【优化方案】2020高中数学 第一章1.2.2知能优化训练 苏教版必修4.doc

1．一个棱柱是正四棱柱的条件是________．①底面是正方形，有两个侧面是矩形；②底面是正方形，且两个侧面垂直于底面；③底面是菱形，且有一个极点处的三条棱两两垂直；④每个侧面都是全等矩形的四棱柱．分析：(1)∵三条棱两两垂直，此中底面的两条棱垂直，底面为菱形，∴底面为正方形，设三条棱为a、 b、 c， b、 c 共底面，∴ a⊥底面，(2)∴能够判断以 a 为侧棱，底面为正方形，a⊥底面得正四棱柱．①④举反例，如图(1)①四周为全等矩形，底面为菱形．②底为正方形，两个平行矩形面．(2)举反例，如图 (2)侧面为梯形且侧面⊥底面．答案： (3)2．正四棱柱的一个侧面的面积为，则它的对角面的面积为________．S分析：设正四棱柱的底面边长为a，高为 h，则 S＝ ah.又底面对角线长为2a，因此对角面的面积为 2 ah＝ 2S.答案：2S3．各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为________．分析：所给三棱柱的底面是正三角形，侧面是正方形．三棱柱底面正三角形的边长为4，因此一个底面的面积为 4 3. 三棱柱的侧面是正方形，因此S 侧＝3×4×4＝48. 故该三棱柱的表面积等于48＋ 8 3.答案： 48＋ 8 34．半径为R的球的外切圆柱的表面积为________．分析：球的直径为圆柱的高，圆柱的表面积S＝2π R·2R＋2π R2＝6π R2.答案： 6πR2一、填空题1．以下有四个结论：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2) 三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； (3) 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4) 极点在底面上的射影既是底面多边形的心里，又是外心的棱锥必是正棱锥．此中，正确结论的个数是 ________．分析： (1) 不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是极点在底面内的射影是底面的中心； (2) 缺乏第一个条件； (3) 缺乏第二个条件；而 (4) 可推出以上两个条件都具备．答案： 12．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为 1 的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．分析：三棱锥的每个面( 正三角形 ) 的面积都为3，因此此三棱锥的表面积为4× 3＝443.答案： 33．正三棱台的两底面边长分别为 6 和 8，侧面积与两底面面积之和的比为 21∶25，则正三棱台的斜高为 ________．分析：设正三棱台的斜高为 h ′，则 S 1 ＋ 1 h ′，侧＝ ( ′) ′＝ (3 ×6＋3×8)2 c c h 23 3 侧 211 222SS ＝S ＋S ＝ 4 ×6＋ 4 ×8＝253. ∵ S ＝25，1 ∴2×42× h ′＝21，∴ h ′＝ 3.25 3 25 答案：34．(2020 年高考福建卷 ) 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图，则其表面积等于 ________．分析：经过三视图复原三棱柱直观图如下图，经过正视图能够得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为 1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形．3 2∴ S 表＝3×(2 ×1) ＋2×( ×2) ＝ 6＋2 3. 4答案： 6＋ 2 35．若圆锥的侧面睁开图是圆心角为 120°，半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是 ________．2π分析：设圆锥的底面半径为r ，则有 3 l ＝2π r ，因此 l ＝ 3r ，S表πr 2＋π rl π r 2＋3π r 2 4因此 ＝＝3π r 2＝ .S侧π rl3答案： 4∶ 36．已知正四棱锥底面正方形边长为 4 cm ，高与斜高夹角为 30°，则四棱锥的表面积为________．分析：如图，正四棱锥的高 PO 、斜高 PE 、底面边心距 OE 构成直角△ POE . ∵ OE ＝2 cm ，∠ OPE ＝30°，OE∴斜高 PE ＝ sin 30 ° ＝ 4 cm.∴ S 正棱锥侧 ＝1ch ′＝ 1×4×4×4＝ 32 cm 2，∴ S 正棱锥全 ＝ 42＋ 32＝ 48 cm 2.22答案： 48 cm 27．(2020 年高考安徽卷改编 ) 一个几何体的三视图如图， 该几何体的表面积为________．分析：由三视图可知该几何体是由下边一个长方体， 上边一个长方体组合而成的几何体． ∵下边长方体的表面积为 8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝ 232，上边长方体的表面积为 8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝ 152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为 232＋ 152－2×6×2＝ 360.答案： 3608．一个正四棱柱的各个极点在一个直径为 2 cm 的球面上．假如正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为________ cm 2.分析：设正四棱柱高为 a ，由长方体与球的切接性质知 22＝ 12＋ 12＋ a 2，则 a ＝ 2，∴正四棱柱的表面积为＝2×1×1＋4×1× 2＝ 2＋ 4 2(cm 2) ．S答案： 2＋4 29．一个空间几何体的三视图如下图，其主视图、左视图均是一个上、下底边长分别 是 4 和 8，底角为 60°的等腰梯形，则这个几何体的表面积是________．分析：由三视图可知此几何体为圆台，设上、下底面半径分别为 r ′， r ，母线长为 l ，则 r ′＝ 2， r ＝ 4， l ＝ 4.因此这个几何体的表面积为π×22＋π×42＋π (2 ＋4) ×4＝44π.答案： 44π二、解答题 10.如下图的几何体是一棱长为4 cm 的正方体， 若在它的各个面的中心地点上打一个直 径为 2 cm 、深为 1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？ ( π 取 3.14)解：正方体的表面积为224 ×6＝ 96 (cm ) ，一个圆柱的侧面积为22π× 1×1＝ 6.28 (cm) ， 则打孔后几何体的表面积为96＋6.28 ×6＝ 133.68 (cm 2) ．11．一个正三棱锥的高和底面边长都为 a ，求它的侧面积以及侧棱和底面所成的角．解：如图，在三棱锥 S － ABC 中，过点 S 作 SO ⊥平面 ABC ，垂足为 O ，过点 S 作 SD ⊥ AB 于点 D ，连接 OD ，则＝ ， ⊥ ，且 是三角形 的中心．SO a OD AB O ABC又由于 AB ＝ BC ＝ AC ＝ a ，因此 OD ＝ 63a ， SD ＝ a 2＋63a2＝639a . 因此 S 正三棱锥侧1139 392＝ 2ch ′＝ 2×3a × 6 a ＝ 4 a . 由于 SO ⊥平面 ABC ，连接 BO ，则∠ SBO 是侧棱与底面所成333a1的角，又 OB ＝ 3 a ，故 cos ∠SBO ＝33a＝ 2，即侧棱与底面所成的角为60°.a 2＋212．已知正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为 10 cm ，表面积为 512 cm 2，求底面 的边长．解：如下图，设上底面边长为 x cm ，则下底面边长为1( x ＋ 10) cm. 在 Rt △ E FE 中， EF＝x ＋ 10 － x＝ 5.2∵ E 1F ＝ 12 cm ，∴斜高 E 1E ＝ 13 cm ，1∴ S 侧＝4× 2( x ＋ x ＋10) ×13＝ 52( x ＋ 5) ，S 表 ＝ 52( x ＋ 5) ＋ x 2＋( x ＋ 10) 2＝ 2x 2＋ 72x ＋360.∵ S 表＝ 512，∴ 2x 2＋72x ＋ 360＝ 512， ∴ x 2＋ 36x － 76＝ 0.解得 x1＝－38(舍去)， x2＝2，x2＋10＝12，∴正四棱台的上、下底面边长分别为 2 cm,12 cm.。

1．已知α的终边过点P (4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号)①sin α＝45；②cos α＝－45；③tan α＝－34；④tan α＝－43.解析：易知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.答案：③2．对三角函数线，下列说法正确的是________． ①对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线； ②有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在；③任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在； ④任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在． 答案：④3．设θ是三角形的内角且θ≠π2，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号)①tan θ与cos θ；②cos θ与sin θ；③sin θ与tan θ；④tan θ2与sin θ；解析：∵θ是三角形的内角且θ≠π2，∴0＜θ＜π且θ≠π2，∴sin θ＞0，tan θ2＞0.答案：④4．已知cos α＝－513，且α是第二象限角，则tan α＝________.解析：∵cos α＝－513，∴sin α＝±1－cos 2α＝±1213.又∵α又是第二象限角，∴sin α＞0，∴sin α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－125.答案：－125一、填空题1．下列说法中，正确的个数为________． ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②终边不同的角的同名三角函数值不全相等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝x x 2＋y 2，故④也是不正确的．因此只有2个正确．答案：22．用不等号(＞或＜)填空：(1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0；(2)tan100°sin200°·cos300°________0. 解析：(1)∵4π5在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限，∴sin 4π5＞0，cos 5π4＜0，tan 5π3＜0.∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3＞0.(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限， ∴tan100°＜0，sin200°＜0，cos300°＞0，∴tan100°sin200°·cos300°＞0. 答案：(1)＞ (2)＞3．若A 是第三象限角，且|sin A 2|＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：∵A 是第三象限角，∴2k π＋π＜A ＜2k π＋3π2(k ∈Z)，∴k π＋π2＜A 2＜k π＋3π4(k∈Z)，∴A 2是第二、四象限角．又∵|sin A2|＝－sin A 2，∴sin A 2＜0，∴A2是第四象限角．答案：四4．已知MP ，OM ，AT 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)①MP ＜OM ＜AT ；②OM ＜MP ＜AT ；③AT ＜OM ＜MP ；④OM ＜AT ＜MP .解析：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝ 3.答案：②5．若0＜x ＜π2，则下列命题中正确的是______．(只填序号)①sin x ＜3πx ；②sin x ＞3πx ；③sin x ＜4π2x 2；④sin x ＞4π2x 2.解析：令x ＝π6，则sin π6＝12，3π·x ＝12，4π2·x 2＝19.故④正确．答案：④6．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在________象限．解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限． 答案：第二7．若sin αcos α＜0，则函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域为________．解析：由sin αcos α＜0，知α在第二象限或第四象限． 当α在第二象限时，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，则：y ＝－1； 当α在第四象限时，sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则：y ＝－1. 综上可得，值域为{－1}． 答案：{－1}8．已知点P (1，y )是角α的终边上的一点，且cos α＝36，则y ＝________.解析：由三角函数定义知：cos α＝11＋y 2， ∴1y 2＋1＝36，∴y ＝±11. 答案：±11 二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan(－23π4)．解：(1)∵α是第四象限角，∴sin α＜0，tan α＜0，∴sin α·tan α＞0.(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin3＞0，cos4＜0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)＞0，∴sin3·cos4·tan(－234π)＜0.10．已知角α的终边与函数y ＝32x 的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．解：函数y ＝32x 的图象是过原点和一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P (2,3)，则r ＝22＋32＝13，于是sin α＝313＝31313，cos α＝213＝21313，tan α＝32；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P ′(－2，－3)，则r ′＝－22＋－32＝13，于是sin α＝－313＝－31313，cos α＝－213＝－21313，tan α＝－3－2＝32.11．求证：当α∈(0，π2)时，sin α＜α＜tan α.证明：如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则：在Rt△POM 中，sin α＝MP ； 在Rt△AOT 中，tan α＝AT ；又根据弧度制的定义，有AP ＝α·OP ＝α， 易知S △POA ＜S 扇形POA ＜S △AOT ， 即12OA ·MP ＜12AP ·OA ＜12OA ·AT ， 可得sin α＜α＜tan α.。

1．以下说法：①公义 1 可用会合符号表达为：若∈，∈且∈α，∈α，则必有l ∈α；A lB l A B②四边形的两条对角线必订交于一点；③用平行四边形表示的平面以平行四边形的四条边作为平面的界限限；④梯形是平面图形．此中正确的说法个数为________．分析：关于①，直线 l 在α内应表示为 l ?α；关于②，当四边形的四个极点不共面时，对角线不交于一点；关于③，平面拥有无穷延展性，无界限；关于④，由平行的两条边确立平面，再由公义 1 知，梯形的腰也在这个平面内．故④正确．答案： 12．在图中，A________平面ABC；A________平面BCD；BD________平面 ABD； BD________平面ABC；平面 ABC∩平面ACD＝______；________∩________＝BC.分析：表示点在平面内或点在直线上用“∈”，表示点在平面外或点在直线外用“ ?”，表示直线在平面内用“ ? ”，表示直线不在平面内用“ ?”．BCD答案：∈? ??AC平面ABC平面3．两个平面的公共点的个数为________．分析：两个平面平行时，无公共点；两个平面订交时，有无数个公共点．答案： 0 或无数4．空间有四个点，假如此中随意三点都不共线，那么经过此中三个点的平面有________个．1 个；四点不共面时，经过此中的三点可画四分析：当四点共面时，经过三点的平面有个平面．答案：一或四一、填空题1．以下说法中正确的个数为________．①过三点起码有一个平面；②过四点不必定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确立 4 个平面．分析：①正确，此中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不必定共面；③正确．答案： 32．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相互均分的四边形是平行四边形．空间中，上述四个结论必定建立的是________( 填上全部你以为正确的命题的序号) ．分析：空间中，两组对边分别相等的四边形不必定是平行四边形，如下图．答案：①②④3．设平面α与平面β订交于l，直线a? α，直线b? β，a∩b＝M，则M________l .分析：由于 a∩b＝ M， a?α， b?β，因此 M∈α，M∈β，又由于α∩β＝l，因此M∈l.答案：∈4．在四周体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF∩GH ＝P，则点 P 必定在直线______上．分析：∵ EF∩ GH＝ P， EF?平面 ABC，∴ P∈平面 ABC.又 GH?平面 ACD，∴ P∈平面 ACD.∵平面 ABC∩平面 ACD＝ AC，∴ P∈AC.答案： AC5．正方体各面所在的平面可将空间分红________个部分．分析：正方体的各个面所在平面将空间分红三层，且每层被分红9 部分，故共分红27 部分．答案： 276．A、B、C、D为不共面的四点，E、 F、 G、H分别在 AB、 BC、CD、 DA上，(1)假如 EH∩ FG＝ P，那么点 P 在________上；(2)假如 EF∩ GH＝ Q，那么点 Q在________上．分析： (1) 如图，由AB、AD确立平面α.∵ E、H在 AB、 DA上，∴ E∈α， H∈α，∴直线 EH?α，又∵ EH∩ FG＝ P，∴P∈ EH， P∈α.设 BC、 CD确立平面β，同理可证， P∈β，∴ P 是平面α，β的公共点，∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．同理可证 (2) 的结论．答案： (1) BD所在的直线(2) AC所在的直线7．已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们知足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且 ? ，又直线∩＝，、、三点确立的平面为γ，则平面β与平面γ的C αAB l DABC交线是 ________．分析：∵ ∈，?β，∴ ∈，又∈β，γ由、、三点确立，∴?γ，∈D l l D β C A B C AB C γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β 与γ 的交线．答案：直线CD8．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈β，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.分析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β， C∈ AB，∴AB∩β＝ C.答案： C9．在如下图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________( 填序号 ) ．分析： (1) 图中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；(3)图中 SR∥ PQ，∴ P、 Q、 R、 S 四点共面．答案： (1)(3)二、解答题10．如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的地点关系．解：题图 (1) 中，α∩β＝，∩＝，∩＝ .l a α A a β B题图 (2) 中，α∩β＝l，a? α，b? β，a∩l＝P，b∩l＝P.11．已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、 BC、 CA分别与α交于点 E、 F、G，求证： E、 F、 G三点共线．证明：如图，过A、 B、 C作一平面β，则 AB?β， AC?β， BC?β.∴ E∈β， F∈β， G∈β.设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α 订交于点E、F、G，∴E∈α， F∈α， G∈α.∴E、 F、 G必在α与β的交线上．∴E、 F、 G三点共线．12．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证： AA1、 BB1、 CC1交于一点．证明：如下图，∵A1B1∥ AB，∴ A1B1与 AB确立一平面α，同理， B1C1与 BC确立一平面β，C1A1与CA确立一平面γ.易知β∩γ ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与 BB1订交，设交点为 P，P∈ AA1， P∈BB1.而 AA1?γ， BB1?β，∴ P∈γ， P∈β，∴P 在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，依据公义2知，P∈C1C，∴ AA1、 BB1、 CC1交于一点．。

[学生用书 P8]1．下面是一个2×2列联表y1y2合计x1 a 2173x222527合计 b 46则表中a、b处的值分别为________．解析：∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52，∴b＝a＋2＝52＋2＝54.答案：52、542．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有关系；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有________．解析：独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．答案：②④⑤3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该假设________．①H0：男性喜欢参加体育活动；②H0：女性不喜欢参加体育活动；③H0：喜欢参加体育活动与性别有关；④H0：喜欢参加体育活动与性别无关．解析：独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的卡方应该很小．如果卡方很大，则可以否定假设；如果卡方很小，则不能够肯定或否定假设．答案：④4．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表所示：患慢性气管炎未患慢性气管炎合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339根据列联表数据，求得χ2＝________.解析：根据公式χ2＝n ad－bc2a＋b a＋c c＋d b＋d计算即可．答案：7.469一、填空题1．为了研究人的肥胖程度(胖、瘦)与家庭富裕水平(贫、富)之间是否相关，调查了50000人，其中胖人5000名，下列独立性检验的方案中，较为合理且有效的方案是________．①随机抽取100名胖人和100名瘦人；②随机抽取0.08%的胖人和瘦人；③随机抽取900名瘦人和100名胖人；④随机抽取0.1%的瘦人和1%的胖人．解析：抽取样本的合理程度直接影响独立性检验的结果，所以选取样本要合理，易知总体中有5000名胖人，45000名瘦人，抽取样本时应该按比例抽取．答案：③2．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是________．①100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；②1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．解析：本题主要考查对独立性检验的结果与实际问题的差异的理解，独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的．答案：④3．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如下表： 喜欢教师职业 不喜欢教师职业 合计 认为工作压 力大53 34 87 认为工作压力 不大12 1 13 合计 65 35 100则认为工作压力大与喜欢教师职业有关系的把握约为________．解析：χ2＝100×53×1－34×12265×35×87×13≈4.898. 答案：95%4．(2011年高考湖南卷改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 合计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50合计 60 50 110由χ2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d算得， χ2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8. P (χ2≥x 0) 0.050 0.010 0.001x 0 3.841 6.635 10.828参照附表，得到如下说法，其中正确的是________．①再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；②再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．解析：根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：③5．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2值变为原来的________倍．解析：由公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d中所有值变为原来的2倍，得(χ2)′＝2n 2a ·2d －2b ·2c 22a ＋2b 2c ＋2d 2a ＋2c 2b ＋2d＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍． 答案：26．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是________．①若χ2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病；③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．解析：若95%的把握认为两个分类变量有关系，则说明判断出错的可能性是5%.答案：③7．有两个分类变量X 和Y 的一组数据，由其列联表计算χ2＝4.523，则认为X 和Y 间有关系出错的可能性为________．解析：因为χ2＝4.523，所以有95%的把握认为X 与Y 之间有关系，即5%的出错可能．答案：5%8．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如下表： 非统计专业 统计专业男 13 10女 7 20为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．卓越品质源于永不满足—————————————————————————优化方案·成功相伴解析：P (χ2≥3.841)＝0.05，查临界值表可得．答案：0.059种子处理 种子未处理 合计生病 32 101 133不生病 61 213 274合计 93 314 407①种子经过处理跟是否生病有关；②种子经过处理跟是否生病无关；③种子是否经过处理决定是否生病．解析：χ2＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0.164＜2.706.这时没有充分的证据显示“种子经过处理跟是否生病有关系”，但也不能作出结论“种子经过处理跟是否生病无关”成立．答案：①②③二、解答题10．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．(1)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；(2)请问能有多大把握认为药物有效？不得禽流感 得禽流感 合计 服药不服药合计解：(1)填表不得禽流感 得禽流感 合计服药 40 20 60不服药 20 20 40合计 60 40 100(2)提出假设H 0：药物无效．根据列联表中的数据可得χ2＝100×40×20－20×20260×40×60×40≈2.778. 因为当H 0成立时，χ2≥2.706的概率约为0.10，而这里χ2≈2.778>2.706，由P (χ2>2.706)＝0.10，所以有90%的把握认为药物有效．11．有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的有70个，外国人的有54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有21个含数字．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里是否含有数字有无关系，你能帮他判断一下吗？解：(1)2×2列联表如下：有数字 无数字 合计中国人 43 27 70外国人 21 33 54合计 64 60 124(2)假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”．由表中数据得χ2＝124×43×33－27×21270×54×64×60≈6.201， 因为χ2＞3.841，所以有理由认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的， 即有95%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”．12．下表是某地区的一种传染病与饮用水卫生程度的调查表：得病 未得病 合计干净水 52 466 518不干净水 94 218 312合计 146 684 830(1)得这种传染病(简称得病)是否与饮用不干净水有关？请说明理由；(2)若饮用干净水得病的有5人，未得病的有50人；饮用不干净水得病的有9人，未得病的有22人．按此样本数据分析：得这种传染病是否与饮用不干净水有关？并比较两种样本在反映总体时的差异．解：(1)提出假设H 0：得这种传染病与饮用不干净水无关．由表中数据可得χ2＝830×52×218－466×942518×312×146×684≈54.212. 因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为：得这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2 得病 未得病 合计干净水 5 50 55不干净水 9 22 31合计 14 72 86此时，χ2＝86×255×31×14×72≈5.785. 因为当H 0成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为：得这种传染病与饮用不干净水有关．两个样本都能得到“得这种传染病与饮用不干净水有关”这一结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论，(2)中我们只有97.5%的把握肯定结论．。

1．以下常有角 0°， 30°， 45°， 60°， 90°， 120°， 135°， 150°， 180°，将它们用弧度制分别表示为 ________．π ππ π2π3π5π答案： 0， 6 ， 4 ， 3 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ，π 2． α＝－ 2 rad ，则 α 的终边在 ________．180分析：－ 2 rad ＝－ 2×( π ) °≈－ 57.30 °× 2＝－ 114.60 °，∴ α 为第三象限角．答案：第三象限3．已知圆内 1 rad 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长为 ________．分析：第一求出圆的半径r ＝ 1，再利用弧长公式求弧长．1sin 21答案：1sin 2k ππ4．设会合 M ＝ { α| α＝ 2 － 3 ，k ∈ Z} ，N ＝ { α | －π＜ α＜π } ，则 M ∩N ＝ ________.分析：分别取 k ＝－ 1,0,1,2 ，得 α＝－ 5π π π 2π，－ 3 ， ，.6 6 3 5π π π 2π答案：{－ 6 ，－3，6， 3 }一、填空题1．以下结论不正确的选项是 ________． ( 只填序号 ) π π π5π① 3 rad ＝60°；② 10°＝ 18rad ；③ 36°＝ 5 rad ；④ 8 rad ＝115°.5π 5π 180 分析：8 rad ＝ 8 ×(π ) °＝ 112.5 °，因此④错．答案：④ππ2．会合 A ＝ { x | x ＝ k π＋ 2 ， k ∈ Z} 与会合 B ＝ { x | x ＝ 2k π± 2 ， k ∈ Z} 之间的关系是________．π π分析：由于角的会合 { x | x ＝ 2k π＋ 2 ，k ∈ Z} 与 { x | x ＝ 2k π－ 2 ，k ∈ Z} 分别表示终边落在 y 轴的正、负半轴上的角的会合，因此 B 表示终边落在 y 轴上的角的会合，因此 A ＝ B .答案： ＝ BA3．已知 A ，B 是半径为 2 的圆 O 上两点， ∠ AOB ＝ 2 弧度，则劣弧 AB 的长度是 ________．分析：依据弧长公式 l ＝| α | · r 知劣弧 AB 的长度为 2×2＝ 4.答案： 44．若长为 30 cm 的弧所对圆心角为 72°，则这条弧所在的圆的半径为 ________． ( 精 确到 1 cm)分析：∵ 72°＝ 72× π ＝ 2π30÷ 2π 75 ≈24 (cm) ．180 ，∴这条弧所在的圆的半径为 ＝ π 5 5答案： 24 cmπy ＝ x 对称，且 α ∈ ( －4π， 4π) ，则 α ＝5．若角 α 的终边与角 6 的终边对于直线________.πππ分析：∵角 α 的终边与角6 的终边对于直线 y ＝ x 对称，∴ α＋ 6 ＝ 2k π＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴角α的会合为 {| α ＝ 2 π＋ π， ∈ Z} ．∵α ∈ ( －4π，4π) ，∴－ 4π＜ 2 π＋ π＜4π，αk3 kk3131111π5π π 7πk ∈ Z ，∴－ 6 ＜ k ＜ 6 . ∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 2，－ 1,0,1 ，∴ α ＝－ 3 ，－ 3 ，3，3.11π 5π π 7π答案：－3 ，－ 3 ，3， 36．在 ( －4π， 4π) 内与－ 58π角的终边同样的角是 ________．75858分析：第一写出与－ 7 π角的终边同样的角的会合 { α| α＝ 2k π－ 7 π， k ∈ Z} ．而后 再写出 ( －4π， 4π) 内的角 α .答案：－ 16π ，－ 2π 12π 26π7 7 ， ， 777．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度 数为 ________．分析：设圆的半径为 r ，这段弧所对的圆心角为 α，则正方形边长为 2r ，则 2r ＝ r ·α， 即 α＝ 2.答案： 2π 8．已知一扇形的圆心角为rad ，半径为 R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比3为________．分析：先求出圆的半径r 与扇形半径 R 的比为 1∶ 3，再求它们的面积的比．答案： 2∶ 3二、解答题9．已知扇形 AOB 的圆心角为 120°，半径长为 6，求：(1) AB 的长；(2) 扇形所含弓形的面积．120 2解： (1) ∵120°＝ 180π＝ 3π，2 ∴ l ＝ | α| · r ＝6× π＝ 4π，∴ AB 的长为 4π.1 1(2) ∵S 扇形 OAB ＝ lr ＝ ×4π× 6＝12π，22如下图，过点 O 作 OD ⊥AB ，交 AB 于 D 点，1 于是有 S △ OAB ＝ 2× AB × OD＝ 1×2×6cos30°× 3＝ 9 3. 2∴弓形的面积为 S 扇形 OAB － S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是 10．一个半径为12π－ 9 3.r 的扇形， 若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？解：设弧长为 l ，所对圆心角为 α， 则 l ＋2r ＝π r ，即 l ＝( π－ 2) r .l180∵ | α| ＝ r ＝π－ 2， | α| ＝( π－ 2) ·( π ) °≈ 65.41 °.∴ α 的弧度数是 π－ 2，度数为 65.41 °.1 12 进而 S 扇形 ＝ 2lr ＝ 2( π－ 2) r .π π211．设会合 A ＝{ x | k π－ 4 ≤ x ≤ k π＋ 4 ， k ∈Z} ， B ＝ { x | x ≤36} ，试求会合 A ∩ B .π π 9π 7π 5π 解：由会合 A ＝ { x | k π－ 4 ≤x ≤ k π＋ 4 ，k ∈ Z} ，可知 A ＝ ∪ [ － 4 ，－4]∪[－4，3π π π3π 5π7π 9π 2－ 4 ]∪[－4， 4 ]∪[ 4， 4 ]∪[ 4 ， 4 ]∪ .由 B ＝ { x | x ≤36} ，可得 B ＝ { x | －6≤ x ≤6} ，在数轴大将两个会合分别作出，如图．可得会合∩ ＝[ －6，－ 7π ]∪[－5π ，－ 3π] ∪ [ －π， π ] ∪ [ 3π ， 5π] ∪ [ 7π ，A B 444444446] ．。

1．将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．分析：－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.答案：(－3)×360°＋195°2．在148°，475°，－960°，－1601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．分析：148°明显是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角．而－1601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．答案：43．已知会合A＝{第一象限角}、B＝{锐角}、C＝{小于90°的角}，则A∩B＝________，B∩C＝________.答案：B B4．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．1分析：分针和时针均按顺时针方向旋转，此中分针连续转过4周，时针转过3周．答案：－120°－1440°一、填空题1．以下各组角中，终边同样的是________．(只填序号)①－60°，300°，420°；②－60°，－300°，－420°；③－60°，300°，－420°；60°，－300°，－420°.分析：两角相减是360°的整数倍即是终边同样的角．答案：③α2．若α为第二象限角，则－2是________．分析：由于α为第二象限角，因此ααα为第一或第三象限角．又由于－对于x轴222α对称，因此－2是第二或第四象限角．答案：第二或第四象限角3．若角α与角β的终边对于 x 轴对称，则α与β的关系是________；若角α与角的终边对于原点对称，则α与β的关系是________；若角α与角β的终边对于y 轴对称，则α与β的关系是________．答案：α＋β＝k ·360°，k ∈Zα－β＝k ·360°＋180°，k ∈Zα＋β＝(2k ＋ 1)180°，k ∈Z4．已知角 α＝－3000°，则与α终边同样的最小正角是________．分析：与α终边同样的角的会合为 {θ|θ＝－3000°＋k ·360°，k ∈Z}，与θ终边同样的最小正角是当 k ＝9时，θ＝－3000°＋9×360°＝240°.因此与α终边同样的最小正角为240°.答案：240°5．设会合＝{|α＝·90°－36°， ∈Z}，＝{ α|－180°＜＜180°}，则∩MαNMN等于________．分析：当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°；当k ＝－1时，α＝－126°；因此M ∩N ＝{－36°，54°，－126°，144°}．答案：{－36°，54°，－126°，144°}6．若α与β的终边相互垂直，则α－β＝________.答案：90°＋k ·180°(k ∈Z)k·45°，k ∈Z}，则角7．(2020年杭州高一检测)已知θ∈{α|α＝k ·180°＋(－1)θ的终边所在的象限是 ________． 答案：第一或第二象限8．自行车大链轮有 48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．48分析：大链轮转动一周，小链轮转20＝ 周，角度为×360°＝864°.答案：864°二、解答题9．已知角的极点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出以下各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边同样的角．(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.解：如下图．由图可知：(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边同样．－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边同样．(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边同样．－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边同样．10．已知会合＝{|k ·180°＋45°＜α＜·180°＋60°，k∈Z}，会合＝Aαk B{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在地区；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在地区；(3)求A∩B.解：(1)(2)由(1)(2)知A∩B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋55°，k∈Z}．11．在角的会合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：有几种终边不同样的角？有几个大于－360°且小于360°的角？写出此中是第二象限的角的一般表示法．解：(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的会合中终边不同样的角共有四种．9 7(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.22又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.∴在给定的角会合中大于－360°且小于360°的角共有8个．(3)此中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.。

2π1．函数 y ＝ 3cos( 5x － 6 ) 的最小正周期是 ________． 分析：利用周期公式＝ 2π ＝5π.T 25答案： 5πππ2．若函数 y ＝ sin( k π＋ 6 )( k ＞ 0) 的最小正周期为3 ，则 k 的值为 ________．分析：因为 k ＞ 0，因此 π 2π ，因此 k ＝ 6.＝ k3答案： 6sin x 3．函数 y ＝ tan x 的周期是 ________．sin x sin x分析： y ＝tan x ＝ sin x ＝ cos x ，因此周期为 2π.cos x答案： 2π4. 若钟摆的高度 h (mm)与时间 t (s) 之间的函数关系如下图．则该函数的周期为 ________．当 t ＝ 25 s 时，钟摆的高度为 ________． 分析：由题图可知周期为 2 s ，因此 f (25) ＝ f (1 ＋12×2) ＝ f (1) ． 答案： 2 s 20 mm一、填空题π1．以下函数中，周期为2 的是 ________． ( 只填序号 )xx① y ＝ sin 2；② y ＝ sin2 x ；③ y ＝cos 4；④ y ＝ cos4 x .x的周期为 4π， y ＝ sin2 x 的周期为 π， y ＝cos x8π， y ＝ cos4 x 的 分析： y ＝ sin的周期为 2 4π周期为 2. 答案：④ππ2． f ( x ) ＝ cos( ωx － 6 ) 最小正周期为 5 ，此中 ω＞ 0，则 ω＝ ________.2π π 分析：∵ T ＝ ω ＝ 5 ，∴ ω＝ 10. 答案： 10k π2 43．已知函数 f ( x ) ＝ sin( 3x ＋ 4 )( k 为正整数 ) ，要使 f ( x ) 的周期在 ( 3， 3) 内，则正整数 k的最小值为 ________，最大值为 ________．2π 6π 2 6π 4 1 1 2 分析：由周期公式，得T ＝ k ＝ k ，由题意知 3＜ k ＜ 3. 因为 k ＞ 0，因此 9π ＜ k ＜9π ，3即 9π＝ 15， k ＝ 28.＜ k ＜9π，因此 kmin2max答案： 15 28 4．函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 f (1) ＝2，则 f (5) ＝ ________.分析：因为 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，因此 f ( x ＋3) ＝ f ( x ) 且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，又 f (1) ＝ 2，因此 f (5) ＝ f (2 ＋ 3) ＝ f (2) ＝ f ( －1＋ 3) ＝ f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 2. 答案：－ 25．设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ) ，且 f (3) ＝ 5，则：f ( －21) ＝ ________，f (2020) ＝ ________.分析：由 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ) ，得 f ( x ) ＝－ f ( x ＋ 4) ＝－ [ － f ( x ＋ 4＋ 4)] ＝ f ( x ＋ 8) ，因此 T ＝ 8， f ( － 21) ＝ f ( － 24＋ 3) ＝ f (3) ＝ 5， f (2020) ＝ f (251 ×8＋ 3) ＝ f (3) ＝ 5.答案： 5 56．设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f ( x － 2) ＝ f ( x ＋ 2) ， f (1) ＝ 2，则 f (2) ＋ f (7) ＝ ________. 分析：由 f ( x －2) ＝ ( ＋2) 得 ＝4，由 f ( x －2) ＝ ( x ＋2) 得 f ( －2)＝ (2) ，即－ f (2) ＝ (2) ，f x Tfff因此 f (2) ＝ 0， f (7) ＝ f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 2. 答案：－ 2n π7．若函数 f ( n ) ＝ sin 6 ( n ∈Z) ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ ＋ f (102) ＝ ________.分析：因为 sin n π n π n ＋ 12 π6 ＝ sin( ＋2π) ＝ sin，因此 f ( n ) ＝f ( n ＋ 12) ．又因为 f (1) 6 6＋f (2) ＋ f (3) ＋ ＋ f (12) ＝ 0，且 102＝12×8＋ 6，因此 f (1) ＋f (2) ＋ f (3) ＋ ＋ f (102) ＝f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＋f (5) ＋ f (6) ＝2＋ 3. 答案： 2＋ 38．定义在 R 上的函数 f ( x ) 知足 f ( x ) ＝ log 2 1－ x ，x ≤0f x － 1 － fx － 2 ，，则 f (2020) 的x ＞ 0值为 ________．＝ 0，f (1) ＝ f (0) － f ( － 1) ＝－ 1，f (2) ＝ f (1) － f (0)分析：由已知得 f ( － 1) ＝ log 2＝1，f (0)2＝－ 1， (3) ＝ f (2) － (1) ＝－ 1－( －1)＝0， (4) ＝ f (3) － f (2) ＝0－ ( －1) ＝1， (5) ＝ (4)fffff－ f (3) ＝ 1 ， f (6) ＝ f (5) － f (4) ＝ 0 ，∴函数 f ( x ) 的值以 6 为周期重复出现， f (2020) ＝ f (335 ×6＋ 1) ＝ f (1) ＝－ 1. 答案：－ 1 二、解答题 9．定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是偶函数，又是周期函数，若f ( x ) 的最小正周期为 π，且当 xπ] 时， f ( x ) ＝ sin x ，求 f 5π∈[0，2 ( 3 ) 的值．解：因为 f ( x ) 是周期函数， 且最小正周期为 π，因此 f (5π) ＝ f ( － π＋2π) ＝ f ( －π) ．又3 3 3ππππ因为 f ( x ) 是偶函数， 因此 f ( － 3 ) ＝ f ( 3 ) ．因为当 x ∈ [0 ， 2 ] 时， f ( x ) ＝ sin x ，因此 f ( 3 )π 3 π 3 5π3＝ s in 3 ＝ 2 ，因此 f ( － 3 ) ＝ 2 ，因此 f ( 3 ) ＝ 2 .10．已知函数 f ( x )( x ∈ N ＋) ， f (1) ＝ 1， f (2) ＝ 6， f ( n ＋ 2) ＝ f ( n ＋ 1) － f ( n ) ，求 f (100) ． 解：由 f ( ＋2) ＝ ( ＋1) － ( n ) ①得n f n ff ( n ＋ 3) ＝ f ( n ＋ 2) －f ( n ＋ 1) ② ①式＋②式，得 f ( n ＋ 3) ＝－ f ( n ) ．∴ f ( n ＋ 6) ＝ f [( n ＋ 3) ＋ 3] ＝－ f ( n ＋ 3) ＝－ [ － f ( n )] ＝ f ( n ) ．∴ T ＝ 6 为 f ( x ) 的一个周期．∴ f (100) ＝f (16 ×6＋ 4) ＝ f (4) ＝－ f (1) ＝－ 1.x411．已知偶函数 y ＝f ( x ) 知足条件 f ( x ＋1) ＝ f ( x － 1) ，当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) ＝ 3 ＋9. 求：f (log 15) ．3解：∵ f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ，∴ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴y ＝ f ( x ) 是周期为 2 的函数．∵(log 15) ∈( －2，－ 1) ，31 15∴ l og 35＋ 2＝ log 39∈ (0,1) ，又∵ f ( x ) 为偶函数，x 4 且 x ∈ [ － 1,0] ， f ( x ) ＝ 3 ＋ 9，－x4∴当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ 3 ＋ 9，1 15 ∴ f (log 35) ＝ f (log 3 9)15 4＝ 3－ log 39＋ 95 4 5 4＝ 3log 3 ＋ ＝ ＋ ＝ 1.9999。

1．已知直线分析：由于l 1， l 2，平面l 1平行于平面α，且l1∥l2，l1∥α，则α，因此在α 内存在直线l 2与b 与α 的地点关系是l 1平行．由于________．l 2∥ l 1，因此l 2∥b，因此 l 2∥α或 l 2?α.答案： l 2∥α或 l 2?α2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是________(填序号)．①b?α， a∥ b；② b?α， c∥α， a∥ b，a∥ c；③b?α， A、 B∈ a， C、 D∈ b，且 AC＝ BD；④ a?α， b?α， a∥ b.分析：①错误，若 b?α， a∥ b，则 a∥α或 a?α；②错误，若 b?α， c∥α， a∥ b，a∥ c，则 a∥α或 a?α；③错误，若知足此条件，则 a∥α或 a?α，a 与α订交；④正确．答案：④3．以下两个命题，在“ ________”处都缺乏一个条件，补上这个条件使其组成真命题( 其中 l 、 m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．?l ∥mm α①l ∥ m? l∥α②m∥α? l∥α分析：①表现的是线面平行的判断定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”即“l ? α”，它相同也合适②. 故填l ?α.答案： l ?αl ?α4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的地点关系是 ________．分析：如图，取D1B1的中点 O，连接 OF， OB.1 1∵OF 2B1C1， BE 2B1C1，∴OF BE，四边形 OFEB为平行四边形，∴ EF∥ BO.∵ EF?平面 BB1D1D，BO?平面 BB1D1D，∴EF∥平面 BB1D1D.答案：平行一、填空题1．下边命题中正确的选项是________( 填序号 ) ．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线 l 上有无数个点不在平面α 内，则l∥α；③若直线 l 与平面α订交，则 l 与平面α内的随意直线都是异面直线；④假如两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条必定与该平面订交；⑤若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线平行或异面；⑥若三个平面两两订交，则有三条交线．分析：①正确；若直线与平面订交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线 l 与平面 α 订交，则 l 与平面 α 内过交点的直线不是异面直线， 故③不正确； 两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或订交，故④不正确；直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 无公共点，因此 l 与平面 α 内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两订交，可能有三条交线， 也可能有一条交线，故⑥不正确．答案：①⑤2．正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， E 为 DD 1的中点，则 BD 1 与过 A ，C ，E 三点的平面的地点关系是 ________．分析：如下图，连接BD交AC 于点O . 在正方体中简单获得点O为BD 的中点，又由于E为DD 1的中点，因此OE ∥BD 1.又∵ OE ? 平面 ACE ， 答案：平行 3．过正方体 ABCD － BD 1?平面 ACE ，∴ BD 1∥平面 ACE .A 1B 1C 1D 1 随意两条棱的中点作直线，此中与平面DBB 1D 1 平行的直线共有________条．分析：如图，在面 EFGH 与面 MNPQ 中分别有 6 条直线知足题意， 故共有 12 条切合要求． 答案： 124．(2020 年南通调研 ) 梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，AB ? 平面 α，CD ?平面 α，则直线 CD 与 平面 α 的地点关系是 ________．分析：由于 AB ∥ CD ， AB ? 平面 α， CD ?平面 α，由线面平行的判断定理可得 CD ∥α. 答案： CD ∥ α ， 是 1 1 的中点， 是 上的点且∶ ＝1∶ 2， 5．正方体－ 1 1 1 1 的棱长为NABCD A B CD a M A B AB AN NB过 D 1、 M 、 N 的平面交 AD 于点 G ，则 NG ＝________.分析：过 D 1、 M 、 N 的平面与 AD 的交点 G 地点如图，此中 A G ∶2 1GD ＝ 2∶ 1，AG ＝ 3a ， AN ＝ 3a ，在 Rt △ AGN 中，＝2 2＋ 12＝ 5 .NG3a3a3 a5a答案：36．在正方体 ABCD －A 1B 1 C 1D 1 中， E 、 F 是对角线A 1D 、B 1D 1 的中点，则正方体六个面中有________个面与直线 EF 平行．分析：连接 DC 1，∵ E 、 F 分别为 A 1D 、 A 1C 1 的中点，∴ EF ∥DC 1，又 EF ?平面 DC 1，DC 1? 平面 DC 1，∴ EF ∥平面 DC 1.同理可证 EF ∥平面 AB 1. 答案： 27．如图， 一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 α 内，把这块矩形木板绕 AB 转动，在转动的过程中， AB 的对边 CD 与平面 α 的地点关系是 ________．CD ∥ AB . ∵ AB ? α， CD ?α，分析：不论如何转动，都有∴ CD ∥α. 当木板转到平铺在平面 α 上时， CD ? α. 答案： CD ∥ α 或 CD ? α8．如图， a ∥ α ，A 是 α 的另一侧的点， B 、C 、D ∈ a ，线段 AB 、 、 分别交 α 于 、、. 若 ＝ 4， ＝ 4， ＝5，则 ＝ ________.AC ADE F G BD CFAF EG分析：∵ a ∥ α，平面 α∩平面 ABD ＝ EG ，∴ a ∥ EG ，即 BD ∥ EG ，EF FG AF EF ＋ FG EGAF∴＝＝＝＝＝，BC CD AC BC ＋CD BD AF ＋ FCAF · BD 5×4 20∴EG ＝ AF ＋ FC ＝5＋ 4＝ 9.20答案：99．设 m 、 n 是平面 α 外的两条直线，给出三个论断：① m ∥ n ；② m ∥ α；③ n ∥ α. 以此中的两个为条件， 余下的一个为结论， 结构三个命题，写出你以为正确的一个命题： ________( 用序号表示 ) ．分析：设过 m 的平面 β 与 α 交于 l ，∵ m ∥α ，∴ m ∥l ，∵ m ∥n ，∴ n ∥l ， ∵ n ?α， l ? α，∴ n ∥ α.答案：①② ? ③( 或①③ ? ② )二、解答题10．如图，四边形 ABCD ， ADEF 都是正方形， M ∈ BD ， N ∈ AE ，且BM ＝ AN . 求证： MN ∥平面 CED .证明：如图，连接AM ，并延伸交 CD 于 G ，连接 GE .AM BM∵ AB ∥CD ，∴ ＝ .MG MDAM BM∴ ＋＝＋ ，MG AM BM MD即 AM BM＝ .AG BD又∵ BD ＝ AE 且 AN ＝ BM ， AM AN∴＝ ，AG AE ∴ MN ∥EG .又 EG ? 平面 CDE ， MN ?平面 CDE ， ∴ MN ∥平面 CDE .11．如图， 四边形 ABCD 是矩形， P ?平面 ABCD ，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E ，交 DP 于 F . 求证：四边形 BCFE 是梯形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面 PAD，∴ BC∥平面PAD.∵面 BCFE∩面 PAD＝ EF，∴ BC∥EF.∵AD＝BC， AD≠EF，∴ BC≠ EF，∴四边形 BCFE为梯形．12．(2020 年常州质检 ) 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，1面 CDE是等边三角形，棱EF2BC.求证： FO∥平面 CDE.证明：如图，取CD中点 M，连接 OM.1在矩形 ABCD中， OM2BC，1又 EF 2BC，则 EF OM.连接 EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM.又∵ FO?平面 CDE，且 EM?平面 CDE，∴FO∥平面 CDE.。

31．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2的交点个数为________．剖析：在同一坐标系中作出函数＝1＋sinx ，x∈[0,2π]和y＝3的图象，由图可得有两个y2交点．答案：21＋mm的取值范围是________．2．使cosx＝有意义的实数1－m剖析：由题设|1＋m|≤1?|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0. 1－m答案：m≤0π3．函数y＝3＋3cos(2x＋3)的值域是________．π剖析：－1≤cos(2x＋3)≤1，∴0≤y≤6.答案：[0,6]4．函数y＝－2sinx在[0,2π]上的图象的最高点坐标是________．剖析：函数y＝－2sinx的图象与函数y＝2sin x的图象关于x轴对称．3π答案：(2，2)一、填空题sin2x1．函数f(x)＝sinx－1是________函数．(填“奇”或“偶”)sin－2x sin2x剖析：定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝sin－x－1＝sinx－1＝f(x)．答案：偶2．函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝__________.ππ剖析：当φ＝2时，y ＝sin(x ＋2)＝cos x 为偶函数．答案：π23．已知函数f (x )＝sin(x －πx ∈R)，下面结论错误的选项是2)(________．(只填序号)π①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间[0，2 ]上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0 对称；④函数f (x )是奇函数．ππ剖析：∵y ＝sin( x －2)＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在[0，2]上是增函数，则 y ＝－cos x π＝－cos x 的图象关于 x＝0对称， 在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知2即③正确．y ＝－cosx 为偶函数，即④不正确． 答案：④4．以下关系式中正确的选项是 ________．sin11°＜cos10°＜sin168°；②sin168°＜sin11°＜cos10°；③sin11°＜sin168°＜cos10°；④sin168°＜cos10°＜sin11°. 剖析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°， 又∵y ＝sinx 在[0°，90°]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即 sin11°＜ sin168°＜cos10°. 答案：③5．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点对称的条件是________．πkπφ剖析：由3x ＋φ＝k π＋2，得x ＝3π＋6－3为对称中心的横坐标．∵关于原点对称，∴x k π φ＝ k π ( k ∈Z)．＝0，即π＋ － ＝0，∴φ π＋3 6 3 2π 答案：φ＝k π＋2(k ∈Z)6．设α，β都是锐角，且sin α＜cos β，则α＋β的取值范围是________．π－β)，再利用函数单调性求得．剖析：将sin α，cos β化同名，得sin α＜sin(2 π 答案：(0，2)π]上的最大值为 2，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，3 剖析：由 0＜＜1知，函数f(x π f ( π. ω)在[0，]上单调递加，所以 )＝2，则可求出ω3 33答案：48．若函数y ＝f (x )同时拥有以下三个性质：(1)最小正周期为 π；(2) 在x ＝π时获取最大3ππy ＝f (x )的剖析式可以是________．值1；(3)在区间[－6，3]上是增函数．则x ππ ①y ＝sin( 2＋6)； ② y ＝cos(2x ＋3)；③y ＝sin(2x － π④ y ＝cos(2x － π)；)．66π剖析：由(1)消除①.由(2)可知函数在 x ＝3时获取最大值 1，代入可知③满足， 而且在区间 [－π，π]上，③是增函数．6 3答案：③ 二、解答题 9．作出以下函数在一个周期上的图象：π 1 (1)y ＝2sin x ；(2) y ＝cos(x ＋3)；(3)y ＝2sin2x .解：(1)y ＝2sin x 的周期π3π(，2)，(π，0)，( 22T ＝2π，可先确定要点的五个点： (0,0)，－2)，(2π，0)．在坐标系中将这五个点 ，描出，而且圆滑曲线连结这些点，获取图象以下列图．ππy ＝cos(x ＋3)的周期T ＝2π，确定要点的五个点：(－3，π2π7π5π1)，(6，0)，(3，－1) ，(6 ，0)，(3，1)．在坐标系 中将这五个点描出，尔后用圆滑曲线将它们连结起来，获取该函数的图象以下列图．(3)y ＝2sin 1 2π(0,0)，x 的周期 T ＝ ＝4π，故可确定要点的五个点： 2 1 2(π，2，)(2π，0)，(3π，－2)，(4π，0)．在坐标系中描出这五点，尔后用圆滑曲线将它们连结起来，获取函数的图象以下列图． 10．比较以下各组数的大小：23 17(1)cos(－5 π)与cos(－ 4π)；(2)sin194 °与cos160°. 解：(1)cos( －23π)＝cos(－6π＋7π)＝cos7π，5 55 cos(－17π)＝cos(－6π＋7π)＝cos 7π，4 4 47 7 ∵π＜5π＜ 4π＜2π，77cos 5π＜cos 4π，23 17即cos(－5π)＜cos(－4π)．(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即 sin194°＞cos160°.π11．已知函数 f (x )＝ 2a sin ( x － 4)＋a ＋b .当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；＜0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．π解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin(x －4)＋1＋b .∵ ＝sin x 的单调递减区间为 [2 k π＋π，2 π＋ 3π ]( k ∈Z)，∴当2 π＋ π≤ － π≤2π 2 22 43π 3π7π＋ 2，即2k π＋ 4 ≤x ≤2k π＋ 4(k ∈Z)时，f (x )是减函数，所以 f (x )的单调递减区间是[2k π＋3π，2k π＋7π](k ∈Z)．44π(2)f (x )＝ 2a sin(x －4)＋a ＋b ，ππ3π ∵x ∈[0，π]，∴－4≤ x －4≤4，∴－ 2≤sin( x－π)≤1. 又∵＜0，24aπ2a ≤2a sin(x －4)≤－a . 2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b ，f (x )的值域是[2,3]，∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3，解得a ＝1－2，b ＝3.。

1．以下图形符号属于判断框的是________．分析：①是起止框，②是输入、输出框，④是办理框．答案：③2．以下对于流程线的说法①流程线表示算法步骤履行的次序，用来连结图框；②流程线只假如上下方向就表示自上向下履行能够不要箭头；③流程线不论什么方向，总要按箭头的指向履行；④流程线是带有箭头的线，它能够画成折线．此中正确的有________．分析：流程线表示流程进行的方向，一定带箭头，因此②错误．答案：①③④3．以下图的流程图的输出结果是________．分析：履行过程为x＝1，y＝2，z＝3，x＝y＝2，y＝x＝2，z＝y＝2.答案：24．以下图的作用是互换两个变量的值并输出，则①处应为________．分析：互换两个变量的值，一定引入中间变量．答案：x←y优化方案2020高中数学第1章1.2.1知能优化训练苏教版必修3一、填空题1．解决以下几个问题，只用次序构造画不出其流程图的是________．①利用公式1＋2＋3＋＋n＝n n＋12计算1＋2＋3＋＋100的值；②当p(x0，y0)及直线l：Ax＋By＋C＝0一准时，求点p到直线l的距离d；③求函数f (x)＝23－32－－1当x＝－1时的函数值；x x xy x－1，x>0x x④求函数＝x2，x≤0当＝0时的函数值．分析：④中需要判断x>0与x≤0，因此不可以只用次序构造．答案：④2．以下所画4个流程图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，此中正确的是________．22分析：应先输入直角边a，b，再由c＝a＋b计算出斜边 c.3．如图，对此题流程图表示的算法，描绘最正确的是________．①可用来判断a，b，c能否为一组勾股数；②可用来判断a，b，c之间大小次序；③可用来判断点(a，b)能否在直线x＝c上；④可用来判断点(a，b)与圆心在原点，半径为c的圆的地点关系．分析：注意 c是点(a，b)到圆心的距离．答案：④4．(2020年南京高一检测)如图，该流程图的运转结果 S＝________.分析：履行过程为：a＝2，b＝4，2 4 1 5S＝4＋2＝2＋2＝2，5输出2.答案：525．运转以下图的流程图，输出的结果是________．分析：履行过程为： m ＝2，p ＝m ＋5＝2＋5＝7，m ＝p ＋5＝7＋5＝12，输出12.答案：12p(x0，y0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ，图中①处为________．6．以下框图用来求点分析：依据点到直线的距离公式， |Ax0＋By0＋C| |y1| d ＝ ＝.A 2＋B 2y2|y1|答案：d ←y27．给出流程图如图，若输出的结果为 2，则①处的办理框内应填的是 ________．分析：因为输出的结果为2.∴b＝2＝a－3，∴a＝5.2x＋3＝5，∴x＝1.∴①中应填x←1.答案：x←18．以下图算法的功能是________．答案：求过横坐标不同样的两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率k9．写出以下流程图的运转结果．(1)则x＝______；(2)则ω＝______；(3)若R＝1，则y1＝________.分析：(1)履行过程以下：x＝1，x＝1＋2＝3，x＝3＋3＝6；(2)履行过程为：a＝1，b＝2，ω＝3×1＋2＝5；(3)履行过程为：＝1，1＝4π×13＝4π.R y33答案：(1)6(2)5(3)43π二、解答题10．(2020年扬州调研)给出求点A(1，－1)对于直线2x－y＋4＝0的对称点的一个算法，并画出流程图．解：算法：S1过点A(1，－1)且与直线2x－y＋4＝0垂直的直线方程是x＋2y＋1＝0；S2直线2x－y＋4＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点B的坐标是－9，2；5592239S3点A(1，－1)对于点－5，5对称的点C的坐标是－5，5；239S4输出点C的坐标－5，5.流程图如图．11．已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求线段AB的长度d及中点P的坐标．试设计算法并画出流程图．解：算法以下：S1输入x1，y1，x2，y2；S2计算d←x2－x12＋y2－y12；S3计算x0←x 1＋21＋2 x，y0←y y；22S4输出d，P(x，y)．00算法的流程图以下图12．如图阅读以下两个求三角形面积的流程图，回答以下问题．图①的流程图输出结果S是多少？图②中若输入a＝4，h＝3，输出的结果是多少？对照一下两个流程图你有什么发现？1解：(1)图①运转后，S＝2×4×3＝6.故图①输出结果为 6.图②当a＝4，h＝3时输出的结果也为 6.经过对照，图①只好求底边长为4、高为3的三角形的面积．图②因为底边长和高要求输入，故可求随意三角形的面积．可见一个好的算法，不单是解决某个问题，更能够解决某一类问题，也就是说，设计算法时，我们应尽量“优化”．。

1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是________．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．故填平行或相交．答案：平行或相交2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：α∥β，a⊂α，b⊂β，a与b的关系不确定，可借助正方体来判断．答案：平行或异面3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为________．解析：∵α∥β，∴α与β没有公共点．∵a⊂α，∴a与β没有公共点．∴a∥β.答案：a∥β4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________．解析：以长方体为模型观察，这条直线可能和这两个平面都平行，也可能在一个平面内，且与另一个平面平行．答案：至少与一个平面平行一、填空题1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中错误结论的序号是________．解析：①依据异面直线判定定理知其正确．②l、m在α内的射影为两条相交直线，记为l′、m′，则l′∥l，m′∥m.又∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′.∴n⊥α.故②正确．③满足条件的l和m可能相交或异面，故错误．④依据面面平行的判定定理知其正确．答案：③2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下面说法正确的是________(填序号)．①有且只有一条直线与平面α的距离为d；②所有直线与平面α的距离都等于d；③有无数条直线与平面α的距离等于d；④所有直线与平面α的距离都不等于d.解析：两个平面平行，其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面间的距离．答案：②3．已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个结论：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确结论的序号是________．解析：由α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m、n异面，∴②错．答案：①③4．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．解析：由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由面与面平行的性质知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似．答案：相似5．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ∥α⇒m ∥β，其中错误的是________(填序号)． 解析：由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n 可能在平面β内．对于③，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊂平面AD 1，CC 1⊂平面CD 1，而AA 1∥C 1C ，从而A 1A 与CC 1可确定一个平面AA 1C 1C ，即AA 1、C 1C 可以共面．对于④，m 可能在平面β内．故②③④错．答案：②③④ 6．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．①平面ABC 必平行于α； ②平面ABC 必与α相交； ③平面ABC 必不垂直于α；④存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内．解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A 、B 、C 在α的同侧，则平面ABC 必平行于α；若A 、B 、C 在α的异侧，平面ABC 必与α相交且交线是△ABC 的一条中位线所在直线，排除①②③.答案：④7．已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.解析：∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝DEEF. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，∴AB BC ＝23. 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15.答案：158．设平面α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，当点S 在平面α，β之间时，CS 等于________．解析：如图，由题意知， △ASC ∽△BSD ，∵CD ＝34，∴SD ＝34－CS . 由AS ∶BS ＝CS ∶(34－CS )知， 8∶9＝CS ∶(34－CS )，∴CS ＝16. 答案：169．下列说法中，正确说法的序号是________．①平行于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行．解析：①不正确，如图，直线a与平面α和平面β都平行，且α∩β＝b(易知a∥b)；②正确；③正确．答案：②③二、解答题10．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图，连结A1C交AC1于点E，连结DE，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连结ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP ∥BB 1，交BC 于点P ，连结NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB， ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ， ∵CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ， ∴NP ∥CD ∥AB ，∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . 又MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解：能．如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连结A 1M ，MC ，CN ，NA 1， ∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形． 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连结MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。

1．sin480°的值为________．解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(90°＋30°)＝cos30°＝32. 答案：322．若sin(θ＋3π2)＞0，cos(π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．解析：sin(θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(π2－θ)＝sin θ ＞0，∴θ为第二象限的角． 答案：二3．已知sin40°＝a ，则cos130°等于________． 解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a . 答案：－a4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．解析：sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin α－sin α＝－a ，∴sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .答案：－32a一、填空题1．已知f (x )＝sin x ，下列式中成立的是________．①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ；③f (x －π2)＝－cos x ；④f (π－x )＝－f (x )．解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ，f (2π－x )＝sin(2π－x )＝－sin x ，f (x －π2)＝sin(x －π2)＝－sin(π2－x )＝－cos x ，f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：③2．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于________．解析：∵cos(π＋α)＝－13，∴cos α＝13，又∵sin(3π2－α)＝－cos α，∴sin(3π2－α)＝－13.答案：－133．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C ；②sin(A ＋B )＝－sin C ；③cos(A 2＋C )＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A 2.解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的．答案：④4．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0. 答案：05．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)等于________．解析：f (sin15°)＝f (cos(90°－15°))＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.答案：－326．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于________．解析：∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴π4＋α＝π2＋(α－π4)，∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：－137．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.解析：∵cos(π2＋φ)＝32，∴sin φ＝－32，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，故tan φ＝tan(－π3)＝－tan π3＝－ 3.答案：－ 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则－α－ππ＋απ－α3π2－απ2＋α＝________.解析：原式＝－cos αα－tan α－cos α－sin α＝tan α，∵cos α＝13，－π2＜α＜0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案：－2 2二、解答题9．已知cos(π6－α)＝33，求证：sin(4π3＋α)＋cos 2(2π3－α)＝2－33.证明：因为cos(π6－α)＝33，所以sin(4π3＋α)＋cos 2(2π3－α)＝sin[3π2－(π6－α)]＋cos 2[π2＋(π6－α)]＝－cos(π6－α)＋[－sin(π6－α)]2＝－33＋[1－(33)2]＝2－33.10．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求α＋3π23π2－α2π－απ－απ2－απ2＋α的值．解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α2α－tan αsin α－sin α＝tan α＝±34.11．已知sin(3π－α)＝2cos(3π2＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin(3π－α)＝2cos(3π2＋β)，所以sin α＝2sin β ①.因为3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，所以3cos α＝2cos β ②.①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6.所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。

1．下列说法正确的是________(填序号)．①二面角是两个平面相交所组成的图形；②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角；④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．解析：二面角是指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形，其构成要素是：两个半平面和一条直线(即它的棱)，其本质是一个空间图形，所以①、②均错误．二面角的平面角是指以二面角的棱上任意一点为端点，分别与位于两个半平面内且垂直于棱的两条射线所成的角．它的两边必须满足三个条件：(a)分别在两个半平面内；(b)相交于棱上一点；(c)都和棱垂直．故③错误．二面角的平面角的两条边都和棱垂直，所以二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．答案：④2．二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是________，和二面角的两个半平面的位置关系是________．答案：垂直垂直3．下列说法中正确的是________(填序号)．①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．答案：③4．锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．解析：如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连结BC，OC.∴在Rt△AOB中，设AB＝1，则AO＝22，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12，∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝ACAO＝1222＝22，∴∠AOC＝45°.答案：45°一、填空题1．在空间中，下列结论正确的是________(填序号)．①平行直线的平行投影重合②平行于同一直线的两个平面平行 ③垂直于同一平面的两个平面平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，所以①不正确；平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，所以②不正确；垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，所以③不正确；由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以④正确．答案：④2．(2020年高考湖北卷改编)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中正确说法的序号为________．解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案：①④3．已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对． 解析：面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面PBC ，面PDC ⊥面PAD ，面PAD ⊥面PAB .答案：54．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 解析：如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.答案：④5．如图所示，在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后点B ，C 间的距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为________．解析：因为△ABC 是正三角形，AD ⊥BC ，所以AD ⊥BD ，AD ⊥CD .所以∠BDC 是二面角B－AD －C 的平面角．在△BCD 中，BD ＝CD ＝BC ＝12a ，所以∠BDC ＝60°，即二面角B －AD －C的大小为60°.答案：60°6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC 、BD ，交于点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD . ∴BD ⊥平面OAC ，∴BD ⊥AC ，OA ＝OC ＝OD ，且两两垂直， ∴AC ＝CD ＝AD ，△ACD 是等边三角形． ∠ABO ＝45°为AB 与平面BCD 所成的角，取AD 、AC 的中点E 、F ，易证OE ＝EF ＝OF ＝12CD .△OEF 为等边三角形，∴AB 与CD 成60°角．∴①②④正确． 答案：①②④7．把锐角A 为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角．则折叠后AC 的长为________．解析：如图，取BD 中点O ， 连结A ′O ，CO . ∴A ′O ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠A ′OC 即为二面角A ′－BD －C 的平面角．∴∠A ′OC ＝60°，又∵A ′O ＝CO ＝12AC ，∴A ′C ＝12AC ＝32a .答案：32a 8．等边△ABC 边长为1，BC 边上高为AD ，沿AD 折成直二面角，则A 到BC 的距离为________．解析：如图，AD ⊥BD 、AD ⊥CD 得∠BDC 为直二面角B －AD －C 的平面角．则∠BDC ＝90°，在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝12，∴BC ＝22.∵AB ＝AC ＝1，设E 是BC 的中点，则AE ⊥BC .在Rt△ABE中，AB＝1，BE＝BC2＝24，∴AE＝144.即A到BC的距离是144.答案：1449．(2020年高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝32a，∴sin∠ABD＝32a2a＝34.答案：34二、解答题10．过点S引不共面的直线SA，SB，SC，如图，∠BSC＝90°，∠ASC＝∠ASB＝60°，若截取SA＝SB＝SC＝a.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：法一：∵SA＝SB＝SC＝a，∠ASC＝∠ASB＝60°，∴△ASB和△ASC都是等边三角形．∴AB＝AC＝a.取BC的中点为H，连结AH，SH.∴AH⊥BC，SH⊥BC.在Rt△BSC中，BS＝CS＝a，∴BC＝2a.∴AH2＝AC2－CH2＝a 2－(22a )2＝a22.∴SH 2＝SC 2－CH 2＝a 2－(22a )2＝a22.在△SHA 中，∵AH 2＝a 22，SH 2＝a 22，SA 2＝a 2， ∴SA 2＝SH 2＋AH 2.∴AH ⊥SH .∴AH ⊥平面SBC .又∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC . 法二：∵SA ＝AC ＝AB ，∴顶点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心． 又△SBC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点． ∴AH ⊥平面SBC .∵AH ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面SBC .11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的大小．解：如图，连结AC 交BD 于点O ，分别连结EO 、A 1O 、A 1C 1、A 1E . 由EB ＝ED ，A 1B ＝A 1D 知EO ⊥BD ，A 1O ⊥BD ， 故∠EOA 1为所求二面角的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在Rt △A 1AO 、Rt △ECO 、Rt △A 1C 1E 中分别求出A 1O ＝62a ，EO ＝32a ，A 1E ＝32a ， 因为A 1O 2＋EO 2＝A 1E 2. 所以∠EOA 1＝90°.即截面A 1BD 和EBD 所成二面角的大小为90°.12．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EAC ；(2)若AD ＝2AB ＝2，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，所以EO ∥PB，EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC.(2)设N为AD中点，连结PN，则PN⊥AD.又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD，所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，又AD＝2AB＝2，则PN＝3，NB＝2，所以tan∠PBN＝32＝62，即PB与平面ABCD所成角的正切值为62.。

1．为了得到函数y ＝2sin(x 3＋π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．其中正确的是________．解析：y ＝2sin xy ＝2sin(x ＋π4)――→横坐标伸长到原来的3倍y ＝2sin(13x ＋π4)． 答案：③2．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是________．答案：4π，23．已知函数y ＝f (x )，f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的函数表达式为________．解析：y ＝12sin xy ＝sin(x －π2)――→图象上各点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变y ＝12sin(2x －π2)． 答案：y ＝12sin(2x －π2)4．函数y ＝－2sin(4x ＋2π3)的图象与x 轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．解析：由4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)得x ＝k π4－π6(k ∈Z)，易得k ＝1时，x ＝π12满足题意．答案：(π12，0)一、填空题1．一正弦曲线的一个最高点为(14，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于点(－14，0)，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________． 解析：由T ＝4×[14－(－14)]＝2，求得ω＝π，再利用当x ＝14时，πx ＋φ＝π2，求出φ.答案：y ＝3sin(πx ＋π4)2. 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ≤π2)，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．解析：由图可知T 2＝78π－38π＝π2，∴T ＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2.又图象过(3π8，0)，此点可看作“五点法”中函数的第三个点，故有2×3π8＋φ＝π.∴φ＝π4.∴点(ω，φ)的坐标是(2，π4)．答案：(2，π4)3．要得到y ＝sin(x 2＋π3)的图象，需将函数y ＝sin x2至少向左平移________个单位长度．解析：将y ＝sin x 2的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y ＝sin(x 2＋φ2)的图象．令φ2＝2k π＋π3，∴φ＝4k π＋2π3，k ∈Z.∴当k ＝0时，φ＝23π是φ的最小正值．答案：23π4．对于函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)，给出下列结论：①图象关于原点中心对称；②图象关于直线x ＝π12对称；③图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π3个单位长度得到；④图象向左平移π12个单位长度，即得到函数f (x )＝2cos2x 的图象．其中正确结论的序号为________． 答案：②④5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.解析：∵ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f (0)＝3，得sin φ＝32，∴φ＝π3.答案：2 π36．先将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________.解析：利用函数周期与表达式中x 的系数的关系及函数图象平移规律求解．因为函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π3，所以ω＝3.又因为将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，可得函数y ＝sin(x －π3)的图象，故可判断函数y ＝sin(ωx ＋φ)中φ＝－π3.答案：3 －π37．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值等于________．解析：由图可知该函数的周期为8，得ω＝π4，A ＝2，代入点(2,2)，得sin(π4×2＋φ)＝1，π2＋φ＝π2，得φ＝0，∴y ＝2sin π4x .根据对称性有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，从而f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝251×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝251×0＋2sin π4＋2sin π2＋2sin34π＝2(2＋1)．答案：2(2＋1)8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)－1(ω＞0，|φ|＜π)对于任意x ∈R 满足f (x )＝f (－x )和f (x )＝f (2－x )，在区间[0,1]上，函数f (x )单调递增，则有ω＝________，φ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数且在[0,1]上是增函数，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－3，所以sin φ＝－1，所以φ＝－π2.又因为f (x )＝f (2－x )，所以f (x )的周期为2，所以ω＝2πT ＝π.答案：π －π2二、解答题9．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)，若φ∈(－π2，π2)，(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解：(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(π8，2)，∴A ＝ 2.又此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)．∴T 4＝3π8－π8，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2. 取点(π8，2)作为“五点法”中函数的第二个点．∴2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4.且π4∈(－π2，π2)． 故这条曲线的函数表达式为：y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x 、y x －π8 π8 38π58π 78π 2x ＋π4 0 π2π 32π 2π y0 2 0－2作图如下：10．已知函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋54，x ∈R.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？解：(1)振幅A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6；(2)当sin(2x ＋π6)＝1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取最大值12＋54＝74.此时x ＝k π＋π6，k ∈Z.(3)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后再把y＝sin(x ＋π6)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(2x ＋π6)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向上平移54个单位长度，就得到y ＝12sin(2x ＋π6)＋54的图象．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)． (1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．解：(1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式f (x )＝2sin(x3＋φ)，得2sin φ＝1.又|φ|＜π2，解得φ＝π6.∴f (x )＝2sin(x 3＋π6)为所求．(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π6)，再平移得g (x )＝2sin[(x －π3)＋π6]＝2sin(x－π6)． 列表：x π6 2π3 7π6 5π3 13π6x －π6 0 π2 π 3π22π 2sin(x －π6)0 2 0 －2 0 图象如图：。