专题7求不规则图形内角和的解题方法

5 三角形内角和定理1．三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．【例1－1】在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角点技巧三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．【例1－2】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°2．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】如图所示，∠1为三角形的外角的是()．点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．3．三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．证明：连接BD.∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴AD∥BC(平行四边形的定义)，∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.点技巧辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．【例4－1】若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【例4－2】△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．【例4－3】如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE 的度数．5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论1推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点三角形的外角①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律灵活使用三角形的外角①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．【例5－1】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于()．【例5－2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为()．A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3【例5－3】如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．6．三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．析规律灵活运用三角形的内角和①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．【例6－1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．【例6－2】如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.7.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．析规律辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解．①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角．【例7－1】如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.【例7－2】等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．【例7－3】已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．。

多边形的内角和教学教案多边形的内角和教案篇一一、教学目标知识与技能目标：能够说出多边形的内角和公式并会运用过程与方法目标：通过多边形内角和公式的推导过程，提高逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：养成实事求是的科学态度。

二、教学重难点教学重点：多边形的内角和公式教学难点：多边形内角和公式三、教学方法讲解法、练习法、分小组讨论法四、教学过程结合新课程标准及以上的分析，我将我的教学过程设置为以下五个教学环节：导入新知、生成新知、深化新知、巩固新知、小结作业。

1. 导入新知首先是导入新知环节，我会引导学生回顾三角形的内角和，紧接着提出问题：四边形的内角和是多少？五边形的内角和是多少？六边形的内角和是多少？引发学生思考，由此引出本节课的课题：多边形的内角和(板书)。

通过提问的方式帮助学生回顾旧知识的同时，引导学生思考，也激发学生的求知欲，为本节课的多边形内角和的学习奠定了基础。

2. 生成新知接下来，进入生成新知环节，我会引导学生将四边形分成两个三角形来求内角和，由此得出四边形的内角和是2个三角形的内角和，即2*180=360，那同样的引导学生将五边形，六边形分别从同一个顶点出发划分为3个4个三角形，从而得出五边形的内角和为3*180=540，然后，让学生前后桌四个人为一个小组，五分钟时间，归纳n变形的内角和是多少，讨论结束后，找一个小组来回答他们讨论的结果。

由此生成我们的新知识：多边形的内角和公式180*(n-2)。

验证：七边形验证在本环节中通过学生自主学习归纳总结得出多边形的内角和公式，充分发挥了他们的自主探讨能力，提升逻辑思维能力。

3. 深化新知再次是深化新知环节，在本环节，我会引导学生思考一下有没有其他的将多边形分隔求内角和的方法，引导学生思考，可不可以将六边形从多个顶点出发，然后用公式验证一下我们这样分割可行不可行。

这时候会发现有的分割可行有的分割不可行，在这个时候给他们讲解为什么不可行为什么可行，以此来引出分割时对角线不能相交，从而强调我们分隔的一个原则。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“除了数学题，你们认为这个定理还能用在哪些地方？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
4.培养学生的数学运算和数据分析能力：在解决实际问题的过程中，培养学生准确进行数学运算和数据分析的能力，提高他们运用数学知识解决实际问题的综合素质。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.理解并掌握三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°。
b.学会并灵活运用三种证明方法：平面几何法、动态拼合法、利用四边形内角和定理。
关于小组讨论，学生们在探讨三角形内角和定理在实际生活中的应用时提出了许多有趣的见解。但我认为，我应该更多地鼓励那些不太积极主动的学生参与到讨论中来，让每个学生都有机会表达自己的观点。或许可以通过设置一些小任务，让每个人都有明确的角色和责任，从而提高他们的参与度。
此外，我意识到在解决实际问题时，学生们的解题策略还有待提高。他们有时会忽略掉题目中的关键信息，或者不知道如何将问题转化为数学模型。在以后的教学中，我应该提供更多类似的练习，让学生学会如何从实际问题中抽象出数学问题，并运用所学的定理来解决。
举例解释：
-在讲解平面几何法时，通过图示和实际操作，引导学生理解平行线性质和同位角、内错角关系，降低理解难度。
-对于动态拼合法，教师可以设计教具或动画，帮助学生形象地理解三角形的内角和是如何拼成一个平角的。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何识别三角形，以及如何运用内角和定理进行求解。可以通过设置阶梯性的问题，让学生逐步掌握解题方法，从而突破难点。

（二）讲授新知
1.通过பைடு நூலகம்何画板演示，向学生展示三角形的内角和为180度，引导学生观察、思考。
2.介绍三角形内角和定理的定义，并结合实例进行讲解，让学生理解定理的含义。
3.探讨三角形内角和定理的证明方法，如平行线法、截线法等，培养学生的逻辑思维能力。
4.结合实际例子，讲解三角形内角和定理在实际问题中的应用，如计算不规则图形的内角度数、判断三角形的类型等。
1.情境创设，激发兴趣
本教学案例以生活化的情境导入，激发学生对三角形内角和定理的兴趣。通过画作展示、实际问题引入，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力，提高学生的学习积极性。
2.问题导向，培养思维能力
本案例采用问题导向的教学方法，设计有梯度的问题，引导学生自主探究、思考。在解决问题的过程中，培养学生的逻辑思维能力和批判性思维，使学生在思考、讨论、解答中掌握知识要点。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，通过展示一幅包含三角形元素的画作，引导学生观察并思考三角形的特点。
2.提问：“同学们，你们知道三角形的内角和是多少度吗？”鼓励学生积极回答，引发学生对三角形内角和定理的兴趣。
3.针对学生回答，进行简要点评，并引出本节课的教学目标：掌握三角形内角和定理及其应用。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握三角形内角和定理，能准确计算三角形的内角度数。
2.学会运用三角形内角和定理解决实际问题，如计算不规则图形的内角度数、判断三角形的类型等。
3.掌握三角形内角平分线的性质，能运用性质解决相关问题。
4.提高学生的几何作图能力，通过实际操作，加深对三角形内角和定理的理解。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组4-6人，让学生在小组内讨论以下问题：