第七章 第五节推理与证明

第5节数学归纳法(选用)考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1。

数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

2。

数学归纳法的框图表示［常用结论与易错提醒]1。

数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.诊断自测1。

判断下列说法的正误。

（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（）(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(）(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。

()解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案(1）√(2）×（3）×（4)×2。

（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（）A.1B.2C。

3 D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。

答案C3。

已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则(）A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误!C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误!D。

f（n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时,f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时,错误!＝错误!，错误!＝错误!，故f(2）＝错误!＋错误!＋错误!.答案D4.用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N，且n〉1）,第一步要证的不等式是________。

1．1 归纳推理【学习要求】1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．2．了解归纳推理在数学发展中的作用．【学法指导】一，基础知识回顾：归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．二，问题探究探究点一：归纳推理的定义例1：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答：根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理．变式迁移1：观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？答：①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确．小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． 探究点二：归纳推理在数列中的应用例2：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1变式迁移2：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想通项公式a n .解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．探究点三：归纳推理在图形变化中的应用例3：在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，则f(3)＝10_；f(n)＝n n ＋1n ＋26(答案用含n 的代数式表示)． 解析：观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝12[16n(n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26. 变式迁移:3：在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N *)边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线． 于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n(n －3)(n ≥4且n ∈N *) 探究点四：归纳推理在算式问题中的应用例4：观察下列等式，并从中归纳出一般法则．(1)1＝12， 1＋3＝22，1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……(2)1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， ……解：(1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方； 对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方．∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．:(2)猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋[n＋(3n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N *)．变式迁移4：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *).． 三，练一练1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 若6＋a b ＝6a b(a 、b 均为实数)．请推测a ＝6，b ＝35 解析：本题考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35. 2．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为n 2－n ＋62解析：前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n . 解：a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，又因为a 1>0，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)，两式相减得：a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，即a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．所以a 2－1a 2＝－2，又因为a 2>0，所以a 2＝2－1. a 3－1a 3＝－22，又因为a 3>0，所以a 3＝3－ 2. a 4－1a 4＝－23，又因为a 4>0，所以a 4＝2－ 3.将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0，a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3，由此可以归纳推测：a n ＝n －n －1. 四，课时小结归纳推理的一般步骤(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.五，作业设计：1． 数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于 (B)A ．47B ．65C ．63D ．1282． 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x)′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D)A ．f(x)B ．－f(x)C ．g(x)D ．－g(x) 3． f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当n ≥2时，有f(2n )>n ＋224． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝325． 已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝36． 设x ∈R ，且x ≠0，若x ＋x －1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是77． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为①8． 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *) 9． 如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝55 (3)S n ＝n (n ＋1)210画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第5 030项；(2)b 2k －1＝5k (5k －1)2.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 解：(1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f(n ＋1)＝f(n)＋n ＋1.(3)f(n)＝[f(n)－f(n －1)]＋[f(n －1)－f(n －2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22. 13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．解：b 1＝a 〃r 100＋a 4〃p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p)；b 2＝ab 1＋a 4〃p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p]；b 3＝ab 2＋a 4〃p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋453p]．归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p] 1.2 类比推理【学习要求】1．通过具体实例理解类比推理的意义；2．会用类比推理对具体问题作出判断．【学法指导】类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确.一，基础知识回顾：1．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征 ，我们把这种推理过程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理．2．合情推理：合情推理是根据实验 和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．二，问题探究探究点一：平面图形与立体图形间的类比例1：如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？ 解：对平面凸四边形：S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k 2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)，所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k ；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4 ＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)．故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K. 变式迁移1：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是____________．解析：类比条件：两边AB 、AC 互相垂直侧面ABC 、ACD 、ADB互相垂直．结论：AB 2＋AC 2＝BC 2 S 2△A B C ＋S 2△A C D ＋S 2△A D B ＝S 2△B C D .答案：设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD探究点二：内似两事物之间的内比例2：根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质： 猜想不等式的性质：(1)a ＝b ⇒a ＋c ＝b ＋c; (1)a>b ⇒a ＋c>b ＋c ；(2)a ＝b ⇒ac ＝bc; (2)a>b ⇒ac>bc ；(3)a ＝b ⇒a 2＝b 2等等. (3)a>b ⇒a 2>b 2等等．例3：在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_______成立．解析：在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相应地，类比此性质在等比数列{b n }中，可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，(n<17，n ∈N *)．变式迁移3：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4:，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 三，练一练1．下列说法正确的是 (B )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误解析：根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8解析：∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝n a 1a 2…a n时，数列{b n }也是等比数列．4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的中心．四，课时小结1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为： 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想 五，作业设计：1． 下列推理正确的是 (D)A ．把a(b ＋c)与log a (x ＋y)类比，则有log a (x ＋y)＝log a x ＋log a yB ．把a(b ＋c)与sin (x ＋y)类比，则有sin (x ＋y)＝sin x ＋sin yC ．把a(b ＋c)与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a y D ．把a(b ＋c)与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c2． 下面几种推理是合情推理的是 (C) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(B) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行4． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q>1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是(A)A.b 4＋b 8>b 5＋b 7B.b 5＋b 7>b 4＋b 8C.b 4＋b 7>b 5＋b 8D.b 4＋b 5>b 7＋b 8.5． 已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝12lr 6． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G(x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y 33(其中A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，猜想以A(x 1，y 1，z 1)、B(x 2，y 2，z 2)、C(x 3，y 3，z 3)、D(x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G(x ，y ，z )的公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 447． 公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q(q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 1008． 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．你认为比较恰当的是.①②③．(填序号)9． 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，p k)，请你写出弦MN 的中点坐标：(pk 2＋p ，－pk) 10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 3811．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB＝PA ′·PB ′PA·PB写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．解:类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′〃PB ′PA 〃PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝PA ′〃PB ′PA 〃PB 〃PC ′PC证明：如图：设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h.则h ′h＝PC ′PC ，故V P —A ′B ′C ′V P —ABC＝13〃S △PA ′B ′〃h ′13S PAB 〃h ＝PA ′〃PB ′〃h ′PA 〃PB 〃h ＝PA ′〃PB ′〃PC ′PA 〃PB 〃PC. 12. 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b·cos C ＋c·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解:如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1〃cos α＋S 2〃cos β＋S 3〃cos γ.13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．解:类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD.则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF.∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD.而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF.在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 1.3综合法与分析法(一)【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2. 理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．【学法指导】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.一，基础知识回顾：1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过演绎推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．二，问题探究探究点一：综合法例1：在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ①，由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π②，由①②，得B ＝π3③，由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ④，由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c)2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C ⑤。

推理与证明知识讲解一、推理推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断．这种思维方式就是推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．推理一般分为合情推理与演绎推理．1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．归纳推理的一般步骤：第1步通过观察个别情况发现某些相同的性质；第2步从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．类比推理的一般步骤：第1步找出两类事物之间的相似性或一致性；第2步用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．几种数学中常用的演绎推理规则：⇒，p真，⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．符号语言：若p q则q真；⇒．⑵三段论推理：如果b c a b⇒⇒，，则a c“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等）②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论）③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．⑶传递性关系推理：如果aRb bRc，，则aRc，其中R表示具有传递性的关系．⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则．二、证明证明：分成直接证明与间接证明．1．直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．2．间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；与原命题中的已知结论矛盾等．典例精讲一．选择题（共12小题）1．（2018春•龙岩期中）有一个偶数组成的数阵排列如下：2 4 8 14 22 32 …6 10 16 24 34 ……12 18 26 36 ………20 28 38 …………30 40 ……………42 …………………………………则第20行第4列的数为（）A．546B．540C．592D．5982．（2017秋•大武口区校级期中）某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（）A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋3．（2017•迎泽区校级一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”的两数之和，表中最后一行仅是一个数，则这个数为（）A ．2018×22016B ．2018×22015C ．2017×22016D ．2017×220154．（2017春•阳春市校级月考）等差数列有如下性质：若数列{a n }为等差数列，则当b n =a 1+a 2+⋯+a nn时，数列{b n }也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，当d n =____________时，数列{d n }也是等比数列，则d n 的表达式为（ ） A ．d n =c 1+c 2+⋯+c n nB ．d n =c 1⋅c 2⋅⋯⋅c nnC ．d n =√c 1⋅c 2⋅⋯⋅c n nD ．d n =√c 1n ⋅c 2n ⋅⋯⋅c n nnn5．（2017春•蕲春县期中）给出下面四个类比结论正确的个数是（ ） ①实数a ，b ，若ab=0，则a=0或b=0；类比复数z 1、z 2，若z 1z 2=0，则z 1=0或z 2=0； ②实数a ，b ，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量a →，b →，若a →•b →=0，则a →=0→或b →=0→； ③实数a ，b ，有a 2+b 2=0，则a=b=0；类比复数z 1，z 2，有z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0； ④实数a ，b ，有a 2+b 2=0，则a=b=0；类比向量a →，b →，有a →2+b →2=0，则a →=b →=0→．A ．0B ．1C ．2D ．36．（2017•蚌埠三模）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（ ） A ．可能有两支队伍得分都是18分 B ．各支队伍得分总和为180分 C ．各支队伍中最高得分不少于10分D．得偶数分的队伍必有偶数个7．（2017春•新华区校级月考）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上没有的数字是（）A．不确定B．3C．2D．18．（2017•和平区校级模拟）我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=00√A2+B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+3z+3=0的距离为（）A．3B．5C．8√147D．3√59．（2017•永州二模）有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）10．（2017•淄博一模）如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2＜∫a+1ax2dx＜（a +1）2．类比之，若对∀n ∈N*，不等式1n+1+1n+2+⋯+12n＜A ＜1n +1n+1+…+12n−1恒成立，则实数A 等于（ ）A ．ln 52B ．ln 2C ．12ln 2D ．12ln 511．（2017•大连模拟）“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ） A ．男护士 B ．女护士 C ．男医生 D ．女医生12．（2016秋•房山区期末）对于100个黑球和99个白球的任意排列（从左到右排成一行），则一定（ ）A ．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B ．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C ．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个D ．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个二．填空题（共6小题）13．（2018春•邢台期末）已知函数f （x ）=xlnx ，设f 1（x ）=f′（x ）=1+lnx ，f 2（x ）=f1′（x ）=1x，f 3（x ）=f2′（x ）=−1x 2，f 4（x ）=f 3′（x ）=2x 3…，则f10(1)=．（用数字作答）1×2×3×4×5×6×714．（2018春•赣榆区期中）当△DEF和正△ABC具有如图所示的位置关系时，我们称△DEF内接于正△ABC．已知n边形A1A2…A n内接于边长为1的正n边形A1′A2′…A n′（n≥3），若n边形A1A2…A n中至少有一边的长不小于a，则a的最小值是．（用含有n的表达式表示）15．（2018•济南一模）如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点（1，0）处标数字1，记为a1；点（1，﹣1）处标数字0，记为a2；点（0，﹣1）处标数字﹣1，记为a3；点（﹣1，﹣1）处标数字﹣2，记为a4；点（﹣1，0）处标数字﹣1，记为a5；点（﹣1，1）处标数字0，记为a6；点（0，1）处标数字1，记为a7；…以此类推，格点坐标为（i，j）的点处所标的数字为i+j（i，j均为整数），记S n=a1+a2+…+a n，则S2018=．16．（2018春•铜山区期中）已知a n=3n，把数列{a n}的各项排成如下的三角形：记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（12，13）=．17．（2017•上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为．18．（2014•天心区校级模拟）第1行：21+20第2行：22+20，22+21第3行：23+20，23+21，23+22第4行：24+20，24+21，24+22，24+23…由上述规律，则第n行的所有数之和为．三．解答题（共4小题）19．（2018春•福州期中）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．（1）已知动点P 为圆O ：x 2+y 2=r 2外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若PA →⋅PB →=0，求动点P 的轨迹方程； （2）若动点Q 为椭圆M ：x 29+y 24=1外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若QC →⋅QD →=0，求出动点Q 的轨迹方程； （3）在（2）问中若椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．20．（2018春•运城期中）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−23，满足S n +1S n+2=a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．21．（2017秋•浦东新区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若a b ＞cd ，那么称点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，同时点（c ，d ）是点（a ，b ）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，判断是否一定存在点P 满足是点（c ，d ）的“上位点”，又是点（a ，b ）的“下位点”，若存在，写出一个点P 坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n 满足以下条件，对集合m ∈{t |0＜t ＜2017，t ∈Z }，总存在k ∈N *，使得点（n ，k ）既是点（100，m ）的“下位点”，又是点（101，m +1）的“上位点”，求正整数n 的最小值．22．（2017春•景德镇期中）如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，有AC2+BC2=AB2；类比猜想：直角四面体P﹣ABC（即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA）的四个面的面积关系，证明你的猜想．。