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数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是一种将数学与几何形状相结合的思维方式，通过观察几何形状的特点
和数学关系，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于以下几个方面。
第一，在解决几何问题时，数形结合思想可以帮助学生理解几何形状的性质和关系。
在解决平面图形相关问题时，可以通过观察图形的对称性、边长比例、角度关系等来找到
解决问题的方法。
这样不仅可以提高学生对几何形状的理解，还能培养其观察和分析问题
的能力。
第四，在证明数学定理时，数形结合思想可以帮助学生通过观察几何图形的性质和数
学关系来理解和证明数学定理。
在证明三角形内角和为180度时，可以通过绘制三角形的
外接圆或内切圆来展示角度和边的关系，进而得出结论。
这样可以培养学生的逻辑思维和
证明能力，提高其对数学定理的理解和应用能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的应用价值。
通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题的方法，培养其观察、分析、解决问题的能力，提高其数学学习的兴趣和自信心。
在教学过程中，教师应该灵活运用这种思维方式，
将抽象的数学知识与具体的几何形状相结合，创设适合学生的情境，激发学生的思维活力，使数学学习更加生动、实践、有意义。
数形结合思想在中学函数教学中应用中学函数教学是中学数学教育中重要的内容，它涉及到函数的概念、特征和应用，以及函数的建立方法。
数形结合思想是近年来的一种流行的教学理念，它强调将数学和艺术、科学等课程进行有机的结合，以培养学生的独立思考能力和创新能力。
由于数形结合思的重要性和学生的学习需要，在中学函数教学中引入数形结合思想获得了广泛关注。
首先，数形结合思想可以帮助学生加深对函数基本概念的理解。
函数是数学领域中一个重要概念，由若干规律关系构成，一般来说，学生很难直接理解以及把握它的基本概念，而数形结合思想则可以帮助学生在实际的基础上较好的理解函数的概念，这样才能够建立起函数的概念。
其次，数形结合思想可以有效培养学生的观察能力。
函数解析的过程就是一个观察的过程，数形结合思想可以帮助学生获得一种视角，让学生能够从实际的现象中观察到函数的特征和建立方法，从而使学生能够更好的利用函数解决实际问题。
此外，数形结合思想还可以帮助学生培养逻辑思维能力。
函数可以用图形、表格、解析式等形式来表示，学生要学会运用多种表示方法，这需要积累大量的知识点，并熟练掌握运用，而数形结合思想可以帮助学生快速获得思维方式，有助于学生掌握函数表示方法以及推导，学生可以藉此思路来解决实际问题。
最后，数形结合思想可以增强学生学习数学的兴趣。
数学是一门理科课程，因其特殊性，使学生容易陷入兴趣低落、学习效率低下的境地，但数形结合思想却可以帮助学生把数学和其他艺术、科学等课程的内容相结合，使学生能够在趣味性的学习当中激发学习兴趣，培养学生独立思考的能力，进而发挥函数在实际中的应用价值。
综上所述，数形结合思想对于中学函数教学的意义重大，它可以帮助学生加深对函数概念的理解，增强学生的观察能力、逻辑思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生掌握函数的建立方法和解决实际问题的能力。
因此，中学函数教学中应当以数形结合法为理念，将学生的观察、理解和应用能力紧密结合起来，有助于提高学生的数学水平，有利于学生的自主学习能力的发展。
数形结合在中学函数中的应用一、数学思想方法的含义数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想方法，其中最有影响力的是基于哲学的角度。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。
数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、丰富，而前者比后者更本质、深刻。
数学方法则是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。
数学思想、观点、方法三者相互关联、密不可分：如果人们站在某个位置，从某个角度运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点；而对于数学方法来说，思想是其相应方法的精神实质和理论基础，方法则是践行某种思想的技术手段。
运用数学方法来解决问题都包含了数学思想，数学思想则通过方法来体现。
二、中学数学中常用的数学思想方法在中学数学教学体系中，一些重要、典型的数学思想方法较为常见，常用的有如下几种：转换化归的思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合思想方法、极限思想方法。
其中，数形结合思想方法最为常用，下面将对数形结合思想方法进行简要说明。
三、数形结合思想方法1. 数形结合思想方法的涵义数形结合思想方法中的“数”可以广义地理解为数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”可以理解为图形表征，即实物、图象、图形、符号等。
数学问题中常常出现“数”和“形”的形态，两者为研究对象的不同侧面，通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化，可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。
数形结合思想方法不仅对其所含的数学意义进行了分析，还揭示了其所蕴含的几何直观，实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。
2. 采用数形结合思想方法的意义“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265． 所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米． 二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（ ）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想指的是通过观察数学问题中的形状或图形，利用几何关系来求解问题的
思考方法。
这种思考方法在初中数学解题中非常常见，能够帮助学生更加直观地理解问题，并且提供一种新的角度来解决问题。
数形结合思想的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
数形结合思想可以帮助我们理解平面图形的性质和关系。
在学习三角形知识时，我们
可以通过观察三角形的形状，找出其中的等边、等腰和直角等特点，并利用这些特点来解题。
当我们需要计算一个等边三角形的边长时，可以通过观察等边三角形的形状，发现其
中每个角都是60度，然后利用三角函数的关系来求解。
数形结合思想还可以帮助我们理解几何运动的特点。
在学习平移、旋转和对称的变换时，我们可以通过观察图形的特点，发现平移变换不改变长度和角度，旋转变换保持形状
不变等规律，并利用这些规律来解题。
当我们需要判断一个图形是否在平移、旋转或对称
后与原图形重合时，可以通过观察图形在平移、旋转或对称时的变化，来判断是否重合。
数形结合思想还可以帮助我们理解数学问题中的函数关系。
在学习函数的图像时，我
们可以通过观察函数图像的形状和特点，找出函数的增减性、奇偶性和周期性等性质，并
利用这些性质来解题。
当我们需要计算函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过
观察函数图像的形状，并利用函数的增减性来判断最大值或最小值所在的位置。
数形结合思想在中学函数教学中应用近年来，许多国家在发展中学适度数学课程时，函数的概念和应用都受到了很高的重视。
函数的概念和应用不仅是当今高等教育的重要素养，也是将来解决复杂科学问题的基础。
正是由于函数教学的重要性，提出了数形结合思想在中学教学中应用的课题，希望能够更好地把握函数教学方法，引导学生探索函数本质。
数形结合思想是一种数学思维方式，其本质是以素材为主线，将数学的数学概念、函数的定义、函数的性质和性质推导、函数的应用等总结起来，并且以形象、数学、图形化的方式进行综合展示，把理解函数过程变成理解概念思考过程。
它把计算与思维联系起来，通过计算形式解决实际问题，通过思维形式来把握函数的本质。
函数教学要实现数形结合思想，必须从学科的基础知识结构入手，以函数三大概念函数的定义、函数的性质与推导、函数的应用三大模块为基础，让学生深深体会函数的本质。
（1）以函数的定义为主线。
通过讲授函数的特性和性质，让学生充分掌握函数的定义，了解函数的定义范围，明确函数取值和实际意义，以函数的定义为基础，落实数形结合思想。
（2）以函数的性质及推导为主线。
教学中要引导学生熟悉函数的性质及推导，例如函数的奇偶性、凹凸性、最大最小值等，把握函数的性质及推导，以展示函数的特征，实现数形结合的思维。
（3）以函数的应用为主线。
教学中要注重函数的应用，引导学生从实际问题出发，把握函数的特点，把函数描述和解决实际问题联系起来，以形象、数学、图形化的方式全面展示函数的应用，实现数形结合思想。
在教学过程中，应注意不同学生在不同学习水平上所处的情况。
面对落后班，可通过回顾和强化训练把握函数的定义，强化数形结合思想的熟练运用；而面对较强的班级，可以在理解之后，要求学生运用数形结合思想来解决实际问题，提高函数的应用水平，深化函数的理解。
本文结合实践教育的实际，结合数形结合思想的实践要求，探讨了函数教学中数形结合思想的应用，从理论和实践两方面探讨了函数教学如何运用数形结合思想，使学生更好地把握函数本质。
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
初中数学教学中数形结合思想的应用分析
一、数形结合思想的内涵
数形结合思想是数学教学中一种重要的思想，它指的是将数学中的数字和图形结合起来进行分析和推理，以求解数学问题。
它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
二、初中数学教学中数形结合思想的应用
1. 利用数学图形来进行数学解决问题。
在数学教学中，学生可以利用数学图形来解决问题，如通过图形可以更容易地确定函数的性质，求解几何问题，分析数学模型等。
2. 利用图形来解释数学概念。
利用图形来解释数学概念，可以更好地让学生理解数学概念，如可以利用图形来解释比例、比率、比值、百分比等概念，以及比例的性质等。
3. 利用图形来求解数学问题。
学生可以利用图形来求解数学问题，如通过图形可以更容易地求解几何问题，比较数学模型的优劣等。
4. 利用图形来理解数学模型。
学生可以利用图形来理解数学模型，如可以利用图形来理解线性函数、指数函数、双曲线等数学模型，以及它们的特性等。
三、结论
数形结合思想是初中数学教学中一种重要的思想，它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
数形结合思想的应用数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合；或是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，通过“以形助数”和“以数辅形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化．利用数形结合思想解题主要涉及两大类：(1)利用几何图形直观表示数，常借助数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形的问题，常需建立方程（组）或建立函数关系式等．本文选取几例，说明数形结合思想在解题中的应用，供参考．一、在数与式问题中的应用例1 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_______．分析第一个图案为4个窗花＋1个窗花，第二个图案为6个窗花＋2个窗花，第三个图案为9个窗花＋2个窗花，…从而可以探究第n个图案所贴窗花数为(2n＋2)＋n＝3n ＋2个．点评将图形语言转化为解题所需的数据，以形想数，从而发现规律得出结果．二、在方程与不等式中的应用例2 已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______．分析解x－a≥a，得x≥2a；①解5－2x>1，得x<2．②因为该不等式组有解，由①、②得该不等式组解集为a≤x<2，如图2．用数轴表示为由图2，可得实数a的取值范围是－3 <a≤－2．点评借助数轴将代数问题转化为图形，利用图形更直观地观察出实数a的取值范围．例3 在直角坐标系中直接画出函数y＝的图象，若一次函数y＝kx＋b的图象分别过点A（－1，1），B(2，2)．请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．分析由图象可知，方程的解为：或．点评通过作一次函数的图象，可以直观地确定出方程组的解．体会到方程组的解与图象上点的坐标密切关系，品味出数形结合思想的内在的魅力．三、在函数问题中的应用例4 某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图4中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录（如图5）提供的信息，解答下列问题：(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）分析(1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷(5－4)＝4万升；(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5（万元），所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1（万升）．所以点B的坐标为(5，5.5)，得到线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5＋4×(5.5－4.5)＝5.5（万元），所以本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11（万元），所以点C的坐标为(10，11)．则线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB．点评在解决函数问题时，应注意观察函数图象的形状特征，理解图表中有用的信息，充分从函数图象中挖掘已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．四、在概率统计中的应用例5 甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？(2)取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？分析根据题意，画出如图6的“树形图”：P(两个偶数)＝；P(三个奇数)＝．点评通过列树状图，可以清晰全面地反映出这种摸球方式的所有可能性，轻松地计算出摸球的概率．。
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
