湖南省怀化市2013届高三第三次数学统一检测文试题含答案

普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，文1)复数z＝i²(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2013湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2013湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．A．9 B．10 C．12 D．134．(2013湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．A．4 B．3 C．2 D．15．(2013湖南，文5)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝{ EMBED Equation.DSMT4|，则角A等于( )．A． B． C． D．6．(2013湖南，文6)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．37．(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．A． B．1 C． D．8．(2013湖南，文8)已知a，b是单位向量，a²b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )．A． B． C． D．9．(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )．A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．(2013湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(U A)∩B＝__________.11．(2013湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为__________．12．(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．13．(2013湖南，文13)若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为__________．14．(2013湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．15．(2013湖南，文15)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xi k＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q jq j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．＋1＋三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x².(1)求的值；(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．17．(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．18．(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)1米．(1)(2)48 kg的概率．19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n－a1＝S1²S n，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z＝i²(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B．2．答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A．3．答案：D解析：抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D．4．答案：B解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②由①＋②得g(1)＝3，故选B．5．答案：A解析：∵2a sin B＝b，∴2sin A sin B＝sin B．∵sin B≠0，∴sin A＝.∵A∈，∴A＝.故选A．6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C．7．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC＝，故其面积为.8．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，得，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.|c|即为，可看成M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝.故选C．9．答案：D解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．∴，即4x2＝4y2＋x2，即x2＝4y2，∴.∴.又∵，故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．答案：{6,8}11．答案：4解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a²，即，∴a＝4.12．答案：9解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9.13．答案：6解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14．答案：解析：如图所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0，即e2－2e－2＝0，∴，∴.15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3项和为2.(2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，…，则P＝{a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，…，则Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}有34个元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有1＋＝17个．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)＝＝.(2)f(x)＝cos x²＝cos x²＝cos2x＋sin x cos x＝(1＋cos 2x)＋sin 2x＝.f(x)＜等价于，即.于是2kπ＋＜2x－＜2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.故使f(x)＜成立的x的取值集合为.17．(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.故C1E＝，又B1C1＝＝2，所以B1E＝＝2，从而＝³A1C1＝.18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为＝＝＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝.19．解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2.当n≥2时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n.即a n＝2a n－1.于是数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n＝2n－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n²2n－1.记数列{n²2n－1}的前n项和为B n，于是B n＝1＋2³2＋3³22＋…＋n³2n－1，①2B n＝1³2＋2³22＋3³23＋…＋n³2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n²2n＝2n－1－n²2n.从而B n＝1＋(n－1)²2n.20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离.所以.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是＝＝＝＝.从而ab＝＝≤.当且仅当，即时等号成立．故当m＝±3|时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝y＋2，即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.(1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝e x＋e x＝＝.当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x＜1时，由于＞0，e x＞0，故f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．下面证明：x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证.此不等式等价于(1－x)e x－＜0.令g(x)＝(1－x)e x－，则g′(x)＝－x e－x(e2x－1)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即(1－x)e x－＜0.所以x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)．而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =−−<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（ ）A ．()1,2−B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2− 2．（原创）复数i i−12的虚部为（ ） A ．iB ．i −C ．1D ．1−3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c −>−， 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A．2B.2C.2D.49. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. (二)必做题（12~16题）12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = . 16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a −−=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤−时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=−−+的单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立.2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学(参考答案)二、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5. 【答案】D【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+−=−，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 6.【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为by x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a ∴=，即2a b =.又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 7 . 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c −>−>−>，由对数函数的图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 .【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅，即27422cos60c c =+−⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c −−=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.xyo2π2π−11−sin y x=()y f x =【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12~16题） 12.【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x −−≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=−+−+−+−+−⎣⎦ 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14.【答案】4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16.【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===； 一次类推1331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======. 123123,,,A A A A A A A =且是互斥事件， 123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++33172010410=++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=−=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+−++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=−+12sin 22(sin 2cos 2)22x x x =−+sin 22x x =2sin(2),3x π=− 由222,232k x k πππππ−≤−≤+得5,.1212k x k k z ππππ−≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=−=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得. 19.【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，,2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD −的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+−=−，2113(150%)2a a d a d =+−=−，13(150%)2n n n a a d a d +=+−=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d −=−2233()22n a d d −=−− 233()22n a d d −=−−=12213333()1()()2222n n a d −−⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d −−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d −=−+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d −=∴−+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤−⨯⎢⎥−⎣⎦==−−. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+−−时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=−，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=−迭代，即可以解决. 21.【解析】（Ⅰ）由22420x y x +−+=，得22(2)2x y −+=.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===−=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x −=−−=−且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y −+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦.从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦的两个实根，于是 202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧−−≠⎪⎨⎡⎤∆=−+−>⎪⎣⎦⎩① 且2012222 2.(2)2y k k x −==−− 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪−−⎩得20058360.x x −−=解得02,x =或010.5x = 由02x =−得03;y =±由0185x =得0,5y =±它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)−，或(2,3)−−，或18(55，或18(,55−.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.22.【解析】解：(),x f x e a '=−令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a −≥. ①令()ln ,g t t t t =−则()ln .g t t '=−当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x −−==−−− 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ−'=−=−−则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−−⎣⎦− 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−⎣⎦− 令()1t F t e t =−−，则()1t F t e '=−.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t −−>从而2121()10x x e x x −−−−>，1212()10,x x e x x −−−−>又1210,x e x x >−2210,x e x x >− 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.。

怀化市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第一部分（选择题） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．下列命题是真命题的是A ．若24x =，则2x =B ．若x y ==C ．若11x y=，则x y = D ．若x y >，则||||x y >2．设复数z 满足12i z i+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3． 设m 、R x ∈，则“m ≥0”是“方程220x x m -+=没有实数根”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是 A ．383cm π B ．33cm π C ．3103cm π D ．36cm π5．已知0,0a b >>，且12(2)y a b x =+ 为幂函数，则a b 的最大值为 A ．18B ．14C ．12D ．346．在[]2,3-上随机取一个数x ，则(1)(3)0x x +-≤的概率为 A ．25B ．14C ．35D ．457．曲线102ln y x =+在点()1,10处的切线方程是A ．1220x y --=B ．280x y -+=C ．2120x y +-=D ．2190x y -+= 8．函数||2cos y x x =-的图象大致是9．双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的渐近线都与圆22:1090C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程是A ．221169xy-= B ．221916xy-= C ．2211015xy-= D ．2211510xy-=第二部分（非选择题）二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在10、11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10．在直角坐标系xo y 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩　（α为参数）．在极坐标系（与直角坐标系x o y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴为极轴）中，曲线2C 的方程c o s s i n )+2=0ρθθ-（，1C 与2C 相交于两点,A B ，则公共弦A B 的长是 ．11．已知某种生物药剂的最佳加入量在20g 到30g 之间．若用0．618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 ． （二）必作题（12~16题） 12．观察下列等式：1121233⨯=⨯⨯⨯,112232343⨯+⨯=⨯⨯⨯,11223343453⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯ ,…,照此规律， 计算1223(1)n n ⨯+⨯+++= （n ∈Ｎ*）. 13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．14．如图，已知正六边形A B C D E F 的边长为2，则()AB D F D A ⋅-= ．15．设集合{}2|log 2A x x =≤，集合{}2|31x B x -=≥， 则A B = ．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润4万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角A B C ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C2sin 0a B -=． （1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，且a =A B C ∆的面积．18．（本小题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在+20～ml mg 100/80（不含80）之间，属于酒后驾车；在80/100mg ml （含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）； （2）求检测数据中醉酒驾驶的频率；（3）估计检测数据中酒精含量的平均数． 解：（1） 19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABC D A B C D -中，⊥A A 1面ABCD ，底面A B C D 是直角梯形，90,//B A D B C A D∠=︒，1A B B C ==，2AD =，异面直线1AD 与B C 所成角为45︒．（1）求证：A C ⊥平面11C C D D ；（2）求直线1DD 与平面1A C D 所成角的正弦值． 20．（本小题满分13分）公差不为零的等差数列{}n a 中，47a =，且2a 、5a 、14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3nn n b a =⨯，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．C B 1DA 1A BD 1C 121．（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的焦点为)0,1(1F 、)0,1(2-F，离心率为2，过点(2,0)A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）①求直线l 的斜率k 的取值范围；②在直线l 的斜率k 不断变化过程中，探究1M F A ∠和12NF F ∠是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由． 22．（本小题满分13分）已知a ∈R ，函数3()f x x ax a =-+． （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|1|0f x a +->．xy F 2NMAOF 1参考答案//二、填空题（//3065=⨯）10． 11．26．18或23．82（写出一个记满分）； 12．1(1)(2)3n n n ++； 13．38；14．2-； 15．[]2,4； 16．24万元． 三、解答题：17解：（1）由正弦定理，得2sin sin 0B A B -=……………2分因为sin 0B ≠，所以sin 2A =，又角A 为锐角，故3A π=…………5分（2）由（1）知3A π=，且a =2222cos 3b c bc π=+- ………………………7分即2()37b c bc +-=，由5b c +=，得6b c =，则有23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩ …………………………10分所以，A B C ∆的面积123sin232S π=⋅⋅=…………………12分18解：（1）检测数据的频率分布直方图如下：（4分）（2）所求频率为2132020p +== ………………8分（3）估计所求平均数为3414232125354555657585952020202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10955520== ……………12分 19解：（1）由已知得，1D D ⊥底面A B C D ，A C ⊂平面A B C D ，所以 1AC D D ⊥ ……………2分又90,//BAD BC AD ∠=︒，1A B B C ==，2AD =，所以45A C C A D =∠=︒，所以C D A C C D =⊥ …………4分又1CD D D D = ，故A C ⊥平面11C C D D …………6分 （2）因为//BC AD ，所以1D AD ∠为异面直线1AD 与B C 所成角，即为45︒， 又1D D AD ⊥，所以12D D AD == ……………8分过点D 作1D H C D ⊥，H 为垂足，由（1）知，A C D H ⊥，又1AC C D C = ， 所以D H ⊥平面1A C D ，故1D D C ∠是直线1DD 与平面1A C D 所成角，记为θ …………10分 在1Rt D DC ∆中，1CD CD ==所以1sin 3C D C D θ===…………12分（2）另解：因为//B C A C ，所以1D AD ∠为异面直线1AD 与B C 所成角，即为45︒， 又1D D AD ⊥，所以12D D AD == ……………8分设点D 到平面1A C D 的距离为h ，直线1DD 与平面1A C D 所成角为θ， 又由（1）知，1AC C D ⊥，1C D =由等体积法得：11D A C D DA C DV V --=，即111123232h ⨯⨯=⨯⨯，解得h =………10分所以1sin 3h D Dθ==…………12分20解：(1)设公差为0d ≠，则1211137(4)()(13)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解得11,2a d ==……4分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)221n a n n =+-⨯=- ………6分（2）由（1）可知，(21)3nn b n =-⨯，则C B 1DA 1A BD 1C 1H2333353(21)3nn S n =+⨯+⨯++-⨯ ①23131333(23)3(21)3nn n S n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②由①—②得：231232(333)(21)3n n n S n +-=++++--⨯ ………9分 2312(3333)3(21)3nn n +=++++---⨯123(13)3(21)313nn n +⨯-=---⨯- 1(22)36n n +=-⨯- ………11分所以，1(1)33n n S n +=-⨯+ ………13分 21解：（1）由已知条件知，1,2c c a==，得a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2212xy += …………4分（2）直线l 的方程为(2)y k x =-，联立22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)8820k x k x k +-+== ………6分① 由于直线l 与椭圆C 相交，所以422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，解得直线l 的斜率k的取值范围是22k -<<………8分②1M F A ∠和12NF F ∠总相等．证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，则22121222882,1212kk x x x x kk -+==++ …………9分所以11121211M F N Fy y k k x x +=+-- 122112(1)(2)(1)(2)(1)(1)k x x k x x x x --+--=--[]12121223()4(1)(1)k x x x x x x -++=--22221216424412120(1)(1)k k k k k x x ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦==-- ………11分所以112M F A N F F ∠=∠ ………13分22解：（1）由题意得2()3f x x a '=- ………2分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调区间为(),-∞+∞ ……4分当0a >时，()3f x x x ⎛⎛'=-+ ⎝⎝， 此时()f x的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎡⎢⎣……………6分 (2)证明：由于01x ≤≤，所以当1a ≤时，33()|1|11f x a x ax x x +-=-+≥-+ …………8分当1a >时，33()|1|(2)1(2)1f x a x a x x x +-=+--≥+--31x x =-+……10分设3()1,01g x x x x =-+≤≤，则2()31333g x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以，m in ()1039g x g ⎛==->⎝⎭…………12分 所以，当01x ≤≤时，310x x -+>， 故3()|1|10f x a x x +-≥-+> …………13分（2）另解：由于01x ≤≤，所以当1a ≤时，3()|1|1f x a x ax +-=-+． 令3()1g x x ax =-+，则2()3g x x a '=-．当0a ≤时，()0,()g x g x '≥在[]0,1上递增，()(0)10g x g ≥=> ………8分当01a <≤时，()3g x x x ⎛⎛'=-+ ⎝⎝，()g x 在⎡⎢⎣上递减，在⎤⎥⎦上递增，所以m in()()10g x g x g ≥==->．故当1a ≤时，3()|1|10f x a x ax +-=-+> ………10分 当1a >时，3()|1|21f x a x ax a +-=-+-．设3()21h x x ax a =-+-，则2()33h x x a x x ⎛⎛'=-=+-⎝⎝， ③当3a ≥时，()0,()h x h x '≤在[]0,1上递减，min ()()(1)0h x h x h a ≥==> ……11分④当13a <<时，()h x 在⎡⎢⎣上递减，在⎤⎥⎦上递增，所以min()()21109h x h x h a ⎛⎫≥==--> ⎪ ⎪⎝⎭． 故当1a >时，3()|1|10f x a x ax +-=-+>．故3()|1|10f x a x x +-≥-+> …………13分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试第三次适应性训练数 学（文科）参考答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. {1} 12. 12 13. -4 14. 21n n-15.A ． [)7,+∞ B ． 099 C. 1三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)（1）由m //n得sin sin a A b B =所以a b =故此三角形为等腰三角形.（2）m ⊥p得(2)(2)0a b b a a b ab -+-=⇒+=又由余弦定理知22202cos60c a b ab =+-24()34a b ab ab ⇒=+-⇒=所以12sin ABC S ab C ∆==17．(本小题满分12分)．（1）证明：因为=2n n S a -3(1,2,)n = ， 则-1-1=2n n S a -3(2,3,)n = …… 1分所以当2n ≥时，-1-1==22n n n n n a S S a a --，整理得-1=2n n a a ． 由=2n n S a -3，令1n =，得11=2S a -3，解得1a =3． 所以{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列． （2）解：因为1=32n n a -⋅，由=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，得1=32n n b n -⋅+2． 所以n n T n 12-1=3(1+2+2+⋅⋅⋅+2)+2(1+2+3+⋅⋅⋅+)1(12)(+1)=3+2122n n n -⋅-2=32++n nn ⋅-3 所以2=32++n n T n n ⋅-3． 18．（本小题满分12分）（1）PA PD = ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 又 60BAD ︒∠=，底面ABCD 为菱形，Q 为中点AD BQ ∴⊥所以AD ⊥平面PQB .（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H . 2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点 PQ AD ∴⊥又 平面PAD ⊥平面ABCD ，PQ ABCD ∴⊥平面 PQ QC ∴⊥又MH QC ⊥,PQ MH ∴ .于是MH ABCD ⊥平面,又12PM PC =,11222MH PQ ∴===,所以, M ABCD -1132AC BD MH =⨯⨯⨯1216=⨯⨯=19．（本小题满分12分）解：(1)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. (2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=， 第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．(3)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能． 其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=．20．（本小题满分13分） 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，其中2a =，c =1b ==．所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，若0OA OB = ，则12120x x y y +=． ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++． ∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ①由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．22216412(14)0k k ∆=-⨯⨯+>, ∴234k >………… ②则1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+，代入①，得 ()222121612401414k k k k k+⋅-⋅+=++．即24k =，∴2k =或2k =-,满足②式． 所以，存在直线l ,其方程为22y x =-或22y x =--．21．(本小题满分14分)解:（1）切点为(1,1) '()2mf x x x=-， ∴'(1)1k f ==,即1m =（2）()()0f x h x -=222ln x x x x a ⇒-=-+2ln a x x ⇒=-令()2ln g x x x =-'222()1x x g x -=-= 得：函数()2ln g x x x =-在[]1,2内单调递减；函数()2ln g x x x =-在[]2,3内单调递增。

湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测试卷文科综合本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第42—48题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题（本题共35小题，每小题4分，共140分。

每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）下图（图1）中的甲区域为我国某地区，乙区域为世界某岛国轮廓图，读图回答1～2题。

1．与乙岛国相比，甲区域A．人口密度小，人口自然增长速度慢 B．城市化起步晚、水平低、发展速度慢C．河流总长度大，水位季节变化大 D．石油加工工业更发达，发展条件更优越2. 水资源紧张是困扰乙国可持续发展的重要问题之一,导致乙国水资源紧张的主要原因是该国①年降水量十分稀少②国土面积小，使得河流短小，淡水的储存条件差③年降水量虽十分丰富，但地区分布与季节变化很不均匀④人口急增与经济高速发展，对水的需求量大A．③④ B．②④ C．①④ D．①②右图（图2）等高线示意某山地顶峰周边的情况，阴影部分终年积雪，甲、丁两地气温相同。

读图完成3～4题。

3．该山地南坡属于A．阳坡和背风坡 B．阳坡和迎风坡C．阴坡和迎风坡 D．阴坡和背风坡4．实际调查发现，该山地北坡植被生长状况优于南坡，可能是由于北坡A．蒸发量小，水分条件好B．热量充足C．流水堆积，土壤条件好D．降水丰富草地植被指数是指草地植被覆盖率与草层高度的乘积，下图（图3）是宁夏某牧场的草地植被指数与羊只数量的相关关系图，读图回答5—6题：5.图示信息表明A．草地植被指数越低，能饲养的羊只数量越多 B．草地植被指数越低，牧场的承载力越大C．草地植被指数过高，不利于养羊业的发展 D．饲养的羊只数量越多,对牧场植被的破坏越大6.针对上述问题，下列措施最为切实可行的是A．尽力削减牧场上的养羊数量 B．改变畜牧方式，大力发展先进的游牧业C．合理规划草地载畜量、合理轮牧 D．将牧场整体改建为自然保护区锋线指锋面与地面的交线，下图（图4）反映某地区某年2月10日～12日的锋线移动情况，读图回答7～8题。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的______ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___ D ____A .9B .10C .12D .134.已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于____ A .4 B .3 C .2 D .15.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于______ A .3πB .4πC .6πD .12π6.函数f （x ）=㏑x 的图像与函数g （x ）=x 2-4x+4的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.37.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______A ．B.1 8.已知a,b 是单位向量，a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____1-12+9.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为.21，则ADAB=____A.12 B.14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测数学文试题Word版含答案湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测试卷数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．已知集合{}1,2M =，{}21N a a M =-∈，则M N 等于 A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}1,2,3 D ．?2．34iz i+=（其中i 为虚数单位），则||z 为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 253. 设向量a ，b ，命题“若a b =- ，则||||a b = ”的逆否命题是A. 若a b ≠- ，则||||a b ≠B. 若a b =- ，则||||a b ≠C. 若||||a b ≠ ，则a b ≠-D. 若||||a b =，则a b =-4．函数1()cos 2f x x x =+的一条对称轴是 A ．3x π= B ．6x π= C ．4x π= D ． 12x π=5.―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6. 右图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序. 所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为：A ．7B ．6C ．5D ．47．在直角坐标系x O y 中，若x ，y 满足30101x y x y y +-≤??-+≥??≥?，则2z x y =-+的最大值为 A ． 0B ．1C ．3-D ．2-8．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成2:3的两段，则此双曲线的离心率为A.89B. 37376 C ．335 D. 212159.已知0>m ，()f x 是定义在R 上周期为4的函数，在(1,3]x ∈-上(](](1||),1,1()cos,1,32m x x f x xx π?-∈-?=?-∈??，若方程3)(xx f =恰有5个实数解，则m 的取值范围是A ．48,33??B ．48[,]33C ．4[,)3+∞D ．4(,)3+∞第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10．计算(log 9)(log 4)?= .12. 直线l ：cos t ρθ=（常数0)t >）与圆cos (1sin x y θθθ=??=+为参数）相切，则t = ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ?中，已知45A = ，4cos 5B =. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若10BC =，D 为AB 的中点，求AB ，CD 的长. 17．（本小题满分12分）每年的三月十二日是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测. 现从甲、乙两批树苗中各抽了10株，测得髙度如下茎叶图，(单位：厘米），规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”.18．(本小题满分12分）已知正方形ABCD 中（图甲）， E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起（图乙），记二面角A -DE -C 的大小为(0)θθπ<<．（I ）证明//BF 平面ADE ；（II ）若△ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上. 若认为在，证明你的结论，并求角θ的余弦值；若认为不在，说明理由.19．（本小题满分13分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传时，每件获利a 元，可卖出b 件；若作广告宣传，广告费为n 千元比广告费为（n —1）千元多卖出2n b 件，（n ∈N *）. （I ）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；（II ）当a =10，b =4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点，离心率12e =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则称点00(,)x y N a b为点M 的一个“椭点”，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. 若点A ，B 的“椭点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O . (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若椭圆C 的右顶点为D ，上顶点为E ，试探究OAB ?的面积与ODE ?的面积的大小关系，并证明.21．（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x ax x =+-，.a R ∈（Ⅰ）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，使得当x ∈(0,]e （e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3. 若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）当x ∈(0,]e 时，证明：225(1)ln 2e x x x x ->+参考答案与评分标准一、选择题（//4595=?）二、填空题（//3065=?）10．7； 11．34； 12．5820 ; 13．5； 14.n5； 15．23, 4．三、解答题：16解：（Ⅰ）由题意可知15.03000=x，∴x ＝450（人）……………3分（Ⅱ）由题意知，肥胖学生人数为500=+z y （人）。

湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测试卷数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．已知集合{}1,2M =，{}21N a a M =-∈，则M N 等于 A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}1,2,3 D ．∅2．34iz i+=（其中i 为虚数单位），则||z 为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 253. 设向量a ，b ，命题“若a b =-，则||||a b = ”的逆否命题是A. 若a b ≠- ，则||||a b ≠B. 若a b =-，则||||a b ≠C. 若||||a b ≠ ，则a b ≠- D . 若||||a b = ，则a b =-4．函数1()cos 2f x x x =+的一条对称轴是 A ．3x π=B ． 6x π=C ．4x π=D ． 12x π=5.―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6. 右图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序. 所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为： A ．7 B ．6 C ．5D ．47．在直角坐标系x O y 中，若x ，y 满足30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值为A ． 0B ．1C ．3-D ．2-8．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点分成2:3的两段，则此双曲线的离心率为A. 89B. 37376 C ．335 D. 212159.已知0>m ，()f x 是定义在R 上周期为4的函数，在(1,3]x ∈-上(](](1||),1,1()cos ,1,32m x x f x xx π⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，若方程3)(xx f =恰有5个实数解，则m 的取值范围是A ．48,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．48[,]33C ．4[,)3+∞D ． 4(,)3+∞第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10．计算 23(log 9)(log 4)⋅= .11．二进制数10011（2）化为十进制数是 .12. 直线l ：cos t ρθ=（常数0)t >）与圆cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数）相切，则t = ．13. 实数[0,3]a ∈，[0,2]b ∈,则关于x 的方程2220x ax b ++=有实根的概率是 .14. 求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =. 类比上述解题思路，方程623(2)(2)x x x x +=+++的解集为 .15．规定满足“()()f x f x -=-”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数2()(0)()4(0)g x x f x x x x <⎧=⎨+≥⎩是对偶函数，则（1）()g x = .（2）若11[()]0(1)10ni mf i i =->+∑对于任意的*n N ∈都成立，则m 的取值范围是____.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知45A = ，4cos 5B =. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若10BC =，D 为AB 的中点，求AB ，CD 的长.17．（本小题满分12分）每年的三月十二日是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测. 现从甲、乙两批树苗中各抽了 10株，测得髙度如下茎叶图，(单位：厘米），规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”.（I）根据茎叶图，比较甲、乙两批树苗的高度，哪种树苗长得整齐？(Ⅱ) 设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入如图程序框图进行运算，问输出的S 为多少？.（Ⅲ）从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株，至少1株是甲种树苗的概率.18．(本小题满分12分）已知正方形ABCD 中（图甲）， E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起（图乙），记二面角A -DE -C 的大小为(0)θθπ<<．（I ） 证明//BF 平面ADE ； （II ） 若△ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上. 若认为在，证明你的结论，并求角θ的余弦值；若认为不在，说明理由.19． （本小题满分13分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传时，每件获利a 元，可卖出b 件；若作广告宣传，广告费为n 千元比广告费为（n —1）千元多卖出2n b件，（n ∈N *）. （I ）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；（II ）当a =10，b =4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点，离心率12e =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则称点00(,)x y N a b为点M 的一个“椭点”，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. 若点A ，B 的“椭点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O . (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若椭圆C 的右顶点为D ，上顶点为E ，试探究OAB ∆的面积与ODE ∆的面积的大小关系，并证明. 21．（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x ax x =+-，.a R ∈（Ⅰ）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，使得当x ∈(0,]e （e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3. 若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）当x ∈(0,]e 时，证明：225(1)ln 2e x x x x->+参考答案与评分标准一、选择题（//4595=⨯）二、填空题（//3065=⨯）10．7； 11．34； 12．5820 ; 13．5； 14.n 5； 15．23, 4． 三、解答题：16解：（Ⅰ）由题意可知15.03000=x， ∴x ＝450（人）……………3分 （Ⅱ）由题意知，肥胖学生人数为500=+z y （人）。

湖南省怀化市第三中学2013届高三上学期数学（文）期中考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．设集合{}1,1,2,3A =-，{B x y ==，则A B 为A ．{}1,1,2,3-B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．[1,)+∞ 2． 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运 动员得分的平均数分别为A ．14, 13B ．13, 12C ．14, 12D ．12, 14 3．在△ABC 中，已知a =5 2 , c = 10, A = 30°, 则∠B 为A ． 105°B ． 60°C ．15°D ． 105°或15° 4. 函数()(xxf x e e e -=-为自然对数的底数)在定义域内是Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的表面积．．．为 A ．212cm π B. 215cm π C.224cmπD. 236cm π6．已知点（a ，2b ）在直线x+y=3上移动，则2a+4b的最小值是 A ．8 B ．6 C ． 23 D ．24 7.已知O 是坐标原点，点)2,1(A ，若点),(y x M为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点 ，则OM OA ⋅的最小值是A ．０B ． 12- C ．－２ D ． －38．已知函数22,0(),()()11,02x x f x g x f x x x x x ->⎧⎪==-⎨-++≤⎪⎩则函数的零点的个数是 甲乙0129655418355728 1A ．0个B ．1 个C ．2 个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分. 9．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为________． 10． 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y += 垂直的直线方程是 ． 11．若关于x 的不等式210ax ax +-<解集为R, 则a 的取值范围是________. 12．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113725a a a +=， 则212a a 的值为________.13．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=， 若(1)5f =-，则((5))f f =________.14．阅读右边程序框图，输出的结果S 的值为________；15．有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中 取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是 四边形），可以组成一个较大平行四边形或一个梯形.（1）当所取的四边形与三角形纸片数的和为5时，那么组成的图形的周长是__________. （2）当所取的四边形与三角形纸片数的和为n 时，那么组成的图形的周长是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()3sin 2,f x x x R =∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期和最大值; (2) 若θ为第二象限的角, 且满足9()25f θ=, 求()28f θπ-的值.…1７．（本小题满分12分）某校在高三年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率． 1８．（本小题满分1２分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点． （1）求证：PB //平面ACE ； （2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．19. （本小题满１３分）已知数列{}n a 的前n 项和223,()n S n n n N *=++∈ （1）求通项n a ； （2）求和14332211111+++++n n a a a a a a a a .20.（本小题满分13分）研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间。