等差等比数列基本概念复习作业

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。

高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C 级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。

【复习指导】1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．2.数列中n a 与n S 之间的互化关系也是高考的一个热点.3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．基础练习1.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =_____. [解析]数列{}1n n a a +仍是等比数列,其首项是128,a a =公比为1.4所以, 1223118[1()]324(14)1314n n n n a a a a a a -+-+++==--2.设，，，，则数列的通项公式=．[解析]数列是等比数列，则3．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，并且a n －1－a n a n ·a n －1＝a n －a n ＋1a n ·a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为.[解析] 由已知可得：1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，n ≥2，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，∴a 100＝150. 一.若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10， 则a ＝________．[解析] 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝_______.[解析] 本小题主要考查数列前n 项和S n 与通项a n 的关系，解题的突破口是用a n 表示S n .由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝123-⎪⎭⎫⎝⎛n .考向一 等差数列与等比数列的综合应用12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-*n N ∈{}n b n b {}n b 11422n n n b -+=⋅=【例1】设数列的前项和为 已知（I ）设，证明数列是等比数列（II ）求数列的通项公式. 解：（I ）由及，有由，．．．① 则当时，有．．．．．② ②－①得又，是首项，公比为２的等比数列． （II ）由（I ）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．， 第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II ）问中由（I ）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以． 【巩固练习】 1．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝3)21(21--+n (2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)， 由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．{}n a n ,n S 11,a =142n n S a +=+12n n n b a a +=-{}n b {}n a 11,a =142n n S a +=+12142,a a a +=+21121325,23a ab a a =+=∴=-=142n n S a +=+2n ≥142n n S a -=+111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-12n n n b a a +=-12n n b b -∴={}n b ∴13b =11232n n n n b a a -+=-=⋅113224n n n na a ++∴-=∴{}2n n a 1234∴1331(1)22444n na n n =+-=-2(31)2n n a n -=-⋅1n n b b -与的关系即可11232n n n a a -+-=⋅1(,n n n a pa q p q +=+为常数)1n q +2．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项. 解：（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-。

等差数列与等比数列复习题11．已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，那么该数列的前13项和13S 等于（ ）A ．156B ．132C ．110D ．1002．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A ．20 B ．17 C ．19 D ．213．设各项均为正数的等差数列n a n 的前}{项和为,1,>m S n 若0211=-++-m m m a a a 且m S m 则,3812=-等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．9 4．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，已知37+=n nT S n n ，则55b a 等于（ ）A.7B.32 C.1370 D.4215．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若2:1:510=S S ，则=515:S S （ ） A 、3：4 B 、2：3 C 、1：2 D 、1：3 6．设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知3S =8,6S =7,则987a a a ++等于（ ） A.18 B.-18 C.578 D.5587．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．48 8．等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S9．数列{}11(12)(124)...(12...2)n -++++++++++的前n 项和为_____________. 10．在等比数列{}n a 中，若141,42a a ==-，则12||||...||n a a a +++=____________.11．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为 ． 12．已知数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{nS n的前10项的和为13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意n N *∈时，点(,)n n a S 都在函数11()22f x x =-+的图象上。

数列、等差数列基础题以及答案一、选择题1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A. 2B.C. -1D. 20186.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的（）A. 充分且必要条件B. 充分但非必要条件C. 必要但非充分条件D. 既不充分也不必要条件11.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=______．3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．三、解答题1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. B11. D12. 2n13.14. -6；-11015. 2n-1；2n-116. -17.18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，∴a n-a n-1=0，即a n=a n-1，数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，∴a n=．（2）S n=1-a n=1-（）n，∴b n=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．则：S n+1=2a n+1-2②，②-①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- (2)=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+…+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）【解析】1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2故选：A由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，∵{a n}是正项数列，a1=1，∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==-1a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足a n，∴a n=2n-4，∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）-（a4+a5）=a1[（1+q7）-（q3+q4）]=a1[（q3-1）（q4-1）]当0＜q＜1，时（q3-1）＜0，（q4-1）＜0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0当q＞1，时（q3-1）＞0，（q4-1）＞0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．11. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{a n}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16. 解：由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得a n-a1=1-=，∵a1=-1，∴a n=-，故答案为-．由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．可得=+5（n-1），解得a n═．故答案为：．判断数列{}是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。

等差、等比数列的运算和性质【高考能力要求】1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前n 项和公式解题是高考考查的重点.2.从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题.3.学习时，要注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.【例题精讲】【例1】已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8，其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.分析 将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算. 解 （1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n . （3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列，所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ；b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .说明 本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c+323b m c +…+nn n b m c 1-=（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .分析 （1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a n 和b n ；（2）由题先求出{a n }的通项公式后再求S n .解 （1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2. ∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b m c 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时，S n =6+9+13+…+（4n +1） =6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时，S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n.② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n=6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n.31,31≠=m m 说明 本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）； （2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim 'nnS S 的值.分析 先根据递推关系求前几项。

第14讲 等差、等比数列考点1：等差数列一、等差数列的基本概念和公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即A =x+y 2．3.通项公式：a n =a 1+(n −1)d =a m +(n −m)d ,(n ∈N ∗,m ∈N ∗,m ≤n)⇒d =a n −a m n−m(n,m ∈N ∗,n ≠m)4. 前n 项和公式：S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n−1)2d ，(n ∈N ∗)；二、等差数列的性质：1. a m =a n +(m −n)d ，d =a m −a n m−n,(n ∈N ∗，m ∈N ∗);2. 若p +q =m +n ，则有a p +a q =a m +a n ；若2m =p +q ，则有2a m =a p +a q （p ，q ，m ，n ∈N ∗）；3. {a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n−1=(2n −1)a n ；{b n }为等差数列，S n ′为前n 项和，S 2n−1′=(2n −1)b n ；有a nb n=S 2n−1S 2n−1′．4. 若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n +q }，{a n ±b n }也为等差数列，且公差分别为pd 1，d 1，d 1±d 2．5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，．．．．，为等差数列，公差为md ．6. 等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n ，⋯⋯为等差数列，公差为n 2d ，(n ∈N ∗)；三、等差数列的单调性以及前n 项和的最值探讨1. 在等差数列{a n }中，若公差d >0，则等差数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则等差数列{a n }为递减数列；若公差d =0，则等差数列{a n }为常数列； 补充：更一般性的情况，研究任一数列的增减性可以利用逐项作差法，即构造f (n )=a n+1−a n ，然后研究自变量n 变化时函数值f (n )的符号．2. 有关等差数列{a n }的前n 项和为S n 的最值问题： 若a 1>0，d <0，则前n 项和为S n 存在最大值 若a 1<0，d >0，则前n 项和为S n 存在最小值3. 如何求最值：方法一：（任何数列都通用）通过{a n ≥0a n+1≤0解出n 可求前n 项和为S n 的最大值；通过{a n ≤0a n+1≥0解出n 可求前n 项和为S n 的最小值； 方法二：利用等差数列前n 项和S n 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和S n 不存在最值），利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；四、等差数列的判断方法1. 定义法：a n −a n−1=d （常数）(n ∈N +，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；2. 等差中项法：2a n =a n−1+a n+1(n ∈N +，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；3. 通项公式法：a n =kn +b （k ，b 是常数）⇔数列{a n }是等差数列；4. 前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =An 2+Bn ，(A ，B 是常数，A 2+B 2≠0) ⇔数列{a n }是等差数列；若数列{a n }的前n 项和S n =An 2+Bn +C(A ，B 是常数，C ≠0)，则数列{a n }从第二项起是等差数列．典例精讲【典例1】已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2+a 5＝a 6+a 3，则S 7＝（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28【典例2】已知等差数列{a n }的公差为4，且a 2，a 3，a 6成等比数列，则a 10＝（ ） A ．26 B ．30 C ．34 D ．38【典例3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10•S 21＜0，则S n 最大时，n 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【典例4】．已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A．B ．20 C ．25 D ．100【典例5】．已知等差数列{}n a 满足10a >，201920200a a +>，201920200a a <．其前n 项和为n S ，则使0n S >成立时n 最大值为( ) A ．2020B ．2019C ．4040D ．4038【典例6】．等差数列{}n a 中，36a =，816a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则122020111(S S S ++⋯+= ) A ．20172018B ．20182019C ．20192020D ．20202021【典例7】已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m ，n 为正数，且m n ≠，则( ) A ．11a b < B ．11a b > C ．11a b = D ．1a ，1b 的大小关系不确定【典例8】已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 2+a 6＝a 8．若p ﹣q ＝10．则a p ﹣a q ＝【典例9】设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7＝60，a 2+a 5+a 8＝51，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则正整数k 的值为 ．考点2：等比数列一、等比数列的基本概念和基本公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q ≠0)表示．等比数列中的项不为0．2. 通项公式：a n =a 1q n−1=a m q n−m (n ∈N ∗，n ≥2) ；3. 前n 项和公式：S n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q(q ≠1)．二、等比数列的性质（其中公比为q ）：1. a n =a m q n−m ，q =√na mn−m(n ∈N ∗，m ∈N ∗) ； 2. 若p +q =m +n ，则有a p ⋅a q =a m ⋅a n ；若2m =p +q ，则有a m2=a p ⋅a q ； 3. 等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，⋯⋯为等比数列，公比为q m ．4. 若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 、b 的等比中项，G 2=ab ，当且仅当两个数a 和b 同号 才存在等比中项．5. 若数列{a n }，{b n }都是等比数列且项数相同，则c n =a n s b n t (st ≠0)仍为等比数列．三、等比数列的判断方法1.定义法：a 1≠0，a nan−1=q （常数）(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．2. 等比中项法：a n 2=a n−1a n+1，(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．3. 前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =A −Aq n （A 是常数，A ≠0，q ≠0，q ≠1）⇔数列{a n }为等比数列；典例精讲【典例1】已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x +9＝0的二根，则a 7的值（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．9【典例2】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是100−200(910)n 万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【典例3】各项为正数的等比数列{a n }中，a 2与a 10的等比中项为√33，则log 3a 4+log 3a 8＝ ．【典例4】已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为 ．【典例5】已知正项等比数列{}n a ，向量3(a a =，8)-，7(b a =，2)，若a b ⊥，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．16C ．18D ．26log 5+【典例6】．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列2{log }n a 的前9项之和为( ) A ．11B ．9C ．15D ．13【典例7】.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a = ．【典例8】．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为34，则5S = ．综合练习一．选择题（共5小题）1．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2019＝6057，则1a2+4a2018的最小值为（）A．1 B．23C．136D．322．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．63．在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3 B．8 C．12 D．244．已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n＝16a12，则1m +9n的最小值为（）A．32B．83C．114D．不存在5．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a1＝﹣24，a4=−89，则当T n取最大值时，n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共1小题）6．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则b2a1+a2的值为．三．解答题（共2小题）7．已知{a n}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．8．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n log12a n，S n＝b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．。

专题七 数列7.1 数列的概念及表示基础篇 固本夯基考点 数列的概念及表示1.(2022届长沙雅礼中学月考,8)在无穷等差数列{a n }中,记T n =a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-…+(-1)n+1a n (n=1,2,…),则“存在m ∈N *,使得T m <T m+2”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B2.(2020河北邯郸线上检测,6)公元前4世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.下图为五角形数的前4个,则第10个五角形数为( )A.120B.145C.270D.285 答案 B3.(2020浙江丽水四校联考,7)数列{a n }满足a 1=43,a n+1=a n 2-a n +1(n ∈N *),则m=1a 1+1a 2+…+1a 2 014的整数部分是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B4.(2022届湖北新高考协作体联考,15)已知数列{a n }的首项a 1=2,其前n 项和为S n ,若S n+1=2S n +1,则a 7= . 答案 965.(2021福建南平模拟,15)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为 . 答案 a n =2n(n+1)6.(2022届河北唐山玉田一中开学考试)若数列{a n }对任意正整数n,有a n+m =a n q(其中m ∈N *,q 为常数,q ≠0且q ≠1),则称数列{a n }是以m 为周期,以q 为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”{a n }的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列{a n }的前21项的和为 . 答案 10907.(2022届广东开学质量检测)将图(1)的正三角形的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(2);将图(2)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(3);依此类推,将图(n)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(n+1).上述作图过程不断地进行下去,得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图(1)中正三角形的边长为1,则图(n)的周长为 ,图(n)的面积为 .答案 3×(43)n−1;2√35-3√320×(49)n−18.(2022届湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数列{a n }满足a n a n+1=22n,a 1=1. (1)求a 2n ;(2)求满足a 1+a 2+…+a 2n <2022的最大的正整数n 的值. 解析 (1)因为a n a n+1=22n,a 1=1,所以a 1a 2=22,a 2=4,又a n+1a n+2=22n+2,所以a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n =22n+222n =4,所以{a n }的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列,偶数项是以4为首项,4为公比的等比数列,所以a n ={2n−1,n 为奇数,2n ,n 为偶数,所以a 2n =22n.(2)令S 2n =a 1+a 2+…+a 2n ,所以S 2n =1−4n 1−4+4(1−4n )1−4=5(4n −1)3,易知f(x)=5(4x −1)3在定义域上单调递增,且f(4)=425,f(5)=1705,f(6)=6825,因为a 1+a 2+…+a 2n <2022,所以n<6,又因为n 为正整数,所以n 的最大值为5.综合篇 知能转换考法一 利用S n 与a n 的关系求通项公式1.(2022届全国联考,7)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,则“S n =3n+1”是“数列{a n }是常数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D2.(2021新高考联盟模拟,6)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S n+1=2S n +1,则S 7=( ) A.63 B.127 C.128 D.256 答案 B3.(2021上海金山一模,6)已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+3)=f(x),f(1)=-3,数列{a n }满足S n =2a n +n(其中S n 为{a n }的前n 项和),则f(a 5)+f(a 6)=( ) A.-3 B.-2 C.3 D.2 答案 C4.(2022届新高考联盟月考,18)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n+1-1=2S n +n. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{2na n a n+1}的前n 项和T n .解析 (1)因为S n+1-1=2S n +n,所以S n+1+(n+3)=2[S n +(n+2)],所以数列{S n +(n+2)}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以S n +(n+2)=2n+1,所以S n =2n+1-n-2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-n-2-(2n-n-1)=2n-1,当n=1时也成立,所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)2n a n a n+1=2n (2n −1)(2n+1−1)=12n −1-12n+1−1, 所以数列{2n a n a n+1}的前n 项和T n =(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+…+(12n −1−12n+1−1)=1-12n+1−1. 5.(2022届新高考联盟月考,17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n +a n =1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =a n(a n +1)(a n+1+1),求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由S 1+a 1=1及S 1=a 1得a 1=12, 由S n +a n =1,S n+1+a n+1=1作差得2a n+1-a n =0,所以a n+1a n =12,所以{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列,则有a n =12n . (2)由题意得b n =a n (a n +1)(a n+1+1)=2n+1(2n +1)(2n+1+1)=2(12n +1−12n+1+1), 所以T n =∑k=1n b k =∑k=1n2(12k +1−12k+1+1)=23-22n+1+1.6.(2022届重庆八中入学测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =2a n -1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =2n−1a n,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)当n=1时,S 1=2a 1-1,解得a 1=1.当n ≥2时,S n-1=2a n-1-1,则S n -S n-1=a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1.所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)b n =2n−1a n =2n−12n−1,∴T n =1+321+522+…+2n−12n−1, ∴12T n =121+322+523+…+2n−32n−1+2n−12n , 两式相减得12T n =1+221+222+223+…+22n−1-2n−12n =3-2n+32n ,∴T n =6-2n+32n−1(n ∈N *). 7.(2022届全国学业质量联合检测)已知数列{a n },{b n },S n 是数列{a n }的前n 项和,T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,从①b n =3n;②S n =n 2+n;③T n =32+(n −12)·3n+1中选取两个作为条件,证明另外一个成立. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.证明 若选①②作为条件,由S n =n 2+n 可得,当n=1时,a 1=S 1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时符合上式,所以a n =2n(n ∈N *).所以T n =2×31+4×32+…+2n ·3n,3T n =2×32+4×33+…+(2n-2)·3n+2n ·3n+1,两式相减得-2T n =2·(31+32+ (3))-2n ·3n+1=2×3·(1−3n )1−3-2n ·3n+1,所以T n =32+(n −12)·3n+1(n ∈N *),③成立. 若选①③作为条件,当n ≥2时,由T n =a 1·31+a 2·32+…+a n ·3n=32+(n −12)·3n+1,得T n-1=a 1·31+a 2·32+…+a n-1·3n-1=32+(n −32)·3n ,两式相减得a n ·3n =2n ·3n ,所以a n =2n(n ≥2,n ∈N *).当n=1时,a 1·3=32+(1−12)·32,解得a 1=2,符合上式,所以a n =2n(n ∈N *).所以数列{a n }是首项为2,公差为2的等差数列,所以S n =n(2+2n)2=n 2+n(n ∈N *),②成立. 若选②③作为条件,由S n =n 2+n 可得,当n=1时,a 1=S 1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当n=1时符合上式,所以a n =2n(n ∈N *).当n ≥2时,由T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =32+(n −12)·3n+1,得T n-1=a 1b 1+a 2b 2+…+a n-1b n-1=32+(n −32)·3n ,两式相减得a n b n =2n ·3n ,把a n =2n 代入,解得b n =3n (n ≥2,n ∈N *),当n=1时,2·b 1=32+(1−12)×32=6,解得b 1=3,符合上式,所以b n =3n (n ∈N *),①成立. 8.(2022届广东调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =3n-1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若c n =a n +log 3a n ,求c 1+c 2+…+c n 的值. 解析 (1)当n=1时,a 1=S 1=3−12=1, 当n ≥2时,2S n-1=3n-1-1,所以2a n =2S n -2S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,所以a n =3n-1(n ∈N *,n ≥2),又a 1=1符合上式,所以a n =3n-1(n ∈N *).(2)由(1)可得c n =3n-1+n-1,所以c 1+c 2+…+c n =1×(1−3n )1−3+(n−1)n 2=3n +n 2−n−12.考法二 利用递推关系求数列的通项1.(2022届新高考联盟月考,6)已知数列{a n }中,a 2=4,a m+n =a m +a n ,则a 11+a 12+a 13+…+a 19=( ) A.95 B.145 C.270 D.520 答案 C2.(2022届长沙长郡中学月考)在数列{a n }中,对任意n ∈N *,a n =k,当且仅当2k≤n<2k+1,k ∈N 时,若满足a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ≥52,则m 的最小值为 . 答案 5123.(2022届江苏泰州中学检测)在数列{a n }中,a 1=3,3a 1a 2+3a 2a 3+…+3a n a n+1=1+12+13+…+1n +n 2(n ∈N *),则a n = ,若λa n ≥4n对所有n ∈N *恒成立,则λ的取值范围是 .答案 6n n(n+1);[32081,+∞)4.(2022届重庆西南大学附属中学开学考,16)设数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,a 3=12,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n+2−S n−1+1S n+1−S n +1=3(n ∈N *且n ≥2).若[x]表示不超过x 的最大整数,b n =[(n+1)2a n],数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 2022的值为 . 答案 20235.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{a n }满足a n+2+(-1)na n =3n-1,前16项和为540,则a 1= . 答案。

专题4 第1讲等差、等比数列的基本问题一、选择题1．(2011·江西文，5)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24[答案] B[解析] S 11－S 10＝a 11＝0，a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，所以a 1＝20.2．(2011·天津理，4)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110[答案] D[解析] 由条件：a 27＝a 3·a 9， 即(a 1＋6d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋8d )∴a 1＝20，S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.3．(2011·安徽文，7)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15[答案] A[解析] 设a 1＋a 2＋…＋a 10＝S ，则S ＝－1×(3×1－2)＋(－1)2×(3×2－2)＋…＋(－1)10(3×10－2) ① －S ＝(－1)2×(3×1－2)＋…＋(－1)10(3×9－2)＋(－1)11(3×10－2) ②①－②得2S ＝－1＋(－1)2×3＋…＋(－1)10×3－(－1)11×28＝－1＋3×(1－(－1))91＋1＋28.∴2S ＝30，∴S ＝15.4．(2011·辽宁文，5)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16[答案] B[解析] ∵a n ·a n ＋1＝16n ，∴a n －1·a n ＝16n －1∴a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2＝16n 16n －1＝16 ∴q ＝4.5．(2011·东北四市联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n ，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[答案] A[解析] 依题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝lnn n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A. 6．(2011·辽宁抚顺)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[答案] C[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C.7．(2011·安徽安庆)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标是( )A ．(2，12)B ．(－12，－2)C ．(－12，－1)D ．(－1，－1) [答案] B[解析] 由S 2＝10，S 5＝55得a 1＝3，d ＝4，∴a n ＝4n －1，∴PQ →＝(2,8)，故选B. 8．(2011·长沙二模)设S n 是各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和，若S n ＋S n ＋22S n ＋1，则公比q 的取值范围是( )A ．q >0B ．0<q ≤1C ．0<q <1D ．0<q <1或q >1 [答案] B[解析] 当等比数列{a n }的公比q ＝1时， ∵S n ＋S n ＋22＝na 1＋(n ＋2)a 12＝(n ＋1)a 1＝S n ＋1， ∴q ＝1符合题意．当q ≠1时(q >0)，∵S n ＋S n ＋2≤2S n ＋1， ∴a 1(q n－1)q －1＋a 1(q n ＋2－1)q －1－2a 1(q n ＋1－1)q －1≤0，即a 1q －1(q n＋q n ＋2－2q n ＋1)≤0， 化简得a 1q n q －1q －1)2≤0，即a 1q n(q －1)≤0，∴q －1<0，∴0<q <1.综上可知0<q ≤1.故选B. 二、填空题9．(文)(2011·北京文，12)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.[答案] 2,2n －1－12[解析]a 4a 1＝q 3＝412＝8，所以q ＝2， 所以 a 1＋a 2＋……＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12(理)(2011·北京理，11)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.[答案] －2；2n －1－12[解析] 依题意：a 1＝12，a 4＝－4，则12q 3＝－4，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. ∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－1210．(2011·重庆理，11)在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. [答案] 74[解析] a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74.11．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是______． [答案]152[解析] 由已知条件a m ＋2＋a m ＋1＝6a m 可得a 2q m ＋a 2q m －1＝6a 2q m －2，即得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，则数列{a n }的前四项的和为12＋1＋2＋4＝152.12．(文)(2011·襄阳一调)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝3；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①②③[解析] 对于①，注意到(12)a n ＋1(12)a n ＝(12)a n ＋1－a n ＝(12d 是一个非零常数，因此数列{(12)a n }是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d ＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，当a n >0，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.(理)(2011·湘潭五模)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.[答案] 4[解析] 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd ，所以当d ＝4时，S2n S n 为非零常数．三、解答题13．(文)(2011·大纲全国卷理，20)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.[解析] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即{11－a n是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－nn ＋1·n＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n(1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1. (理)(2011·江西理，18)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．[解析] (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2， b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2) 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2 所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*) 由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.14．(2011·潍坊二模)已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 3＋a 5＋a 7＝9，a 7是b 3和b 7的等比中项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2a n ·b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由题设知a 3＋a 5＋a 7＝9，∴3a 5＝9，∴a 5＝3. 则d ＝a 5－a 14＝12，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋12. ∴a 7＝4.又∵a 27＝b 3·b 7＝16， ∴b 25＝b 3·b 7＝16，又b 5>0，∴b 5＝4， ∴q 4＝b5b 1＝4，又q >0.∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n －12.(2)c n ＝2a n ·b 2n ＝(n ＋1)·2 n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n ＋1)·2n －1 ① 2T n ＝2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ② ①－②得－T n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1－(n ＋1)·2n＝2＋2(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＝－n ·2n∴T n ＝n ·2n.15．(2011·北京石景山区模拟)已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过公式b n ＝Sn n ＋c 构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，并求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n(n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．[解析] (1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5. ∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .(3)f (n )＝2n (n ＋25)·2(n ＋1)＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤136.即f (n )的最大值为136.。