 共有3种可能，即x ＝1、2或3．若x＝1，则11115yz z y++=变形得(y－5)(z－5)＝30．易得正整数组(y，z)为(6，35)、(7，20)、(8，15)或(10，11)；若x＝2，则1111225yz z y++=变形得(2y－5)(2z－5)＝45．易得正整数组(y，z)为(3，25)、(4，10)或(5，7)；若x＝3，则1111335yz z y++=变形得(3y－5)(3z－5)＝70．易得正整数组(y，z)为(4，5)；综上所述，满足x≤y≤z的正整数组(x，y，z)共有8组．②最后来求所有的正整数组(x，y，z)．因为方程11115yz zx xy++=关于x、y、z对称，且①中求得的每一组(x，y，z)中的x、y、z的值互不相同，所以由①中每一数组均可以得到6个满足11115yz zx xy++=的数组(x，y，z)．故所有满足11115yz zx xy++=的正整数组(x，y，z)有48组．注由本题可以看出，当问题中的几个量所满足的条件具有对称性时，我们不妨先构造它们之间的大小关系．例7 已知p、q、21qp-、21qq-都是整数，且p>1，q>1．求p＋q的值．(2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛) 解析分两种情况来求解：①当p≥q>1时，21qp-≤21qq-<2．又21qp-是正整数，故21qp-，于是p＝2q－1．∴整数21qq-＝2(21)1qq--＝4－3q． 又q>1，∴整数q ＝3．将q ＝3代入p ＝2q －1得p ＝5． ∴p ＋g ＝8；②当q>p>1时，同样的方法可求得p ＝3，g ＝5． ∴p ＋g ＝8．综合①、②知，p ＋g ＝8．例8 将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数是( )．(A)5 (B)6 (C)8 (D)10(1998年北京市初二数学竞赛初赛)解析 不妨设三角形三边分别为a 、b 、c ，其中a ≥b ≥c ．由题意知 a ＋b ＋c ＝20，b ＋c >a ． 所以通过放缩可得： 20＝a ＋b ＋c>2a ，20＝a ＋b ＋c ≤3a ．∴623≤a <10． 从而整数a ＝7、8或9．当a ＝7时，b ＋c ＝13，符合条件的(b ，c)只能为(7，6)；当a ＝8时，b ＋c ＝12，符合条件的(b ，c)有(8，4)、(7，5)、(6，6)；当a ＝9时，b ＋c ＝11，符合条件的(b ，c)有(9，2)、(8，3)、(7，4)、(6，5)． 综上可知不全等的三角形的个数是1＋3＋4＝8，故选(C)． 四、利用有关不等关系的定理进行放缩 1．利用垂线段最短例9 如图1，在ABCD 中，AD ＝a ，CD ＝b ，过点B 分别作边AD 、CD 上的高h a 、h b ．已知h a ≥a ，h b ≥b ，对角线AC ＝20．则ABCD 的面积为_______．(2009年北京市初二数学竞赛)解析 由平行四边形的对边相等及垂线段最短可得 b ＝AB ≥h a ，a ＝BC ≥h b ． 又∵h a ≥a ，h b ≥b ， ∵b ≥h a ≥a ≥h b ≥b ，从而只能b ＝h a ＝a ＝h b ，这表明ABCD 是个正方形．由正方形ABCD 的对角线AC ＝20，可得ABCD 的面积为12×202＝200．2．利用平均值不等式 例10 如图2，AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，且AA 1＝BB 1＝CC 1＝1，∠AOC 1＝∠BOA 1＝∠COB 1＝60°．求证：(1)S △AOC1＋S △BOA1+ S △COB1<4；(2) S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1． (2005年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)解析 (1)首先平移△BOA 1、△COB 1的位置，使分散的图形相对集中(如图2)．延长OA 到点E ，使得AE ＝A 1O ，延长OC 1到点D ，使得C 1D ＝CO ，联结DE ，易知△ODE 是正三角形．在DE 上取点F ，使得EF ＝OB ，联结AF 、C 1F ，则△FEA ≌△BOA 1，△C 1DF ≌ △COB 1．而S △ODE ，∴S △AOC1＋S △BOA1+ S △COB1<S △ODE ； (2)设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ．假设S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1．由化简得a (1－c)>14． 同理有，b (1－a )> 14，c(1－b )> 14．三式相乘得ab c(1－a )(1－b )(1－c)>164①根据平均值不等式有同理0<b (1－b )≤14，0<c(1－c)≤14． 故ab c(1－a )(1－b )(1－c)≤164②①与②矛盾，因此假设不成立．即S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1．注 平均值不等式：当a ≥0，b ≥0时，2a b+，等号当且仅当a ＝b 时成立．上面的解法中利用了平均值不等式的变形式ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭．3．利用高斯函数的基本性质高斯函数[x ]就是表示不超过实数x 的最大整数，由规定直接可得其基本性质：对任一实数x 有x －1<[x ]≤x ．例11 [x ]表示不超过实数x 的最大整数．方程[2x ]＋[3x ]＝9x －74的所有实数解为_______．(2010年全国初中数学联赛武汉赛区预赛) 解析 根据高斯函数的性质知：经检验，x ＝－136和x ＝736是原方程的解． 注 本解法最后必须进行检验，这是因为开始使用放缩法得到的不等式，“放大”了x 的取值范围．。

浅析如何用放缩法证明不等式在数学中，放缩法是一种常用的证明不等式的方法。

它通过将不等式中的一方进行放缩处理，使得证明过程更加简洁、直观。

下面我们将从两个方面对放缩法进行浅析，包括扩大法和缩小法。

一、扩大法扩大法就是通过扩大不等式中的其中一项或几项，使得不等式成立。

其中一个常用的方法是通过平方或开方来进行扩大。

1.平方扩大法：如果我们发现在不等式中有一个含有平方项的部分，我们可以将其进行平方扩大，这样可以使得不等式更加紧凑。

举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$分析：我们可以观察到$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2\geq 0$将上述不等式改写，得到$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$进一步得到 $(a+b)^2 \geq 4ab$通过开根号得到$a+b \geq 2\sqrt{ab}$所以，我们证明了$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$2.开方扩大法：类似于平方扩大法，如果我们发现在不等式中有一个含有开方项的部分，我们可以将其进行开方扩大，这样也可以使得不等式更加紧凑。

举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$a + b \geq 2\sqrt{ab}$分析：我们可以观察到$2\sqrt{ab} \leq a + b$通过平方得到$4ab \leq (a + b)^2$所以，我们证明了$a + b \geq 2\sqrt{ab}$二、缩小法缩小法是指通过缩小不等式的其中一项或几项，使得不等式成立。

其中一个常用的方法是通过使用约束条件进行缩小。

1.约束条件缩小法：有时候在不等式的约束条件中，我们可以根据不等式的性质，将一些项进行缩小，从而得到一个更简洁的不等式。

举个例子：证明当$x>0, y>0, z> 0$时，有$\frac{x}{y+z} +\frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$分析：根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(y+z)(z+x) \geq(\sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2 = (y + z)(x + z)$通过约束条件$x>0, y>0, z> 0$，我们可以得到$\frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{x+y}$，$\frac{1}{z+x} \geq \frac{1}{y+z}$，$\frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{z+x}$将上述不等式应用于原不等式中，可以得到$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq(\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y}) (\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y})$$\geq (\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{z+x}} +\sqrt{\frac{z}{x+y}})^2 \geq \frac{3}{2}$所以，我们证明了$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$以上是浅析如何用放缩法证明不等式的两个方面，通过扩大法和缩小法，我们可以将复杂的不等式变得更加简洁明了。

Җ㊀山西㊀赵海涌㊀㊀利用导数求解与函数f (x )零点有关的综合问题,是近几年高考中的热点题型．求解这类问题大多需要用到零点的存在性定理,这就需要在函数的定义域内取定两个点x １,x ２,不妨设x １＜x ２,并且使得f (x １)f (x ２)＜０,进而确定f (x )在区间(x １,x ２)内有零点．然而,满足f (x １)f (x ２)＜０的两个点x １,x ２的取法,有时较为复杂．本文介绍 放缩取点法 ,可以较好地突破这一难点．例１㊀已知函数f (x )＝(x －２)e x ＋a (x －１)２(a ＞０),试讨论f (x )零点的个数．f (x )的定义域为(－ɕ,＋ɕ),fᶄ(x )＝(x －１)(e x ＋２a )．容易看出e x＋２a ＞０,所以,当x ɪ(－ɕ,１)时,fᶄ(x )＜０,故f (x )在(－ɕ,１)单调递减;当x ɪ(１,＋ɕ)时,fᶄ(x )＞０,故f (x )在(１,＋ɕ)单调递增．f mi n (x )＝f (１)＝－e ＜０．由函数单调性可知f (x )在(－ɕ,１)上至多１个零点,在(１,＋ɕ)上至多１个零点．由于f (２)＝a ＞０,则f (１)f (２)＜０．根据零点存在性定理可得函数在(１,＋ɕ)上有唯一零点．当x ＜１时,因为(x －２)e x＞(x －２)e,故f (x )＝(x －２)e x ＋a (x －１)２＞(x －２)e ＋a (x －１)２．令(x－２)e ＋a (x －１)２＝０,即a (x －１)２＋e (x －１)－e ＝０,得x ＝－e －e ２＋４a e ２a ＋１．取x ０＝－e －e ２＋４a e２a＋１,显然x ０＜１,并且f (x ０)＞０．又f (１)＝－e＜０,f (x ０)f (１)＜０．根据函数零点存在性定理可知,函数f (x )在(－ɕ,１)内有唯一零点．综上所述,当a ＞０时,函数f (x )有２个零点．x ０的确定,我们利用了放缩法,即当x ＜１时,(x －２)e x＞(x －２)e ．事实上,令g (x )＝(x －２)e x－(x －２)e ,即g (x )＝(x －２)(e x－e),则g ᶄ(x )＝e x(x －１)－e ,当x ＜１时,g ᶄ(x )＜０,故g (x )在(－ɕ,１)上单调递减,g (x )＞g (１)＝０,所以(x －２)e x＞(x －２)e ．如果感觉这样取点x ０比较复杂,那么我们就可以调整放缩．例如,当x ＜１时,((x －２)e x ＋a (x －１)２＞－e ＋a (x －１)２．令－e ＋a (x －１)２＝０,解得x １＝－ea＋１,这样取得的x１要比上面的x ０简单．此时也有f (x １)f (１)＜０,函数f (x )在(－ɕ,１)内有唯一零点．放缩取点法的本质是根据函数解析式中的某部分的单调性进行局部放缩．例如,f (x )＝(x －２)e x＋a (x －１)２＞－e＋a (x －１)２,实质上是利用函数h (x )＝(x －２)e x在(－ɕ,１)上单调递减,直接把(x －２)ex 缩小为在x ＝１处的函数值h (１)＝(１－２)e ＝－e ．例２㊀讨论函数f (x )＝１２a x ２－l n x －２的零点个数．f (x )的定义域为(０,＋ɕ),fᶄ(x )＝a x ２－１x．当a ɤ０时,f ᶄ(x )＜０,f (x )在(０,＋ɕ)单调递减,并且f (１)＝a２－２＜０．因为a ɤ０,并且０＜x ＜１时,１２a x ２ȡa ２,当且仅当a ＝０时,取等号,故f (x )＝１２a x ２－l n x －２ȡa ２－l n x －２．令a２－l n x －２＝０,解得x ０＝e (a２－２)＜１．所以f (x ０)ȡ０,故f (x ０)f (１)ɤ０．根据函数零点存在性定理可知,函数f (x )在(０,＋ɕ)内有唯一零点．当a ＞０时,x ɪ(１a,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增,x ɪ(０,１a )时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减,所以f m i n (x )＝f (１a)＝－３２＋１２l n a ．当－３２＋１２l n a ＞０时,即a ＞e ３时,函数f (x )无零点;当－３２＋１２l n a ＝０时,即a ＝e ３时,函数f (x )有唯一零点;当－３２＋１２l n a ＜０时,即０＜a ＜e ３时,当f (x )ɪ(０,１a ),f (x )＝１２a x ２－l n x －２＞－l n x －２．令－l n x －２＝０,解得x ０＝１e ２＜１a,所以f (１e ２)＞３１０,而f (１a )＜０,故f (１e ２)f (１a)＜０,根据函数零点存在性定理可知,函数f (x )在(０,１a )内有唯一零点．当f (x )ɪ(１a,＋ɕ)时,有f (x )＝１２a x ２－l n x －２＝１２a x ２－l ne ２x ȡ１２a x ２－e x ,当且仅当x ＝１e 时,取等号．令１２a x ２－e x ＝０,解得x ０＝２e a ＞１a ．所以f (２e a )ȡ０,而f (１a )＜０,故f (２e a ) f (１a)ɤ０(当a ＝２e ２时,取等号),所以,函数f (x )在(１a,＋ɕ)内有唯一零点．综上所述,当a ɤ０,或a ＝e ３时,函数f (x )在(０,＋ɕ)内有唯一零点;当０＜a ＜e ３时,函数f (x )在(０,＋ɕ)内有２个零点;当a ＞e ３时,函数f (x )在(０,＋ɕ)内无零点．当f (x )ɪ(１a,＋ɕ)时,对f (x )的放缩,利用了l ne ２x ɤe x ．事实上,我们设g (x )＝l ne ２x －e x ,则g ᶄ(x )＝１x －e ．由g ᶄ(x )＝１x－e ＞０,得０＜x ＜１e ,由g ᶄ(x )＝１x －e ＜０,得x ＞１e,所以g m a x (x )＝g (１e )＝０,故g (x )＝l ne ２x －e x ɤ０,即l ne ２x ɤe x ,因此f (x )＝１２a x ２－l ne ２x ȡ１２a x ２－e x (当x ＝１e时,取等号)．(作者单位:山西晋城沁水中学)Җ㊀宁夏㊀张玉生㊀㊀一般对形如y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ２＋b ２ʂ０)或y ＝a s i n ２x ＋b s i n xc o s x ＋c c o s ２x (a ,b ,c ʂ０)的三角式的化简㊁求解往往需要用到辅助角公式．辅助角公式是研究三角函数问题强有力的工具,在解题中应用极其广泛．下面撷取几个典型实例来展示辅助角公式的高效性 ．１㊀求值问题例１㊀已知s i n α＋２c o s α＝３,则t a nα的值为．由于s i n α＋２c o s α＝３s i n (α＋φ)＝３(其中s i n φ＝６３,c o s φ＝３３),所以s i n (α＋φ)＝１,即α＋φ＝２k π＋π２,k ɪZ ,所以t a n α＝t a n (２k π＋π２－φ)＝１t a n φ＝c o s φs i n φ＝２２．借助辅助角公式加以转化,进而利用三角函数值所满足的条件确定对应角的关系式,再利用三角函数值求解．辅助角公式的引入和应用,可以有效地简化计算过程．２㊀化简问题例２㊀化简:２４s i n (π３－x )－６４c o s (π３－x )．２４s i n (π３－x )－６４c o s (π３－x )＝２２[１２s i n (π３－x )－３２c o s (π３－x )]＝２２[s i n (π３－x )c o s π３－c o s (π３－x )s i n π３]＝２２s i n (π３－x －π３)＝－２２s i n x ．直接把s i n (π３－x )和c o s (π３－x )利用两角和与差的正弦和余弦公式展开,再加以整理㊁化简,也可以很好地解决问题,只是解题过程较为烦琐．３㊀最值问题例３㊀试求函数y ＝４２s i n x c o s x ＋c o s ２x －４１。

放缩法的应用范畴及其定义杜林涛【摘要】放缩法是针对不等式结构、性质，将一端向另一端进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段. 所以放缩法被认为只适用于证明不等式成立，不被重视，它的应用范畴也大多集中在中小学的证明题. 但放缩法也是始终贯穿证明不等式的指导变形方向的一种思考方法，从这作为出发点，对放缩法在数学分析、实变函数以及点集拓扑中进行了研究. 通过分析放缩法在一般分析学中的应用，进而重新认识放缩法，发现它不仅适用于任何有关不等式的证明，还可以作为定理用来求值或判别某种性质. 放缩法应用在不等式证明之外，脱离了不等式的结构、性质，那什么是放缩法，放缩法作为可以简化问题或解决问题的一种工具，抽象成概念，即在保持某种条件不变的情况下，向特定方向进行不等变形的方法是放缩法. 放缩法具有广泛的应用性，应重视运用放缩法解决问题.【关键词】放缩法；不等式；收敛法；集合.目录1引言 (1)2放缩法在数学分析中的应用举例 (1)2.1放缩法在不等式证明中的应用 (1)2.2放缩法在求值和判别原则中的应用 (6)2.3放缩法在实数基本定理中的应用 (12)3放缩法在实变函数中的应用举例 (14)3.1放缩法在集合中的应用 (14)3.2放缩法在测度中的应用 (15)4放缩法在点集拓扑中的应用 (16)5结论 (17)参考文献 (18)1 引言近年来，放缩法的主要研究方向是在不等式中应用的技巧．放缩的思想已经应用在生活的各个方面，只是进行了放大或缩小就被认为使用了放缩法，这种想法是错误的．单纯的放大或缩小既不能使问题简化，也没有其它的研究价值．随意的进行放大或缩小的行为不是放缩法．放缩法是不等式证明的一种方法．证明不等式A<B 成立，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，放缩法的主要理论依据是不等式的传递性，即若A<B ，B<C ，则A<C ．放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，放缩法可以将不等式证明化繁为简，化难为易．但放缩法不只适用于不等式证明，它还可以应用到更广阔的领域，在解决某些问题时，放缩法可以达到事半功倍，如何理解放缩法尤为重要．本文将主要举例探讨放缩法在数学分析、实变函数、点集拓扑中的应用，推广放缩法在分析学中的应用，并指出保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法，就是放缩法．2 放缩法在数学分析中的应用举例2.1放缩法在不等式证明中的应用例2.1 证明不等式111123n ααα++++<2 ，1,2,n = 成立，其中实数2α≥．证明 2221111111232311111122334(1)11111111(1)()()()223341122.n n n nn n n ααα++++≤1++++≤+++++⨯⨯⨯-⨯=+-+-+-+--=-< 其中1,2,n =… ，证毕．这道题利用了不等式的传递性，从左端向右端放大了三次得到了结果，有两个中间量，其实已经得到了两个更强的结论22211111112323n nααα++++≤1++++和11111223n nααα++++≤-，在体现了放缩法的基本思想．如果把α改成2，这就是一道运用放缩法的中学题目．例2.2 设()f x 为[]0,1上的非负连续函数，且2()12()xf x f t dt ≤+⎰，证明：()1f x x ≤+,[0,1]x ∈.证 令0()12()xF x f t dt =+⎰，则2()()f x F x ≤，且()2()F x f x '=≤，于是001x x dt x==≤=⎰⎰⎰ ,因此()1f x x ≤≤+．此题构造了一个中间量，从左向右放大了两次．这是典型的放缩法，证明A<C ，寻找一个中间量B ，使得A<B ，证明B<C 成立即可．说明在积分不等式中，放缩法也适用．例2.3 设 ()f x 在[]0,2π上具有一阶连续导数，且()0f x '≥，求证：对任意自然数n 有[]202()sin (2)(0)f x d nx f f nππ≤-⎰. 证 不等式左端＝[][]22200020111()cos ()cos ()cos 11(2)(0)()2(2)(0)f x d nx f x nx f x nxdx n n n f f f x dx n n f f nππππππ'=-'≤-+=-⎰⎰⎰即证．本题向右端只放大了一次，就得到了结果．虽然没有中间量，但这也是放缩法，因为它利用了不等式的传递性并向右端进行放缩来得到证明结果．我们发现在不等式证明中只要向一端有选择性的进行放大或缩小的方法，就是放缩法．定理2.1 （泰勒定理） 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点()ξ,a b ∈，使得200000()(1)1000()()()()()()2!()(ξ)()().!(1)!n n n n f x f x f x f x x x x x f x f x x x x n n ++'''=+-+-++-+-+（带有佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++．我在这里介绍泰勒定理，是因为泰勒定理可以把满足条件的多项式()f x 分解成关于x 的一元多项式，在证明不等式()()f x g x >时，多项式()f x 按照泰勒定理分解后，在原不等式成立的条件下保留有限项，向右端进行放缩．而麦克劳林公式是泰勒公式的变形，至于它们的余项，在这里不用考虑，因为在不等式用放缩法的过程中是要舍掉的．二项式定理也具有同样的特点，例如()11nλλ+>+，在这里就不作介绍了．在某些不等式的证明中，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以把不等式化简，给不等式证明带来了很大的便捷．我在这里举几个常用函数的麦克劳林公式：21()2!!nxn x x e x o x n =+++++.(2.1)352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+-.24221cos 1(1)()2!4!(2)!mmm x x x x o x m +=-+++-+.231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n -+=-+++-+.例2.4 证明不等式:当0x ≠时,1x e x >+.证明1 函数x e 在(),-∞+∞上存在直至1n +阶的连续导函数,则根据公式（ 2.1），当0x >时明显有21()12!!nn x x x o x x n +++++>+, 当0x <时，设(0)x y y =->，即()22222122()()1()1()()2!!2!!1()2!(2)!(21)!11.n n nn m m m x x y y x o x y o y n n y y y y o ym m y x ++--+++++=+-++++-⎛⎫=-+++-+ ⎪+⎝⎭>-=+即证当0x ≠时1x e x >+．这道题如果只证明0x >的情况，用这种方法进行放缩就很简单了．除了用麦克劳林公式进行放缩，这道题还有其他的方法．证明2 设()(1)x f x e x =-+，则当0x >时，()10x f x e '=->,所以，()()(0)00f x f x >=>，即1x e x >+ ()0x >.同理可证，当0x <时，1x e x >+.总之，当0x ≠时，1x e x >+.此不等式的几何意义是,曲线x y e =位于曲线1y x =+的上方．在例2.1.3的分析中我们知道本题运用了放缩法，它是通过设立函数，利用微分判别函数的单调性，再对函数()f x 运用放缩法得到结果．这道题的特点是没有在原不等式两端进行放缩，而是移项后和0比较，函数之间运用放缩法．例2.5 证明不等式：1a a e +<，式中a 为正有理数． 证明 ()11nx nx +≥+（x >0,n 为正整数）.设pa q=，p ，q 为正整数，则由于 11qe q ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭,故111111qa pa pe a q q q ⎛⎫⎛⎫>+=+≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这道题利用了两个已知不等式关系进行放缩，如果把放缩法看成不等式证明的一个工具，在本题中利用已知不等式关系证明不等式就是放缩法．因为放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，而利用不等式关系本身就是在指导变形方向．例2.6 证明不等式：1!2nn n +⎛⎫< ⎪⎝⎭当1n >．证 当2n =时,因为2219()22!24+=>= ,故不等式成立． 设n k =时,不等式成立,即1!2kk k +⎛⎫< ⎪⎝⎭,则对于1n k =+时,有111(1)!(1)222k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于11211211k k k k k +++⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭(1,2,)k =，从而有1(1)1(1)!2k k k +++⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦，即对于 1n k =+时，不等式也成立． 于是，对于任何自然数n ，有1!2nn n +⎛⎫< ⎪⎝⎭．该题目在不等式证明中用的是数学归纳法，没有直接用放缩法，但我们可以看出在证明1n k =+时，不仅运用了n k =时不等式成立的假设，还利用了一个不等式关系11211211k k k k k +++⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭(1,2,)k =，根据对例2.1.5的分析，这道题明显运用了放缩法．例2.7 证明：(){}222inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈>．证 方法1 反设(){}222inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈=，那么存在着自然数列{}n k ，使得()()222limsin limsin 1limsin 20n n n n n n k k k →∞→∞→∞=+=+=．由()()2221122n n n ++--=得()()222sin 2sin sin 1sin 2n n n n n n k k k αβγ=++++，其中，n α，n β，n γ皆为有界量．上式两边取极限后得sin20=．矛盾． 方法2 注意到对任意的α，β，()sin sin sin αβαβ+≥+，于是()()222sin 1sin 1sin n n n ++-+ ()()()(){}()()22222222221sin 1sin 12sin 21sin 1sin 121sin 11221sin 2.2n n n n n n n n n n ⎡⎤≥++-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤≥+-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤≥++--⎣⎦=这道例题的第一种证明方法用的是反证法，在其中并没有运用到放缩法，说明不是所有证明不等式的就一定要用到放缩法．第二种证明方法用的就是放缩法,说明有关不等式的证明都可以用放缩法进行尝试.由以上例子我们可以发现，在数列、函数、积分的不等式证明中都运用了放缩法，甚至任何有关不等式的证明中都用到了放缩法．这说明放缩法在证明不等式中至关重要，涉及有关不等式证明的都可以用放缩法进行尝试．在不等式证明中无论是借助泰勒公式、函数的单调性还是已知的不等式关系，我们发现放缩法就是在保持原不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法．2.2 放缩法在求值和判别原则中的应用在证明等式成立时有的也可以运用放缩法，等式的证明可以分成两个不等式的证明，即证明A=B 等价于证明A ≥B 和A ≤B ，这就相当于不等式B ≤A ≤B .这种形式类似于极限的迫敛性，证明极限的值也就是在证明等式成立．下面我们统称寻找适当的量B,使得B ≤A ≤B 的方法叫迫敛法．其中迫敛法就是A 向两端进行放缩寻找B 使得不等式成立的方法，即保持不等式两端相等（可以是值相等，也可以是两个极限值相等的不同的数列或函数），选择性的放大或缩小的方法，所以迫敛法本身就是放缩法．例2.8 证明：2112!!lim2nn n n n n n e →∞++++=.证 由带积分余项的泰勒展开式知()2112!!!n n nn x n n e n e n x dx n n =+++++-⎰， 因而原命题等价于证明()01lim !2n nnx n e e n x dx n -→∞-=⎰. 再利用斯特林公式12!nn n n e e θ⎫=⎪⎭，()0,1θ∈，知原命题等价于证明()101nxn e x dx ⎡⎤-=⎣⎦首先，注意到()()2210x x ex e x -≥-≥，于是)2222lim 1lim nx t nnx n n x e dx dx e dt +∞--→∞→∞-≤==⎰⎰⎰其次，对任何1α>，考虑辅助函数()22()1x x f x x e eα-=--，0x ≥．因为22()1x x xf x xe e αα+-⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭，而220lim 110x x x e ααα++-→⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭， 故存在着实数()0,1x α∈，使得当()0,x x α∈时，2210x x eαα+-->．因而，()f x 在[]0,x α中递增，故()[]()2210,x x x e ex x αα--≥∈．从而，)2222lim 1lim n x x nnx n n x e dx dx edx αα+∞--→∞→∞-≥==⎰⎰⎰． 再由α的任意性知)lim 1nnx n x e dx →∞-≥⎰综上所述，可得()101nx n e x dx ⎡⎤-=⎣⎦．这道题用的就是迫敛法，其中还运用了其他大量的放缩法，在上节中已经讲述．这里的迫敛法是极限的迫敛性和上极限、下极限的混合使用．定理2.2 （迫敛性） 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．级数的迫敛性就是向两端缩放寻找收敛数列n a ，n b ，从而得出数列n c 收敛及其极限值．数列极限的迫敛性本来是用来求极限的，它用的就是迫敛法即放缩法，所以放缩法也可以用来求数列的极限．函数的极限也具有迫敛性，和数列的类似，这里就不再赘述了．迫敛性又叫做夹逼定理．例2.9 求数列的极限 ()21lim !n n n →∞．解 由不等式122nn x x x x n+++≤，有1212n n n ++++≤=， 于是()211111!2nn n n n n +⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭． 由于1lim 1nn n →∞=，故由夹逼定理可得()21lim !1n n n →∞=． 这是用数列极限迫敛性的典型的例子．其中1n a =，1nn b n =，1的极限明显就是1本身，右端进行放缩求得的极限与左端一致，从而求出数列n c 的极限．也就是说通过放缩法求出了数列的极限．定义2.1 （函数的上、下极限） 设函数()f x 在区间()00,x c x c -+()0c >上有界，对任意的()0,c δ∈，令 ()[]000,sup ()x x x x M f x δδδ∈-+-=，()[]000,inf ()x x x x m f x δδδ∈-+-=分别是δ的单调递减和递增有界函数，因此0lim ()M δδ+→和0lim ()m δδ+→存在，我们分别称之为函数()f x 当x 趋于0x 时的上、下极限．记为00lim ()lim ()x x f x M δδ+→→=，00lim ()lim ()x x f x m δδ+→→=． 定理2.3 0lim ()x x f x A →=的充要条件是 00lim ()lim ()x x x x f x f x A →→==． 此定理可以用来验证一个函数在某点是否有极限，若有则同时求得函数的极限．数列的极限也适用．若将极限值A 改为函数在某点的值0()f x ，这就成了连续函数的等价定义了．在例2.2.1中，运用的迫敛法是夹逼定理和上、下极限的混合方法．夹逼定理本身是用做求极限的，而上、下极限定理是用做验证和求数列或函数在某点的极限，两者有其互通性．夹逼定理就是迫敛法，即运用了放缩法；而上、下极限定理是等式形式，等式的证明有可能会用到放缩法，但是上、下极限定理无法单独用来证明极限的等式，在此题中它是结合了夹逼定理来证明的．回想一下夹逼定理，它是通过向两端进行放缩使两端的极限值一致，从而求出极限值；上、下极限定理也是上、下两个方向，但是它并没有进行放大和缩小，所以没有用放缩法．例2.10 证明极限01limsin x x→不存在． 证 设1n x n π'=，122n x n ππ''=+ ()1,2,n =，则显然有0nx '→，0n x ''→ ()n →∞， 011limsinlimsin 0n x x x →∞→=='，011limsin lim sin 1x n n x x →→∞==''．故由上、下极限的定理，极限01limsin x x→不存在． 这道题用的就是数列的上、下极限，虽然 000111limsinlimsin limsin x x x x x x→→→≤≤形式上很像迫敛法，但过程中并没有进行放缩，因为01limsin x x →是01limsin x x→的最小值，01limsin x x →是01limsin x x →的最大值，这个过程只是在求01limsin x x →的最大最小值．保持不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法是放缩法，而这道题的证明过程中不等式是恒成立的，但不具有选择性．因此，利用上、下极限定理的过程中并没有运用放缩法．所以此题没有应用放缩法．定理2.4 （比较原则） 设n u ∑和n v ∑是两个正项的级数，如果存在某个正数N ，对一切n N >都有n n u v ≤，则（i ）若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （ii ）若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散．推论 设12n u u u ++++ (2.2)12n v v v ++++ (2.3)是两个正项级数，若 limn n nu l v →∞=， 则 （i ）当0l <<+∞时，级数（2.5）、（2.6）同时收敛或同时发散； （ii ）当0l =且级数（2.6）收敛时，级数（2.5）也收敛； （iii ） 当l =+∞且级数（2.6）发散时，级数（2.5）也发散．级数的比较原则，若要证明n u ∑收敛，只要通过适当的放缩找到收敛级数n v ∑，这很明显运用的是放缩法．根据上节对放缩法在不等式证明中的认识，比较原则就是放缩法的应用．根据比较原则我们得到，在保持收敛性不变的情况下，向特定的方向进行不等变形的方法，也是放缩法．比较原则的推论也是放缩法应用，虽然其中并没有不等式，但推论中要证明级数（2.5）的敛散性，n u 需要找到容易做比值取极限的n v ，所以n u 需要进行放缩找到合适的n v ，而正项级数（2.5）跟（2.6）的敛散性一致．在这过程中保持了敛散性不变，并向特定方向发生了不等变形，因此级数比较原则的推论也是放缩法．例2.11 考察211n n -+∑的收敛性．解 由于当2n ≥时，有22211111(1)(1)n n n n n n n ≤=≤-+---． 因为正项级数221(1)n n ∞=-∑收敛，故由比较级数知，级数211n n -+∑也收敛． 此题用的就是级数的比较原则，很容易发现它运用的就是放缩法，所以放缩法也可以用来考察级数的敛散性．级数除了比较原则还有比式判别法和根式判别法，这些判别法都是以比较原则为基础的，所以在比式判别法和根式判别法的证明中都运用了放缩法，但它们本身并不是放缩法，就像证明等式或不等式成立，虽然在证明过程中运用了放缩法，但等式或不等式本身和放缩法无关．这些判别式的证明就不再叙述了．例2.12 判别级数21111n n n ∞+=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 的敛散性．解 此级数为正项级数，由公式21()x e x o x =++ ()0x →知2221ln 1122ln ln 1111n n n n n n a n e o n n ++⎡⎤⎛⎫=-=-=+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 于是便有2lim 1ln 1n n a n n →∞=+．因此由21ln 1n n n ∞=+∑的收敛性知21111n n n ∞+=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛． 这道题用的就是级数比较原则的推论，推论的放缩法用到了麦克劳林公式，它是利用麦克劳林公式进行放缩找到合适的级数21ln 1n n n ∞=+∑，这说明级数比较原则的推论就是放缩法．并且我们发现脱离了不等号连接的形式，也能应用放缩法，说明放缩法还具有很大的应用性．通过以上分析，我们发现极限的迫敛性，级数的比较原则及其推论都是放缩法的应用，也可以说它们就是放缩法，放缩法可以用来求极限和判别级数的敛散性．还有不是所有类似于A B C ≤≤形式的方法都是放缩法，放缩法必须一方通过另一方放缩得到，例如函数的上、下极限定理在求或验证函数极限时的应用．级数比较原则的推论使放缩法脱离了不等号连接的形式，以上都显示出放缩法的应用广泛，还有保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法也是放缩法．2.3 放缩法在实数基本定理中的应用定理2.5 （确界存在原理） 设S 为非空数集．若S 是上方有界，则S 一定存在上确界；反之亦然．证 设S 含有非负数．由于S 有上界，故可以找到非负整数n ，使得1）对于任何x S ∈有1x n <+；2）存在0a S ∈，使得0a n ≥．对半开区间[,1)n n +作10等分，分点为.1,.2,,.9n n n ，则存在0,1,2， (9)的一个数1n ，使得 1）对于任何x S ∈有11.10x n n <+； 2）存在1a S ∈，使得11.a n n ≥．继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,k =，存在0,1,2，…，9中的一个数k n ，使得 1）对于任何x S ∈有121.10k k x n n n n <+； 2）存在k a S ∈，使得12.k k a n n n n ≥．将上述步骤无限进行下去，得到实数12.k n n n n η=．以下证明sup S η=．为此只需要证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤； （ii ） 对任何αη<，存在a S '∈使得a α'<．下面我就不再给出证明了，因为我想说明的是在区间10等分的过程．集合S 的上界是1n +，为了确定上确界把区间[,1)n n +进行10等分，然后选取区间使其包含上确界，无限记性下去从而找到上确界．换成不等式形式就是1n n η<<+，最后lim n n n a a η→∞≤≤是B A B ≤≤的形式，所以用的就是迫敛法，也就是放缩法． 定理2.6 （布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weierstrass ）引理） 由任何有界数列12,,,,n x x x 内恒能选出收敛于有限极限的部分数列12,,,,n n nk x x x ．（这种写法不致除去在所给数列内有相等的数的可能性）证明 设一切数n x 都位于界限a 与b 之间．将区间[],a b 分成两半，则必有一半包含着所给数列的无穷多个元素，因为，若不是这样，则在全区间[],a b 内所包含着的元素将是有限个数，但这是不可能的．因此设包含着无穷多个n x 的那一半是[]11,a b （若两个半区间都是如此，则任取其中之一）．类似地，在区间[]11,a b 内分出它的一半[]22,a b ，使得在它里面包含着无穷多个n x ．继续这种步骤至于无穷，在第k 次分出的区间[],k k a b 内照样包含着无穷多个的n x ．这样构成的区间（由第二个开始），每一个都包含在前一个之内，等于它的一半．此外，第k 个区间的长度等于2k k kb a b a --=． 它随着k 的增大而趋向零．把关于区间套的引理应用到这里来，便得结论：k a 及k b 趋向一个公共极限c ．现在部分数列{}nk x 可由下列方法归纳地产生出来．在所给数列的元素n x 内任取包含在[]11,a b 中的一个（例如，第一个）当作1n x ．在1n x 后面的元素n x 内任取包含在[]22,a b 中的一个（例如，第一个）当作2n x ，等等．一般地说，在以前分出的1n x ，2n x ，…，1nk x -后面的元素n x 内包含在[],k k a b 中的一个（例如，第一个），当作nk x ．这种产生数列方法是完全可能的：因为每一个区间[],k k a b 内包含着无穷多个n x ，即包含着序号可为任意大的元素n x ．再则，因为k nk k a x b ≤≤，又lim lim k k a b c ==，故必有lim nk x c =．此即所要证的．这个引理就是致密性定理．在证明引理时，用了逐次等分所考察的区间的方法，称为布尔查诺方法．根据对定理2.5的分析，布尔查诺方法是放缩法，所以该定理的证明用了放缩法．在证明该定理中还用到了区间套原理．定理2.7 （区间套原理） 设[],n n a b 是一串闭区间，满足：（a ）[][]11,,n n n n a b a b ++⊃，1,2,n =，（b ）()lim 0n n n b a →∞-=， 则存在唯一的0x ，[]0,n n x a b ∈，()1,2,n =．这个定理的证明很简单，不再给出证明过程，过程中用到只是列出来的满足条件，没有用到放缩法．因为已经给出了闭区间套，不需要布尔查诺方法，而且两个数列的极限值相等也给出．实数空间的七个基本定理包括确界定理，单调有界定理，柯西收敛准则，区间套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理．前六个定理都是用来直接论证函数局部性质的，而有限覆盖定理则是用来直接证明函数整体性质的，它的作用在于将函数在各点的局部性质扩展到整个闭区间上．有限覆盖定理的证明中也用到了布尔查诺方法即放缩法，在函数的“整体性质”和“局部性质”的证明中都用到了放缩法．数学分析是建立在实数上的，极限是数学分析的基础，不等式贯穿了整个数学分析，综上，放缩法在数学分析中具有广泛的应用性并且不可或缺．3 放缩法在实变函数中的应用举例3.1 放缩法在集合中的应用下面出现的A,B,C,……大写字母都是指集合．定义3.1 集合是指把具有某种性质或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素．集合之间的包含关系A B C ⊂⊂是具有传递性的，可以类比不等式的传递性．集合之间的交和并也可以看做是集合的缩小和放大．所以集合的不等关系也可以运用放缩法进行证明．定义3.2 设有集合A 与B ．若存在一个从A 到B 的一一映射，则称集合A 与B 对等(也就是说可以把A 与B 的全部元素通过映射一一对应起来），记为A B ． 对等的意思就像数学分析中代数式的相等，A B 是指集合A 中的元素个数与集合B 的相等．定理3.1 （Cantor-Bernstein 定理） 若集合X 与Y 的某个真子集对等，Y 与X 的某个真子集对等，则X Y ．此定理本身没有用到放缩法，证明这个定理的方法有两种也都没有运用放缩法．我要说明的是伯恩斯坦定理的特例．定理的特例：设集合A ，B ，C 满足下述关系：C A B ⊂⊂，若B C ，则B A ．这个特例应用了放缩法，证明B A ，就要对集合A 进行缩小寻找集合C ，使得B C 成立．这就像函数()()f b f c ≤证明()()f b f c =，只要对()f b 进行缩小找到()f a 使得()()f a f c =，即利用了不等式的传递性，在保持等式关系成立的条件下，向特定缩小的方向变形的方法．这个特例则是利用了集合的包含关系的传递性，在保持对等关系成立的条件下，向特定缩小方向变形的方法，明显就是运用了放缩法．因此，伯恩斯坦的特例就是放缩法．例3.1 []1,1-，这是因为已知()1,1-，且有()[]1,11,1-⊂-⊂． 如果我们要直接建立[]1,1-与之间的一一对应关系，就会比较繁琐些．至少用一个连续函数来表达是不可能的，因为闭区间上的连续函数之值域仍为一个闭区间．由以上说明，放缩法在集合中也具有应用性．3.2 放缩法在测度中的应用定义3.3 点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n <<=称为一个开区间(n 维)，如将其中不等式一律换成i i i a x b ≤≤，1,2,,i n =（或i i i a x b <≤，1,2,,i n =），则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）．当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作I ．i i b a -()1,2,,i n =称为I 的第i 个“边长”，()1n i i i b a =-∏称为I 的“体积”，记为I ．定理3.2 设n E ⊂，则()()c m I m I E m IE ***=+式对n 中任何开区间I 都成立的充要条件是对n 中的任何点集T 都有 ()()c m T m TE m TE ***=+． 证明 充分性显然成立．下证必要性．设T 为n 中的任意集合，则由外侧度定义，对于任何0ε>，有一列开区间{}i I ，使得1i i T I ∞=⊂，且1i i I m T ε∞*=≤+∑． 但由于()1i i TE I E ∞=⊂，()1c c i i T E I E ∞=⊂，故 ()()1c ii m T E m I E ∞**=≤∑，()()1c ii m T E m I E ∞**=≤∑．从而()()()()()()11111.c c i ii i c i ii i i i m TE m T E m I E m I E m I E m I E I m T ε**∞∞**==∞∞**==∞*=+≤+=+=≤+∑∑∑∑∑ 由于ε的任意性，即得()()c m TE m T E m T ***+≤.另一方面，显然有 ()()c m TE m T E m T ***+≥.故 ()()c m TE m T E m T ***+=. 由上述引理，我们现在可以给出n 中集合属于μ的定义，即可测定义．这个定理的证明，利用了已知不等式关系，所以很明显是运用了放缩法．由以上我们可以看出，放缩法在集合和测度中也具有应用性，实变函数是建立在集合上的，而测度又是实变函数的基础，所以放缩法在实变函数中也具有广泛的应用性．4 放缩法在点集拓扑中的应用定理4.1 设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足条件Y Z Y ⊂⊂．则Z 也是X 的一个连通子集．证 假设Z 是X 中的一个不连通子集．在X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z A B =． 因此Y A B ⊂．由于Y 是连通的，所以Y A ⊂，或者Y B ⊂．如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B ⊂=∅，因此B Z B ==∅；同理如果Y B ⊂，则A =∅．这两种情形都与假设矛盾．即证．我们已经知道集合具有传递性，也可以应用放缩法，本定理的证明过程中Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B ⊂=∅，运用的就是放缩法．该定理与级数的迫敛性很相似，只不过迫敛性是求极限，该定理是验证子集的连通性，所以该定理用的就是迫敛法．因此放缩法也是，保持连通性不变，向特定方向不等变形的方法．拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．上面的定理就是迫敛法，即放缩法，连通性是拓扑不变性，而点集拓扑是以集合为基础的，所以放缩法可以拓宽为，在保持某种拓扑不变性的情况下，向特定方向不等变形的方法．在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质，那么在连续映射下，是满射但不是一一映射，那么必定保持某种性质不变，而且特定方向是缩小的方向进行的不等变形，所以这也是放缩法．这具有广泛的应用性，适用很多种情况，例如在斜裁服装样板上面料缩率缩放新方法，其中有坐标取点放缩法和曲线轨迹法，这是建立在连续映射下进行的放大，所以运用了放缩法．因此放缩法在点集拓扑中也具有广泛的应用性．让我们再结合例2.2.5的结论，保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法是放缩法，所以我们可以概括得出，保持某种性质不变，向特定方向不等变形的方法，是放缩法．5 结论通过对数学分析、实变函数、点集拓扑中放缩法的研究，重新认识放缩法．放缩法是保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法．保持某种条件不变，可以是保持原不等式成立、夹逼定理的左右极限相等以及某种性质，这是为了让放缩有意义，有目的性，具有某种研究价值，在连续映射下不用考虑，因为在连续映射下就保持了拓扑不变性质；向特定方向即为放大或缩小的方向；不等变形指的是变成不等同、不相同，不相似的事物，即不是单纯的放大或缩小，例如一个圆，我又画了一个更大的圆，我就说是运用了放缩法，这是荒谬的．从放缩法的定义可以看出，放缩法不仅应用于不等式的证明，放缩法在分析学中具有广泛的应用性，而分析学是数学的理论基础，所以放缩法可以应用在整个数学．我们应该更加重视和理解放缩法在解决问题中的应用．。

几何变换的放缩与应用几何变换是数学中的重要概念，指的是对几何图形进行平移、旋转、镜像、放缩等操作，从而改变其形状和位置。

其中，放缩是一种常见且重要的变换方式，它通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。

本文将探讨几何变换的放缩原理及其在实际应用中的作用。

一、放缩的原理放缩是指通过改变几何图形的尺寸，使得图形整体变大或变小。

放缩可以有不同的形式，包括等比例放缩和非等比例放缩。

等比例放缩是指图形的各个部分按照相同的比例进行放缩，从而使得整体形状保持不变，只是尺寸发生改变。

例如，一个正方形进行等比例放缩，边长从2个单位变为4个单位，那么所有的边长、角度等属性都会按照相同的比例进行放大或缩小。

非等比例放缩是指图形的各个部分按照不同的比例进行放缩，从而使得整体形状发生变化。

例如，一个长方形进行非等比例放缩，上下两边的边长增加，而左右两边的边长不变，那么整个长方形的形状将发生变化。

放缩的原理是利用了比例的概念，通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。

对于等比例放缩，放缩比例可以表示为一个常数k，通过将图形上每个点的坐标同时乘以k，即可实现等比例放缩。

对于非等比例放缩，放缩比例可以根据具体需求来确定，通过将图形上每个点的坐标分别乘以不同的比例因子，即可实现非等比例放缩。

二、放缩的应用放缩作为一种几何变换方式，在实际应用中有广泛的应用领域。

下面将介绍几个常见的应用案例。

1.地图放缩在地图制作和使用过程中，放缩是一个重要的环节。

通过放缩地图，可以将地图上的信息呈现得更加细致或更加宏观。

例如，在电子地图中，可以通过放缩操作将地图从全球尺度放大到城市尺度，从而使得用户能够看清楚具体的道路、建筑等细节信息。

2.建筑设计在建筑设计过程中，放缩可以用来进行建筑模型的设计和展示。

通过放缩操作，可以将建筑模型从实际尺寸缩小到合适的比例尺寸，从而便于进行设计和展示。

同时，放缩还可以用于调整建筑模型的比例尺寸，以满足具体要求。

3.计算机图形学在计算机图形学中，放缩是一种常用的操作方式。

放缩法证明极限例子
放缩法是一种证明极限的常用方法，可以用来证明函数极限的存在性。

它的原理很简单：当函数的变量改变时，函数值会发生变化，而当变量改变足够小时，函数值变化就会变得越来越小，最终收敛到一个确定的值，这就是极限。

举个例子，设函数f(x)=1/x，当x趋于无穷大时，f(x)的值趋于0，即极限lim x→∞ f(x)=0，我们可以用放缩法来证明这个结论：当x取任意大的数时，将x放大100倍，f(x)的值就
会减少100倍；当x取任意大数的100倍时，再将x放大100倍，f(x)的值就会再次减少100倍；以此类推，当x趋于无穷大时，f(x)的值就会趋于0，即极限lim x→∞ f(x)=0。

因此，可以看出放缩法是一种有效的证明极限的方法，它可以帮助我们简单有效地证明函数极限的存在性。

放缩法的地位放缩法是一种在数学和物理领域中常用的方法，用于解决复杂问题。

它是一种将问题转化为更简单的形式来求解的方法。

放缩法在各个领域都有广泛的应用，包括优化问题、最大最小化问题、估计问题等等。

在本文中，我将详细介绍放缩法的地位以及其在不同领域中的应用。

一、放缩法的基本原理放缩法的基本原理是通过对问题进行适当的变换和近似来求解复杂问题。

它通常包括以下几个步骤：1. 确定目标函数：首先需要确定要优化或估计的目标函数，即要求解的问题。

2. 设定界限：接下来需要设定一个上界或下界，作为对目标函数值的一个限制。

3. 逐步逼近：通过逐步逼近目标函数值，不断调整界限，直到找到满足要求的解。

二、放缩法在优化问题中的应用在优化问题中，放缩法可以帮助我们找到目标函数的最大值或最小值。

具体而言，它可以通过以下几个步骤来实现：1. 设定初始界限：首先需要设定一个初始上界或下界，作为对目标函数值的一个限制。

2. 进行优化：通过调整问题的参数或变量，逐步逼近目标函数值，同时不断调整界限。

3. 收敛判断：当界限不再变化或变化很小的时候，可以判断优化过程已经收敛，并得到了满足要求的解。

三、放缩法在最大最小化问题中的应用在最大最小化问题中，放缩法可以帮助我们找到目标函数的最大值或最小值。

具体而言，它可以通过以下几个步骤来实现：1. 设定初始上下界：首先需要设定一个初始上界和下界，作为对目标函数值的一个限制。

2. 进行最大最小化：通过调整问题的参数或变量，逐步逼近目标函数值，并不断调整上下界。

3. 收敛判断：当上下界不再变化或变化很小的时候，可以判断最大最小化过程已经收敛，并得到了满足要求的解。

四、放缩法在估计问题中的应用在估计问题中，放缩法可以帮助我们估计未知参数或未知量。

具体而言，它可以通过以下几个步骤来实现：1. 设定初始估计范围：首先需要设定一个初始估计范围，作为对未知参数或未知量的一个限制。

2. 进行估计：通过调整问题的参数或变量，逐步逼近目标函数值，并不断调整估计范围。

放缩法取点与洛必达法则的比较
放缩法取点与洛必达法则的比较
重庆南开（融侨）中学杨飞
一、放缩法取点
根据零点存在定理，必须确定两个点的函数值的符号。

在导数压轴题中，有一类问题需要“找点定正负”，对于含参数的超越函数，究竟找哪个点确实有一定难度。

目前流行的方法是通过放缩法将超越函数转化为容易“找点定正负”的简单函数。

下面举例说明：从上述解答可以看出，主要针对e x和lnx进行反说，其放缩法思路有一下四种。

1.泰勒公式放缩思路
从上述两个例题看出，利用放缩法转化为简单函数取点，灵活多变，计算复杂，过程冗长。

既不利于教师教学，也不便于学生学习。

对此我们试一试洛必达法则。

二、洛必达法则的应用
下面我们针对例2进行说明：。

第10讲放缩法赋值找零点在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下：1 .直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如/(0)⑴，/(e)等.2 .参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如/⑴=0e"+31nα,这时，无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号.3 .双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号.参数放缩赋值法参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下：第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用臼费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤.第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点，则往大放缩.第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围.【例1】函数/(x)=gογ2+2χ+(2-q)∙lnx,若曲线Uy=∕(x)在点x=l处的切线/与C有且只有一个公共点，求正数”的取值范围.【例2】函数/(x)=In0r(αeR).若方程/(x)=f有解，求〃的取值范围.【例3】已知函数f(x)=αe*+%2(°eR),若/(χ)在R上有且只有一个零点，求。

的取值范围.【例4】函数/(x)=InX-αv,其中α≤'为实数，求/(x)的零点个数，并证明你的结论.双量最值放缩赋值法如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值，结合函数单调性来判定函数的符号.【例1】设函数∕")=e2x-Hnx,讨论广。