第九章 力法(超静定结构)

超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。

结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。

通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。

即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。

去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。

(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。

(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。

(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。

去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。

去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。

再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。

二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。

去除多余约束后的结构称为力法基本结构。

力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。

选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。

有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。

2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。

力法求解超静定结构的步骤：
1、先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的多余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）；
2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程；
3、求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构X i∑=在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图；
4、解方程，求出所有多余力；
5、作最后内力图（静定结构的计算问题）梁、刚架：M N P 组合结构：
6、校核，两方面：平衡条件（截取结构中+ X i N i ∑=M P →Q→N 桁架：N +M i M＝0 ）∑Y＝0 ∑ X＝0 ∑刚结点、杆件或某一部分，应满足；变形协调条件（多余约束处位移是否与已知位移相等）
注：选取基本结构的原则：
（1）基本结构为静定结构；
（2）选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为0
（3）较易绘M 图及MP 图。

习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。

超静定结构及力学原理和方程重难点分析一、超静定结构的概念：超静定结构：从几何组成分析来说具有几何不变性而又有多余约束的结构。

超静定结构与静定结构相比较，主要有三个方面的优点：1从几何组成看，超静定结构未没有联系的几何不变体系，而超静定结构是具有多余联系的几何不变体系；2从静力特征看，静定结构仅凭静力平衡条件便可以完全确定它的反力和内力，而超静定结构仅凭静力平衡条件还不能确定全部反力和内力，必须建立附加方程式才能求解；3 当无外荷载作用时，超静定结构有产生内力的可能性超静定杆件结构的分类：超静定梁、刚架、桁架、拱以及组合结构。

二、超静定次数的确定1、超静定次数的概念超静定次数：结构中多余约束的数目2、方法去掉多余联系的常用方法如下：（1）去掉一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系； （2）去掉一个单铰，相当于去掉二个约束；（3）切断一根弯杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系（4）将固定支座改成不动铰支座或将受弯杆切断改铰结，各相当去掉一个联系 3、举例例如图1所示的单跨静定梁，若去掉B 支座的支杆，代以多未知力B X ，则原梁变为静定的简支梁（即为基本结构），如图1（b ）所示;若将固定端A 支座加一个单铰,代以多余未知力A X ,则原梁变为静定的简支梁（即为基本结构），如图1（c ）所示,所有原结构一次超静定结构.同理,如图2所示的刚架,可将A 、B 两固定改成铰支座，代以多余力A X 、B X ，则得如图2（b ）所示的静定三铰刚架；或者去掉铰C ，代以多余力1X 、2X ，则得如图2（c ）所示的两各静定悬臂刚架；或者去掉铰C ，故原结构为二次超静定结构。

三、力法原理和力法方程1．力法的基本原理：将超静定结构转化为含多余力的静定结构 （一）一次超静定结构 （1）确定超静定次数：n=1次 （2）选基本结构⎩⎨⎧）几何不变体系（静定结构b a )(（3）位移条件： 01=∆ (a) 根据叠加原理 ：p1111∆+∆=∆ （b ）11111x δ=∆ (c)(4)力法方程（一次）：将（c ）代入（b ）式得：01111=∆+px δ…………(6-1)式中:--11δ系数(单位多余力1=X 作用时,B 点沿1x 方向的位移)--∆p1自由项(荷载单独作用时B 点沿1x 方向的位移)1x --基本未知量(多余未知力或多余力)系数(11δ) 和自由项(p1∆)都是基本结构(静定结构)在已知外力作用下的位移,可用上一章讲的单位荷载法或图乘法求得,代入(6-1)式后可求出多余未知力1x ,求得1x 之后其余的计算(支座反力和内力)同静定结构。

力法求解超静定结构的步骤在结构力学中，超静定结构是指不仅能同时满足静力学平衡条件，而且还有多余的约束力，因此外加一个作用力时其约束力不会被破坏。

力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种有效方法，下面是力法求解超静定结构的步骤。

步骤1：建立超静定结构的外部受力与内力等效关系超静定结构的约束力有多余的约束力，即力学平衡条件所无法求解的约束力。

因此，我们需要建立超静定结构的外部受力与内力等效关系，通过已知的受力条件推导约束力的作用，确定超静定结构的内力状态。

步骤2：建立超静定结构的位移方程或应力方程建立超静定结构的位移方程或应力方程，是力法求解超静定结构的关键步骤之一。

位移方程的建立可以基于杆件测量法或截面受力法，应力方程的建立可以基于材料本构关系和边界条件等。

步骤3：解超静定结构的位移方程或应力方程解超静定结构的位移方程或应力方程，可以采用数值解法和解析解法两种方法。

数值解法主要包括矩阵法、有限元法、边界元法等，解析解法则借助微积分和常微分方程等数学方法进行求解。

步骤4：计算超静定结构的内力与应变通过已解出的位移或应力，可以计算得到超静定结构的内力状态和应变分布。

同时，超静定结构的内力状态也可以用于检验该结构的可靠性以及对超静定结构进行所需的修理和维护。

步骤5：检验超静定结构的可靠性超静定结构的可靠性检验，是通过计算得到的内力状态来评估该结构是否满足设计和使用要求的一项重要工作。

该步骤可以基于强度理论、变形理论等方法，利用计算机强度分析软件来实现。

，力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种常用方法。

通过以上步骤的实施，我们可以获得超静定结构的内力状态，进而检验该结构的可靠性。

力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。

力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。

其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。

具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。

分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。

2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。

最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。

3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。

这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。

相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。

2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。

这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。

3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。

根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。

一次超静定结构的力法典型方程在我们生活的这个世界里，结构物无处不在，房子、桥梁、甚至那看似简单的秋千，都跟结构有着千丝万缕的关系。

说到超静定结构，哎呀，这可是一个既神秘又让人抓狂的概念。

你可能会想，什么是超静定？是不是跟超人有关系？其实不是，超静定结构的意思就是，它的稳定性和受力情况并不是那么简单，通过一些力法的经典方程，我们能一探究竟。

想象一下，你的朋友跟你说他要建个大房子，你的第一反应肯定是：这得稳得住呀，风一吹可别塌了。

说到这里，超静定结构就显得尤为重要了。

好了，咱们来聊聊力法，听起来挺高大上的，但其实呢，就是用简单的力的平衡来搞定这些复杂的结构。

想象一下，你在玩积木，拼拼凑凑，突然发现有个地方歪了，这可怎么办？这时候，你得用一些巧妙的办法来调整。

力法的经典方程就像是你的调节工具，它帮助你找出哪些地方受力不均，哪里需要加固。

就像人喝酒，喝多了总得找个地方坐下，太累了可不行。

大家知道吗，超静定结构其实可以用几个基本的力法方程来描述。

我们得了解个基本的概念，结构的自由度。

自由度听起来高深，其实就是结构能在什么情况下发生变形。

就像一只小鸟，想飞就飞，想栖就栖，但超静定结构可没这么容易。

这里有个小诀窍，咱们常用的牛顿第二定律就可以派上用场，这可是万金油，万能的。

简单来说，就是力等于质量乘以加速度，哎，这可真是个简单粗暴的真理。

再说了，力法的方程其实就是在用一些简单的数学式子，来帮我们找出各个构件的受力情况。

你想啊，建筑结构就像一个大家庭，每个成员都有自己的责任和角色。

如果有人分担过多的压力，那家里可就不太平了。

想象一下，家里的洗衣机坏了，大家伙儿都在忙，结果呢，阳台的窗户也跟着受到了影响，哎，这可就麻烦了。

力法就是要确保每个成员都在适当的负荷下，不然可就得重新分配任务了。

你看，在这些方程中，有时候会出现一些神秘的符号，比如力的方向、大小，甚至是一些角度。

这就像打麻将，牌面上的每一张都要考虑清楚。

你不能只想着自己要胡，得看看别人怎么出牌。