鲁教版七年级数学下学期三角形的综合证明精品

鲁教版数学七年级下册第十章《三角形的有关证明》第1节《全等三角形》教学设计一．本节课的设计理念：新课程中对学生的情感．体验．价值观，以及获取知识的渠道都有悖于传统的教学模式，这正是教师在新课程中寻找新的教学方式的着眼点．应该说，新的教学方式将伴随着教师对新课程的逐渐透视而形成新的路径．在本节课的教学过程中，我要做的是：1．指挥员，帮助学生决定适当的学习目标，并确认和协调达到目标的最佳途径；2．引导员，指导学生形成良好的学习习惯，掌握学习策略；3．打火机，创造丰富的教学情境，培养学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性；4．潜伏者，建立一个接纳的．支持性的．宽容的课堂气氛，作为学习的参与者，与学生分享自己的感情和想法，和学生一道寻找真理．二．课标要求1．了解并掌握作为证明基础的三条基本事实的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式．能利用基本事实证明全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形．2．能灵活运用“边角边”．“角边角”．“边边边”．“角角边”判定两个三角形全等，综合运用全等三角形的性质与判定解决问题．对推理证明的要求，进一步熟练和提高．三．学习目标1．会根据基本事实证明“AAS”定理．2．灵活运用基本事实和定理判定两个三角形全等．3．对推理证明的要求进一步熟练和提高．四．教材分析本节课是在学习了平行线的有关证明的基础上进行的，主要回顾全等三角形的判定方法，即三条基本事实和一条判定定理，使学生掌握推理证明的基本要求，明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程，掌握证明的方法．思路，培养学生的推理能力.本节内容既是前面知识的深化和应用，又是本章后面学习的预备知识，还是证明角相等．线段相等的重要依据，为今后学习四边形及圆的有关知识奠定基础.因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用.根据教材的地位和作用，确定本节课的教学重点是能把已知条件与图形结合判定两个三角形全等，进而判定线段．角之间的等量关系．五．学情分析在七年级上学期，学生已采用操作等直观方法归纳过三角形全等的条件，在侧重发展学生的合情推理能力的同时，初步渗透了简单的演绎推理，这为本节课的学习奠定了基础.但对于推理学习刚刚入门的初二学生而言，用文字语言叙述的几何命题的证明，从写已知．求证直至完成证明，每一部分都有些难度.因此，我确定本节课的难点是证明过程中数学符号语言的正确表达及定理的应用.在组织学生活动时，采用自主探究与合作交流相结合的方式，教师成为学生感知．探究数学知识的引导者和启发者，是学生进行联想．综合进而达成知识建构的帮助者，最大限度地关注学生，促进学生的发展.六．教法．学法和教学手段：采用“问题情境——自学——合作——展示——辩论——评价——应用与拓展”的模式展开教学．采用对话式．激励教学．问题教学．分层教学等多种教学方法，以达到教学目的．七．评价设计1.通过“小试锋芒”环节达成学习目标1.2.通过“宝剑锋从磨砺出”环节达成学习目标2.3.通过“思维加油站”环节达成学习目标3.八、 教学过程（一）温故知新如图，已知△ABC ≌△DEF ，则可以得到如下结论： ．2．如图，（1）如果AB=DE ，∠B=∠E ，∠A=∠D ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是： ；（2）如果AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是： ； （3）如果AB=DE ，∠B=∠E ， ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是：AAS ；（4）如果AB=DE ，AC=DF ， ，则证明 △ABC ≌△DEF ，用到的方法是：SSS ． 设计意图：通过问题1引领学生回顾全等三角形的性质，问题2便于学生及时回顾上学期学习的判定两个三角形全等的方法．采用由学生交流答案及知识点的方式引领全体同学回归基础知识，这样便于学生在第一时间感知本节课的学习内容，利于本节课知识的顺利进行．问题应对：学生在叙述四条判定方法时可能只说字母表示形式，这时教师要及时地引导学生（二）小试锋芒第四种方法现在还不能作为解题的依据，因为缺少严谨的证明过程，要用它，就必须先证明它的合理性．我们来看这一命题：“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”，考虑这样两个问题：（1）要证明什么？（2）条件有哪些？结合图形考虑，找一位同学交流已知和求证．问题（3）现在证明两个三角形全等的方法只有哪三种？独立尝试完成小试锋芒．已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠B=∠B ’，∠C=∠C ’，AB=A ’B ’.求证：△ABC ≌△A'B'C'.教师引导学生共同分析命题的条件和结论，同时画出图形写出已知．求证． 学生自主完成．一生板演，交流解题分析过程，学生评价．4．符号语言： 在△ABC 和△A'B'C'中， ∵∠B=∠B ’，∠C=∠C ’，AB=A ’B ’∴△ABC ≌△A'B'C'.（AAS ）5． 盘点四种证明三角形全等的方法：设计意图：这一环节是对“AAS ”定理的证明，虽然简单，也应让学生进行证明，目的有两二是进一步巩固命题证明的一般步骤，为下面的推理证明做准备．同时，借助盘点过程，让学生进一步认清条件之间的位置关系，条件不足时的思考途径，对学生解题思路的引领起到无形的推动作用．学生展示作品环节由学生交流，学生评价，提高学生的参与程度，利用激励性的语言，在教A C B D F E AC BA ’ C ’B ’师或学生的引领下，促进学生解题分析能力的培养． 问题应对：学生在交流解题思路时可能会出现交流解题方法的情况，这时教师要及时总结引角形全等，我们是从问题出发，寻找条件，这道题已知的是两角一边，可以考虑ASA ，而ASA 中的边必须是夹边，在边不能改变的前提下，我们考虑改变角的位置，从而想到了三角形内角和定理，实现了问题的转化．这样为学生的后续学习奠定了基础． 思维加油站1．如图，线段AB 与CD 相交于点O ．判断下面的命题是否正确，并说明理由．如果AC=BD ，AO=DO ，那么△AOC ≌△DOB ．2．已知，如图，AE 和CD 相交于点O ，∠ADO=∠CEO=90O ．要证明△AOD ≌△COE ，只需再添加一个条件： = ，依据是 ；或 = ， 依据是 ；或 = ，依据是 ．设计意图：这一环节是对判定方法的及时巩固，通过问题1的错误命题，加深学生对于“SSA ”第2题设计为条件开放，目的是开阔学生思路，灵活选择方法，合理利用图形．问题应对：在判断第一题的真伪时，可能有学生判断这是一个真命题，也可能没有学生但学生可能对于真正的原因遗忘比较大，教师通过多媒体动画展示，引领学生回顾上学期知识的呈现过程，让学生不但知道所然，而且知道所以然． （三）宝剑锋从磨砺出例题：如图，已知AO=DO ，∠C=∠B ，请你独立设计问题并证明．1．先独立思考，小组交流，小组长把设计的问题总结一下，总结完的小组可以派一个代表板书在黑板上，其它小组补充．2．学生评价所有的问题或者哪一个问题的设计吗？（如：把问题归类，好与不好，成立还是不成立等）3．这些问题都能得以解决吗？尝试证明．4．学生交流分析过程，其它同学从中受益．设计意图：本题是本节课的例题，在处理时改为结论开放题，由学生当老师设计问题，这样充分发挥师生之间．生生之间的交流学习，培养思维的广度,激发求知欲.组内相互交流，组与组之间互相补充，培养学生的分析推理及合作交流的能力.通过审视学生的问题解决过程，发展学生勇于质疑．严谨求实的科学态度.让学生体会到证明定理的必要性和学习定理的意义所在.问题应对：学生可能会出现问题提出不全的情况，教师把整个课堂放手给学生，学生展示．交学生有发现就可以，因为此题的本质仍然是证明三角形全等，只要学生达到了这一层次即可． D A B CO D A B CO E D A B C O思维加油站 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AB=AD ．求证：AC 平分∠BCD ．2．已知：如图，AC=BC ，AC ⊥BC ，过点C 任意画一条与AB 不平行的直线a ，分别过点A ．B 向直线a 作垂线，垂足分别是E ．F ． 求证：EF=AE+BF ．3．变式：（快手园地）已知：如图，若过点C 的直线a 与AB 交于点D ，其余条件不变，请你在图中画出图形，探索此时AE ，BF ，EF 之间的数量关系并证明．设计思路：第一题是通过判定两个三角形全等从而得到角之间的等量关系，与角平分线实现了完美的结合，第二题在第一题的基础上加深了一层，研究线段之间的和．差问题，学生通过练习实现知识的灵活运用，进一步巩固知识，评价采用小组合作的形式，便于及时反馈矫正，便于形成生帮生的氛围．问题应对：由于学生的学习存在着个体差异，特设计了拓展题，以供学有余力的学生继续探究，挖掘学生的学习潜能，拓宽学生的视野，增强学生的数学学习兴趣.（四）盘点收获先引领学生回顾本节知识，然后由学生交流1．你认为自己这节课的参与程度怎么样？（1）非常积极 （2）一般 （3）不积极，原因是什么？2．你认为自己这节课在知识和习惯方面最大的收获是什么？在解题方法和解题思路方面最大的收获是什么？3．在解决问题的过程中，你有什么要提醒大家注意的地方？设计意图：采用谈话式小结，给学生畅所欲言的机会，使学生对所学知识有一个完整系统的认识，锻炼学生的归纳表达能力，使学生养成及时反思的学习习惯，同时关注学生的情感态度，为学生的后继学习注入新动力.（五）作业布置：1．必做：课本随堂练习1、2知识技能1 选作：已知：如图，线段AB 与CD 相交于点O ，AC=BD ，AB=DC ．求证：△AOC ≌△DOB ．DA B C A a E B CF D A B CE F B C D A O设计意图：对本节课所学定理进行应用练习，强化证明中数学语言的表达.选做题的设计，.附：板书设计点、线、面、体 全等三角形 学生板书 （设计的问题） SSS ASA SAS AAS SSS 的符号语言 图形 AAS 证明的已知．求证 （学生板书证明过程）。

直角三角形教材分析本节课的学习内容是直角三角形全等的判定，属于图形与几何课程内容中的三角形部分。

三角形是最基本的几何图形，是初中几何的重要研究对象，也是认识其他图形的基础。

而全等研究的是两个平面图形间的关系，其研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路。

直角三角形是特殊的三角形，是对三角形全等判定所做出的进一步研究。

通过本节课的学习，使三角形全等判定的知识相对完整，因此本节课的学习是前面学习的发展和深化，同时直角三角形在本章乃至整个平面几何教材中都有着重要的基础性的地位，它可以为我们今后解决实际问题进一步研究平面几何奠定一定的基础。

对于本节内容，不同版本的处理方式也不同。

人教版将全等三角形独立设章，安排在了八年级上册，从一般三角形到直角三角形，从SSS、SAS、ASA、AAS到HL，构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动。

教材先安排了画图实验，让学生通过画一直角边和斜边分别相等的两个直角三角形并进行比较，然后猜想结论，直接给出“斜边、直角边”的判定定理，但并没有给出证明。

而鲁教版将一般三角形全等的探索放在了七年级上册，探索过程和人教版基本相同，但仅限于合情推理阶段。

对直角三角形全等的探索和证明安排在了七年级下册《直角三角形》一节中。

可以说，两个版本的安排各有千秋。

人教版主要通过画图让学生感受结论的正确性，并没有给出证明。

在习题的设计上，淡化了证明，降低了证明题的难度。

鲁教版更侧重于合情推理和演绎推理的紧密结合，让学生经历了一个“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性。

习题的设计中增加了利用HL定理解决实际问题的练习。

综合两个版本，我对本节课的目标定位如下：1. 知识技能：（1）掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

（2）已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形。

2. 数学思考：（1）经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力和有条理的表达能力。

全等三角形复习温故知新：三角形分类、三角形的高线、中线、角平分线知识点一：全等三角形的判定SSS归纳：有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成“边边边” 或“ SSS ”用数学语言表述：在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EFCA=FD∴△ABC ≌△DEF（SSS）例题：例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。

求证：△ABD≌△ACD例题2：如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°练习：1、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.求证：∠C=∠A.练习2：如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.D CB A 知识点二：SAS归纳结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）例题：1、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？2、已知//AB DC AB DC BE DF ==，，，求证：////AF CE AE CF ，练习：已知：ABC ∆，点E 、F 分别在AB 、AC 边上，点D 是BC 边中点，且//EF BC ，DE DF =求证：AB AC =2、已知：如图：四边形ABCD 中，E 是AC 上一点，12EB ED ∠=∠=，求证：EBA EDA ∆≅∆拓展提高1、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．2、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．3、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.4、如图，在△ABC和△DEF中，B、E、F、C，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.5、如图⑴，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第⑴问中AC与BE的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)知识点三：全等三角形的判定ASA知识点归纳：两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．知识点四：全等三角形的判定AAS归纳规律：•两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．例题如图11.2-10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。