高中数学教师备课必备系列(简易逻辑)专题五 四种命题及真假判断 Word版含解析

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 简易逻辑一、知识梳理 1、命题:可以 的语句叫命题。

其中判断为真的语句叫 判断为假的语句叫 。

2、四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。

3、四种命题之间的关系(1)原命题与 同真假；逆命题与 同真假(2)区别“命题的否定”与“否命题”： 4、逻辑联结词： ； ； 。

用逻辑联结词联结的命题叫复合命题。

复合命题的真假关系如下：当 时，p q ∧是真命题；当 时，p q ∧是假命题 当 时，p q ∨是真命题；当 时，p q ∨是假命题 若p 是真命题，则p ⌝是 ；若p 是 ，则p ⌝是真命题。

5、充要条件若p q ⇒，则称p 是q 的 ；若q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ； 若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ；若p q ⇒且q p ⇒，则称p 是q 的 ； 设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ，则 若A B ⊆则p 是q 的 ；若A B =则p 是q 的 ；若A ÜB 则p 是q 的 ；若A ÚB 且B ÚA 则p 是q 的 ； 6、反证法的步骤：否定结论．．．．，推出矛盾．．．．，肯定结论．．．．。

词语 是 都是 大于 小于 等于 至少一个 至多一个 ∀∈x M ，()p x 0∃∈x M ，0()p x 词语的 否定二、例题解析例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出四种命题的真假. (1) 已知,a b 为实数，若22a b >则a b >；(2)若0x y +≤则00x y ≤≤或 (2) 设,a b ∈R ，若0,0a b ab +>>则0,0a b >>例2：证明：若22220a ab b a b ++++-≠则1a b +≠.三、反馈练习1.已知命题“p q 或”为真，“非p ”为假，则（ ）A.p 真、q 假B.p 真、q 可能真也可能假C.p 假、q 真D.p 假、q 可能真也可能假2.已知命题p ：若实数,x y 满足220x y +=则,x y 全为0；命题q ：若a b >则11a b<.给出下 列四个复合命题：①p q ∧；②p q ∨；③p ⌝；④q ⌝.其中真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 设0abc ≠，“0ac >”是“曲线22ax by c +=为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.红黄蓝三只箱子，有一苹果在其中一个箱子里，红箱子上写着：苹果在这个箱子里；黄箱子上写着：苹果不在这个箱子里；蓝箱子上写着：苹果不在红箱子里.这三句话中只有一句话是真的，则可知苹果在 箱子里.5.命题“x ∃∈{}正实数，使x x <”的否定为 命题 .6.已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a b +是负数；④ab 是非正数.写出一个逆否命题是真命题的复合 命题 .7.设命题p ：411x -≤；命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条 件，求实数a 的取值范围.8.设命题p ：函数2()23f x x ax =--+在(1,)-+∞上单调递减；命题q ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R .如果命题p q ∨为真，q ⌝为假，求实数a 的取值范围.第二章 圆锥曲线与方程§2.1 椭 圆一、椭圆的定义1、平面内与 等于常数(大于12FF )的点的轨迹叫做椭圆。

命题形式变化及真假判定一、基础知识：（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则（1）否命题：“若p Ø，则q Ø”（2）逆命题：“若q ，则p ”（3）逆否命题：“若q Ø，则p Ø”2、p q Ú，p qÙ（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p qÚ（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q Ù3、命题的否定p Ø：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多n 个→至少1n +个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ØØ：p 或q →p Ø且q Øp 且q →p Ø或qØ（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x "ήØ$ÎØ存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x $ήØ"ÎØ规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（"Û$），条件()p x 要进行否定()p x ÞØ②一不变：x 所属的原集合M 的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。

而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q Ú，p q Ù，如下列真值表所示：pqp 或q真真真真假真假真真假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、p Ø：与命题p 真假相反。

类型一：四种命题及其关系例. 写出命题“已知是实数，若，则或”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

点评：.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；. 互为逆否命题的两个命题同真假；. 注意区分命题的否定和否命题.举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假.()∀∈，＋＋>；()∀∈，＋＋是有理数；()∃α、β∈，使(α＋β)＝α＋β；()∃，∈，使－≠.【解析】()的否定是“∃∈，＋＋≤”.假命题.()的否定是“∃∈，＋＋不是有理数”.假命题.()的否定是“∀α，β∈，使(α＋β)≠α＋β”.假命题.()的否定是“∀，∈，使－＝”.假命题.类型二：充要条件的判断例.设有两个命题：：－＋≥的解集为；：函数()＝－(－)是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．解析：若命题为真命题，可知≤；若命题为真命题，则－>，即<.所以命题和中有且只有一个是真命题时，有真假或假真，即点评：. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换.举一反三：【变式】条件:,条件:,则是的( )..充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 .充要条件 .既不充分又不必要条件【答案】.解析：:或；，显然“”成立“”成立，所以是的充分但不必要条件.类型三：求参数的取值范围例.已知∈，设：和是方程－－＝的两个根，不等式－≤－对任意实数∈恒成立；：函数()＝＋＋＋有两个不同的零点.求使“且”为真命题的实数的取值范围.解得实数的取值范围是(].点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基。

四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。

1.(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题真假的判断方法因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．已知下面四个命题：①对于∀x，若x－3＝0，则x－3≤0；②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．其中所有真命题的序号是________．【思路点拨】对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．【解析】①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题．②“若a ＜b ，则ac 2＜bc 2”的否命题是：“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”，由不等式的性质知为真命题． ③逆命题：“若a ⊥b ，则a·b ＝0”为真命题． ④由p ∨q 为假命题，∴p 与q 均为假命题．∴綈p ，綈q 为真命题，一定有(綈p )∧(綈q )为真，故④为真命题． 综上知，命题①②③④均为真命题． 【答案】 ①②③④已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集为∅，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是真命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是真命题．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③C ．③④D ．①②③④【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32是假命题，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集是∅是真命题，则綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”与“綈p ∨綈q ”均为真命题． 因此③④正确． 【答案】 C1.(1)直接利用定义判断：即若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：p ⇒q 的等价命题是綈q ⇒綈p ，即若綈q ⇒綈p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充分条件、必要条件和充要条件的应用此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )为偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A ； A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．【解析】 对①，∵y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，∴m 2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2或m ＞6.∴p 是q 的充要条件，排除选项B ，C.对于②，q ：取f (x )＝x 2在R 上为偶函数，但f (－x )f (x )在x ＝0处没有意义，p 是q 的充分不必要条件，排除选项A.【答案】D已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2－8x －20>0}＝{x |x <－2或x >10}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2>0}＝{x |x <1－a 或x >1＋a }． 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B . 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞01－a ≥－21＋a ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a >－2，1＋a ≤10，解得0<a ≤3.故所求正实数a 的取值范围为(0,3].1.(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．【规范解答】 (1)特称命题，否定：∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1，真命题． (2)全称命题，否定：∃直线l ，l 没有斜率，真命题． (3)特称命题，否定：∀x ∈R ，1x 2－x ＋1≠2，真命题．(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞3 D ．∀x ∈R,2x ＞0【解析】 ∵当x ＝1时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当x ＝π4时，tan π4＝1，∴B 是真命题；∵当x ＜0时，x 3＜0，∴C 是假命题；由指数函数的性质可知，对∀x ∈R,2x ＞0成立，∴D 是真命题． 【答案】 C进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，可以得到p 与q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．【规范解答】 由ax 2－x ＋116a ＞0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4×a ×a 16＜0，解得a ＞2.∵2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1＞1，则x ＝t 2－12，∴2(t －1)＜a (t 2－1)对一切t ＞1均成立． ∴2＜a (t ＋1)，∴a ＞2t ＋1，∴a ≥1.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p ，q 一真一假．若p 真q 假，则a ＞2且a ＜1，∴a 值不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.判断p ：x ≠2或y ≠3是q ：x ＋y ≠5的什么条件． 【解】 若p ，则q 的逆否命题是若綈q ，则綈p . 由于綈q ：x ＋y ＝5；綈p ：x ＝2且y ＝3， 于是綈p ⇒綈q ，而綈q綈p .故q ⇒p ，p q ，即p 是q 成立的必要不充分条件．。