新高中数学(北师大版)必修五同步练习：2-1-1正弦定理(含答案解析)

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 为( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶1 C ．1∶3∶2D.12∶1∶ 3【解析】 由已知得，A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 【答案】 C2．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3【解析】 C ＝180°－A －B ＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝b sin Csin B ＝22×1222＝2.【答案】 B3．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( ) A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70° B ．a ＝60，c ＝48，B ＝60° C ．a ＝7，b ＝5，A ＝80° D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°【解析】 A 中只有一解，B 中只有一解，C 中由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝57·sin 80°.又b ＜a ，A ＝80°，∴B 唯一，从而只有一解．D 中由a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝8214＞22，又a ＜b ，∴B 有两种情形．【答案】 D4．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形【解析】 由正弦定理得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C ，所以sin A a ＝cos B b ＝cos C c 可化为1＝1tan B ＝1tan C ，所以tan B ＝tan C ＝1，即B ＝C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形． 【答案】 C5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) 【导学号：47172085】A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 在△ABC 中，B ＝30°，S △ABC ＝12ac ·sin 30°＝32，∴ac ＝6. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°＝(a ＋c )2－(2＋3)ac ， 即b 2＝4b 2－6(2＋3)，∴b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1.选B. 【答案】 B 二、填空题6．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4b sin A ，则cos B ＝__________.【解析】 由a sin A ＝bsin B ＝2R 得 a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，所以sin A ＝4sin B ·sin A ，即sin B ＝14， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝154. 【答案】1547．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝__________. 【解析】 在△ABC 中，由正弦定理得1sin B ＝3sin 2π3，解得sin B ＝12，因为C ＝23π，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6，所以a ＝1. 【答案】 18．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝1×sin 60°3＝12.又a ＜b ，∴A ＝30°，∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°，即sin C ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．已知△ABC 中，tan A ＝25，tan B ＝37，且最长边的长为 2.求： (1)C 的大小； (2)最短边的长.【导学号：47172086】【解】 (1)∵tan A ＝25，tan B ＝37， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝25＋371－25×37＝1.。

1.1正弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:因为,所以,所以cos B=sin B,从而tan B=1,又0°<B<180°,所以B=45°.答案:B2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是()A. B. C. D.解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.由,得b=.答案:A3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析:由三角形面积公式得×8×8·sin A=16,于是sin A=,所以A=30°或A=150°.答案:C4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是()A.a=8,b=16,A=30°有两解B.b=9,c=20,B=60°有一解C.a=15,b=2,A=90°无解D.a=30,b=25,A=150°有一解解析:对于A,sin B=sin A=1,所以B=90°,有一解;对于B,sin C=sin B=>1,所以无解;对于C,sin B=sin A=<1,又A=90°,所以有一解;对于D,sin B=sin A=<1,又A=150°,所以有一解.答案:D5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos 2B的值是()A.-B.C.-D.解析:由已知得,所以cos A=,解得A=30°,B=60°,所以cos 2B=cos 120°=-.答案:A6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为.解析:因为2R==2,所以R=1.答案:17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.解析:由正弦定理得,即,解得sin B=,又因为b>a,所以B=或B=.答案:8.导学号33194034在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是.解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,所以B+C=90°,B=90°-C,所以sin B=cos C.由sin A=2sin B cos C,可得1=2sin2B,所以sin2B=,sin B=,所以B=45°,C=45°.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B=.(1)求sin A的值;(2)设AC=,求△ABC的面积.解(1)由sin(C-A)=1,-π<C-A<π,知C=A+.又A+B+C=π,所以2A+B=,即2A=-B,0<A<.故cos 2A=sin B,即1-2sin2A=,sin A=.(2)由(1)得cos A=,sin C=sin=cos A.又由正弦定理,得,BC==3,所以S△ABC=AC·BC·sin C=AC·BC·cos A=3.10.导学号33194035在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin A sin C的值.解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.又A+B+C=π,所以B=,所以cos B=.(2)因为边a,b,c成等比数列,所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sin A sin C,所以sin A sin C=sin2B=.B组1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<2D.2<x<2解析:由题设条件可知解得2<x<2.答案:C2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A. B. C.1 D.解析:因为3a=2b,所以b=a.由正弦定理可知.答案:D3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=()A. B. C.π D.解析:由1+,从而cos A=,所以A=,由正弦定理得,解得sin C=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.答案:B4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线x sin(π-A)+ay+c=0与bx-y cos+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.答案:C5.导学号33194036已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是.解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,所以所以30°<B<45°.由正弦定理得=2cos B∈(),故的取值范围是().答案:()6.在△ABC中,已知sin B·sin C=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为.解析:因为sin B·sin C=cos2,所以sin B·sin C=,所以2sin B sin C=cos A+1.又因为A+B+C=π,所以cos A=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cos B·cos C+sin B·sin C, 所以2sin B sin C=-cos B·cos C+sin B·sin C+1,所以cos B·cos C+sin B·sin C=cos(B-C)=1.因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.因为A=120°,所以B=C=30°.由正弦定理得,b==4,所以S△ABC=ab sin C=×12×4=12.答案:127.导学号33194037△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sin B·sin C,因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),所以sin2A=sin2B+sin B·sin(A+B),所以sin2A-sin2B=sin B·sin(A+B).因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2A cos2B-cos2A sin2B=(sin A cos B+cos A sin B)(sin A cos B-cos A sin B)=sin(A+B)·sin(A-B),所以sin(A+B)·sin(A-B)=sin B·sin(A+B).因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,所以sin(A-B)=sin B,所以只能有A-B=B,即A=2B.8.导学号33194038在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos B=,(1)判断△ABC的形状;(2)若sin B=,b=3,求△ABC的面积.解(1)因为cos B=,所以cos B=,所以sin A=2cos B sin C.又sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,所以sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C.所以sin B cos C-cos B sin C=sin(B-C)=0.所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.(2)因为C=B,所以0<B<,c=b=3.因为sin B=,所以cos B=.所以sin A=sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin 2B=2sin B cos B=,所以S△ABC=bc sin A=×3×3×=3.。

第2章 1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分)1．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立D．在△ABC中，asin A＝b＋csin B＋sin C解析：由正弦定理知A、C、D正确，而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．答案： B2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为()A．3∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析：由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1.答案： D3．在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理：sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝2sin B cos C∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.答案： A4．不解三角形，确定下列判断中正确的是()A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°，有两解C．a＝3，b＝2，B＝120°，有一解D．a＝3，b＝6，A＝60°，无解解析： 对于A ，b sin A ＜a ＜b ，故有两解；对于B ，b ＜a ，故有一解；对于C ，B ＝120°且a ＞b ，故无解；对于D ，a ＜b sin A ，故无解．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析： cos C ＝13，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 答案： 2 36．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．解析： 由已知条件，lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理可得c 2＝a 2＋b 2.故三角形为直角三角形．答案： 直角三角形三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解析： cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解析： ∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C .∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62， ∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°，∴C －30°＝45°，∴C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B . 解析： 由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得 cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32， cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32， sin A sin C ＝34. 又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C ，故sin 2 B ＝34， sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)， 于是B ＝π3或B ＝2π3. 又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.。

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( ) A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 2．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a <b sin A B ．a ＝b sin A C ．a ≤b sin AD ．a ≥b sin A解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ，在△ABC 中，因为0<sin B ≤1，所以0<ba sin A ≤1，所以a ≥b sin A .3．已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么解此三角形可得( ) A ．一解 B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定解析：选C.由c sin C ＝bsin B，得sin B ＝3>1，所以无解．4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B.设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，所以a ∶b ∶c＝7∶5∶3，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba的值为( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sinB ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝________． 解析：根据三角形内角和定理，得C ＝180°－(A ＋B )＝30°.根据正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2. 答案：27．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________． 解析：因为a ＝14，b ＝76，B ＝60°，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝14sin 60°76＝22， 因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°，所以C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°. 答案：75°8．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B＝π－π3－π6＝π2.答案：π29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C . 解：由B ＝π－(A ＋C )， 得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ． 所以sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，0<B <π，所以sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B.能力提升]1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120°解析：选D.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝32，所以12×2×3sin A ＝32，所以sin A ＝32.所以A ＝60°或120°.故选D.2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2，43)C ．(33，43]D ．(3，6]解析：选D.由正弦定理，得AC ＝BC ·sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC ·sin Csin A＝23sin C ，所以AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以π6<B ＋π6<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以3<6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤6. 3．在△ABC 中，最大边长是最小边长的2倍，且2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，则此三角形的形状是________．解析：因为2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|， 所以cos A ＝12，所以A ＝π3.所以a 边不是最大边也不是最小边． 不妨设b <c ，则2b ＝c ， 由正弦定理得2sin B ＝sin C ， 所以2sin B ＝sin(2π3－B )．所以2sin B ＝32cos B ＋12sin B . 所以tan B ＝33.所以B ＝π6，C ＝π2. 所以此三角形为直角三角形． 答案：直角三角形4．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________． 解析：由正弦定理， 得sin C ＝AB ·sin A BC ＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，所以cos C ＝ 1－sin 2C ＝1114.所以sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33145．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值． 解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°，A ＋C ＝120°，所以0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C . 因为a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 所以sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， 所以32sin C －32cos C ＝62.所以sin(C －30°)＝22. 因为－30°<C －30°<90°， 所以C －30°＝45°，所以C ＝75°. sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 6．在△ABC 中，C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，求sin ∠BAC .解：设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，在△ABM 中由正弦定理得12a sin ∠BAM ＝csin ∠BMA ，①因为sin ∠BMA ＝sin ∠CMA ＝AC AM， 又AC ＝b ＝ c 2－a 2，AM ＝ b 2＋14a 2＝c 2－34a 2， 所以sin ∠BMA ＝c 2－a 2c 2－34a 2.又由①得12a 13＝c c 2－a2c 2－34a 2，两边平方化简得4c 4－12a 2c 2＋9a 4＝0，所以2c 2－3a 2＝0，所以sin ∠BAC ＝a c＝63.。

基础巩固1在△ABC中，下列式子与asinA相等的是( )A.bcB.bcosBC.sinBsinCD.bsinB2在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有( )A.asinA＞bsinBB.asinA＜bsinBC.asinA＝bsinBD．以上结论都不对3在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．锐角三角形4在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定5在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于 ( )A．2 B. 2C．2 2 D．不确定6在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝2＋1，sinA＋sinB＝2sinC，则c＝______.7在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数：(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.8(1)△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边c；(2)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角 B，边b，c；(3)已知△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、角C及边c.9如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000m至点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，求山高BC.综合过关11已知△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是________．12如图，已知△ABC，BD为角B的平分线，利用正弦定理证明AB∶BC＝AD∶DC.13三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，求此三角形的面积．14已知△ABC的面积S＝14(b2＋c2)，其中b＝AC，c＝AB.求△ABC的三个内角的大小．能力提升15在△ABC中，若a＝23，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)三角形有一解；有两解；无解？参考答案1答案：D2解析：由正弦定理，知asinA＝bsinB.答案：C3解析：ab＝sinAsinB＝1，则a＝b.答案：B4解析：由正弦定理，知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.答案：A5解析：AC 边上的高等于ABsinA ＝2sin45°＝ 2.答案：B6解析：由sinA ＋sinB ＝2sinC ，得sinA sinC ＋sinB sinC ＝2，由正弦定理得a c ＋b c ＝2，所以a ＋b ＝2c.所以2c ＋c ＝2＋1.所以c ＝1.答案：17解：(1)∵角A 为锐角，a ＜b ，bsinA ＝52＜4，∴有两解． (2)∵a ＞b ，角A 为锐角，∴B ＜A.∴有一解．(3)∵角B 为钝角，a ＞b.∴无解．(4)∵角A 为锐角，a ＜b ，bsinA ＝6×32＝322， ∴a ＜bsinA ＜b.∴无解．8分析：(1)可用正弦定理的合比形式求解；(2)由A ＋B ＋C ＝180°，可求角B ，再应用正弦定理求边b ，c ；(3)先应用正弦定理求得sinA ，这样角A 可能为锐角，也可能为钝角，应注意讨论．解：(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC 及C ＝180°－30°－60°＝90°，得a ＋b sinA ＋sinB ＝c sinC ，即6＋6312＋32＝c 1， ∴c ＝12.(2)∵A ＝30°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C)＝105°，又由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝20sin45°sin30°＝202，b ＝asinB sinA ＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)． ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(3)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，。

第二章 解三角形 §1 正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理知识点一 正弦定理[填一填](1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．(2)正弦定理的三种等价形式：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③abc ＝sin Asin Bsin C .[答一答]1．在△ABC 中，角与角的关系，边与边的关系，边与角的关系，分别有哪些？(请简单总结)提示：(1)角与角关系：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π⇔C ＝π－(A ＋B )⇔C 2＝π2－A ＋B2⇔2C ＝2π－2(A ＋B )；(2)边与边关系：a ＋b >c ，b ＋c >a ，c ＋a >b ，a －b <c ，b －c <a ，c－a<b；(3)边与角关系：正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为外接圆半径)．由正弦定理可推出三角形面积定理：S△ABC＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C，利用它可以解决许多与正弦定理及三角形面积相关的问题．知识点二利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题[填一填]①已知两角和一边，求其他边和角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(进而求出其他边和角)．[答一答]2．在△ABC中，已知边a，b和∠A时，三角形的解有几种情况？提示：①∠A为锐角时，解的情况如图(1)所示．②∠A为直角或钝角时，解的情况如图(2)所示．1．正弦定理的理解(1)正弦定理asin A＝bsin B＝csin C反映的是三角形的边角关系，使用时一般写成：asin A＝bsin B；bsin B＝csin C；asin A＝csin C.每一个等式都表示了三角形两个角和它们对边的关系．(2)在三角形中恒等变换时，常见的边角转换如下：①a＝b⇔sin A＝sin B；②a b c＝sin A sin B sin C；③2b＝a＋c⇔2sin B＝sin A＋sin C；④b2＝ac⇔sin2B＝sin A sin C；⑤A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C等．2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可先判断解的情况．若有解，再由正弦定理求出另一边的对角，进而由三角形的内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边.类型一已知两角及一边解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b 和B.【思路探究】运用正弦定理的关键是分清已知和所求，选择一个与正弦定理相关的等式．因为c＝10，C＝30°，A＝45°，所以选择等式asin A＝csin C可求出a，进而由内角和定理及正弦定理可求出B，b.【解】∵c＝10，A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.由asin A＝csin C，得a＝c sin Asin C＝10×sin45°sin30°＝10 2.由bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝56＋5 2.规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形，基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝ 2.解析：如图：由正弦定理得ACsin B＝BC sin A，即AC sin45°＝3sin60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.类型二 已知两边和一角解三角形【例2】 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，A ＝105°； (2)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (3)b ＝10，c ＝56，C ＝60°； (4)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.【思路探究】 本题所提供的条件是两边和其中一边的对角，由于互补角的正弦值是相等的，所以有时会产生解的多样性．解题时要有分类讨论的意识，如本题的第(4)小题的三角形有两解，需分类讨论．【解】 (1)∵a ＝7，b ＝8，∴a <b ， 又A ＝105°>90°，∴此三角形无解． (2)∵b ＝20，A ＝80°，∴b sin A ＝20sin80°>20sin60°＝103， 又a ＝10，∴a <b sin A ，∴此三角形无解． (3)∵b ＝10，c ＝56，∴b <c ， 又C ＝60°<90°，∴此三角形有一解． ∵sin B ＝b sin C c ＝10sin60°56＝22，∴B ＝45°，∴A ＝180°－(B ＋C )＝75°，∴a ＝b sin A sin B ＝10sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．(4)∵a ＝23，b ＝6，A ＝30°<90°，∴b sin A ＝6sin30°＝3，∴b sin A <a <b ，∴此三角形有两解． ∵sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3. ∴B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 规律方法 已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤第一步 利用几何法判定三角形解的情况，有时利用“大角对大边”可作简单的判断；第二步 当三角形有解时，利用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，根据三角形解的个数求角；第三步 利用三角形内角和定理求出第三个角； 第四步 利用正弦定理求出第三边．(1)在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( C ) A.π4或3π4 B.3π4 C.π4 D.π6(2)已知△ABC 中，若a ＝6，b ＝12，A ＝60°，则此三角形解的情况为( C )A ．一解B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定解析：(1)由正弦定理得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22. 因为BC >AB ，所以A >C ， 则0<C <π3，故C ＝π4.(2)方法一：由正弦定理和已知条件，得12sin B ＝6sin60°， ∴sin B ＝ 3.∵3>1，∴此三角形无解． 方法二：∵a ＝6，b sin A ＝63， ∴a <b sin A .故此三角形无解．方法三：在角A 的一边上确定顶点C ，使AC ＝b ＝12，作∠CAD ＝60°，以顶点C 为圆心，CB ＝a ＝6为半径画圆，如下图所示，该圆与AD 没有交点，说明该三角形无解．类型三 运用正弦定理求有关三角形的面积问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．【思路探究】 (1)利用正弦定理化边为角，由已知角通过三角恒等变形即得tan C ；(2)由(1)结合A 求出sin B ，利用正弦定理建立b ，c 之间的关系，再由面积即得b .【解】 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理的推广得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，所以tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝223b ，又A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 规律方法 有关三角形面积问题的解题途径无论是求三角形的面积，还是已知三角形的面积，其关键是结合已知条件选择适当的面积公式，以建立三角形的面积与三角形边角之间的关系．在△ABC 中，已知B ＝60°，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．解：设AB ，BC ，AC 的长分别为c ，a ，b ，则b ＝3 6. ∵B ＝60°，∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又∵sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理，得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×13＋12×223＝36＋23.故所求面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×36×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋23＝62＋8 3.类型四 三角形形状的判定【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【思路探究】 利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 化边为角，结合已知得到三个角间的关系即得．【解析】 方法一：根据正弦定理的推广a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入acos A ＝b cos B ＝c cos C ，可得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C ，所以tan A ＝tan B ＝tan C ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形．方法二：因为a cos A ＝bcos B ，所以a cos B ＝b cos A ，根据正弦定理的推广，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A cos B ＝sin B cos A ，则sin A cos B －sin B cos A ＝0，所以sin(A －B )＝0，则A －B ＝0，所以A ＝B .同理可得B ＝C ，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形．【答案】 C规律方法判断三角形形状的方法当已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，可化边为角，通过三角变形简化角的关系从而作出判断，这种处理方式对于简单的三角恒等变形提出了要求．一般来说，这个方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：方法一：根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C及sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，0°<B<90°.∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝22，∴B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二：根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C及sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又∵－90°<B－C<90°，∴B－C＝0°，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．类型五 正弦定理在证明中的应用【例5】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分线为AD ，求证AB AC ＝BD DC .【思路探究】 利用正弦定理把线段比转化为角的正弦比． 【证明】 ∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠ADC . 在△ABD 中，AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴AB BD ＝sin ∠ADB sin ∠BAD.在△ADC 中，AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC ，∴AC DC ＝sin ∠ADC sin ∠DAC .∵∠BAD ＝∠DAC ， ∴AB BD ＝AC DC ，即AB AC ＝BD DC .规律方法 解决本题的关键是由∠ADB ＋∠ADC ＝180°，得到sin ∠ADB ＝sin ∠ADC .在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，对应三边a ，b ，c 也成等差数列，求证△ABC 为正三角形．证明：∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C . ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2sin B ＝sin A ＋sin C ， ∴2sin π3＝2sin A ＋C 2cos A －C 2. ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3. ∴2×32＝2×32cos A －C2， ∴cos A －C 2＝1，∴A －C2＝0， ∴A ＝C .∴△ABC 为等边三角形． 类型六 正弦定理在三角形中的应用【例6】 已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的三边及△ABC 的外接圆的直径．【思路探究】 △ABC 的面积S ＝12ab sin C ，由题设tan C ＝－2，tan B ＝12，可求出sin C ，sin B .而b 可由正弦定理用a 与sin B 表示．这样可列出一个关于a 的方程，从而求得a 的值，其他量即可迎刃而解．【解】 由tan C ＝－2，知C 为钝角， 且cos C ＝－11＋tan 2C＝－55，sin C ＝255.由tan B ＝12，知B 为锐角，且cos B ＝11＋tan 2B＝255，sin B ＝55.所以sin A ＝sin[180°－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝35. 又因为b ＝a sin Bsin A ，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2sin B sin Csin A . 所以12a 2×(55×255×53)＝1，得a 2＝3. 所以a ＝ 3.所以b ＝a sin B sin A ＝153，c ＝a sin C sin A ＝2153. 再由a sin A ＝2R ，得△ABC 外接圆直径2R ＝533.规律方法 本题是一道解三角形的综合题，需要综合考虑已知条件与所求量的关系，结合三角函数的有关公式探求已知量与未知量之间的“桥梁”，寻求解决问题的思路．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan A ＝12，cos B ＝31010.(1)求角C 的值；(2)若△ABC 最长的边为1，求b . 解：(1)∵cos B ＝31010>0，∴B 为锐角，sin B ＝1－cos 2B ＝1010，∴tan B ＝sin B cos B ＝13.∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－12＋131－12×13＝－1.∵0<C <π，∴C ＝135°.(2)由(1)知C 为钝角，所以C 是最大角，所以最大边为c ＝1， ∵C ＝135°，∴sin C ＝22.由正弦定理：b sin B ＝c sin C 得，b ＝c sin B sin C ＝1×101022＝55.——易错警示系列—— 解三角形忽视解的讨论而出错已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求出其他的角和边时，考生要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况．【例7】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3.(1)若角C ＝π3，求角A ； (2)若角A ＝π6，求b .【错解】 (1)由正弦定理得，a sin A ＝csin C ， ∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或56π.(2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32， ∴C ＝π3，B ＝π2，∴b ＝2.【错解分析】 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或A ＝5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin Aa ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．【正解】 (1)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝12.又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32， 所以C ＝π3或C ＝2π3.当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2； 当C ＝2π3时，B ＝π6，可得b ＝1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，则C ＝( B )A.π6或5π6B.π6C.π3或2π3D.π3解析：因为cos(A －C )＋cos B ＝1，故cos(A －C )－cos(A ＋C )＝1，可得2sin A sin C ＝1.由已知a ＝2c ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin C . 所以sin C ＝12. 所以C ＝π6或C ＝5π6.因为a >c ，所以A >C .所以C ＝π6.一、选择题1．在△ABC 中，下列等式总能成立的是( D ) A ．a cos C ＝c cos A B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A解析：由正弦定理易知，D 正确．2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( B ) A ．135° B ．45°C ．45°或135°D ．以上答案都不对解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22，∵a >b ， ∴0°<B <A ＝60°，∴B ＝45°. 二、填空题3．在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于4 6.解析：由已知条件，得A ＝180°－(B ＋C )＝45°. 由正弦定理得， b ＝a sin B sin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 的面积为3且b ＝2，c ＝2，则角A 等于60°或120°.解析：由12bc sin A ＝3，得sin A ＝232×2＝32，得A ＝60°或120°.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

习题课正弦定理与余弦定理双基达标限时 20 分钟1．在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B∶ sin C ＝3∶ 4∶ 30，则△ ABC 是()．A ．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不可以确立分析依据题意，由正弦定理可得，a∶ b∶ c＝3∶ 4∶ 30，设 a＝ 3t， b＝ 4t，c＝3t2＋ 16t2－ 30t230t，t>0 ，由余弦定理可得 cos C＝83t2<0 ，因此三角形 ABC 是钝角三角形．故选 C.答案C2 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为a， b， c.若∠ C ＝ 120 °， c＝2a，则()．A ． a>b B． a<bC．a＝ b D． a 与 b 的大小关系不可以确立分析由余弦定理得2a 2＝ a2＋ b2－ 2abcos 120 °，即 b2＋ ab－ a2＝ 0，∴ b＝a2a＋b.由 a＋b>a知 b<a.应选 A.答案A3．在△ ABC 中，已知 sin2B－ sin2 C－ sin2A ＝ 3sin Asin C ，则角 B 的大小为()．A．150°B．30°C． 120 °D． 60°2223222 a ＋ c － b 分析由正弦定理可得b－c－a ＝ 3ac，由余弦定理可得cos B＝2ac＝－2.故角 B 为 150°.答案A4．在△ ABC 中， A ＝ 120 °， c＝ 5， a＝ 7，则 b＝ ________.分析依据余弦定理，a2＝ b2＋ c2－2bccos A，∴ 72＝ b2＋ 52－ 2·b·5cos 120 °，∴ b2＋ 5b－24＝ 0，∴ b＝ 3 或 b＝－ 8(舍去 )．答案35．在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 2∶ 3∶ 19.则该三角形的最大内角为________．分析在△ ABC 中，依据正弦定理及已知得a∶ b∶c＝ 2∶ 3∶ 19.设 a＝ 2x(x>0) ，则 b ＝3x，c＝ 19x.明显 c>b>a，∴ C 是最大角．2 2 2 2 2 2∴ cos C ＝ a＋ b － c ＝＋－19＝－ 1，2ab2×2x ×3x2∴ C ＝2π3答案2π 36．在△ ABC 中， sin 2A ＋ 3sin Asin B ＝ sin 2C － sin 2B ，求 C.解由正弦定理，设sin A ＝sin B＝sin C＝k(k ≠0)，abc则 sin A ＝ ka ， sin B ＝ kb ， sin C ＝ kc.由已知得 (ka)2 ＋ 3ka ·kb ＝ (kc) 2－ (kb)2.因此 a 2＋ 3ab ＝ c 2－b 2.得 cos C ＝a 2＋b 2－c 23ab 32ab＝－ 2ba ＝－ 2 .故 C ＝150 °.综合提升（限时 25 分钟）π7．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 A ＝ ，a ＝ 3，b ＝1，则 c 于 ()．3A ． 1B ．2 C. 3－1 D. 3abbsin A分析 如下图，由正弦定理知sin A ＝sin B ， sin B ＝a＝3 1×2 13 ＝ .∵a>b ，∴ B ＝ 30°， C ＝ 90°， c ＝ 2.2 答案B8．在△ABC中 ， a 2 － c 2＋b 2 ＝ ab ， 则 角C 大小 为()．A ．60°B ．45 °或 135 °C ．120 °D ．30 °分析由余弦定理，得cos C ＝ a 2＋ b 2－ c2＝ ab ＝ 1，2ab 2ab 2∴ C ＝ 60°.答案A9．已知△ ABC 的三边 a ，b ，c 知足 b 2＝ ac ，p ＝ sin B ＋cos B ，则 p 的取值范围为 ________．2a 2＋ c 2－b 2 2ac － b 21 分析∵ b ＝ ac ，∴ cos B ＝ 2ac≥2ac ＝ 2 ，π π∴ 0<B ≤3，∴ p ＝ 2sin 4＋ B ∈(1， 2]．答案 (1， 2]10．在△ ABC 中， a ＝ b ＋ 2， b ＝ c ＋ 2，又最大角的正弦值等于3，则三边长为 ________．2分析明显 a>b>c ，∴ A 最大．∴ sin A ＝3 1 2， cos A ＝ ± ，2∴ b 2＋ c 2－ a 21 b 2＋－2－ ＋21＝± ，即－＝ ± ，2bc22b － 8＝ ±1， (只有取－ 1)，解之 b ＝ 5.∴三边长为 3,5,7.b － 2答案3,5,711．已知 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，且知足 (sin A ＋sin B) 2－ sin 2C ＝ 3sin A sin · B ，求证： A ＋ B ＝ 120°.证明22，∵ (sin A ＋ sin B) － sin C ＝ 3sin A sin · B∴由正弦定理得 (a ＋b) 2－ c 2＝ 3ab? a 2＋ b 2－ c 2＝ ab? a 2＋ b 2－ c 2a 2＋b 2－c 2 1ab ＝ 1.由 cos C ＝ 2ab ＝2，∵ 0°<C<180°，∴ C ＝ 60°，∴ A ＋ B ＝ 180°－ C ＝ 180°－ 60°＝ 120°.12． (创新拓展 )在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ＝2∶1， c 2＝ b 2＋2bc ，则三内角 A ， B ，C 的度数分别是多少？解 ∵sin A ∶ sin B ＝ 2∶1，∴由正弦定理得 a ∶ b ＝ 2∶ 1，∴ a ＝ 2b.依据余弦定理， cos A ＝b 2 ＋c 2 －a 22bcb 2＋ 2＋2－222＝2bc＝ 2.∴ A ＝ 45°，∴ sin A ＝ 2 .∴ sin B ＝ sin A ＝ 1 .2 2 2 ∵ sin A>sin B ，∴ A>B ，∴ B ＝ 30°，∴ C ＝ 180°－ (A ＋ B) ＝ 180°－ (45 °＋ 30°)＝ 105°.即角 A ， B ， C 的度数分别为 45°， 30°，105°.。

正弦定理与余弦定理1．1正弦定理预习课本P45～49，思考并完成以下问题(1)正弦定理的推导体现了什么思想方法？(2)正弦定理的内容是什么？(3)应用正弦定理可解哪两类三角形？(4)三角形的面积公式有哪些？1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.[点睛]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．2．三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .3．在△ABC 中，各边与所对角的正弦的比值是同一个常数，这个常数就是三角形外接圆的直径．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用锐角三角形．( )(2)在△ABC 中，等式a sin A ＝b sin B 总成立．( )(3)在△ABC 中，已知a ＝30，b ＝23，A ＝130°，则此三角形有唯一解．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．在△ABC 中，下列等式总能成立的是( ) A ．a cos C ＝c cos A B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A解析：选D 由正弦定理易知，选项D 正确．3．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A.75 B.57 C.712D.512解析：选A 由正弦定理得sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝7∶5. 4．边长为a 的等边三角形的面积为__________． 解析：S ＝12×a ×a ×sin 60°＝34a 2.答案：34a 2 5．已知△ABC 外接圆半径是2，A ＝60°，则BC 边长为________． 解析：因为BCsin A ＝2R ，所以BC ＝2R sin A ＝4sin 60°＝2 3.答案：2 3[典例] [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝asin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C， 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B . 解：∵a sin A ＝csin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).[典例] [解] 由a sin A ＝b sin B， 得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°， ∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.解：∵asin A＝csin C，∴sin A＝a sin Cc＝22.∴A＝45°或135°.又∵c>a，∴C>A，∴A＝45°，∴B＝75°，b＝c sin Bsin C＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.[典例]在△[解]由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，∴sin C＝AB sin BAC＝23·sin 30°2＝32.∵AB>AC，∴C>B＝30°，即C有两解．∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝12×23×2＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sin A＝12×23×2×sin 30°＝ 3.综上可知，△ABC的面积为23或 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π3，b ＝1，△ABC 的外接圆半径为1，则△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ， 得a ＝3，sin B ＝12，∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝π6，C ＝π2.∴S △ABC ＝12×3×1＝32.答案：32[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos π2－B ，判断△ABC 的形状． [解] [法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R .∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意舍去)， 故△ABC 为等腰三角形．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°， ∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°>180°，故舍去)， ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( ) A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C解析：选C 由正弦定理得a sin A ＝c sin C，所以sin A a ＝sin C c .2．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A 由正弦定理，知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 3．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .4．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解D ．无法确定 解析：选B 因为b ＝30，c ＝15，C ＝26°，所以c >b sin C ，又c <b ，所以此三角形有两解．5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B， 则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．6．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，所以AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.答案：2 57．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 答案：28．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________. 解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin Bb ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°. 答案：75°9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2， 求角A 的大小．解：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.10．在△ABC 中，已知a ＝10，B ＝75°，C ＝60°，试求c 及△ABC 的外接圆半径R .解：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得a sin A ＝c sin C＝2R ， ∴c ＝a ·sin Csin A ＝10×3222＝56，∴2R ＝a sin A ＝1022＝102， ∴R ＝5 2.层级二 应试能力达标1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个解析：选B ∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选B 由S △ABC ＝33＝12BC ·CA ·sin C ＝12×3×4sin C 得sin C ＝32，又C 为锐角，故C ＝60°.3．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，由正弦定理，得2sin 2B sin 2C ＝2sin B sin C cos B cos C ，即sin B sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633D ．2 3解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝asin A ＝13sin 60°＝2393. 5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.解析：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，即1sin A ＝3sinπ3.∵a <b ，∴sin A ＝12.答案：126．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是________． 解析：由正弦定理，得x ＝b sin Asin B＝22sin A ， ∵45°<A <90°或90°<A <135°，∴2<x <2 2. 答案：(2,22)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝63，0<A <π，∴sin A ＝33. 又B ＝A ＋π2，∴sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 又a ＝3. ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即333＝b 63， ∴b ＝3 2.(2)∵cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33， ∴在△ABC 中， sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．已知△ABC 的各边均不相等，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解：∵a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，则a ＝b 不符合题意， ∴A ＋B ＝π2.∴a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4， ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．1．2 余弦定理预习课本P49～51，思考并完成以下问题(1)教材中利用什么方法推导余弦定理？(2)余弦定理的内容是什么？(3)已知三角形两边及其夹角如何解三角形？(4)已知三角形三边如何解三角形？余弦定理(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( )解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (2)正确．当a 2>b 2＋c 2时，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0.因为0<A <π，故A 一定为钝角，△ABC 为钝角三角形．(3)错误．当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC 唯一确定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab解析：选A 注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 3．在△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则c ＝________. 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3，∴c ＝ 3. 答案： 34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析：由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝150°.答案：150°5．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 的大小为______． 解析：由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.所以C ＝60°.答案：60°[[解] [法一 利用余弦定理]由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos 30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sin A＝a sin Bb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°. [法二利用正弦定理]由b<c，B＝30°，b>c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得，sin C＝c sin Bb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋(33)2＝6.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝π4，b＝2，S△ABC＝2，求a.解：因为S△ABC＝12bc sin A＝12×2×22c＝22c＝2，所以c＝2 2.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋8－2×2×22×22＝4， 所以a ＝2.[典例] (1)；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.[解析] (1)∵37>4>3，边c 最大，则角C 最大， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴最大角C ＝120°. (2)由B ＝C,2b ＝3a ， 可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.[答案] (1)120° (2)131．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求角A 的大小． 解：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)， 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0°<A <180°，∴A ＝45°.2．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，求cos B 的值．解：由正弦定理及6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， 可知6a ＝4b ＝3c ，令6a ＝4b ＝3c ＝12k ，k >0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝4k2＋16k2－9k22×2k×4k＝1116.[典例]在△B＝sin C，确定△ABC的形状．[解]法一：由正弦定理得sin Csin B＝c b，由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)，又因为2cos A sin B＝sin C，所以2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°＜C＜180°，所以C＝60°. 所以△ABC为等边三角形．在△ABC 中，若sin A ＋sin B ＝sin C ·(cos A ＋cos B )，试判断△ABC 的形状． 解：由已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得： a ＋b ＝c ⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ， 整理得(a ＋b )(c 2－a 2－b 2)＝0. 因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2＝c 2. 故△ABC 是以C 为直角的直角三角形.1．在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .解：由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2Asin A ＝2cos A ，∴c a ＝32. 又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得cos A ＝b 2＋2012b ＝34，∴b ＝4或b ＝5.当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去．当b ＝5时，满足题意，所以b ＝5.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a 2R ·b 2＋c 2－a 22bc ＝ab 2Rc(a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c2R＝2ab sin C ＝右边， ∴原式得证．题点三：正、余弦定理与三角恒等变换的交汇3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4D.π3解析：选A 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC ＝2π3，选A.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：选B 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a2a ·2a ＝34.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A 因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， 又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形解析：选B 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．5．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78解析：选D 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D.6．在△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C ＝________. 解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴cos 2C ＝a 4＋b 4＋c 4－2a 2c 2－2b 2c 2＋2a 2b 24a 2b 2.∵a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)， ∴a 4＋b 4＋c 4－2c 2a 2－2c 2b 2＝0， ∴cos 2C ＝2a 2b 24a 2b 2＝12，∴cos C ＝±22，∴C ＝45°或135°. 答案：45°或135°7．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________． 解析：S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4，∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13. 答案：138．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC ―→·CA ―→＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理得|AB ―→|2＝|CA ―→|2＋|CB ―→|2－2|CA ―→|·|CB ―→|cos C ， 即2＝|CA ―→|2＋1－2|CA ―→|×34.∴|CA ―→|2－32|CA ―→|－1＝0.∴|CA ―→|＝2.∴BC ―→·CA ―→＝|BC ―→||CA ―→|cos(180°－C ) ＝－|BC ―→||CA ―→|cos C ＝－1×2×34＝－32.答案：－329．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根． 解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .解：∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32， 此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27. 综上，c ＝2或c ＝27.层级二 应试能力达标1．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43. 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB ―→·AC ―→ 等于( ) A ．－32B ．－23C.23D.32解析：选D 由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，cos〈AB ―→，AC ―→〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14， ∴AB ―→·AC ―→＝3×2×14＝32. 4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322B.332C.32 D ．3 3解析：选B 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B. 5．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是___________．解析：∵a 是不等边三角形的最大的边，∴A >π3. 又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∴A <π2， 故π3<A <π2. 答案：⎝⎛⎭⎫π3，π26．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为________． 解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．(全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.。

双基限时练(十二)一、选择题1．正弦定理的适用范围是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．任意三角形答案 D2．在△ABC中，下列等式总能成立的是()A．a cos C＝c cos A B．b sin C＝c sin AC．ab cos C＝bc sin B D．a sin C＝c sin A解析由正弦定理可知．答案 D3．在△ABC中，a＝23，b＝22，B＝45°，则A为() A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．30°解析由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝23×2222＝32，又a>b.故A＝60°或120°.答案 A4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，BC＝2，则△ABC的解的个数为()A．0个B．1个C．2个D．1或2个解析因为BCsin A＝ABsin C，所以sin C＝2×222＝1.又C 为三角形的内角，故C 只有一个解． 答案 B5．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．16解析 A ＝180°－B －C ＝45°，由正弦定理，得 b sin B ＝a sin A ，b ＝a sin Bsin A ＝8×3222＝4 6.答案 C6．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63D.63解析 ∵a ＝15，b ＝10，A ＝60°，∴B <60°.又a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案 D 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________，△ABC 外接圆的半径为________．解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12， 又A 为三角形的内角，且a <c ，∴A ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝112＝2＝2R ，∴△ABC 外接圆的半径为1.答案 π6 18．在△ABC 中，已知b ＋c ＝m ，B ＝α，C ＝β，则a ＝________. 解析 由正弦定理b ＋c sin B ＋sin C ＝asin A所以a ＝m sin Asin B ＋sin C ＝sin (α＋β)m sin α＋sin β.答案 sin (α＋β)m sin α＋sin β9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状为________．解析 由a cos A ＝b cos B ＝ccos C 及正弦定理得 tan A ＝tan B ＝tan C .又A 、B 、C 为三角形的内角， 得A ＝B ＝C . 答案 等边三角形 三、解答题10．在△ABC 中，若(b ＋c ):(c ＋a ):(a ＋b )＝4:5:6，求sin A :sin B :sin C 的值．解 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，则a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，由正弦定理得sin A sin B sin C ＝a b c ＝7 5 3.11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，c ＝1，求此三角形的最小边． 解 ∵A ＝60°，B ＝45°，∴C ＝180°－60°－45°＝75°.。