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组合一、课堂目标1．理解并掌握组合和组合数的概念．2．掌握组合数公式及其性质并能熟练解决数学问题．2．掌握一些组合问题模型并能熟练运用．【备注】【教师指导】1.本讲内容的重点是组合的定义，组合数的计算方法，组合数的性质以及组合的简单应用；难点是组合问题模型，包括不同元素分组分配问题，相同元素分组—隔板法，涂色问题等等，这些问题需要学生掌握其求解方法.2.本讲的关联知识包括排列、统计概率.二、知识讲解1. 组合与组合数知识精讲组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出，，个元素的一个组合．【备注】【教师指导】排列与组合的联系与区别共同点：都是从个不同元素中取出个元素.，，不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.知识点睛（1）组合定义中的两个要点①取出元素，且要求个元素是不同的；②“只取不排”，即取出的个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.（2）两个组合相同只要两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何.知识精讲（2）组合数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.注意：①组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.②从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.，，，，，，知识精讲（3）组合数公式①连乘表示.②阶乘表示.规定：.注意：组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式②的主要作用有：计算较大时的组合数；对含有字母的组合数式子进行变形.，，，（4）组合数性质①②【备注】【教师指导】（1）性质①反映了组合数的对称性：当时，不直接计算而改为计算，这样起到了简化运算的效果；（2）要注意性质②的灵活运用：顺用可以将一个组合数拆成两个，在进行化简时此种手段可以产生抵消的效果；逆用可以将两个组合数合并为一个，求值时可以循环使用此种手段进行并项．经典例题A.①③B.②④C.①②D.①②④1.给出下列问题：①由，，，构成的含个元素的集合；②从名班委中选人担任班长和团支书；③从数学组的名教师中选人去参加市里新课程研讨会；④由，，，组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的是（ ）．【答案】A【标注】【知识点】组合【备注】【教师指导】这道题考查对概念的辨析，需要学生掌握组合的概念.A.B.C.D.2.若，则（ ）．【答案】B 【解析】，则，∴．故选．【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算【备注】【教师指导】本题考查排列数与组合数的综合计算.巩固练习A.B.C.D.3.若，则（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴，即，求得，或（舍去）．故选．【标注】【知识点】排列数计算；组合数计算经典例题4.方程的解为．【答案】【解析】因为，所以根据组合数的性质可得或，解得：或（不符合题意，舍去），故答案为：．【标注】【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】本题考查组合数的性质，需要学生熟练掌握.巩固练习A. B.或 C. D.或5.若，则的值为（）．【答案】D【解析】依题意得：或，解得：，或，经检验和都符合题意．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】组合数计算2. 组合问题模型知识精讲（1）不同元素分组分配问题①不同元素均匀分组问题【模型】个不同元素平均分成组，每组的元素个数相等．【实例】本不同的书平均分成三组，其分法种数为．②不同元素部分均匀分组问题【模型】个不同元素分成组，其中组元素个数相同．【实例】个人分成三组，去参加不同的活动，其安排方法应为种．③不同元素不均匀分组问题【模型】个不同元素分成组，每组元素个数均不相等．【实例】本书分成三组，其分法种数为．经典例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）6.将本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？分给学生甲本，学生乙本，学生丙本．分给甲、乙、丙人，其中人得本、人得本、人得本．分给甲、乙、丙人，每人本．分成堆，一堆本，一堆本，一堆本．分成堆，每堆本．分给甲、乙、丙人，其中一人本，另两人每人本．分成堆，其中一堆本，另两堆每堆本．【备注】【教师指导】本题考查不同元素的分组分配问题，题目较综合，包括分给人和将书分堆的问题，覆盖情况较全面.第（1）问考查指定人应得数量不均匀问题，不需要考虑排列；第（2）问考查没有指定人应得数量的非均匀问题，需要考虑排列；第（3）问考查指定人应得数量均匀问题，不需要考虑排列；第（4）问同第（1）问等价，实际就是分了组没有进行分配，不需要考虑排列；第（5）问考查均匀分堆（分组）问题，需要考虑排列；第（6）问考查部分均匀地分给人的问题，需要考虑排列；第（7）问考查部分均匀分堆的问题，需要考虑排列.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为．(无序非等分)是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为．(非等分，有序)是指定人应得数量的均匀问题：方法数为．(等分有序)是分堆的非均匀问题(与(1)等价)：方法数为．(非等分无序)是分堆的均匀问题：方法数为．(等分无序)是部分均匀地分给人的问题：方法数为．(局部等分有序)是部分均匀地分堆的问题：方法数为．【标注】【知识点】分组分配法；倍缩法；分步乘法计数原理巩固练习（1）（2）（3）7.按下列要求把个人分成个小组，各有多少种不同的分法？各组人数分别为，，人；平均分成个小组；平均分成个小组，进入个不同车间．【答案】（1）（2）（3）种．种．种．【解析】（1）（2）（3）．．分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有种不同的分法．【标注】【知识点】分组分配法知识精讲（2）相同元素分组问题—隔板法个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．经典例题A.B.C.D.8.把个相同的小球放到三个编号为，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）．【答案】B【解析】根据题意，个相同的小球放到三个编号为，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，则原问题可以转化为将剩下的个小球，放入个盒子，每个盒子至少放个的问题，将剩下的个球排成一排，有个空位，在个空位中任选个，插入挡板，有种不同的放法，即有个不同的符合题意的放法，故选．【标注】【知识点】隔板法【备注】【教师指导】这道题较难，难在“每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数”，而15个小球相同，因此可将三个盒子分别放入1、2、3个小球，则剩下9个，再将剩下的9个用隔板法进行分组即可.巩固练习A.B.C.D.9.现将五本相同的作文书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，不同的分法种数共有（ ）．【答案】A【解析】将本相同的作文书分给甲、乙、丙三人，且每人至少一本，可用挡板法，有个挡板，本书有个空位，∴总情况有，故选．【标注】【知识点】隔板法10.个相同的球分给个人，允许有人可以不取，但必须分完，则有多少种分法？【答案】．【解析】要保证每个人都要取，先给这个人都补一个球，球的总数是个，中间有个空，插入个隔板，可得有种分法．故答案为：．【标注】【知识点】隔板法知识精讲（3）涂色问题①若图形不是很规则，则往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步计数原理；②若图形具有一定的对称性，则先对涂色方案进行分类，每一类再分步.经典例题A.种B.种C.种D.种11.如图为我国数学家赵爽（约世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）．【备注】【教师指导】这道题属于图形不规则类型，可以分步涂色，将5个区域进行编号，分步涂色.【答案】B【解析】设个区域依次为，，，，，分步分析：①对于区域，有种颜色可选；②对于区域，与区域相邻，有种可选；③对于区域，与、区域相邻，有种可选；④对于、区域，若与颜色相同，有种可选；若与颜色不同，有种可选，有种可选，∴对于、区域有种选择；∴不同涂色共有种．故选．【标注】【知识点】分步乘法计数原理12.用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法．【答案】【解析】考虑、、用同一颜色，此时共有种方法．【备注】【教师指导】这道题是图形规则型，可以先分类在分步进行涂色.考虑、、用种颜色，此时共有种方法．考虑、、用种颜色，此时共有种方法．故共有种不同的涂色方法．故答案为：．【标注】【知识点】分组分配法；特殊位置优先法；分步乘法计数原理；加法原理与乘法原理的综合运用；分类加法计数原理巩固练习13.如图，用种不同的颜色给图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】【解析】根据题意，分为三类：第一类是只用两种颜色则为：种，第二类是用三种颜色则为：种，第三类是用四种颜色则为：种，由分类计数原理，共计为种，故答案为：．【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；组合知识精讲（4）“至多”或“至少”问题处理这类问题通常采用“排除法”，也可以用直接法.如从3名男生，2名女生中选出3人参加某项活动，问：至少有1名女生的选法种数为：种或种；至多有2名男生的选法种数为：种或.经典例题（1）（2）14.某市工商局对种商品进行抽样检查，其中有种假货，现从种商品中选取种．至少有种假货在内，不同的取法有多少种？至多有种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．．【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；组合【备注】【教师指导】这道题要让学生充分理解“至多”或“至少”是什么意思：①至少有两种，是指大于等于2种，即两种或三种；②至多有两种，是指小于等于，即0种、一种或两种.巩固练习（1）（2）15.从、、等人中选出人参加运动会．、、中至多有一人在内，有多少种选法？、、三人不全在内，有多少种选法？【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．．【标注】【知识点】组合；加法原理与乘法原理的综合运用经典例题A.B.C.D.16.现有甲、乙、丙、丁、戊种在线教学软件，若某学校要从中随机选取种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有种被选取的概率为（）．【答案】D【解析】由题意可知，从甲、乙、丙、丁、戊种软件中选出种，则其中至少有甲、乙、丙中的种，∴选取的种软件中甲、乙、丙至多有种被选的概率为．故选．【标注】【知识点】古典概型的概率计算（涉及计数原理）【备注】【教师指导】本题考查排列组合和概率的综合，未来高考中，也会考察类似题型.巩固练习17.从装有个红球、个白球的袋中任取个球，则所取的个球中至多有个白球的概率是 ．【答案】【解析】至多有个白球是意思个或个白球，．【标注】【知识点】古典概型的概率计算（涉及计数原理）知识精讲（5）排列、组合综合问题解决排列组合综合问题应遵循原则：先分类后分步，先组合后排列，先特殊后一般，避免重复和遗漏.解排列组合问题时要注意：①分清分类加法计数原理与分步乘法计数原理.主要看是“独立”完成，还是“分步”完成.②分清排列问题与组合问题.主要看是否与“顺序有关”.③分清是否有限制条件.被限制的元素（或位置）称为特殊元素（或特殊位置）.可以采用特殊元素（或特殊位置）优先安排的方法，也可以不考虑限制条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数与组合数.经典例题A.种B.种C.种D.种18.某班班会准备从含甲、乙的人中选取人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）．【答案】C【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有种．共有：（种）．故选：．【标注】【知识点】组合【备注】【教师指导】这道题考查先分类后分步问题，属于计数原理和排列组合综合.巩固练习A.B.C.D.19.某次联欢会要安排个歌舞类节目、个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）．【答案】B【解析】分步进行分析：、先将个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有个空位，、因为个歌舞类节目不能相邻，则中间个空位必须安排个节目，分种情况讨论：①将中间个空位安排个小品类节目和个相声类节目，有种情况，排好后，最后个小品类节目放在端，有种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；②将中间个空位安排个小品类节目，有种情况，排好后，有个空位，相声类节目有个空位可选，即有种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；则同类节目不相邻的排法种数是，故选．【标注】【素养】逻辑推理【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；排列组合综合经典例题A.B.C.D.20.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（ ）．【答案】B【解析】根据题意，分种情况讨论：①，乙和甲一起去社区，此时将丙丁二人安排到、社区即可，有种情况，②，乙不去社区，则乙必须去社区，若丙丁都去社区，有种情况，若丙丁中有人去社区，先在丙丁中选出人，安排到社区，剩下人安排到或社区，有种情况，则不同的安排方法种数有种；故选．【标注】【知识点】分类加法计数原理；特殊元素优先法【备注】【教师指导】这道题属于先特殊后一般，先考虑甲、乙.巩固练习A.种B.种C.种D.种21.某中学高二学生会体育部共有人，现需从体育部选派人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ）．【答案】C 【解析】①选甲：．②不选甲：．∴共有种．故选：．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】排列组合综合；特殊元素优先法三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！【备注】四、出门测22.若组合数满足，则．【答案】【解析】因为，所以，所以．故答案为：．【标注】【知识点】组合数计算A.B.C.D.23.工作需要，现从名女教师，名男教师中选名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为（ ）．【答案】D 【解析】男女：；男女：；所以共有．故选．【标注】【知识点】分组分配法（1）（2）24.在下列条件下，分别求出有多少种不同的做法？个不同的球，放入个不同的盒子，每盒至少一球．个相同的球，放入个不同的盒子，每盒至少一球．【答案】（1）（2）种．种．【解析】（1）（2）第一步从个球中选出个组成复合元素共有种方法，再把个元素（包含一个复合元素）放入个不同的盒子中有种，根据分步计数原理放球的方法有种．利用插板法，把个球排成一排，不包含两端，形成了个空，插入个板，有种，故个相同的球，放入个不同的盒子，每盒至少一球，有种．【标注】【知识点】隔板法。
《组合》教案（一）教学内容组合的概念（二）教学目标通过解决实际的计数问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系.（三）教学重点与难点重点：组合的定义.难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义.（四）教学过程设计1.引入新课问题1：甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的一项活动，有多少种不同的选法？答：以上问题是从3个不同的元素，即甲、乙、丙三名同学，从中选出2个元素，并按一定的顺序排列，即分别参加上午和下午的活动，属于排列问题.2=3×2=6种不同的选法.总共有A3设计意图：复习回顾排列的定义，注意强调排列定义中与下文组合区别的关键点位置.问题2：如果问题变为从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？追问1：问题2中要完成的“一件事情”是什么？与问题1中的“一件事情”有什么异同？答：问题2要完成的“一件事情”是要从3名同学中选出2名同学参加活动；相同：两个问题都是要从3名同学即3个不同的元素中选取.不同：问题1选出的2名同学分别要参加上、下午的活动，而这一问题选出两名同学即可. 追问2：你能枚举出问题2的所有选法吗？答：共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法.追问3：对照问题1与问题2的选法，有什么不同？是否与顺序有关？答：问题1的六种选法为甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙.问题2只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序，而问题1选出的2个元素存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”的顺序问题.设计意图：既检测了分析解决排列问题的情况，又在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念做准备.2课堂探究问题3：前面把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，应该如何表述问题2呢？答：表述为“从3个不同元素中取出2个元素作为一组，共有多少种不同的组？追问1：这个问题就是我们本节课要研究的组合问题，你能类比排列的定义给出组合的定义吗？答：一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n，且m，n∈N+）个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.追问2：结合问题1和问题2的研究，你能说一说排列与组合之间的相同与不同点吗？共同点：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何都是相同的.设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问题，厘清排列与组合的联系和区别，进一步明确组合的概念.3 知识应用问题4：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？（2）从中选3辆，有多少种不同的方法？答：（1）从9辆不同的自行车中任意选取3辆，再分配给3位同学，属于排列问题.（2）从9辆不同的自行车选取3辆作为一组，属于组合问题.设计意图：通过分析和区分排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.问题5：例1 平面内有A，B，C，D共4个点．（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？追问1：以上两问是排列问题还是组合问题？答：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．追问2：回答上述（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线2=4×3=12段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A4追问3：能枚举出问题（2）的所有线段吗？答:一组共有如下6条：AB，AC，AD，BC，BD，CD．追问4：根据排列和组合的定义，能尝试根据分步乘法计数原理解决这个问题吗?答：问题（1）可以理解为分成以下两个步骤完成：第一步，先把平面内A，B，C，D4个点任取2个点作为线段端点，设其取法总数为x；2第二步，把选出的两个点进行排列，即分别作为有向线段的起点和终点，排列数为A2设计意图：通过分析和解决具体的排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.4 归纳总结问题6：（1）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？（2）如何求一个组合问题的所有组合个数？答：（1）排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺利排成一列，取出的m个元素之间有顺序；而组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，取出的m个元素之间没有顺序.排列需要考虑元素顺序，组合不需要考虑元素顺序.（2）对于简单问题，我们既可以使用枚举的方法求出所有组合的个数也可以用分步乘法计数原理借助排列数进行计算.设计意图：通过结合实例反思组合问题的抽象和解决，帮助学生明确组合的概念.。
2007年韶关市高考模拟测试数学试题(理科)第一部分 选择题 (共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数(1)(1)i i +-= A . 2 B . 2-C . 2iD . 2i -2.220(3)10,x k dx k +==⎰则A .1B .2C .3D .43. 在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是A . 15-B . 15C .20-D .204. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有A .30辆B . 40辆C .60辆D .80辆5．某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为2()100t f t =,则在时刻10min t =的降雨强度为A. 1/min 5mmB. 1/min 4mmC. 1/min 2mm D. 1/min mm6. 已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的图象与()1g x =-的图象在y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为123,,,D D D ，则57D D ＝A . πB .32π C .2π D .52π 7. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.２ 0.６ １.０ １.４ １.８ ２.２ ２.６ 3.0 ３.４ … x y 2= 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 2x y = 0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程22xx =的一个根位于下列区间的A .(0.6,1.0)B . (1.4,1.8)C .(1.8,2.2)D .(2.6,3.0)0.040.030.020.01频率组距时速80706050408. 若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围 A .1[,1)4- B . 1[,1]4- C .1(,1]2- D .1[,1]2-第二部分 非选择题(共110分)二.填空题：每小题5分, 共30分.9. 22416x y +=的离心率等于__________,与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是30x y +=的双曲线方程是___________________.10. 运行右边算法流程，若x 输入3时，输出y 的值为________.11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸， 它的体积为 .否否3y x =-开始输入x 1x <-1x ≤是2y x =1y x =+是输出y结束左视图俯视图主视图224242PTC DBAO12. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和, 对于等比数列{}n a ,有命题:p 若396,,S S S 成等差数列,则285,,a a a 成等差数列成立；对于命题q ：若,,m n l S S S 成等差数列, 则 ________________成等差数列.请将命题q 补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13. 不等式125x x ++-≥的解集为 .14.在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________.15. 已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，则PB ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)如图,在ABC ∆中,25,25,cos 45B AC C π===. (Ⅰ)求sin A ;(Ⅱ) 记BC 的中点为D ,求中线AD 的长.17.(本题满分12)在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。
规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为12. (Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望.FEDCBAP18. (本题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) EF //平面PAD ；(Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值.19. (本题满分14分)已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=.（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知,,,a b c R ∈且a b c <<，函数2()2f x ax bx c =++满足(1)0f =，()f t a =-，(t R ∈≠且t 1)(Ⅰ)求证: 0,0a c <>； (Ⅱ)求证: 01ba≤<； (Ⅲ)若不等式: ()f x a <-恒成立，求x 的取值范围.21. (本题满分14分)若对于正整数k 、()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(20)5g =， 并且(2)()()g m g m m N *=∈,设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =+++（Ⅰ）求S 1、S 2、S 3 ； （Ⅱ）求n S ； （III ）设11n n b S =-，求证数列{}n b 的前n 顶和32n T <．2007年韶关市高三模拟测试数学试题(理科)答案及评分标准一、选择题答案 AACCA ACD二、填空题 9. 32，22193x y -= (第一空2分，第二空3分)， 10. 4 ， 11. 8， 12. ,,()m k n k l ka a a k N *+++∈开放题，答案不唯一. 13.(,2][3,)x ∈-∞-+∞，14.2sin ρθ=, 15. 15三、解答题16.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)由25cos 5C =, C 是三角形内角，得25sin 1cos 5C C =-=……………..2分∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+………………………………………..5分22253105252510=⋅+⋅=…………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC AC A B = ，25310sin sin 1022AC BC A B ==⋅6= …………………………………………………………………………………………………..9分125,32AC CD BC ===, 25cos 5C =,M EDCP由余弦定理得:222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅=25209225355+-⨯⨯⨯=…………………………………12分 17.(本题满分12分)解: (Ⅰ)设事件A 表示“甲选做14题”,事件B 表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”,且事件A 、B 相互独立…………………………..2分∴ ()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+ ………………………………..4分=11111(1)(1)22222⨯+-⨯-=………………………………6分 (Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且1(4,)2B ξ.∴ 4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222k k k k P k C C k ξ-==-==………………….8分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………………………………………………………….10分113110123421648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 或1422E np ξ==⨯=…………..12分 18.(本题满分14分)(Ⅰ)证明：连结AC ，在CPA ∆中EF//PA ………………………………………………………………..2分 且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面//…………………………………………………………………………………………………….4分 (Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD = CD AD ⊥所以，CD ⊥平面PAD CD PA ∴⊥………………………………………………………………………6分又22PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2PAD π∠=即PA PD ⊥…………………………………………………………………………………………………………………….8分C DP D D =，且CD 、PD ⊆面ABCD PA ⊥面PDC 又PA ⊆面PAD面PAD ⊥面PDC ……………………………………………………………..10分(Ⅲ)解：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF ,则EM PD ⊥ξ0 1 2 3 4P116 14 38 14 116由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥ PD ⊥面EFM PD MF ⊥EMF ∠是二面角B PD C --的平面角……………………………………….12分Rt FEM ∆中，1224EF PA a == 1122EM CD a ==224tan 122aEF EMF EM a ∠===故所求二面角的正切值为22……………………………….14分 另解：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ∴⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵22PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,直线,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE -.（Ⅰ）易知平面PAD 的法向量为(0,,0)2a OF =而(,0,)44a aEF =-,且(0,,0)(,0,)0244a a aOF EF ⋅=⋅-=, ∴EF //平面PAD .(Ⅱ)∵(,0,)22a a PA =-,(0,,0)CD a = ∴(,0,)(0,,0)022a aPA CD a ⋅=-⋅=,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PDCD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAD ⊂平面, ∴平面PDC ⊥平面PAD (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(,0,)22aa PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵(,0,),(,,0)22a a DP BD a a ==-,z yxOFEDCBAP∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得002200aa x y z a x a y z ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⎪-⋅+⋅+⋅=⎩,令1x =,则1,1y z ==-, 故(1,1,1)n =-∴6cos ,3232n PA a n PA n PAa ⋅<>===⨯, 即二面角B PD C --的余弦值为63,二面角B PD C --的正切值为22. 19.(本题满分14分) 解（Ⅰ）解：设P (,)x y 则(,)A AP x x y =- (,)B PB x y y =-- ……………………………………………...2分由AP PB =- 得 2A x x =，2B y y = ……………………………………………..4分 又(,2)A MA x = (,)A AP x x y =- 即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-……………6分 由0MA AP ⋅= 得 2(0)x y y =≥……………………………………………………..8分 （Ⅱ）设11(,)E x y ，22(,)F x y因为'y x = ，故两切线的斜率分别为1x 、2x ……………………………10分由方程组22(2)x y y k x ⎧=⎨=+⎩ 得2240x kx k --= 122x x k += 124x x k ⋅=- (12)当12l l ⊥时，，121x x ⋅=-，所以 18k =所以，直线l 的方程是 1(2)8y x =+ ……………………………….14分20.(本题满分14分) (Ⅰ)证:2()2f x ax bx c =++ (1)20(1f a b c ∴=++= 又424a b c a a b c c <<∴<++<…………………………2分即4040,0a c a c <<∴<>…………………………………4分(Ⅱ) 证:由(1)得:2c a b =--代入a b c <<结合0a <知:113ba-<<…………(2)………6分将2c a b =--代入22at bt c a ++=-得2220at bt b +-=,即方程2220ax bx b +-=有实根,故22480()2()02b b b b ab a a a ∆=+≥∴+≥∴≤-或0ba≥…………………(3)……………7分联立(2) (3)知01ba≤<………………………………………8分 (Ⅲ)解:由()f x a <-得:220ax bx a c +++<20220b ba x x a a <∴+⋅-⋅>…………………9分即2(22)0bx x a -⋅+>……………………………………………11分令2()(22)b b g x x a a =-⋅+,据题意()0bg a>对[0,1]b a ∈恒成立故22(1)02203131(0)00g x x x x g x ⎧->+->⎧⎪⇒⇒<-->-⎨⎨≥≥⎩⎪⎩或…………13分所以: 不等式: ()f x a <-的解集为:{}|1313x x x <-->-+或………14分 21.(本题满分14分)解：（Ⅰ）1(1)(2)112S g g =+=+=……1ˊ 2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=……2ˊ3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=……3ˊ （Ⅱ）(2)()g m g m =，n N +∈……4ˊ(1)(2)(3)(4)(21)nnn S g g gg gg ∴=+++++-+ [(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++……5ˊ11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-=+++……6ˊ114n n S --=+……7ˊ则114n n n S S ---=112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---∴=-+-++-+……8ˊ12244442n n --=+++++14(41)12244133n n --=+=+-……9ˊ（Ⅲ）221333333[]141(2)1(21)(21)22121n n n n n n nn b S =====-----+-+……10ˊ 12233311311311311()()()()22121221212212122121n n Tn =-+-+-++--+-+-+-+22311311111111[1]22121212121212121n n n n --=-+-+++-+-+-+--+-+ 23131111111[1()()()]2332121212121n n n -=--------+-+-+ ……11ˊ ∴当1n =时，11312T b ==<成立……12ˊ 当2n ≥时，111111121212202121(21)(21)(21)(21)n n n n n n n n n----------==≥+-+-+-……13ˊ 223131111111[1()()()221212*********n n n Tn -∴=-------+-+-+-+33122<= ……14ˊ。
