江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试题(含精品解析)

江苏省南京金陵中学2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝_____________．【答案】{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2.已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_____________．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|==．故答案为：．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3.已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．【答案】4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数==5，这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，∴2名都是女同学的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算6.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．【答案】2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．【详解】∵中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），∴，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7.已知，则＝_____________．【答案】﹣【解析】【分析】利用sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）即可得到结果.【详解】∵，∴sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）=﹣1=，故答案为：﹣【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8.设a＞0，若a n＝且数列{a n}是递增数列，则实数a的范围是__________．【答案】2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得解得∴2＜a＜39.在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是_______．【答案】﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键．10.若函数在上不单调，则的取值范围是____．【答案】0【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以11.如下图，在中，．若，则__________．【答案】【解析】因为,又因为，所以，也即，所以，又，故，由余弦定理得，则，应填答案。

江苏省金陵中学高三数学上学期期中【会员独享】 2010—2011学年度高三数学第一学期期中考试试题注意事项：考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。

1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，则M∩N= 。

2．已知复数z 满足（1+2i ）z=4+3i ，则z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．已知5cos 3a =。

且a∈（一2π，0）， 则sin(a π-)= 。

5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，则BC 等于 。

6．已知直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的 一条切线，则实数b 的值是 。

7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n 是100，则输出值S 是 。

8．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如图所示，则，f(0)= 。

10．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。

11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则∁U (A ∪B) =( )A ．{}134，， B ．{}34， C ． {}3 D ． {}4 2．若函数32)32()(-+=m xm x f 是幂函数，则实数m 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．函数f(x)＝2x ＋3x 的零点所在的区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2)4．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为( )A ．34B ．34或0 C ．0 D ．11k k +- 5．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝( )A ．±32B ．32C ．－32D ．不能确定 6．下列各式中正确．．的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 168°<cos 10°<sin 11°D ．sin 11°<sin 168°<cos 10° 7．下列函数中，不是．．周期函数的是( )A ．y ＝|sin x|B ．y ＝sin|x|C ．y ＝|cos x|D ．y ＝cos|x|8．设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f(2 013)＝1，则f(2 014)＝ ( )A ．3B ．2C ．－1D ．以上都不对 9．函数y ＝|tan x －sin x|－tan x －sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )10．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ( )A ．k<0或k>4B ．k≥4或k≤0C ．0<k<4D ．0≤k<411．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集是 ( )A ．(0,100)B ．1(,100)100C ．1(,+)100∞ D ．1(0)100，∪(100，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。

南京民办金陵中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（ ）A ．1-B ．i -C ．i 2D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π4． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力. 5． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 6． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.7． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．8． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，1}C ．{1}D ．{1，3}10．设a ，b为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则等于（ ）A．10 B．1) C1 D．12．已知函数(5)2()e 22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.14．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________. 15．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．16．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的图像与x轴的交点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z| = 1$，则$|a - bi|$的值为（）A. 1B. 2C. $\sqrt{2}$D. 03. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列$\{a_n^2\}$的通项公式为（）A. $4^n - 1$B. $4^n - 4$C. $4^n - 2^n$D. $4^n + 1$4. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - 2n$，则该数列的首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线$y = x$的对称点为（）A.（2，1）B.（-1，2）C.（1，-2）D.（-2，1）6. 若$\triangle ABC$的边长分别为$a, b, c$，且$a^2 + b^2 = c^2$，则$\triangle ABC$是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形7. 函数$f(x) = \ln x + \sqrt{x}$在区间[1，2]上的最大值为（）A. $\ln 2 + 1$B. $\ln 2 + \sqrt{2}$C. $\ln 2$D.$\sqrt{2}$8. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = n^2 + n$，则$a_5$的值为（）A. 15B. 16C. 17D. 189. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$（$q \neq 1$），则$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$的值为（）A. $\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$B. $\frac{a_1(1 - q^n)}{q -1}$ C. $\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ D. $\frac{a_1(q^n - 1)}{1 - q}$10. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）到直线$x + 2y - 3 = 0$的距离为（）A. $\frac{3}{\sqrt{5}}$B. $\frac{5}{\sqrt{5}}$C.$\sqrt{5}$ D. $\sqrt{10}$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的极值点为________。

期中试卷数学（必做题）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分请把正确答案填写在答题卡相应的位置上． 1.设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝ ．2.复数i 2（1－2i ）的实部是3.命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0” 的否定是4.函数f （x ）＝1－log 3x 的定义域是 ． 【答案】（0，3］ 【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足31log 00x x -≥⎧⎨>⎩，即03x <≤，故定义域为（0，3］.考点：对数函数.5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为 ．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知y =3x 是双曲线x 2a 2－y 2b2=1（a >0,b >0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题： ①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ； ③若l ∥m ,则α⊥β； ④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确命题的序号是 【答案】①③ 【解析】试题分析：对于①，若α∥β，因为l ⊥平面α，故l ⊥平面β，又m ⊆平面β，所以l ⊥m ，①9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y = 5下方的概率为 ．10.已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α= ． 【答案】65,3ππ【解析】 试题分析：由()fx α+=()f x α-知，x α=为函数的对称轴，所以2,6223k k ππππαπα-=+=+，因为α∈(0,π)，所以0,1k =，得,3πα= 或56π. 考点：函数对称性、正弦函数性质.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ．12.已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是 ． 【答案】[22 3.)+∞ 【解析】试题分析：由()()f a f b =得，1,1a b >>且()()|lg 1||lg 1|a b -=-，由对数函数的特征得，()lg 1lg(1)0,(1)(1)1a b a b -+-=--=所以ab a b =+，故()2223223a b a ba b a b ab b a++=+=++≥. 考点：对数函数性质、基本不等式.13.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[0，2013]上的零点个数是_____ ．14.已知函数f (x )=4x+k •2x+14x +2x +1，若对任意的实数x 1,x 2,x 3,不等式f (x 1)+ f (x 2) >f (x 3)恒成立，则实数k的取值范围是 ．综上，实数k的取值范围为1[,4]2．考点：换元法求函数最值、指数函数性质.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知向量a =(2cos x , 2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求： (1) f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若()()626212f f απαπ--+=, 且α∈(π2,π). 求α.16.(本题满分14分)如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE ,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.。

2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A＝{x|log2x<2}，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A∩B＝_____________．2．已知复数z=(1+i)(1+3i)，其中i是虚数单位，则|z|的值是_____________．3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，则实数p的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________．8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____．11．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====u u u v u u u v u u u v u u u v ．若12BD AC ⋅=-u u u v u u u v ，则CE AB ⋅=u u u v u u u v __________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．（1）求tan2β的值； （2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)．（1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线y +3=0交于不同的两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1）（图2）19．设函数f(x)=e xx 3−3k x−klnx ，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0(x 0>0)，使得f(x)在区间(x 0，+∞)上单调递增．20．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R(k )数列”．（1）已知a n ={2n −1，n 为奇数2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x −y =4，求l 的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d ，求d 的最大值．23．如图，已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角A —BE —C 的余弦值．24．已知f n (x)=(1+√x)n ，n ∈N ∗．（1）若g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；（2）若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，(2+4+5+6+8)=5，这组数据的平均数x=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．这组数据的方差S2=15故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，．∴2名都是女同学的概率为310故答案为：3．10【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n }是递增数列，得87301a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392a a a ⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a ＜39．﹣8 【解析】 【分析】由曲线y=ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x ﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直， ∴y′=2ax ﹣bx 2，∴{4a +b2=−54a −b 4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2， 故2a ＋3b =﹣8， 故答案为：﹣8 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t <1或2<t <3 【解析】此题考查导数的应用；f ′(x)=−x +4−3x =−x 2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x ∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x ∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t +1]上不单调，所以在[t,t +1]上即有减又有增，所以{0<t <11<t +1<3或{1<t <33<t +1∴0<t <1或2<t <3 11．43-【解析】因为()12AD DC BD BA BC ==+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以,又因为AC AB CB =-u u u v u u u v u u u v ，所以()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 。

高三数学(理科 第I 卷）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定位置。

3.答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

答题卡不折叠、无破损。

4.如有做图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1.设集合A={x x |是小于4的偶数}, B={-3,1, 2, 4}，则=B A ▲ .2.命题“ x ∀>0，02≥x 的否定为 ▲ .3.若复数i R a iai z ,(21∈-+=为虚数单位）是纯虚数，则a= ▲ . 4.函数)34(log 27+-=x x y 的定义域为▲ .5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,75,4500===a C A ，则b 的最小值 ▲ .6. 已知函数141)(++=x a x f 是奇函数，则=+-)0()1(f f ▲ . 7.已知e 为自然对数的底数，函数x ex y ln -=在],1[e 的最小值为▲ .8.已知函数42)(2+-=ax x x f 在),1(+∞-上是增函数，则)2(f 的取值范围为▲ .9.将函数)42sin(5π+=x y 的图像向左平移 )2＜＜0(πϕϕ个单位后，所得函数图像关于直线4π=x 对称，则=ϕ▲ .10.在ABC ∆中，己知2)1)(tan 1(tan =++B A ,则=C cos = ▲ .11.已知x>0，y>0，x+y=1,则141++y x 的最小值为▲ . 12.己知函数)22()(x x x x f --=，则不等式)(lg ＜)2(x f f -的解集为▲ .13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 4+=+，则C cos 的最小值 ▲ . 14.己知函数⎩⎨⎧≤=0x 2x,-x -0>,lg )(2x x x f ，若函数m x mf x f y 21)(3)(22-++= 有6 个不同的零点，则实数a 的取值范围为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px的焦点与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，则实数p 的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________．8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____．11．如下图，在ABC ∆中， 1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====u u u v u u u v u u u v u u u v ．若12BD AC ⋅=-u u u v u u u v ，则CE AB ⋅=u u u v u u u v __________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．（1）求tan2β的值； （2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)．（1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线y +3=0交于不同的两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1） （图2）19．设函数f(x)=e xx 3−3k x−klnx ，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0(x 0>0)，使得f(x)在区间(x 0，+∞)上单调递增．20．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R(k )数列”．（1）已知a n ={2n −1，n 为奇数2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x −y =4，求l 的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d ，求d 的最大值．23．如图，已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角A —BE —C 的余弦值．24．已知f n (x)=(1+√x)n ，n ∈N ∗．（1）若g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；（2）若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，(2+4+5+6+8)=5，这组数据的平均数x=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．这组数据的方差S2=15故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，．∴2名都是女同学的概率为310故答案为：3．10【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n }是递增数列，得87301a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392a a a ⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a ＜39．﹣8 【解析】 【分析】由曲线y=ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x ﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y+3=0垂直， ∴y′=2ax ﹣bx 2，∴{4a +b2=−54a −b 4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2， 故2a ＋3b =﹣8， 故答案为：﹣8 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t <1或2<t <3 【解析】此题考查导数的应用；f ′(x)=−x +4−3x =−x 2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x ∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x ∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t +1]上不单调，所以在[t,t +1]上即有减又有增，所以{0<t <11<t +1<3或{1<t <33<t +1∴0<t <1或2<t <3 11．43-【解析】因为()12AD DC BD BA BC ==+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以,又因为AC AB CB =-u u u v u u u v u u u v ，所以()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 。