2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

湖北省沙市中学2018-2019学年高二数学上学期第七次双周考试题考试时间：2018年12月27日一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合{}2,xA y y x R ==∈，{}B x y x R ==∈，则AB =（ ）A ． {}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2． “0mn <”是“方程221mx ny -=表示椭圆”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知132a -=，21log 3b =，131log 4c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．运行如图所示程序，则输出的S 的值为（ ） A ．1442B ．1452C ．45D ．1462（第4题图） （第5题图） 5．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为 A ．242π+ B ．244π+C ．24π+D ．24π-6．已知数列{}n a 中，11a =，*121()n n a a n N +=+∈，则4a 的值为（ ） A ． 31B ． 30C ． 15D ． 637．若两个非零向量,a b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( )A ．3πB ．23πC ．56πD ．6π 1 22 2 正视图 侧视图俯视图2开始否是 结束输出S 90?k >1k k =+ 1,0k S == 2sin S S k =+8．设实数x ， y 满足22202y x x y x ≤-+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则13y x -+的取值范围是（ ）A ． 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ． 11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ． 11,53⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ． 1,13⎛⎤⎥⎝⎦9．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,720]的人数为（ ） A ． 10B ． 11C ． 12D ． 1310．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（ ） A ．1415B ．115C ．35D ．1211．设点(,)(0)P x y xy ≠1=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则 （ ）A ．1210FP F P +<B ．1210FP F P += C ．1210FP F P +>D ．12F P F P +与10的大小关系不确定12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．1] B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______． 14．函数log (3)1a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中 0mn >，则11m n+的最小值为_______． 15．圆()()22:112C x y -++=，过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点， 90ACB ∠=,则直线l 的方程是 ．16．椭圆22:1164x y E +=内有一点(2,1)P ，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6个答题，共70分，请写出必要的文字说明或演算推理过程） 17．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足a b ≠，()2sin sin sin A B a A b B -=- .（Ⅰ）求边c ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为1，且tan 2C =，求a b +的值.18．已知0>c 且1≠c ，设p ：指数函数x c y )12(-=在R 上为减函数，q ：不等式1)2(2>-+c x x 的解集为R ．若q p ∧为假，q p ∨为真，求c 的取值范围．19．如图：在三棱锥D-ABC 中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =（1）求三棱锥D －ABC 的表面积； （2）求证AC⊥平面DEF ；（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．20．已知椭圆2212x y +=的左焦点为,F O 为坐标原点 （1）求过点,O F ，并且与直线:2l x =-相切的圆的方程；ECBDAFNM（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.21． “累积净化量（CCM ）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据/18801201G B T -《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM ）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n 台机器作为样本进行估计，已知这n 台机器的累积净化量都分布在区间(]4,14中.按照(](](](](]4,6,6,8,8,10,10,12,12,14均匀分组，其中累积净化量在(]4,6的所有数据有：4.5, 4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：（1）求n 的值及频率分布直方图中的x 值；（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台） 中等级为2P 的空气净化器有多少台？（3）从累积净化量在(]4,6的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为2P 的概率.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>4，圆()222:1(01)M x y r r ++=<<，过椭圆C 的上顶点A 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于,B D 两点（不同于点A ），直线,AB AD 的斜率分别为12,k k .频率组距0.150.140.12x 0.0346810 12 14克（1）求椭圆C 的方程；（2）当r 变化时，①求12·k k 的值；②试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.高二年级第七次双周练数学答案1．D 详解：因为集合，化简,所以，故选D.2． B 【解析】设1,1m n ==-，221x y +=表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则0mn <.故为必要不充分条件.3．【答案】D 【解析】，，，所以.故选D.4.B 【解析】程序是计算,记,,两式相加得.故,故选.5.C 【解析】球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为 长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为。

2018—2019学年下学期2017级期中考试文数试卷考试时间：2019年4月23日一、单选题（共12小题，每小题5分）。

i ．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）A ．任意一个有理数,它的平方是有理数B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数C ．存在一个有理数,它的平方是有理数D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数ii ．设,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件iii ．已知函数()ln x f x e x =⋅，'()f x 为()f x 的导函数，则f ′（1）的值为（ ）A ．0B ．1C ．1eD ．eiv ．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数 的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则4个剩余分数的方差为（ ） A ．6B ．1C ．32D ．4v ．已知函数421()42f x x x =-+，则当()f x 取得极大值时，x 的值应为（ ） A ．12-B ．12C ．0D ．12±vi ．直线0x y +=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(1x y +=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．B ．[2,4]C ．[1,2]D ．[1,3]vii ．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A.14 B. C. 12D.2viii ． 已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点且倾斜角为45︒的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．]2,1(D ．)2,1(ix ．已知a x x g xe x f x++-==2)1()(,)(，若R x x ∈∃21,，使得)()(12x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[,)e -+∞B ．(,]e -∞-C ．1[,)e -+∞ D ．1(,]e-∞-x ．如右图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的体积是（ ） A ．23B ．43C ．83D ．2xi ．已知函数()x f x ax e =-，当e a +≤≤11时，则有（ ）A ．x x f ≤)(B ．()f x x ≥C ．()f x x <D ．()f x x >xii ．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ） A. 233-或13- B. 3-或7- C. 73-或7- D. 73-或13-二、填空题xiii ．复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z = ． xiv ．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t＝6a t，(a ，t 为互质的正整数)，由以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________. xv ．设曲线1,*n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为___________．xvi ．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为 ．三、解答题xvii ．已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,0∈x ，不等式m m x 3122-≥-恒成立；命题q ：曲线xy e mx =- 在任意一点处的切线斜率均大于2-． (Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；(Ⅱ）若命题p q ∧是真命题，求实数m 的取值范围．xviii ．为了调查喜欢数学是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢数学”这个问题，在某学校分别随机调研了50名女生和50名男生，根据调研结果得到如图所示的等高条形图． （Ⅰ）完成下列22⨯列联表：(Ⅱ）能否有超过99%的把握认为“喜欢数学与性别有关”. 附：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)xix ．现将一根长为180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？xx ．在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，44CD AD AB ===，且AC PA ⊥，M 为线段CP 上一点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面PAM ； (Ⅱ）若14PM PC =且12AP AD =，求证：MB //平面PAD ， 并求四棱锥M ABCD -的体积．xxi ．已知双曲线1T ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，若抛物线22:2(0)T y px p =>的焦点到双曲线1T 的渐近线的距离为4．已知点(2,0)E 为抛物线2T 内一定点，过E 作两条直线交抛物线2T 于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（Ⅰ）求抛物线2T 的方程；（Ⅱ）若2AB CD k k +=，证明：直线MN 过定点．xxii ．已知函数322()7(,)f x x ax bx a a a b R =++--∈，且1x =时()f x 有极大值10. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若'()f x 为()f x 的导函数，不等式1'()(ln 1)523f x k x x x >--+（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.（注：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61≈≈≈）高二年级期中考试文数答案i ．Bii ．B 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此是必要条件，故选B 。

2018—2019学年下学期2017级期中考试理数试卷考试时间：2019年4月23日一．选择题i ．i 是虚数单位，复数z 满足322z i i=+-，则|z |=（ ）A .5B C . 13 Dii ．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）A ．任意一个有理数,它的平方是有理数B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数C ．存在一个有理数,它的平方是有理数D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数 iii ．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C 的离心率为 （ ）A ．23BC D ．12iv ．用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n +++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+=时，由n k =的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A.22(1)2k k ++B.22(1)k k ++C.2(1)k +D.21(1)[2(1)1]3k k +++v ．“14a << ”是“不等式2201942x a x x +>>-对一切实数x 恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件vi ．已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==- ，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ）A ．1B ．15C ．35D ．75vii ．若函数21()ln 12f x x x ax =+-+在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞B ．(),2-∞C ．),310[+∞ Dviii ． 已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点且倾斜角为45︒的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．]2,1(D ．)2,1(ix ． 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为（ ）A ． Cx ．已知a x x g xe x f x++-==2)1()(,)(，若R x x ∈∃21,，使得)()(12x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[,)e -+∞B ．(,]e -∞-C ．1[,)e -+∞D ．1(,]e-∞- xi ．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π>D ．(0)()4f π>xii ．已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点)(,2121x x x x <，则( )A ．21)(,0)(21->>x f x fB ．21)(,0)(21-<<x f x fC ．21)(,0)(21-<>x f x fD ．21)(,0)(21-><x f x f 二．填空题 xiii ．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t＝6a t，(a ，t 均为正实数)，由以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.xiv ．11)x dx -+=⎰xv ．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为xvi ．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = 三．解答题xvii ．已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,0∈x ，不等式m m x 3122-≥-恒成立；命题q ：曲线xy e mx =- 在任意一点处的切线斜率均大于2-． (Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；(Ⅱ）若命题p q ∧是假命题，求实数m 的取值范围．xviii ．现将一根长为180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？xix ．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C 。

2018-2018学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．2．已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则tan2α的值为（）A．B．C．D．3．总体由编号为01，18，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出54．一条直线与平面所成的角为θ（0＜θ＜），则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是（）A．B．πC．π﹣θ D．θ5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球68 75数据的值为（）A．60 B．62 C．68 D．68.37．两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．08．阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≥7 D．n≤89．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2B．3C．3D．410．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，）C．（﹣，0）D．[﹣，+∞）11．过圆C：x2+y2=10x内一点（5，3）有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项a k，若公差d∈[，]，则k取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．812．已知圆O的方程为x2+y2=4，P为圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．[﹣2，2] D．[0，2]二、填空题13．取一根长5米的细绳，拉直后从其中任一点剪断，剪得的两段细绳长度都不小于1.5米的概率为．14．将参加夏令营的600名学生编号为：001，018，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为018．这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为．15．在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为．16．设x，y满足，并设满足该条件的点（x，y）所形成的区域为Ω，则（1）Z=x2+y2﹣2y的最小值为；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程为．三、解答题17．已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，m为何值时，l1与l2：（1）平行（2）垂直．18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=45°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．19．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500）．（1）求居民收入在[2000，3000）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000，3000）的这段应抽取多少人？20．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．21．如图，已知平面ABB1N⊥平面BB1C1C，四边形BB1C1C是矩形，ABB1N是梯形，且AN ⊥AB，AN∥BB1，AB=BC=AN=4，BB1=8．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）求直线NC和平面NB1C1所成角的正弦值；（3）若M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P的坐标为（﹣6，3），线段PH的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）平面内是否存在定点A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常数），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．2018-2018学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52种取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，代入公式，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52中取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，∴由古典概型公式得到P==．故选B．2．已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则tan2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正切；直线的倾斜角．【分析】由题意可得tanα=，代入二倍角公式tan2α=可求【解答】解：由题意可得tanα=∴tan2α===故选C3．总体由编号为01，18，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出5A．18 B．18 C．18 D．01【考点】简单随机抽样．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，18，18，63，14，18，18，43，69，97，28，01，98，…，其中18，18，14，18，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为18，符合条件，以下符合条件依次为：18，18，14，18，01，故第5个数为01．故选：D．4．一条直线与平面所成的角为θ（0＜θ＜），则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是（）A．B．πC．π﹣θ D．θ【考点】直线与平面所成的角．【分析】一条直线与平面所成的角为θ，根据线面夹角的性质即最小角定理，我们可以求出这条直线与这个平面内任意一直线所成角的范围，进而求出其最大值，得到正确选项．【解答】证明：已知AB是平面a的斜线，A是斜足，BC⊥平面a，C为垂足，则直线AC是斜线AB在平面a内的射影．设AD是平面a内的任一条直线，且BD⊥AD，垂足为D，又设AB与AD所成的角∠BAD，AB与AC所成的角为∠BAC．BC⊥平面a mBD⊥AD 由三垂线定理可得：DC⊥ACsin∠BAD=，sin∠BAC=在Rt△BCD中，BD＞BC，∠BAC，∠BAD是Rt△内的一个锐角所以∠BAC＜∠BAD．从上面的证明过程我们可以得到最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最大的角为90°，由已知中直线与一个平面成θ角，则这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角的为范围（θ≤r≤）故选A．5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．68 75数据的值为（）A．60 B．62 C．68 D．68.3【考点】线性回归方程．【分析】由题意设要求的数据为t，由于回归直线过样本点的中心，分别求得和，代入回归方程可得t的值．【解答】解：由题意可得=（10+20+30+40+50）=30，设要求的数据为t，则有=（t+68+75+81+89）=（t+318），因为回归直线过样本点的中心．所以（t+318）=0.67×30+54.9，解得t=62．故选B．7．两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意可知，x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为﹣1，而直线x﹣y+c=0的斜率为1，所以得到过A和B的直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x﹣y+c=0中即可求出c的值，利用m 和c的值求出m+c的值即可．【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选C8．阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≥7 D．n≤8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：第一次循环，s=0+21=2，n=1+1=2，进入下一次循环；第二次循环，s=2+22=6，n=2+1=3，进入下一次循环；第三次循环，s=6+23=14，n=3+1=4，进入下一次循环；第四次循环，s=14+24=30，n=4+1=5，进入下一次循环；第五次循环，s=30+25=62，n=5+1=6，进入下一次循环；第六次循环，s=62+26=126，n=6+1=7，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n≤6，故选：B．9．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2B．3C．3D．4【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式．【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选C10．已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，）C．（﹣，0）D．[﹣，+∞）【考点】圆的一般方程．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．11．过圆C：x2+y2=10x内一点（5，3）有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项a k，若公差d∈[，]，则k取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可知，最短弦为垂直OA的弦，a1=8，最长弦为直径：a K=10，由等差数列的性质可以求出公差d的取值范围．【解答】解：设A（5，3），圆心O（5，0），最短弦为垂直OA的弦，a1=8，最长弦为直径：a K=10，公差d=，∴，∴5≤k≤7故选：D．12．已知圆O的方程为x2+y2=4，P为圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．[﹣2，2] D．[0，2]【考点】几何概型．【分析】随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，再结合题意分析这两个区域的相互覆盖情况即可．【解答】解：随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，…①平面区域x2+y2≥a2表示以原点为圆心，a为半径的圆的外部，…②若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则①区域要包含②区域，故|a|≤1，∴﹣1≤a≤1．故选A．二、填空题13．取一根长5米的细绳，拉直后从其中任一点剪断，剪得的两段细绳长度都不小于1.5米的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为5m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间2m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5米”为事件A，则只能在距离两段超过1.5米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1.5米，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故答案为．14．将参加夏令营的600名学生编号为：001，018，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为018．这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为18．【考点】系统抽样方法．【分析】由于是系统抽样，故先随机抽取第一数，再确定间隔，可知样本组成以3为首项，12为公差的等差数列，由此可得结论．【解答】解：由题意，在随机抽样中，首次抽到018号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是018、015、187、189构成以3为首项，12为公差的等差数列，通项为12n﹣9，由241≤12n﹣9≤496，∴25≤n≤46∴第二营区被抽中的人数为46﹣25+1=18．故答案为18．15．在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为3．【考点】正弦定理．=x，由余弦定理求【分析】设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S△ABC=，由三角形三边关系求得1＜x＜3，由二次得cosC代入化简S△ABC函数的性质求得S取得最大值．△ABC【解答】解：设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S△ABC=AC•BC•sinC=x•sinC=x．由余弦定理可得cosC=，=x=x =．∴S△ABC由三角形三边关系有：x+2x＞3且x+3＞2x，解得1＜x＜3，取得最大值3，故当x=时，S△ABC故答案为：3．16．设x，y满足，并设满足该条件的点（x，y）所形成的区域为Ω，则（1）Z=x2+y2﹣2y的最小值为；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程为x2+y2﹣3x+y=0．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：（1）Z=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1的最小值为（0，1）到直线x﹣2y=0的距离的平方减去1，为||2﹣1=﹣；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程即为三角形区域的外接圆方程，则此时过点O，B（2，1），A（0，﹣1）三点的圆，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得到，解得，所以包含Ω的面积最小的圆的方程为x2+y2﹣3x+y=0．故答案为：；x2+y2﹣3x+y=0．三、解答题17．已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，m为何值时，l1与l2：（1）平行（2）垂直．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）解1×4﹣（1+m）（2m）=0，排除两直线重合即可；（2）由垂直关系可得1×2m+4（1+m）=0，解方程可得．【解答】解：（1）∵l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，∴1×4﹣（1+m）（2m）=0，解得m=1或m=﹣2，当m=﹣2时，两直线重合，当m=1时两直线平行；（2）由垂直关系可得1×2m+4（1+m）=0，解得m=，∴当m=时，两直线垂直．18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=45°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意直线AB的斜率为1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB 的距离，由弦长公式求得AB的长．（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP0垂直，故AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程．【解答】解：（1）依题意直线AB的斜率为1，直线AB的方程为：y﹣2=x+1，即x﹣y+3=0，圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=，则AB的长为2=．（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP0垂直，故AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程为x﹣2y+5=0．19．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500）．（1）求居民收入在[2000，3000）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000，3000）的这段应抽取多少人？【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数；（3）求出月收入在[2000，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）月收入在[2000，3000）的频率为：0.0018×=0.5；3分（Ⅱ）∵0.0018×=0.1，0.0018×=0.2，0.0018×=0.25，0.1+0.2+0.25=0.55＞0.5，所以，样本数据的中位数为：2000+=2000+400=2400（元）7分（Ⅲ）居民月收入在[2000，3000）的频数为0.5×10000=5000（人），再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取100×=50（人）20．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】等可能事件的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．21．如图，已知平面ABB1N⊥平面BB1C1C，四边形BB1C1C是矩形，ABB1N是梯形，且AN ⊥AB，AN∥BB1，AB=BC=AN=4，BB1=8．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）求直线NC和平面NB1C1所成角的正弦值；（3）若M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出BN⊥NB1，BN⊥B1C1后即可证明BN⊥平面C1B1N；（2）求出平面NCB1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线NC和平面NB1C1所成角的正弦值；（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知=0，利用向量数量积为0求出a的值，并求出的值．【解答】（1）证明：∵BA，BC，BB1两两垂直．…以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）∵=（4，4，0）•（﹣4，4，0）=﹣16+16=0=（4，4，0）•（0，0，4）=0∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；…（2）解：设=（x，y，z）为平面NB1C1的一个法向量，则，取=（1，1，0），∵=（4，4，﹣4），∴直线NC和平面NB1C1所成角的正弦值sinθ==；…（3）解：∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣2，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴=0，∴（﹣2，0，a）•（1，1，2）=0，∴a=1．又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=1时，MP∥平面CNB1∴=…22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P的坐标为（﹣6，3），线段PH的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）平面内是否存在定点A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常数），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用代入法求点M的轨迹方程；（2）求出λ2==，可得结论；（3）利用韦达定理及向量垂直的结论，即可求t的范围．【解答】解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y﹣3），又H在圆上，得（2x+6﹣2）2+（2y﹣3+3）2=32，化简得（x+2）2+y2=8；（2）设M的轨迹交y轴于E、F，由且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，所以A在x轴上，设M（x，y），则λ2==，所以4+a2=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），；（3）由直线y=kx与（x+2）2+y2=8，消去y得（1+k2）x2+4x﹣4=0，∴x1+x2=x1x2=﹣，又0==（1+k2）x1x2﹣kt（x1+x2）+t2，∴=∈[﹣，]，∴t．2018年12月15日。

2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期中考试数学试卷考试时间：2018年11月14日一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知点(1,3)A ，(1,33)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．60B ．30C ．120D ．1502．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．210x y +-= C ．230x y +-=D ．230x y +-=3．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且26AB =，则实数x 的值为（ ） A ．3-或4B ．6或2C ．3或4-D ．6或2-4．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值等于（ ） A ．1B ．12C ．0D ．12-5．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系．根据一组样本数据,(1,2,,)i i x y i n =…，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 6．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（ ） A ．90B ．100C ．180D ．3007．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计430022a b +=（ ）AB ．2C ．1D ．38．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、为切点，若四边形PACB 的最小面积为2，则k的值为（ ）AB ．2C ．D ．29．在平面直角坐标系中，A B 、分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π10．设函数2()65f x x x =-+，集合()()0(,)()()0f a f b A a b f a f b ⎧⎫+≤⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≥⎩⎪⎪⎩⎭，在直角坐标系aOb中，集合A 所表示的区域的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π11．若圆22:44100C x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l x y m -+=的距离为m 的取值范围是（ ）A ．[-B ．(-C ．[2,2]-D ．(2,2)-12．直线y kx =交曲线y 于P Q 、两点，O 为原点，若2OP PQ =，则k的值为（ ）A ．15B C D 7二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现 “正面向上”的概率为 ．14．设,x y 满足约束条件032060x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．15．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 为正方形，则下列结论正确的是 ．①AC BD ⊥；②AC ∥截面PQMN ；③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成角为45．16．设集合{}22(,)(4)1A x y x y =-+=，{}22(,)()(2)1B x y x t y at =-+-+=，若存在实数t ，使A B φ≠，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，请写出必要的文字说明和演算推理过程） 17．（10分）已知直线l 的斜率为34-，且直线l 经过直线250kx y k -++=所过的定点P ． （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．（12分）已知圆22:8C x y +=内有一点(1,2)P -，直线l 过点P 且和圆C 交于A B 、两点，直线l 的倾斜角为α．（1）当135α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]． （1）求图中的a 的值；（2）根据直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数． 分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90):x y1:1 2:1 3:4 4:520．（12分）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD ∆为正三角形，CB CD =，EC BD ⊥．（1）求证：BE DE =；（2）若120BCD ∠=，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC ．21．（12分）在平面直角坐标系中，点(2,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足20PA PB -=． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线:1l y kx =+和轨迹E 交于M N 、两点，且点B 在以MN 为直径的圆内，求k 的取值范围．22．（12分）如图所示，已知圆222:(0)O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为3-，圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ． （1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．高二数学期中考试答案13．1214．8 15．①②④ 16．4[0,]317．（1）:34140l x y +-=（2）设直线3:4m y x b =-+，则134b =⇒=-或294 ∴ 直线m 为：3144y x =--，或32944y x =-+18．见课本必修2 P 133（1）AB = （2）:250l x y -+= 19．（1）(20.020.030.04)1010.005a a +++⨯=⇒= （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）数学成绩在[55,90)内人数为：145(0.0050.040.030.02)1010090234+⨯+⨯+⨯⨯⨯=人∴ 数学成绩在[55,90)外人数为：1009010-=人20．（略）21．（1）22(2)4x y +-=（2）22221(1)(24)10(2)4y kx k x k x x y =+⎧⇒++-+=⎨+-=⎩304k ∆>⇒<，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，0BM BN < 1122(1,)(1,)0x y x y ⇒--<21212(1)(1)()20k x x k x x ⇒++-++<222142(1)(1)2011kk k k k -⇒++-+<++ 2610k k ⇒+-<33k ⇒-<<- ， 满足0∆>故k的取值范围是(33---22．（1）22:4O x y +=（2）设:2(10)AP y kx k =+-<<22222(1)404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩ 222422(,)11k k P k k -+⇒-++(0,2),(2,0)B D - ∴直线:2BD y x =-2422(,)211y x k M y kx k k =-⎧---⇒⎨=+--⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+ ∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++ 即：(22)(2)0y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点(2,2)。

湖北省沙市中学 2018-2019学年高二数学上学期第六次双周考试题（无答案）考试时间：2018年 12月 13日一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分) 1．数据 1，2，3，4，5的方差是（ ）A ．1B ． 2C ．2D ．32．已知 x ， y 的取值如下表x 3 4 5 6 y2.53 44.5回归方程为 y ˆ=ax 0.35 ，则 a =（） A ．0.7 B ．1.18C ．1.2D ．1.43．已知命题 P :x ，sin x cos x 2 ，命题 q :x ， log x 0 ，则下列命题中为真命题2的是（ ）A ．（ p ） qB ． p qC ．（ p ） （ q ）D ．（p ） （ q ）4．，()，则“”是“ // ”的（）l 1 : ax y al 2 : x ay 20 aR a1l l12A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设命题 p :nN * ， f 、 n 、 N * 或 f 、 n 、 >n ，则 p 为（）A ．n N * ， f 、 n 、 N * 或 f 、 n 、 nB ．n N * ， f 、 n 、 N * 且 f 、 n 、 nC ． nN * ， f 、 n 、 N * 或f 、 n 、nD ．nN *， f 、 n 、 N *且f 、 n 、n6．不等式（）<1的解集为D ，在区间（0，5）任取一个数 ，则 的概率为（ ）log x 1 x x D2- 1 -432A．B．C．D．555127．集合A =1、2、3、4，B =1、2、3、4、5、6，从A中任取一数x，从B中任取一数y，得a=、x,y、b a b.若=（1，2），则向量与向量的夹角为锐角的概率为（）98A．1B．C．D．109788．A是半径为1的圆C上一定点，现在圆C上任取一点B，则AB 3的概率为（）312A．B．C．D．635129．已知A（1，1，1），B、x,x,62x、，则AB的最小值为（）6A．2 B．3C．D．1210．已知圆C:x2y2Dx Ey D E 20（D、E R）与直线2x y 70相切，则圆C的半径的最小值为（）36A．5B．C．3 D．25511．方程（x2y21）x y=0表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．两条射线和一个圆C．两条射线和一个半圆D．一条直线和一个半圆12．方程4x2kx k10有解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．(,][,)12[1,2](,1][1,)[2,2] 232333- 2 -二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．数据的平均数为，则数据的平均数为．x1,x2,…x n,53x1,3x1,…,3x112n14．一个学校有男教师64人，女教师48人，若采用分层抽样的方法从该校的全体教师中抽取一个容量为28的样本，则抽取男教师的人数为．15．执行下面的程序框图，如果从区间[1,3]任取一个数t输入，则使得输出的s属于区间[3,3]的概率为．16．已知直线l:x y0，点M(2,0)．点N为直线l上任意一点，则以线段MN为直径的圆经过除点M外的另一个定点的坐标为．三、解答题（本大题共6个答题，共70分，请写出必要的文字说明或演算推理过程）17．（10分）从区间[1,1]任取一个数a，从区间[2,2]任取一个数b．求使方程x22ax b20有实数解的概率．18．（12分）已知命题P:对x[1,1]，x22mx m40．q:m a1．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．- 3 -19．（12分）如图，在四棱锥P--ABCD中，PD平面ABCD，AB//DC，AD DC．PD=DA=AB=4，DC=8.（1）求直线BP与平面PCD所成角的正切值；（2）点M在棱PD上，且DM=1，在棱AD上找一点N，使得DNMN//平面PBC，并求的值.NA20．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，估计这20名学生成绩的平均分；（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)的概率．1121．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M到F(0,)的距离比它到x轴的距离多．44（1）求点M的轨迹C的方程；（2）点P是轨迹C上且位于x轴上方的任意一点，求点P到直线x y10的距离的最小值．- 4 -22．（12分）已知圆O:x2y2r2（O为坐标原点）上的点P(1,a)处的切线斜率为3，3直线l的方程为x4．（1）求圆O的方程；（2）过N(1,0)任作一直线与圆O交于A,B两点，与直线l交于M点，记PA,PB,PM的斜率分别为，求证：为定值，并求出这个定k k k k k k1,2,31223值．- 5 -。

湖北省沙市中学2018-2019届高二下学期期中考试理数试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若1)()3(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0x f '等于（ ）． A ．０ B ．１ C ．３ D ．31 2.已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是( )3．“a=﹣2”是“直线（a +2）x +3ay +1=0与直线（a ﹣2）x +（a +2）y ﹣3=0相互垂直”的（ ）条件．A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 4. 随机变量的取值为0，1，2，若，，则方差A. B. C.D. 5、函数32()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是（ ）（A ）5 , －15(B )5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－16 6．若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ） A ．540 B ．﹣540 C ．135 D ．﹣1357. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( )A. B. C. D.8. 某产品近四年的广告费x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表，根据此表可得回归方程中的=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.A. 650B. 655C. 677D. 720y x O 1 2 - A y x O 1 2 - B y x O 1 2 - C y x O 1 2 - D y x O 1 2 -1()f x '9、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）A 、24种B 、48种C 、96种D 、144种10、已知双曲线 )0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A 、2B 、C 、D 、11．已知函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′（x ），若对于任意实数x ，有f （x ）＞f ′（x ），且y=f （x ）﹣1为奇函数，则不等式f （x ）＜e x的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，e 4）D ．（e 4，+∞） 12、若函数f （x ）=（x+1）2﹣alnx 在区间（0，+∞）内任取有两个不相等的实数x 1 ， x 2 ，不等式＞1恒成立，则a 的取值范围是（ ）A 、（﹣∞，3）B 、（﹣∞，﹣3）C 、（﹣∞，3]D 、（﹣∞，﹣3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．14．函数32y x x x =--的单调增区间为___________________________________。

2018—2019学年下学期2017级期中考试理数试卷考试时间：2019年4月23日一．选择题i ．i 是虚数单位，复数z 满足322z i i=+-，则|z |=（ ）A .5B C . 13 Dii ．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）A ．任意一个有理数,它的平方是有理数B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数C ．存在一个有理数,它的平方是有理数D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数 iii ．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C 的离心率为 （ ）A ．23BC D ．12iv ．用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n +++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+=时，由n k =的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A.22(1)2k k ++B.22(1)k k ++C.2(1)k +D.21(1)[2(1)1]3k k +++v ．“14a << ”是“不等式2201942x a x x +>>-对一切实数x 恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件vi ．已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==- ，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ）A ．1B ．15C ．35D ．75vii ．若函数21()ln 12f x x x ax =+-+在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞B ．(),2-∞C ．),310[+∞ Dviii ． 已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点且倾斜角为45︒的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．]2,1(D ．)2,1(ix ． 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为（ ）A ． Cx ．已知a x x g xe x f x++-==2)1()(,)(，若R x x ∈∃21,，使得)()(12x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[,)e -+∞B ．(,]e -∞-C ．1[,)e -+∞D ．1(,]e-∞- xi ．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π>D ．(0)()4f π>xii ．已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点)(,2121x x x x <，则( )A ．21)(,0)(21->>x f x fB ．21)(,0)(21-<<x f x fC ．21)(,0)(21-<>x f x fD ．21)(,0)(21-><x f x f 二．填空题 xiii ．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t＝6a t，(a ，t 均为正实数)，由以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.xiv ．11)x dx -+=⎰xv ．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为xvi ．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = 三．解答题xvii ．已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,0∈x ，不等式m m x 3122-≥-恒成立；命题q ：曲线xy e mx =- 在任意一点处的切线斜率均大于2-． (Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；(Ⅱ）若命题p q ∧是假命题，求实数m 的取值范围．xviii ．现将一根长为180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？xix ．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C 。

2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知点，，则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.2．直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：设所求直线上任一点关于的对称点为，求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.详解：设所求直线上任一点，则它关于的对称点为，因为在直线上，化简得，故选D.点睛：本题考查“逆代法”的应用，属于中档题.“逆代法”的步骤：设出未知曲线上的坐标，以及在已知曲线上的对称点坐标，求出，将代入已知曲线方程.3．已知点和点，且，则实数的值为（ ）A ．或 B ． 或 C ． 或 D ． 或【答案】D【解析】试题分析：由空间中两点间距离易知：，解得或，故选D ．【考点】空间中两点间距离．4．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值等于（ ）A ． 1B ． 12C ． 0D ． 12- 【答案】A【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得66,0cos13k s π==+=， 535,1cos32k s π==+=； 343134,cos 1;3,1cos 110;23223k s k s ππ==+=-===+=-=21102,0cos ;1,cos 0;0,0cos 1;32233k s k s k s πππ⋅==+=-==-+===+=，故选A【考点】程序框图5．设某大学的女生体重（单位：kg ）与身高（单位：cm ）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】根据回归方程一次项系数正负判断A正确，根据回归方程特点判断B正确，根据回归方程计算可得C正确，根据回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.【详解】因为,所以与具有正的线性相关关系，回归直线必过样本点的中心，所以B正确，由得身高增加1cm时其体重约增加0.85kg，回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.因此选D.【点睛】本题考查线性回归方程相关概念,考查基本分析判断求解能力,属基础题.6．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为A．90B．100C．180D．300【答案】C【解析】试题分析：该样本中的老年教师人数为x，则3209001600x=，180x=．故选C．【考点】分层抽样．7．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件确定直线截得圆的弦长，再根据垂径定理求，，即得结果.【详解】由题意得直线和单位圆弦长皆为，所以圆心到直线和距离皆为，即，选B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及垂径定理,考查基本分析求解能力,属基础题.8．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】试题分析：如图所示，根据对称性可知，当取得最小值时面积取得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.【考点】直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.9．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】半径最小时圆面积最小，根据题意可得原点到直线距离为圆直径时半径最小，再根据圆面积公式得结果.【详解】因为半径最小时圆面积最小，而，因此圆面积的最小值为，选A.【点睛】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．10．设函数，集合，在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先化简集合A，再根据区域图象确定面积.【详解】,所表示的区域如图，面积为圆面积的一半，即，选C.【点睛】线性规划中可行域面积问题，首先明确可行域对应的图象，然后结合图形确定结果. 11．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆，所以，因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．12．直线交曲线于两点，为原点，P在线段OQ上，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据题意解出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求斜率.【详解】因为，所以，设圆心C到直线距离为，过C 作直线垂直，垂足为M，因为，所以,即，从而，选D.【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.13．如图，在四面体中，若截面为正方形，则下列结论正确的是_______．①；②∥截面；③；④异面直线与所成角为．【答案】①②④【解析】因为截面是正方形，所以;①正确截面；②正确异面直线与所成的角为, ④正确二、填空题14．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．【答案】【解析】根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.【详解】因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为.【点睛】本题考查概率概念,考查基本分析求解能力,属基础题.15．设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________．【答案】【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最小值取法，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点A时取最小值8.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．设集合，，若存在实数，使，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以，即有解，因此.【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.三、解答题17．已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点．（1）求直线的方程；（2）若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】（1）；（2），或.【解析】(1)先求p，再根据点斜式得直线的方程，(2)根据平行关系设直线方程，再根据点到直线距离确定直线方程.【详解】（1）所以过定点(-2,5)因此，即（2）设直线，则或直线为：，或【点睛】本题考查直线方程以及点到直线距离,考查基本分析求解能力,属基础题.18．已知圆内有一点，直线过点且和圆交于两点，直线的倾斜角为．（1）当时，求弦的长；（2）当弦被点平分时，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】(1)先根据点斜式得直线方程，再根据点到直线距离得圆心到直线距离，最后根据垂径定理求弦长，(2)设直线方程，根据圆心到直线距离为OP，列方程解得斜率，即得直线方程.【详解】：，圆心到距离为，所以弦长为，（2）圆心到距离为,设：所以【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.19．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．【答案】（1）0.005（2）73（3）10【解析】（1）根据直方图中各矩形面积和为1,列方程可求得的值；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生语文成绩的平均分；（3）先求出各分数段的人数，总人数减去所求人数的和即可得结果.【详解】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005．(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25．故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10．【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（1）求证：；（2）若，为线段的中点，求证：∥平面．【答案】(1)见解析(2) 见解析【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分又已知，所以平面OCE. …………４分所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.…………６分(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，…………８分∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，…………1０分所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分21．在平面直角坐标系中，点，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线和轨迹交于两点，且点在以为直径的圆内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点P坐标，化简条件即得轨迹方程，（2）设，，利用向量数量积表示点在以为直径的圆内，联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入化简，解不等式得结果.【详解】（1）设，因为（2），设，，，满足故的取值范围是【点睛】直线和圆的位置关系，一般转化为直线方程与圆方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.。