【配套K12】新版高中数学人教A版选修2-2习题：模块综合检测

模块综合评价(一)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．(·福建卷)若集合＝{，，，}(是虚数单位)，＝{，－}，则∩等于( )．{－} ．{} ．{，－} ．∅解析：由已知得＝{，－，－，}，故∩＝{，－}，故选.答案：．演绎推理“因为指数函数＝(＞且≠)是增函数，而函数＝是对数函数，所以＝是增函数”所得结论错误的原因是( )．小前提错误．大前提错误．大前提和小前提都错误．推理形式错误解析：当＞时，指数函数＝是增函数，所以大前提错误．答案：．(·山东卷)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( )．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”．答案：．给出下列三个类比推理的结论：①类比·＝＋，则有÷＝－；②类比()＝＋，则有(α＋β)＝α＋β；③类比(＋)＝＋＋，则有(＋)＝＋＋.其中，结论正确的个数是( )．．．．解析：只有①③的结论是正确的．答案：．若＝＋，＝＋(≥)，则，的大小关系为( )．＝．＞．由的取值确定．＜解析：－＝(＋)－(＋)＝(－)，因为≥，所以－＞，又＞，＞，所以＞.答案：．如图所示，阴影部分面积为( )＋＋解析：因为在区间(，)上()＞()，而在区间(，)上()＜()．所以＝＋＝＋.答案：．已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则＝.”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若△的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则＝( )．．．．解析：由题知，为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为，由等体积法可求内切球半径为，外接球半径为，所以＝.答案：．在复平面内，若复数满足＋＝＋，则在复平面内对应点的轨迹是( )．直线．圆．椭圆．抛物线解析：设＝＋(、∈)，＋＋＝，＋＝＋(＋)＝，则＝，得＝－.所以复数＝＋对应点(，)的轨迹为到点(－，)和(，)距离相等的直线＝－.答案：．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图象如下图所示，则函数()在开区间(，)内有极大值点( )。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若复数＝＋的实部与虚部相等，则实数＝( )．－．．－．【解析】＝＋的虚部为，故＝，选.【答案】．已知复数＝，则·在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵＝＝，∴＝＋，∴·＝－＋.【答案】．观察：＋<，＋<，＋<，…，对于任意的正实数，，使＋<成立的一个条件可以是( )．＋＝．＋＝．＝．＝【解析】由归纳推理可知＋＝.故选.【答案】．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( ) 【导学号：】．－．－．．【解析】∵()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝－.【答案】．由①＝＋是一次函数；②＝＋的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )．②①③．③②①．①②③．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，＝＋是一次函数(小前提)，＝＋的图象是一条直线(结论)．【答案】．已知函数＝()的导函数＝′()的图象如图所示，则( )图．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查′()的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么()在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么()在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么()在这个点处不是极值．由此可见，是函数()的极大值点，是极小值点，，不是极值点．【答案】．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )．．【解析】∵′()＝，∴曲线在点(，)处的切线的斜率为＝′()＝，切线方程为－＝(－)，即－－＝，切线与轴和轴的交点坐标分别为()，(，－)，则切线与坐标轴围成的△的面积为××＝.【答案】．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是( )。

第一章综合检测(能力卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．以正弦曲线＝上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是( )．[，]∪[，π)．[，π)．[，]∪(，]．[，][答案][解析]′＝，∵∈[－]，∴切线的斜率范围是[－]，∴倾斜角的范围是[，]∪[，π)．．若>，>，且函数()＝－－＋在＝处有极值，则的最大值等于( )．．．．[答案][解析]∵′()＝－－，又因为在＝处有极值，∴＋＝，∵>，>，∴≤()＝，当且仅当＝＝时取等号，所以的最大值等于.故选.．(·青岛高二检测)下列函数中，＝是其极值点的函数是( )．()＝－．()＝－．()＝．()＝－[答案][解析]对于，′()＝－≤恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于，′()＝，当∈(－π，)时，′()<，当∈(，π)时，′()>，故()＝－在＝的左侧区间(－π，)内单调递减，在其右侧区间(，π)内单调递增，所以＝是()的一个极小值点；对于，′()＝－≤恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于，()＝在＝没有定义，所以＝不可能成为极值点，综上可知，答案选.．已知函数()＝－＋－－在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数的取值范围是( )．(－，)．(－∞，－)，∪(，＋∞)．[－，]．(－∞，－]∪[，＋∞)[答案][解析]′()＝－＋－，∵()在(－∞，＋∞)上是单调函数，且′()的图象是开口向下的抛物线，∴′()≤恒成立，∴Δ＝－≤，∴－≤≤，故选.．函数()在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数＝′()的图象可能为( )[答案][解析]由图象知，()在<时，图象增→减→增，>时，单调递增，故′()在<时，其值为＋→－→＋，在>时为＋，故选.．已知函数()的导函数的图象如图所示，若△为锐角三角形，则一定成立的是( )．()>()．()<()．()>()．()<()[答案] [解析]由导函数图象可知，>时，′()>，即()单调递增，又△为锐角三角形，则＋>，即>>－>，故>(－)>，即>>，故()>()，选.．函数()＝＋－＋的图象经过四个象限，则实数的取值范围是( )．－<< ．－<<－．－<<－．<－或>。

模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i(2＋i)5＝－1＋2i，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a<3b成立C.3a＝3b或3a<3b成立D.3a＝3b且3a<3b成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B. 答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出 解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019.答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫ππ－x 2d x ＝π24. 解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫ππ－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a .(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x，设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下：x (－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)－0＋0－g(x)递减有极小值－4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下：要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同的交点，∴实数a的值为－4或0.19．(12分)(1)当a>2时，求证：a＋2＋a－2<2a；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)由题意得(a＋2＋a－2)2＝2a＋2a＋2·a－2，∵a－2>0，a＋2>0，且a＋2≠a－2，∴要证a＋2＋a－2<2a，即证2a＋2a＋2·a－2<4a，即证a＋2·a－2<a，即证a2－4<a2，即证－4<0，而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ， 则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值． 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 解析：(1)f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点， 所以2－a 2＝0，所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0， 所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x， 令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ， 则g ′(x )＝2x 2－x －1x， 因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0. 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式． 解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证． 所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以a n ＝2n (n ＋1).。

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．复数＝(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵＝＝＝＝－，∴复数对应的点的坐标为，在第四象限．答案：．函数()＝＋＋的图象在＝处的切线在轴上的截距为( )．．．－．－解析：′()＝＋，′()＝，()＝，－＝(－)，＝时，＝－.答案：．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．．①②③．①③．①．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：．函数＝－－(－<<)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：′＝－－＝，得＝－，＝，当<－时，′>；当>－时，′<.当＝－时，极大值＝，取不到，无极小值．答案：．函数＝＋的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．))＝．＝．＝解析：由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋>(∈＋)时，在验证＝时，左边的代数式为( ) ．＋＋．＋．．解析：当＝时，不等式左边为＋＋＝＋＋.答案：．函数＝－在(－∞，＋∞)上的减区间是[－]，则( )．＝．＝．＝．≤解析：∈[－]，′＝－≤，且′＝±＝，∴＝，＝.答案：．若，∈，则＋是( )．纯虚数．实数．虚数．不能确定解析：设＝＋，＝＋(，，，∈)，则＋＝(＋)(－)＋(－)(＋)＝(＋)∈.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( ) ．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，所以＝.答案：．函数()的定义域为，(－)＝，对任意∈，′()>，则()>＋的解集为( ) ．(－) ．(－，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，＋∞)解析：设()＝()－(＋)，。

高中数学学习材料唐玲出品高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为150分）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分,共50分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 ( ) (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ ）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+ 4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（ ）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－2 5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 7．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 （ ）(A)1 (B)34 (C)611 (D)588． 曲线xy e =，xy e -= 和直线1x =围成的图形面积是 （ ）(A)1e e -- (B) 1e e -+ (C) 12e e --- (D) 12e e -+-9．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）(A) １ (B)2 (C) ２ (D) 2210．设2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]11,x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为 （ ） (A)12 (B) １ (C) 32(D) ２ 二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ．12．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角,记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系, 可以求得当2n …时,()f n = ．13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为 ． 14．设i a R +∈，i x R +∈，12,,i n =，且222121n a a a ++=，222121n x x x ++=，则1212,,,nna a a x x x 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三 解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（本小题12分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 1 2 23 4 3 4 7 7 4 … … …16（本小题满分14分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值；(2) (2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z17（本小题满分12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

人教版高中数学选修2～2 全册章节同步检测试题选修2-2 1.1 第1课时 变化率问题一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零[答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， ∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B.6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2[答案] C [解析]Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx .故应选C.7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3D ．9.3[答案] A[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89， ∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δts (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(Δx )2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2[答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2，故应选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________.[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________．[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率Δx Δx 1当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)－1－(－3)＝－2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2.16．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225. 17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ [解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为Δx Δx对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ， 即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt ＝18＋3Δt .当Δt →0时，ΔsΔt →18，故应选B.3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2∴ΔyΔx＝2＋Δx 当Δx →0时，ΔyΔx →2∴f ′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )A ．37B ．38C ．39D ．40[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D. 5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量 B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′ D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0) [答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( ) A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( ) A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b[答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c Δx＝4a ＋b ＋a Δx ，∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线[答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D. 9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt ＝3－Δt ，∴s ′(0)＝li m Δt →0 ΔsΔt＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1aB.2aC ．－1a2D.1a2[答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a2.二、填空题11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________.[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝a .∴a ＝2. 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3 ＝lim x →32x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3.由于f (3)＝2，上式可化为li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． [解析] 由导数定义有f ′(x 0) ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)ΔyΔx(2)f ′(1)． [解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx ＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x ≥0)－x －x 2(x <0)Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx ＋(Δx )2(Δx >0)－Δx －(Δx )2(Δx <0)∴lim x →0＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－ Δy Δx ＝lim Δx →0－(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故应选B.2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4C.54πD ．－π4[答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2 B．－1C．1 D．－2[答案] B[解析] limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( ) A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( ) A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案] A[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设x P＝x0，∴Δy＝3x20·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，∴3x20＋1＝4，x20＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－ 3.∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π.故应选A.10．(2010·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12.二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________． [答案] 4x －y －1＝0[解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0.12．若函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f (x )＝x －1x＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1xΔx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2. ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.三、解答题15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∴y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x.∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx ＝3x 2－3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) 又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14.17．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析] y ′＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝li m Δx →0 x ·Δx (x ＋Δx )－Δx(x ＋Δx )·x ·Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x2＜1，∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx ＝3， 所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0.所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C. 8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A.14433B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________．[答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上， 故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t 2(t ＋Δt )2＝－2t Δt －(Δt )2t 2(t ＋Δt )2∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264. 17．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．60°[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°. 2．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193B.163 C.103D.133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数． 二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0.12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______．[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． [解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4， 解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4. 18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数， 则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1 若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.2．若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )＝( ) A ．x 4B ．x 4－2 C ．4x 3－5D ．x 4＋2[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝4x 3.∴f (x )＝x 4＋c ，又f (1)＝－1 ∴1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， 即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a， 顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a，－b 24a 在第三象限，故选C.5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( ) A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x －sin2xC ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B. 二、填空题11．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________. [答案]2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0， 即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________． [答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________． [答案] (1＋2x 2)1＋x21＋x2[解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x21＋x2. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x . (2)y ′＝1x ＋1＋x2·(x ＋1＋x 2)′ ＝1x ＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2ex(e x －1)2 .(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 16．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ； (3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′ ＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′ ＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1) ＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e.(4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )．[解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x(1＋x 2)2＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]， 又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )．∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；(2)y ＝f (x 2＋1)．。

《数学选修2-2》综合测试第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、复数i a b +与复数i c d +的积是实数的充要条件是 ( ) A.0ad bc += B.0ac bd += C.ac bd = D.ad bc =2、函数()323922y x x x x =---<<有( )A.极大值5,极小值27-B.极大值5,极小值11-C.极大值5,无极小值D.极小值27-,无极大值 3、函数xx y 142+=单调递增区间是( ) A.),0(+∞ B.)1,(-∞ C.),21(+∞ D.),1(+∞ 4、下列计算错误的是( ) A.ππsin 0xdx -=⎰ B.123xdx =⎰C.ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰D.π2πsin 0xdx -=⎰5、计算10052201i 1i [(12i)i()]()1i 2-++⋅+-+的值为( ) A.1- B.12i - C. 12i + D.16、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为( ) A.10 B. 5 C. 1- D.73-7、有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊂/平面α,直线a ⊂平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 8、若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A.纯虚数B.实数C.虚数D.不能确定9、设222log (33)ilog (3)(),z m m m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是( )A.15±B.15 C. 15- D. 1510、用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项12(1)k +B.增加了两项11212(1)k k +++ C.增加了两项11212(1)k k +++,又减少了一项11k + D.增加了一项12(1)k +,又减少了一项11k +11、定义复数的一种运算1212||||*2z z z z +=(等式右边为普通运算),若复数i z a b =+,且正实数a,b 满足3a b +=,则*z z 最小值为( )A.92 B.322 C.32 D.9412.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( )A.在1t 时刻,甲车在乙车前面B.1t 时刻后,甲车在乙车后面C.在0t 时刻,两车的位置相同D.0t 时刻后,乙车在甲车前面第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)tt 0 t 1v 甲v 乙v(t) 图2 O13、复数1i1.1iz -+=-+在复平面内,z 所对应的点在第________象限. 14、垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程是_______ 15、在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹力所作的功是______________ J.(设比例系数为k )16、若RtΔABC 中两直角边为a 、b ,斜边c 上的高为h ,则222111b a h +=,如图,在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC,PO 为棱锥的高, 记M=21PO ,N=222111PCPB PA ++,那么M 、N 的大小关系是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求z -.18、(12分) 已知如下等式:212316⨯⨯=,22235126⨯⨯+=,2223471236⨯⨯++=,当n *∈N 时,试猜想2222123n ++++的值,并用数学归纳法给予证明.19、(12分)请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大?【注:1,3V S h V S h =⋅=⋅底锥体底柱体】20、(12分)设函数3()3(0)f x x a b a =-+>.(1)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值;(2)求函数()f x 的单调区间与极值点.21、(12分)已知函数2()ln f x x a x =-(常数0)a >,()xg x e x =-. (1)证明:ae a >;(2)当2a e >时,讨论函数()f x 在区间(1,)ae 上零点的个数(e 为自然对数的底数). 22、(14分)(1)已知函数2()4f x x =-+((1,2)x ∈-),P 、Q 是()f x 图象上的任意两点, ①试求直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围; ②求()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围;(2)由(1)你能得出什么结论?(只须写出结论,不必证明),试运用这个结论解答下面的问题: 已知集合D M 是满足下列性质函数()f x 的全体:若函数()f x 的定义域为D ,对任意的1212,,()x x D x x ∈≠有1212|()()|||.f x f x x x -<-①当(0,)D =+∞时,()ln f x x =是否属于D M ,若属于D M ,给予证明,否则说明理由; ②当3(0,)3D =,函数3()f x x ax b =++时,若()D f x M ∈,求实数a 的取值范围.参考答案1.A ∵(i)(i)()i a b c d ac bd ad bc R +⋅+=-++∈⇔0=+bc ad2.C 23690,1,3y x x x x '=--==-=得,当1x <-时,0y '>;当1x >-时,0y '< 当1x =-时,5y =极大值;x 取不到3,无极小值.3.C 令3222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -'=-=>-++>> 4.Ｄ 可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果. 5.C 10052201i 1i [(12i)i()]()1i 2-++⋅+-+5210[(12i)1(i)]i =+⋅+--()2101i i 12i =+-=+6.D 23()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x ''=+==-=-==-时 7.A 直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.大前提错误. 8.B 121212i,i,(,,,),(i)(i)(i)(i)z a b z c d a b c d R z z z z a b c d a b c d --=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈9.B 22222233log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==-- 22331,15,3,15(3)2m m m m m m --==±>=-而 10.C kk k k k n ++++++==1...2111,左边时, 22112111)1...2111( )1()1(1...2)1(11)1(1,+++++-++++++=++++++++++==k k k k k k k k k k k k n 左边时11.B *z z =ab b a b a b a z z 2)(222||||22222-+=+=+=+ 49,4922-≥-∴=⎪⎭⎫⎝⎛+≤ab b a ab 又,*z z ==⨯-≥29492932212.A 由图可得,在1t 时刻,甲车的路程是S 1＝1t 0v dt ⎰甲,表示的是由线v 甲与x 轴、x=t 1所围成的面积;同理可得S 2＝1t 0v dt ⎰乙,表示的是由线v 乙与x 轴、x=t 1所围成的面积,所以S 1>S 2, 甲车在乙车前面.选A.其它可一一验证是错的.故选A. 13.二 1i11i 1iz -+=-=-++. 14.360x y ++= 设切点为(,)P a b ,函数3235y x x =+-的导数为236y x x '=+切线的斜率2|363x a k y a a ='==+=-,得1a =-,代入到3235y x x =+-,得3b =-,即(1,3)P --,33(1),360y x x y +=-+++=15.212kl 因为力()F x 与弹簧的长度x 关系为()F x kx =,又变力作功公式,得 22011022l l W kxdx kx kl ===⎰16.M N = 在RtΔABC 中,222c a b =+ ①,由等面积法得ch ab =,∴2222c h a b ⋅=⋅ ②,①÷②整理得222111b a h +=. 类比得,2222ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆=++ ①,由等体积法得12ABC S PO PA PB PC ∆⋅=⋅⋅, ∴2222214ABC S PO PA PB PC ∆⋅=⋅⋅②,①÷②整理得M N =. 17.解:设i,(,)z a b a b R =+∈,由1z =得221a b +=;(34i)(34i)(i)34(43)i z a b a b a b +⋅=++=-++是纯虚数,则340a b -= 2244155,3334055a a a b a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎧⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或,4343i,i 5555z -=--+或 18.解:由已知,猜想2222(1)(21)1236n n n n ++++++=,下面用数学归纳法给予证明:(1)当1n =时,由已知得原式成立;(2)假设当n k =时,原式成立,即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=那么,当1n k =+时,222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++22(1)(21)6(1)(1)(276)66k k k k k k k +++++++==(1)(2)(23)6k k k +++==(1)[(1)1][2(1)1]6k k k +++++故1n k =+时,原式也成立. 由(1)、(2)知2222(1)(21)1236n n n n ++++++=成立.19.解:设正六棱锥的高为x m,则正六棱锥底面边长为223x -(单位:m). 于是底面正六边形的面积为(单位:m 2):2223336(9)(9)42S x x =⋅⋅-=-.帐篷的体积为(单位:m 3):223233133()(9)1(9)(3)(3927)2322V x x x x x x x x ⎡⎤=-+=-+=--++⎢⎥⎣⎦(13)x << 求导数,得233()(23)2V x x x '=-+-; 令()0V x '=解得x=-3(不合题意,舍去),x=1.当0<x<1时,()0V x '>,V(x)为增函数;当1<x<3时,()0V x '<,V(x)为减函数. 所以当x=1时,V(x)最大.即当OO 1为2m 时,帐篷的体积最大.20.解:(1)()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩(2)∵3()3(0)f x x a b a =-+>, 由()'0f x x a =⇒=±,当(),x a ∈-∞-时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x a =-是()f x 的极大值点,x a =是()f x 的极小值点.21.(1)证明:得() 1 xg x e '=-,令()00g x x '=⇒=,当0x >时,()1110xg x e '=->-=, ∴()g x 在),0[+∞上是增函数,又0a >,得()(0)10g a g >=>. 所以,0ae a ->,即>ae a .(2)解:因为22()2a x a f x x x x-'=-= 222()()22a ax x x-+=. 当202a x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数;当22a x >时,()0f x '>,()f x 为增函数. ∴min 2()()(1ln ).222a a af x f ==- 又由(1)得22 (0,2)22a a a a a a e e a a a e <<<≥<⇒<,且当2a e >时,212a e >>, 有212a ae <<. 而(1)10f =>,22()()()0,aaa a f e ea e a e e =-=-+>当2a e >时,min 2()()(1ln )0222a a af x f ==-<, 所以,当2a e >时,函数()f x 在(1,)ae 上有两个零点.22.解:(1)①设1122(,()),(,())P x f x Q x f x 是()f x 图象上的任意两点(12x x ≠),则222121212121()()(4)(4)()PQf x f x x x k x x x x x x --+--+===-+--,由12,(1,2)x x ∈-,知12()(4,2)x x -+∈-, ∴直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围是(4,2)-; ②由'()2f x x =-,(1,2)x ∈-,得'()(4,2)f x ∈-, ∴()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围是(4,2)-;(2)由(1)得:函数()y f x =图象上任意两点P 、Q 连线的斜率121212()y y k x x x x -=≠-的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围(其实由导数的定义可得). ①1'(),f x x=∴(0,1),'()1|'()|1,x f x f x ∈>⇒>若 ∴1212()()||1,f x f x x x ->- 当12,(0,1)x x ∈时,()ln .D f x x M =∉②由32()()3,f x x ax b f x x a '=++⇒=+当3(0,)3x ∈时,'()1.a f x a <<+ (),D f x M ∈∴12121212()()|()()|||,||1,f x f x f x f x x x x x --<-<-即∴111a a ≥-⎧⎨+≤⎩,得10a -≤≤.∴实数a 的取值范围是[1,0]-.。

高中数学人教A版选修2-2模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限2．下面几种推理中是演绎推理的为()A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r23．函数y＝(sin x2)3的导数是()A．y′＝3x sin x2·sin 2x2B．y′＝3(sin x2)2C．y′＝3(sin x2)2cos x2D．y′＝6sin x2cos x24．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．eC.ln 22D．ln 26．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B．202C．212D．2228.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1)D ．不确定11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为______．14．(天津高考)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a2 016，则a2 016＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)证明对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x＋2x2－3x.(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x≥12时，若关于x的不等式f(x)≥52x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．高中数学人教A 版选修2-2模块综合检测(参考答案)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94. 当x＞98时，y′＞0，∴y＝x2－94x－6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()解析：选C根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)C．f(－1)<f(1) D．不确定解析：选B因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f (1).11．若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选B由2x ln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋3x，设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝(x＋3)(x－1)x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则e x1f(x2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x－f (x )(e x)′(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 答案：514．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变化关系如下表：故当p＝30时，y取极大值为23 000元．又y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：3023 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a2 016，则a2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，a n＝2＋3＋…＋(n＋2)＝(n＋1)(2＋n＋2)2＝12×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2 016＝2＋3＋4＋…＋2018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010.答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.证明：已知a＞b＞c，因为a－ca－b ＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1±3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1 ＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 解：(1)由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0. 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)|<M－m＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x＋2x2－3x.(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x≥12时，若关于x的不等式f(x)≥52x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)证明：f′(x)＝e x＋4x－3，∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，∴f′(0)·f′(1)<0.令h(x)＝f′(x)＝e x＋4x－3，则h′(x)＝e x＋4>0，∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．(2)由f(x)≥52x2＋(a－3)x＋1，得e x＋2x2－3x≥52x2＋(a－3)x＋1，即ax≤e x－12x2－1，∵x≥12，∴a≤e x－12x2－1x.令g(x)＝e x－12x2－1x，则g′(x)＝e x(x－1)－12x2＋1x2.令φ(x)＝e x(x－1)－12x2＋1，则φ′(x)＝x(e x－1)．∵x≥12，∴φ′(x)>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。

模块综合检测(能力卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．曲线＝－在点(－，－)处的切线方程是( )．＝－．＝＋．＝－．＝＋[答案][解析]′＝－＝(－)＝－＝，∴切线方程为＋＝＋，即＝－.．设＝＋，则复数＝－－(－)在复平面上的对应点在( )．第一象限．第二象限．第四象限．第三象限[答案][解析]∵＝＋，∴＝＝，∴＝＋－－(－)＝(－－)＋(＋)＝－＋.∴复数在复平面上的对应点在第二象限，故应选.．若函数()＝＋＋的图象的顶点在第四象限，则函数′()的图象是( )[答案][解析]∵′()＝＋为增函数，∴排除、；又()的顶点在第四象限，∴－>，∴<，排除，故选.．定义复数的一种运算*(等式右边为普通运算)，若复数＝＋，为的共轭复数，且正实数，满足＋＝，则*的最小值为( )．[答案][解析]由题意可得*＝＝＝，∵正实数，满足＋＝，∴＝－，∴＝＝，由二次函数可知当＝时，上式取最小值.故选.．(·宜春高二检测)已知函数()＝＋＋，令()＝′()，()＝′()，()＝′()，…，＋()＝′()，则()＝( )．＋．＋．－＋．－＋[答案] [解析]()＝′()＝＋＋，()＝′()＝－＋＋×，()＝′()＝－＋＋××，…，∴()＝＋.．函数()＝－(∈[])的最大值是( )．－．．[答案][解析]由′()＝－＝得，＝±，∵∈[]，∴＝，∵当∈[，]，′()>，当∈[，]时，′()<，∴()在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，故＝时，()取到极大值也是最大值，()＝×－×()＝，故选.．(·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数．已知函数：①＝; ②＝(＋)；③＝－; ④＝.其中为一阶格点函数的序号为( )．①②．②③．①③．②④[答案][解析]对于①，注意到＝的值域是[－]；当＝时，＝π(∈)，此时相应的整数＝；当＝±时，＝π＋(∈)，此时没有相应的整数，因此函数＝仅过唯一的整点()，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数＝(＋)不是一阶格点函数．对于③，令＝－＝(∈)得＝＋>，＝(＋)，仅当＝时，＝∈，因此函数＝－是一阶格点函数．对于④，注意到函数＝的图象经过多个整点，如点()，()，因此函数＝不是一阶格点函数．综上所述知选.．(·淄博高二检测)下列求导运算正确的是( )．()′＝·－．()′＝．(－)′＝－．()′＝[答案][解析]对于，()′＝；对于，()′＝；对于，(－)′＝＋；对于，()′＝；综上可知选.．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：。