2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)

2016-2017天津一中高三年级数学第五次月考检测试卷（理）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，若复数20132iiz +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7D. -23. 执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ） A. 120 B. 720 C. 1440D. 5040第3题图5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线的方程为340x y ±=，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -=C.221916y x -= D.221169y x -= 6. 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足sin cos a B b A =，则2sin cos B C -的最大值是（ ）A. 1B.3C.7D.277. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A. 16B. 25C. 36D. 498. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在(0,)+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 2B. 3) C. 5 D. 6二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）9. 某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），则该三棱锥的外接球表面积为______________2cm ． 11. 曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为______．12. 在()13n x -的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含2x 项的系数为_______．13. 如图，已知点C 在O ⊙直径BE 的延长线上，CA 与O ⊙相切于点A ，若AB AC =，则ACBC=______________． 14. 在ABC △中，60B ∠=︒，O 为ABC △的外心，P432侧视图俯视图正视图第10题图第13题图u u u r u u u r u u u r 为劣弧错误!未找到引用源。

2020届天津市南开中学2017级高三下学期第五次月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.设集合{}11A x x =-<,{}1B x x =<,则() R B A 等于（ ） A. {}1x x ≥ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}12x x <≤【答案】C【解析】解出集合A ,B ,然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}02A x x =<<,{}1B x x =<；{|1}R B x x ∴=≥； (){} 12R B A x x ∴⋂=≤<．故选：C ．2.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 先由两直线垂直求出m 的值,再由充分条件与必要条件的概念,即可得出结果.【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直,则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出,所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件.故选B3.已知直线l m 、,平面αβ、,且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题：（1）若//αβ,则l m ⊥ （2）若l m ⊥,则//αβ（3）若αβ⊥,则//l m （4）若//l m ,则αβ⊥其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理,对四个命题逐一分析,由此得出正确选项.【详解】对于命题（1）,由于,//l ααβ⊥,所以l β⊥,进而l m ⊥,故（1）正确.对于命题（2）,如图所示,,l m αβ⊥⊂,l m ⊥,但α与β相交,故（2）错误。

天津市2017届高三数学下学期第五次月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若全集U R =，集合{}|124x A x =<<，{}|20B x x =-≥，则()U A B =ð（ ）A ．{}|12x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x <<D ．{}|12x x ≤<2.若x ，y 满足条件20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-3.已知命题p ：26x k ππ≠+，k Z ∈；命题q：的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C 件4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175.在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =（ ） A ．18B ．99C ．198D ．2976.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆E ：222()216c b x y -+=相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±7.设函数321()33f x x x x =+-，若方程2|()||()|10f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ） A ．10(,2)3-- B ．(,2)-∞- C ．34215t -<<- D ．(1,2)- 8.已知圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线l 交圆O 于P ，Q 两点，则BP CQ ⋅的取值范围是（ ） A ．(7,1)-B ．[]0,1C ．[]7,0-D ．[]7,1-第Ⅱ卷二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）9.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于 3cm ．11.在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为 ． 13.若不等式222()x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．14.设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()4cos sin()(0)6f x x x πωωω=->的最小正周期是π．（Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,)x π∈的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数． （Ⅰ）请列出X 的分布列并求数学期望；（Ⅱ）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．18.对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132n n b b +=+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2()(1)n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.已知1(F，2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆．OAB ∆的面积为1，OG sOA tOB =+（s ，t 22s t +是否为定值？若是定值，求出这个定值； （Ⅰ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值； （Ⅲ）若0x >，证明：ln(1)1x x xx e +>-（其中 2.71828e =…是自然对数的底数）．天津一中2017届高三年级五月考数学试卷（理科）答案一、选择题1-5:CDBCC 6-8:DCD 二、填空题9.900 10.6 1.5π+ 11.189 12.12 13.4 三、解答题15.解：（Ⅰ）函数()4cos sin()6f x x x πωω=-14cos sin cos )22x x x ωωω=-2cos 2cos 11x x x ωωω=-+-2cos 21x x ωω=--2sin(2)16x πω=--．且()f x 的最小正周期是22ππω=，所以1ω=，从而()2sin(2)16f x x π=--．令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+（k Z ∈）， 所以函数()f x 在(0,)x π∈上的单调递增区间为(0,]3π和5(,)6ππ．（Ⅱ）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以72,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，2sin(2)26x π⎤-∈⎥⎣⎦，所以当2612x ππ-=，即8x π=时，()f x 取得最小值１，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 1；所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-. 16.解：（Ⅰ）依题意得，随机变量X 服从超几何分布，随机变量X 表示其中男生的人数，X 可能取得值为0,1,2,3,4，464410()k k C C P X k C -⋅==，0,1,2,3,4.k =∴X 的分布列为：即(3)P X ≥17.因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点， 所以//EF PC ，又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， 所以//PC 平面BED .（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥， 所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连接OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-，(0,1,1)PC =-. 设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =，所以(2,1,1)n =. 平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =，设n ，OG 的夹角为α，所以cos 3α=. 由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=． 因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---，(1,2,0)AC =-． 由0BM AC ⋅=，即12λ=． 因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥， 此时12PM PC λ==．18.解：（Ⅰ）由1(1)n n n S n S a n +-+=++， ∴121n n n S S a n +-=++，∴121n n a a n +-=+， ∴21111a a -=⨯+，32221a a -=⨯+， 43231a a -=⨯+，…12(1)1n n a a n --=-+，以上各式相加可得：12[123(1)](1)n a a n n -=⨯++++-+-…， ∴2(11)(1)2(1)12n n n a n n +--=⨯+-+=，∴2n a n =，∵132n n b b +=+，即113(1)n n b b ++=+， ∵112b +=，∴数列{}1n b +是以2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n b -+=⨯， 即1231n n b -=⨯-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n c ∴12n n T c c c =+++=…1113321313nn n -+=+--525223nn +=-⨯， 当P 为短轴端点时，12PF F ∆面积取得最大值122b c ⋅⋅= 解得1b =，2a ==，即有椭圆的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2244x y +=，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，即有122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -=+，1||||sin 2OAB S OA OB AOB ∆=⋅∠==12211||2x y x y =- 12211|()()|2x kx m x kx m =+-+121|()|2m x x =-1||12m ==， 化简可得22142k m +=．设(,)G x y ，由OG sOA tOB =+，可得12x sx tx =+，12y sy ty =+．又因为点G 在椭圆C 上，所以有221212()4()4sx tx sy ty +++=， 整理可得：22222211221212(4)(4)2(4)4s x y t x y st x x y y +++++=， 即为2212124()2(4)4s t st x x y y +++=．由1222x x m =-，124k x x m+=-， 可得121244()()y y kx m kx m =++2212124()k x x km x x m ⎡⎤=+++⎣⎦22222424(2)4()42k k km m m m m=⋅-+-+=-， 可得121240x x y y +=，即有221s t +=为定值．20.解：（Ⅰ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-+∞，所以2ln(1)1'()xx x f x x -++=， 令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． 又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++， 故()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以()(0)ln10g x g <=-=，所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数．（Ⅱ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=，所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01aa a --=-，令()ln(1)1at a a a=---，1a <，则211'()0(1)1t a a a=+>--，故()t a 是(,1)-∞即方程ln(1)01aa a--=-（Ⅲ）因为ln 11x x x x e e e =--=故原不等式等价于ln(1)x x +是(0,)+∞上的减函数， 1xx e <-，()x 在(0,)+∞上的增函数，(1)xf e >-，。

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、选择题1．复数z 满足: ()()25z i i --=，则z =（ ） A. 22i -- B. 22i -+ C. 22i - D. 22i + 【答案】D【解析】试题分析：因为()()25z i i --=，所以【考点】复数的运算2．函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,4 【答案】B【解析】试题分析：不难知，当x ＞0时f （x ）为增函数，且f （1）＝－1＜0，f （2）＝－12＋1＝12＞0所以零点一定在（1，2）内.选B 【考点】函数的零点3．若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 【答案】A【解析】因为00.31,1e <，所以0.3l o g 0c e =<，由于.30.3031,130l o g 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A 。

4．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A.23 B. 1 C. 12 D. 34【答案】B【解析】因为22243a b c +=，所以圆心()0,0O 到直线0ax by c ++=的距离d ==1212l =⨯=，应选答案B 。

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：左视图是从左往右看，将几何体上的点往右面做投影，看到的是一个长方形，连从右上角到左下角的对角线 【考点】本题考查三视图点评：考察学生的空间想象能力，此题比较简单，能直接想象出来6．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32 D. 2【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。

2017南开中学第五次月考物理试题2017年4月25日第I卷一、单项选择题（每小题6分,共30分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、如图1—1所示，一束可见光射向半圆形玻璃砖的圆心O，经折射后分为两束单色光a和b。

下列判断正确的是( ）A。

玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率B.a光的频率大于b光的频率C。

在真空中a光的波长大于b光的波长D.a光光子能量小于b光光子能力2、下列有关原子结构和原子核的认识，其中正确的是( )A.γ射线是高速运动的电子流B氢原子辐射光子后，其绕核运动的电子动能增大C.太阳辐射能量的主要来源是太阳中发生的重核裂变D。

210Bi的半衰期是5天，100克21083Bi经过10天后还剩下50克833、如图3—1所示，水平板上有质量m=1。

0kg的物块，受到随时间t变化的水平拉力F作用，用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力F f的大小．取重力加速度g=10m/s2．下列判断正确的是( ）A．5s内拉力对物块做功为零B．4s末物块所受合力大小为4.0NC．物块与木板之间的动摩擦因数为0.4D．6s～9s内物块的加速度的大小为2。

0m/s24、如图4-1所示，理想变压器的原、副线圈的匝数比为4:1，R T为阻值随温度升高而减小的热敏电阻,R1为定值电阻，电压表和电流表均为理想交流电表。

原线圈所接电压u随时间t按正弦规律变化，如图4-2所示。

下列说法正确的是( ）A．变压器输入、输出功率之比为4：1B．变压器原、副线圈中的电流强度之比为1:4C．u随t变化的规律为u=51sin(50πt）VD．若热敏电阻R T的温度升高,则电压表的示数不变，电流表的示数变小5、实验观察到静止在匀强磁场中A点的原子核发生β衰变,衰变产生的新核与电子恰在纸面内做匀速圆周运动,运动方向和轨迹示意如图．则（)A。

轨迹1是电子的，磁场方向垂直纸面向外B.轨迹2是电子的，磁场方向至直纸面向外C.轨迹1是新核的,磁场方向垂直纸面向里D。

天津市南开中学2017-2018学年高三第三次月考数学试卷（理科）一、选择题1. 设集合{}2<=x x A ，集合{}3,2,1,0,1-=B ,则=B A ( ) A. {}1,0 B.{}2,1,0 C.{}1,0,1- D.{}2,1,0,1-2. 已知3log ,5.0,5.05.03.03===c b a ，则（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.b c a <<D.b a c << 3.在等比数列{}n a 中，若3,24362==a a ，则4a 等于（ ） A.123 B.27 C.3 D.27±4.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤-≥111x y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为（ ）A.-4B.-2C.0D.2 5.下列说法错误的是（ ）A.命题“若012=-x ，则1-=x 或1”的否命题为“若012≠-x ，则1-≠x 或1≠x ” B.命题“R x ∈∃，使得0sin <x x ”的否定为“R x ∈∀，都有0sin ≥x x ” C.若“p 且q ⌝”为假命题，则“p ⌝且q ”为真命题 D.“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件6.已知曲线11-+=x x y 在点()2,3处的切线宇直线01=++y ax 垂直，则a 的值为（ ）A.2B.21C.21- D.-27. 已知圆()12:22=-+y x C 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的渐近线相切，且和圆b y x =+22外切，则双曲线方程为（ ）A. 1322=-y x B.1322=-y xC.1322=-y x D.1322=-y x 8.已知点21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的焦点，点B 是短轴顶点，直线2BF 椭圆C 相交于另一点D ，若BD F 1∆是等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A.31B.33C.22D.36二、填空题9.已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若()()a bi i =-+11，则bi a +=_________. 10.由曲线x y =，直线x y -=6以及x 轴围成的封闭图形的面积为_________.11.一个简单几何体的三视图如图所示，三个视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为________.12. 向量a 与b 的夹角为60，若()2,0=a ，1=b ，则b a 2+=_________.13. 已知M 为抛物线()022>=p px y 上一点，若以M 为圆心经过原点的圆与x 轴交于另一点()0,2，且与该抛物线的准线相切，则p 的值为_________.14. 已知函数()()014202>++=a x ax x f ，若对任意实数t,在闭区间[]1,1+-t t 上总存在两个实数21,x x ，使得()()421≥-x f x f ，则实数a 的最小值为_________.三、解答题 15.已知函数18cos 264sin 2+-⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y πππ（1）求()x f 得最小正周期；（2）求()x f 在区间[]2,2-上的单调性.16.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的1个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求从同一个盒取出球同色的概率；（2）设X 为取出的红球和黑球的个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. 如图，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 的中点为D ，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面AEF ，点G 为DF 的中点，AD =2AB =2.（1）证明：//BF 平面ACG ；（2）求二面角F BC D --的正弦值；（3）点H 为直线CE 上的点，且5-=,求直线AH 和平面BCF 所成角的正弦值.18. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且32121,6a a a a a ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其n 项和为n S ，已知112++=n n n b b S ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b的前n 项和n T19. 已知椭圆()11222>=+a y ax 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .（1）若23=∆ABF S ,求a 的值； （2）点P 在椭圆上，且在第二象限，线段AP 的垂直平分线交y 轴于点Q .若APQ ∆为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围.20. 已知函数()()01323>+-=a x ax x f ，定义()()(){}()()()()()()⎩⎨⎧<≥==x g x f x g x g x f x f x g x f x h ,max（1）求函数()x f 的极值；（2）若()()x xf x g '=，且存在[]2,10∈x 使()()x f x h =，求实数a 的取值范围； （3）若()x x g ln =，使讨论函数()()0>x x h 的零点个数. （4）。

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科） 1-5 7.8 15-19一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（ ）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{，2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（ ）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x 的零点所在区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（ ）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数x x x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（ ）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数i z -=1，则=-22z z .10. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 . 11. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 . 12. 函数2x y =与函数x y 2=的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-的最小值是 .14. 若函数a x a x x x f --+=)2(2)(2在区间[)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共80分）15. 在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对应的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小； （2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为525354，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,1=AB ,31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围.20. 设函数.21ln )(2bx ax x x f --= （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）令),30(21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率81≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0==b a 时，令,)(,1)()(mx x G xx f x H =-=若)(x H 与)(x G 的图象有两个交点),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.i +1 10.]3,1()1,21[ - 11.2 12.3413.16- 14.)2,6(-15.解：（1）根据正弦定理，2sin c A =2sin sin A C A =，于是sin 2C =，由于是锐角三角形，故3C p =（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==，故5a b +=。

天津市2017届高三数学下学期第五次月考试题 文第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,42.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选22种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ．13B ．12C ．23D 63.下列说法正确的是（ ）A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221ab>-”的否命题为“若a b <，则221ab<-”D 20x ay +-=互相垂直”的充要条件0>）的一条渐近线过点，且双曲线的一个）A 1= C ．22134x y -= D ．22143x y -= ）A ．323B ．2163π-C ．403D ．8163π-6.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞8.已知函数21|1|,1,()42,1,x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则函数||()2()2x g x f x =-的零点个数为（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则b = ． k 的值是 ．11.已知函数()ln f x x =，则函数()()'()g x f x f x =-在区间[]2,e 上的最大值为 ．12.设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 ．13.在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，3AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，动点E ，F 分别在线段BC 和CD 上，且BE BC λ=，2DC DF λ=，则AE AF ⋅的最小值为 ．14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =3b =，sin B A +=（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．16.本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A ，B ，C 三种玩具共100个，且C 种玩具至少生产20个，每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如表：（Ⅰ）用每天生产A 种玩具个数x 与B 种玩具y 表示每天的利润ω（元）； （Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？17.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =，1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；（Ⅲ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．18.已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．220)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 2|||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．1,<的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=．（Ⅰ）求实数a 、b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（Ⅲ）曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得MON ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围．2016~2017学年高三年级五月考数学（文科）试卷答案一、选择题1-5:DCBDC 6-8:BAB 二、填空题 9.23-10.4 11.11e- 12.4π 13.5 14.π 三、解答题 15.解：（Ⅰ）∵sin sin a b A B =，∴sin sin b AB a=，又a =3b =sin B A +=∴sin A =． 又02A π<<，∴3A π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin 14B A ==． 又02B π<<，∴cos B ==∵sin 22sin cos 14B B B ==，213cos 212sin 14B B =-=-， ∴1sin(2)sin 2coscos 2sin6667B B B πππ+=+=-． 16.解：（Ⅰ）563(100)30023x y x y x y ω=++--=++．（Ⅱ）10020,574(100)600,,,x y x y x y x y N --≥⎧⎪++--≤⎨⎪∈⎩即800,32000,,.x y x y x y N +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪∈⎩最优解为800,32000,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩即20,60,x y =⎧⎨=⎩∴max 300220360520ω=+⨯+⨯=（元）．17.（Ⅰ）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面ABCD平面ABEF AB =，所以CB ⊥平面ABEF ．因为AF ⊂平面ABEF ，所以AF CB ⊥， 又因为AB 为圆O 的直径，所以AF BF ⊥， 所以AF ⊥平面CBF ， 因为AF ⊂平面ADF ， 所以平面DAF ⊥平面CBF ．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有AF ⊥平面CBF ， 所以FB 为AB 在平面CBF 上的射影， 所以ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角， 因为//AB EF ，所以四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ． 已知2AB =，1EF =，则122AB EF AH -==． 在Rt AFB ∆中，根据射影定理2AF AH AB =⋅，得1AF =，1sin 2AF ABF AB ∠==，所以30ABF ∠=︒． 所以直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30︒．（Ⅲ）过A 作AG EF ⊥于G ，连接DG ，则AGD ∠是二面角D FE B --的平面角，所AB ，所以30FAG ABF ∠=∠=︒， cos30︒=3tan 602AG ︒==． FE B -的大小为60︒． 18.解：（Ⅰ）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ， 由112223,,a b b a b b =+⎧⎨=+⎩即11112,1723,b d b d =+⎧⎨=+⎩解得14b =，3d =，所以31n b n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又123n n T c c c c =++++…，得23413223242(1)2n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦…， 345223223242(1)2n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦…，两式作差，得23412322222(1)2n n n T n ++⎡⎤-=⨯⨯++++-+⨯⎣⎦…24(21)34(1)221n n n +⎡⎤-=⨯+-+⨯⎢⎥-⎣⎦232n n +=-⋅．所以232n n T n +=⋅．19.解：（Ⅰ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=．由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=，①方程①的判别式224(3)b ∆=-，由0∆=，得23b =，此方程①的解为2x =，所以椭圆E 的方程为22163x y +=， 点T 坐标为(2,1)．（Ⅱ）由已知可设直线'l 的方程为12y x m =+（0m ≠）， 由方程组1,23,y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩可得22,321,3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以P 点坐标为22(2,1)33m m -+，228||9PT m =． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由方程组221,631,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得2234(412)0x mx m ++-=．②方程②的判别式为216(92)m ∆=-，由0∆>，解得2m -<<由②得1243mx x +=-，2124123m x x -=．所以|||2PA ==同理22||2|3m PB x =--， 所以52|m 2121222)(2)()|33m m x x x x ---++ |2109m =． |． b +．16200x y ++=．212,'(2)12416,a b f a b -=-=--+=-⎩解得1a =，0b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当1x <时，32()f x x x =-+， 令2'()320f x x x =-+=可得0x =或23x =， ()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，对于1x <部分：()f x 的最大值为2max (1),()(1)23f f f ⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭； 当12x ≤≤时，()ln f x c x =，当0c ≤时，ln 0c x ≤恒成立，()02f x ≤<， 此时()f x 在[]1,2-上的最大值为(1)2f -=；当0c >时，()ln f x c x =在[]1,2上单调递增，且(2)ln 2f c =． 令ln 22c =，则2ln 2c =，所以当2ln 2c >时， ()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)ln 2f c =；当20ln 2c <≤时，()f x 在[]1,2-上的最大值为(1)2f -=． 综上可知，当2ln 2c ≤时，()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时，()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c ．（Ⅲ）32,1,()ln ,1,x x x f x c x x ⎧-+<=⎨≥⎩根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，（0t >）．若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角，得0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=，此时无解；若1t ≥，则()ln f t c t =，由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=︒，所以N 点不可能在x 轴上，即1t ≠．同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++=，1(1)ln c t t=+．由于函数1()(1)(1)ln g t t t t=>+的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞，即为所求．。

2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．15．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．2016-2017学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）＝5．则z＝（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）＝5⇒z﹣i＝⇒z＝+i＝+i＝+i＝2+2i．故选：D．2．函数f（x）＝﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．3．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．4．若3a2+3b2﹣4c2＝0，则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．C．D．1【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径为1，∵3a2+3b2﹣4c2＝0，∴圆心到直线ax+by+c＝0的距离d＝＝，∴圆x2+y2＝1被直线ax+by+c＝0所截得的弦长为2＝1．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：D．6．如图F1、F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：+y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c＝；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+＝，即x2+y2＝（2c）2＝＝12，②由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：D．7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a+b＝2的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵a x＝b y＝3，∴x＝log a3＝，y＝log b3＝，∴当且仅当a＝b时取等号故选：C．8．设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+）＝﹣x3+log2＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．二、填空题9．已知全集U＝R，A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]．【解答】解：根据题意，集合A＝{y|y＝2x+1}表示函数y＝2x+1的值域，则A＝{y|y＝2x+1}＝（1，+∞），故∁U A＝（﹣∞，1]，|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，则B＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），则（∁U A）∩B＝（﹣1，1]；故答案为：（﹣1，1]．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：此时S值为10．故答案为：10．11．设函数y＝f（x）在区间[0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先生产两组（每组N个）区间[0，1]上均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．12．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是它的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：13．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的值为．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，cos∠BAC＝，又∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝5，cos∠CAD＝，∴＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则实数a的取值范围为[e，+∞）．【解答】解：f′（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：[e，+∞）．三、解答题15．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若f（）＝2，b＝1，c＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣），∵ω＝2，∴最小正周期T＝＝π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）＝2，∴2sin（A﹣）＝2，即sin（A﹣）＝1，∴A﹣＝+2kπ，k∈Z，即A＝+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理及b＝1，c＝2，cos A＝﹣得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7，即a2＝1+4+2＝7，解得：a＝．16．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z＝80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y＝t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为z max＝80×100+400×120＝56000元．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD （1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，∴∠ADC＝45°同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD＝D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1＝B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD＝A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH＝O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC＝a，则，，∴sin∠C1DO＝∴∠C1DO＝30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°18．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a＝8，∴a＝2∵e＝，∴c＝1∴b2＝a2﹣c2＝3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0∴4k2﹣m2+3＝0①此时x0＝＝，y0＝，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ 平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•＝0对满足①式的m，k恒成立．因为＝（﹣﹣x1，），＝（4﹣x1，4k+m），由•＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．19．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n＝2n a n，求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令c n＝a n，T n＝c1+c2+…+c n．是否存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n ＜2m﹣4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴S n+1＝﹣a n+1﹣（）n+2，S n+1﹣S n＝a n+1＝﹣a n+1+a n+（）n，2a n+1＝a n+（）n，2n+1a n+1＝2n a n+1，∵b n＝2n a n，∴b n+1＝b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）解：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2，∴a1＝S1＝﹣a1﹣（）0+2，解得，又b n＝2n a n，b n+1＝b n+1，∴b1＝2×＝1，∴b n＝2n a n＝n，∴．（3）解：∵c n＝a n＝，∴T n＝c1+c2+…+c n＝，①2T n＝2+，②②﹣①，得：T n＝2++…+﹣＝2+﹣＝3﹣﹣＝3﹣．假设存在最小的正整数m，使得对于n∈N×都有T n＜3≤2m﹣4恒成立，则2m﹣4≥3，解得m≥，∴最小的正整数m＝4．20．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，证明f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝＝0，即2x2﹣ax+1＝0有两个不相等的实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2（x1+x2）＝a，x2＝，∴f（x1）﹣f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）＝2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）＝2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）＝﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）＝﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2．。

2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．102．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．64．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（2+i）（a﹣2i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则|a+i|＝（）A．B．C．D．10【解答】解：∵（2+i）（a﹣2i）＝（2a+2）+（a﹣4）i的实部与虚部相等，∴2a+2＝a﹣4，即a＝﹣6．∴|a+i|＝|﹣6+i|＝．故选：C．2．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy＝lgx•lgz，即y2＝zx，∴充分性成立，因为y2＝zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（2，﹣1）＝5故选：C．4．（5分）设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a＝0.23＝0.008，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，c＝log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．5．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得y＝±•，不妨设A（﹣2，）．∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，故选：A．7．（5分）若关于x的不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（）C．（﹣3，3）D．[）【解答】解：不等式3﹣|x+a|＞x2即|x﹣a|＜﹣x2+3，在同一坐标系内画出y＝﹣x2+3（x＜0，y＞0）与y＝|x|的图象，将绝对值函数y＝|x|向右移动，当左支过点（0，3），得a＝﹣3；将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支与y＝﹣x2+3相切，即联立，得x2+x+a﹣3＝0，由△＝1﹣4（a﹣3）＝0，得a＝．∴要使不等式3﹣|x+a|＞x2至少有一个负数解，则﹣3＜a．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝1+，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，1）∪（1，）【解答】解：当x≤0时，f（x）＜g（x）可化为：，解得：x＜，或x＞1，故x ≤0；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜，或x＞1，故0＜x＜；当x＞1时，f（x）＜g（x）可化为：+x，解得：＜x＜1，或x＞，故x＞；综上可得：若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）故选：B．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝{﹣1，1，2}．【解答】解：集合A＝{﹣1，a}，B＝{2a，b}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，2a＝2，则b＝1故A＝{﹣1，1}，B＝{1，2}∴A∪B＝故答案为{﹣1，1，2}10．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是8+6π．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V＝×π×22×3+×3×4×2＝6π+8，故答案为：6π+8．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，可得x+3y＝1．＝＝＝≥＝．当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是．故答案为：．12．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的斜率为±2．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝5，圆心C（3，5），则直线L的斜率存在，可设直线L的方程为y﹣5＝k（x﹣3），令x＝0可得y＝5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4＝0，由方程的根与系数关系可得，x1+x2＝6，x1x2＝，∵A为PB的中点，∴x2＝2x1②，把②代入①可得x2＝4，x1＝2，则x1x2＝＝8，解可得：k＝±2，即直线l的斜率为±2；故答案为：±2．13．（5分）已知△ABC中，||＝10，＝﹣16，D为边BC的中点，则||等于3．【解答】解：如图，D为边BC的中点；∴＝；根据余弦定理：＝＝＝；∴．故答案为：3．14．（5分）函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣在区间（）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：f（x）＝sin x（sin x+cos x）﹣＝sin2x+sin x cos x﹣＝﹣cos2x﹣+sin2x ＝sin（2x﹣），令f（x）＝sin（2x﹣）＝0，则2x﹣＝kπ，解得x＝π+，k∈Z，当k＝0时，x＝，此时＜＜aπ，解得＜a＜，当k＝1时，x＝π，此时＜π＜aπ，解得＜a＜1，综上所述f（x）在区（，aπ）（0＜a＜1）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．16．（13分）有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2个零件直径相等的概率．【解答】解：（1）由10个零件直径（单位：cm）数据，得：10个零件中，一等品有6个，∴从上述10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品的概率p＝．（2）①从一等品零件中，随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果共15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）．②这2个零件直径相等包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A4），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A6）．∴这2个零件直径相等的概率p＝＝．17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S5＝30；数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前2n项和W2n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的前n项和为S n，利用：＝30，且a1＝2，解得：d＝2．故：a n＝2n．数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝2n﹣1①．则：当n≥2时：②，①﹣②得：．当n＝1时，符合通项公式．故：．（2）由（1）得到：S n＝n（n+1），故：c n＝（﹣1）n（a n b n+lnS n）＝n•（﹣2）n+（﹣1）n•[lnn+ln（n+1）]设数列{（﹣1）n a n b n}的前2n项和为A2n，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和为B2n，则：+2•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n①．﹣2A2n＝1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n+1②．①﹣②得：3A2n＝（﹣2）1+（﹣2）2+…+（﹣2）2n﹣2n•（﹣2）2n+1解得：A2n＝，数列{（﹣1）n lnS n}的前2n项和，利用叠加法得到：B2n＝﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）+…+（ln2n+ln（2n+1）），＝ln（2n+1）﹣ln1，＝ln（2n+1）．故：W2n＝ln（2n+1）．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．（i）求四边形APBQ面积的最大值；（ii）设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由已知b＝2，离心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，所以，椭圆C的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|＝6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12＝0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t＝0时，；②由题意知，直线P A的斜率，直线PB的斜率，则＝＝，由①知，可得，所以k1+k2的值为常数0．20．（14分）设函数f（x）＝+x2+（m2﹣1）x（x∈R），其中m＞0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）＝﹣1+2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1．方程为y﹣＝x﹣1，即为y＝x﹣（2分）（2）f'（x）＝﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝1﹣m或x＝1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x＝1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）＝，函数f（x）在x＝1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）＝．（6分）（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，（8分）∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2＝3，故x2＞．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）＝﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）＝0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）＝0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）＝m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）。