湖南省2019年中考数学总复习专题训练03解直角三角形应用问题练习2019010226

中考专题训练——解直角三角形的应用1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝°，OM＝；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）16．如图1是十五中行政楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）（1）求开门过程中B与C走过的路径之和；（2）此时B与C之间的距离为多少？（结果保留一位小数）17．为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？18．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）19．“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千．左图为实际图，右图为侧面几何图．静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m．需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即∠CAB）的度数；（2）如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当0.20＜P＜0.22时，可使人愉悦感最强．当小鹏用力将小运从点C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°．请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin27°＝0.452，π＝3）20．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．【分析】过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在△GAB中先求出GB、GA，再在△F AB中求出CF，最后利用线段的和差关系求出AD．【解答】解：如图，过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在Rt△ABG中，∠BAG＝∠a＝30°，AB＝20cm，∴GB＝AB＝10cm，．在Rt△BCF中，∠FBC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，BF＝DE﹣BG＝40（cm），∴CF＝BF•tan∠FBC＝40tan40°≈33.6（cm），∴AD＝CE+CF﹣AG＝150+33.6﹣17.3≈166（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面166cm的位置．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设PC＝x米，根据等腰直角三角形的性质用x表示出AC，根据正切的定义列出方程，解方程求出x，得到CD的长，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设PC＝x米，在Rt△ACP中，∠P AC＝45°，∴AC＝PC＝x，∴BC＝200﹣x，在Rt△BCP中，∠PBA＝30°，∴tan∠PBA＝，∴＝，解得x＝100﹣100≈100×1.732﹣100＝73.2，即PC＝73.2米，答：风筝的高度PC约是73.2米．3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，即可解答；（2）在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝40mm，∴CF＝CD•sin60°＝40×＝60（mm），∴点C到直线DE的距离为60mm；（2）在Rt△DCB中，CD＝40mm，CB＝40mm，∴tan∠CDB＝＝＝，∴∠CDB＝30°，∴此时∠CDB的度数为30°．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长20m、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，∴CG＝AC×sin30°＝12×＝6（m）．∴CF＝CG+GF＝3.5+6＝9.5（m）．答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为9.5m．（2）过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．当AC＝20m，∠CAE＝150°时，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×20＝×20＝10≈1.732×10＝17.32（m）．∴HE＝AH+AE＝3.5+17.32＝20.82（m）．由题意知，四边形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝20.82m．∵20.82＜180，∴该消防车不能实施有效救援．5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝45°，OM＝ 5.5cm；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）【分析】（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，先利用平角定义求出∠AOD＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAO＝70°，再利用角的和差关系可求出∠BAC，最后根据题意利用支点O到水平桌面的距离减去台灯底座高度即可求出OM的长；（2）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，AB的长，从而求出AO的长，然后在Rt△ADO中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∴∠DAO＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠DAO＝45°，由题意得：OM＝7.5﹣2＝5.5（cm），故答案为：45；5.5cm；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝10cm，∴BC＝AC•tan45°＝10（cm），AB＝AC＝10≈14.14（cm），由题意得：AO＝31.64﹣AB﹣OM＝12（cm），在Rt△ADO中，∠AOD＝20°，∴OD＝AO•cos20°≈12×0.94＝11.28（cm），∴BC+OD+7.5＝28.78（cm），∴此时点B到桌面的距离约为28.78cm．6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）【分析】（1）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO 与⊙O交于点Q，根据题意可得PD＝145m，DQ＝55m，从而求出PQ的长，进而可得OA＝OP＝PQ，进行计算即可解答；（2）过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，从而得∠DOF＝90°，EF＝OD，进而求出∠BOF＝44.4°，然后在Rt△BOF中求出BF，进行计算即可解答．【解答】解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝147°，EF与AB的位置关系垂直；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形GHMN是平行四边形，可得∠M ＝∠HGN＝147°；由AH⊥AB，EF∥AH，可知EF⊥AB；②过G作GP⊥EF，可求FP ＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，由四边形GDEP为平行四边形可得GD＝PE，即可求解；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P，由cos∠GNP＝＝＝0.55，可求∠GNP≈57°，可得∠NGP≈33°，∠NGD≈123°，即可求得∠PGD的值．【解答】解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；（2）作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，∴AB＝＝＝100（cm），即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝OF＝30，∴FG＝30，由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，即×100×CH＝×60×80，解得CH＝48，∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由平行线的性质可求得∠D'BE＝72°，从而可求得∠DBD'＝36°，利用弧长公式即可求解；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，可求得DG＝4.72cm，HE＝5.7cm，利用平行线的性质可求解．【解答】解：（1）∵BD′∥EF，∠DBE＝∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝36°，∵BD＝8cm，∴点D转动到点D′的路径长为：（cm）；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，如图，Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈8×0.59＝4.72（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°＝6×0.95＝5.7（cm），∴DG+HE＝10.42cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为10.42cm．10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【分析】（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CBE＝37°，CD＝2CE，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答；（2）在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，进而求出正六边形的边长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE＝∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？【分析】（1）根据直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系计算出AN即可．【解答】解：（1）如图1，由题意可知，AB＝CD＝16.8m，∠ADB＝35°∵tan∠ADB＝，∴≈0.7，∴BD≈24.0米，答：两楼间的距离应为24.0m；（2）如图2，过点M作MN∥BD，在Rt△AMN中，BD＝20m＝MN，∠AMN＝35°，∴AN＝tan35°×MN≈14.0（m），∴MD＝AB﹣AN＝16.8﹣14.0＝2.8（m），答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在CD的高度为2.8 m．12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝30°得出DQ＝2，进而求出FP即可；（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，求出PF，与2.1米比较即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），∴tan30°＝，∴DQ＝＝2（米），∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33＝3.724（米），∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），∵2.276＞2.1，∴能通过．13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得：∠BCA＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，从而利用三角形内角和定理求出∠ACD＝45°，然后在RtABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：由题意得：∠BCA＝90°，在Rt△ABC中，∠MAB＝45°，AB＝4米，∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（米），∴伸展臂BC的长为2米；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠MAB＝45°，在RtABD中，AB＝4米，∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（米），在Rt△BCD中，BC＝2米，CD＝BC•cos45°＝2×＝2（米），∴AC＝AD+CD＝（2+2）米，∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2+2）米的土石．14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，利用平行线的性质可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而求出HP的长，即可解答；（2）延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定义先求出∠NMK 的度数，再在Rt△NMK中，利用锐角三角函数的定义求出KM的长，从而求出PQ的长，进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），。

2019年九年级中考数学三轮冲刺解直角三角形实际问题冲刺练习考点一：解直角三角形应用—仰角俯角问题1.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73).2.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B 处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号）4.如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着俯角为15°的方向,直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC （结果精确到1m）．5.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD（CD⊥AE）,在课外活动时间测得下列数据：如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点（与E点在同一水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米，试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（≈1.73，结果精确到0.1米）6.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）7.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高．（结果保留整数）考点二：解直角三角形应用—坡度问题1.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）2.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）3.如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为6米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．（1）求坡角∠BCD；（2）求旗杆AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4.如图，已知斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．考点三：解直角三角形应用—方位角问题1.如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）2.如图,禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.3.如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）4.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）5.如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）6.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）参考答案考点一：1.解：2.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．3.解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，∵BE∥AC，∴∠C=∠EBC=30°，∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°，在Rt△ABD中，sin∠ABD=，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000米．4.解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，∴≈0.97，解得：DE=1552（m），sin15°=≈0.26，∴≈0.26，解得；AE=416（m），∴DF=500﹣416=84（m），∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，∴≈0.27，解得：BF=22.68（m），∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），答：他飞行的水平距离为1575m．5.解：连接AC，∵∠ABE=90°，∠E=30°，∴AB=0.5AE=8，∴AC=8﹣1.2=6.8，∴CD=AC•sin∠EAB=6.8×≈5.9，答：地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．6.7.解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：则四边形DMCN是矩形，DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH=30°，∴DH=（x﹣5），AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣10，在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC=，∴x=tan50°•[（x﹣5）]，解得：x≈21，答：建筑物BC的高约为21m．考点二：1.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，∴AD=AE+EF+FD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．2.3.4.解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AH:PH=5：12，设AH=5km，则PH=12km，由勾股定理，得AP=13km．∴13k=26m．解得k=2．∴AH=10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°=BC:AC，即x:(x-14)≈4.0，解得x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．5.解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tanα=tan∠CAB==，∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，AD=6，∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．考点三：1.解：2.解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.如图所示，由题得，，，过点作的延长线于点，在中，，∴.∴.在中，由勾股定理得：解此方程得（不合题意舍去）.答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时。

2019年中考数学真题分类解直角三角形实际问题解答题(15题)精选一1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．（参考数据：2=1.414，3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．2.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．3.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F 处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．4.在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．5.进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．6.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

1、随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）2、图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）3、小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A 点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）4、如图，小强想测量楼CD的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计）．5、如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E 处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．6、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）7、我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C 两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）8、两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．9、如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10、为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）11、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）12、荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．13、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图（十四）所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．温馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）14、数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离.如图，无人机所在位置与岚光阁阁顶、湖心亭在同一铅垂面内，与的垂直距离为米，与的垂直距离为米，在处测得、两点的俯角分别为、，且，，试求岚光阁与湖心亭之间的距离.（计算结果若含有根号，请保留根号）15、随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．16、随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．17、如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C 处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，，结果精确到0.1小时）参考答案1、解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如图所示．在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6m．∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．2、解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．3、解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．4、解：设CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC=BC=AB，∴﹣=30，解得x=52.3，答：楼CD的高度为52.3米．5、解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．6、解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．7解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．8解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH=CD=30m．∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．9解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．10解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．11解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．12解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．13解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，所以AD＝AB＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝≈19.2(m)．14解：过点作于点，过点作于点.由题意得：，，，，在中，，∵，∴四边形为矩形，∴，，∴，在中，，∴在中，（米）答：岚光阁与湖心亭之间的距离为米.15解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．16解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里．17详解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D∵∠BCD=45°，BD⊥CD∴BD=CD在Rt△BDC中，∵cos∠BCD=，BC=60海里即cos45°=，解得CD=海里∴BD=CD=海里在Rt△ADC中，∵tan∠ACD=即 tan60°==，解得AD=海里∵AB=AD－BD∴AB=－=30（）海里∵海监船A的航行速度为30海里/小时则渔船在B处需要等待的时间为==≈2.45－1.41=1.04≈1.0小时∴渔船在B处需要等待1.0小时。

2019 届湖南长沙市中考模拟数学试卷（三）【含答案及解析】姓名________ 班级_________ 分数_______1. ﹣4的相反数（）.A． 4 B ．﹣4 C ．D2. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）3. 下列运算正确的是（）.A． B ．C．3x﹣2x=1 D ．4. 如图所示是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．5. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）.A．x（a﹣b）=ax﹣bxB．C．﹣1=（y+1 ）（y﹣1）D．ax+by+c=x（a+b）+c6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10 次射击成绩的平均数都是9.3 环，方差分别为=0.56，=0.60，=0.50，=0.45 ，则成绩最稳定的是（）.A．甲B．乙C．丙D．丁7. 反比例函数y= 的图象在（）.A．第一、二象限B ．第二、三象限C．第一、三象限D ．第二、四象限8. 一次函数y=﹣x+4 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A． 2 B ． 4 C ． 6 D ．89. 在半径为 6 的⊙O 中，60 °圆心角所对的扇形的面积为（）.A．6π B ．4πC ．2π D ．π10. 如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是（）11. 如图，小山岗的斜坡AC的坡角α =45°，在与山脚C距离200 米的D处，测得山顶A26.6°，小山岗的高AB约为（）. （结果取整数，参考数据：sin26.6 ° =0.45，cos26.6 ° =0.89，tan26.6 ° =0.50)A．164m B ．178m C ．200m D ．1618m12. 如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1 ，AB：BC=2：1，则tan ∠ AHE的值为（）.13. 一次函数y=3x+6 中，y 的值随x 的增大而．14. 不等式组的解集是．15. 若∠ A=45° 30 ′，那么∠A 的余角是．16. 已知一组数据3，4，4，2，5，这组数据的中位数为．17. 如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点P是上任意一点（不与A、B重合，点在AP的延长线上），则∠BPC= .18. 在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45 °，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点的坐标是．三、计算题19. 计算：.四、解答题20. 先化简再求值：，其中x= ．21. 今年 5 月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有 3 人，其中男生 2 人，女生1 人，现需从这 3 人中随机选取 2 人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．22. 分组分数段（分）频数A36≤ x< 412B41 ≤ x< 465C46 ≤ x< 5115D51 ≤ x<56mE56≤ x<6110td23. 如图，点E、 F 分别是等边△AB中 C AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）连接DC，若BC=10，求四边形ABCD的面积．24. 为了促进营业额不断增长，某大型超市决定购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价为150 元，售价为168 元；乙种商品每件进价为120 元，售价为140 元，该超市用42000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利5600 元．（ 1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（ 2）超市第二次以原价购进甲、乙两种商品共 400 件，且购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于 7580 元，共有几种进货方案？写出利润最大的进货方案．25. 如图，已知 AB 为⊙O 的直径， F 为⊙O 上一点， AC 平分∠ BAF 且交⊙O 于点 C ，过点 C作 CD ⊥ AF 于点 D ，延长 AB 、 DC 交于点 E ，连接 BC 、 CF ． （ 1）求证： CD 是⊙O 的切线；（ 2）若 AD=6， DE=8，求 BE 的长；（ 3）求证： AF+2DF=A ．B26. （ 2016? 长沙模拟）已知二次函数 y= （ k 是常数）．（ 1）若该函数的图象与 x 轴有两个不同的交点，试求 k 的取值范围；（ 2）若点（ 1 ， k ）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数 y=都是 y 随 x 的增大而增大，求k 应满足的条件及 x 的取值范围；3）若抛物线 y= 与 x 轴交于 A （ ， 0）、 B （ ， 0）两点，且< ， =34，若与 y 轴不平行的直线y=ax+b 经过点 P （ 1， 3），且与抛物线交于 （， 27. （ 2016? 长沙模拟）已知直线 y= x+3 与两坐标轴分别相交于 A 、 B 两点，若点 P 、 Q分别是线段 AB 、 OB 上的动点，且点 P 不与 A 、 B重合，点）、 （ ， ）两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．Q不与O、B重合．（1）若OP⊥ AB于点P，△OPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？请直接写出相应的OQ的长；（2）当点P是AB的中点时，若△OPQ与△ABO 相似，这时满足条件的点Q有几个？请分别求出相应的OQ的长；（3）试探究是否存在以点P 为直角顶点的Rt△ OPQ？若存在，求出相应的OQ的范围，并求出OQ取最小值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及解析 第 1 题 【答案】 第 2 题 【答案】 第 3 题【答案】第 4 题【答案】第 5 题【答案】第 6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第10 题【答案】第11 题【答案】第12 题【答案】第13 题【答案】第14 题【答案】第15 题【答案】第16 题【答案】第17 题【答案】第18 题【答案】第19 题【答案】第20 题【答案】第21 题【答案】第22 题【答案】⑴证明详见解析5(2)仝S .2【解析】螃分析：(D由等边三角形的性质得出AFNXAE=DE=AI,由四边相等的四边形是菱形：即可得出结1■仑；《猛镰橘歇/疆葡展髀性庙和三角函黝求出血在求出AD的长，证出四胡招ABCD是梯形试题解析：⑴...△ABC、AADE是等边三角形，.'.AF=EP=AE=DE=AD, ZACB=ZDAE=600 ,，四边形AFED是菱形5(2)解：作AM1BC于此如图所示：,••△ABC是等边三角形,.\AC=BC=10, ZB=CO" ,.'.AM=AB-sin60° =10 乂叵=5也，2「E是纪的中点".\AE=AD=— AC=5 ；2,/ZACB=ZDAE=60d ,/.AD// BC,.二四边形ABCD是梯形，・二四边形ABCD的面积=L (AD+BC> XAN=- <5+10> X 54=仝叵.2 2 2第23 题【答案】第24 题【答案】(1)证明详见解析；(2) 1 ; (3)证明详见解析.【解析】B分析：(1)连度见工由地为⑨9g单径，得到Nac曰:/史谒N ACB=N D,根境隼平分线的性质ZBAC=ZCAIb蒯相以三角形傅到之ABC:/ACD,等量代短悔乳/8B=/ACD,策出/0CD=90。

2019年中考数学总复习几何与图形模块之《解直角三角形》解题能力提升训练试题一、选择题1．(2017·日照)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( )A.513B.1213C.512D.1252．(2017·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是( )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝1第2题图 第3题图3．(2017·益阳)如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α4．(2017·聊城)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是( ) A.22 B.32 C.33 D.125．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3第5题图第6题图6．(2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是()m()A．20 3 B．30 C．30 3 D．40二、填空题7．(2017·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝158，则AB＝.8．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝.9．(2017·德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为米．10．(2017·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)11．(2017·大庆)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为m.三、解答题12．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)13．(2017·濮阳一模)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710)14．(2017·洛阳一模)如图所示，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA＝75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．(1)求∠CBO的度数；(2)求小桌板桌面的宽度OB.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)1．(2017·青岛)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，3≈1.73)2．(2017·凉山)如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高AB应该设计为多少米？(结果保留根号)3．(2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方23米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶3的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．(计算结果保留根号，参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)4．(2017·广安)如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.5．(2017·郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速公路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)6．(2017·周口模拟)如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)解直角三角形答案一、选择题1．(2017·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为(B)A.513 B.1213 C.512 D.1252．(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D，下列选项中，错误的是(C)A．sin α＝cos αB．tan C＝2C．sin β＝cos βD．tan α＝1第2题图 第3题图3．(2017·益阳)如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( B )A.h sin αB.h cos αC.h tan α D ．h ·cos α4．(2017·聊城)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是( B ) A.22 B.32 C.33 D.125．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3第5题图 第6题图6．(2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 处测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20 m ，DE 的长为10 m ，则树AB 的高度是( )m( B )A ．20 3B ．30C ．30 3D ．40二、填空题7．(2017·广州)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝ 17 .8．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝12.9．(2017·德阳)如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝62米，背水坡CD的坡度i＝1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为12米．10．(2017·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为102n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)11．(2017·大庆)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离三、解答题12．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)解：设水坝原来的高度BC 为x 米．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝180°－∠EAC ＝50°，∴AB ＝BC tan 50°≈BC 1.2＝56x .在Rt △EBD 中，∵i ＝DB ∶EB ＝1∶1，∴BD ＝BE ，∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ，即2＋x ＝4＋56x ，解得x ＝12.答：水坝原来的高度BC 约为12米．13．(2017·濮阳一模)小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100 m ，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710)解：过点A 作AD ⊥BC 交CB 的延长线于点D ，如解图所示．设AD ＝x .由题意得，∠ABD ＝45°，∠ACD ＝35°.在Rt △ADB 中，∵∠ABD ＝45°，AD ＝x ，∴DB ＝x ，∴CD ＝BC ＋BD ＝100＋x .在Rt △ADC 中，∵∠ACD ＝35°，tan ∠ACD ＝AD CD ，∴xx＋100≈710，解得x≈233.答：热气球离地面的高度约为233 m.14．(2017·洛阳一模)如图所示，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA＝75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．(1)求∠CBO的度数；(2)求小桌板桌面的宽度OB.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)解：(1)如解图所示，延长CB交OA于点E.∵CB⊥OA，∴∠BEO＝90°.∵∠AOB＝37°，∴∠CBO＝∠AOB＋∠BEO＝37°＋90°＝127°；(2)如解图所示，延长OB交AC于点F.设BC＝x.由题意知OB＝OA－BC＝75－x.∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB＋∠OBE＝90°，∴∠ACB＋∠CBF＝90°，∴△BFC是直角三角形．在Rt△BFC中，∵∠ACB＝37°，∴BF ＝BC ·sin 37°≈0.6x ， ∴OF ＝OB ＋BF ＝75－0.4x . 在Rt △OAF 中，∵∠AOB ＝37°， ∴cos 37°＝OF AO ＝75－0.4x 75≈0.8， 解得x ＝37.5.∴OB ＝OA －BC ＝75－37.5＝37.5(厘米)． 答：小桌板桌面的宽度OB 约为37.5厘米．1．(2017·青岛)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，3≈1.73)解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，如解图所示．在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝67°，AB ＝520， ∴AD ＝AB ·sin 67°≈1213×520＝480， BD ＝AB ·cos 67°≈513×520＝200.在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝30°，BD ＝200， ∴CD ＝BD ·tan 30°≈33×200＝20033.∴AC ＝CD ＋DA ＝20033＋480≈595.3≈595(km)．答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为595 km.2．(2017·凉山)如图，若要在宽AD 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC 长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC 垂直，当灯罩的轴线CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高AB 应该设计为多少米？(结果保留根号)解：分别延长OC ，AB 交于点P ，如解图所示．∵∠ABC ＝120°，∴∠PBC ＝180°－120°＝60°. ∵∠OCB ＝90°，∴∠P ＝180°－90°－60°＝30°. ∵AD ＝20， ∴OA ＝12AD ＝10.在Rt △CPB 中，∵∠P ＝30°，BC ＝2， ∴PB ＝BC sin 30°＝4.在Rt △AOP 中，∵AO ＝10，∠P ＝30°， ∴AP ＝OA tan 30°＝1033＝10 3.∴AB ＝P A －PB ＝(103－4)(米)．答：路灯的灯柱高AB 应该设计为(103－4)米．3．(2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE .求旗杆AB 的高度．(计算结果保留根号，参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)解：延长ED 交BC 的延长线于点F ，过点E 作EG ⊥AB 于点G ， 如解图所示．则∠CFD ＝90°. ∵i ＝tan ∠DCF ＝13＝33， ∴∠DCF ＝30°. 在Rt △CDF 中， ∵CD ＝4，∴DF ＝CD ·sin 30°＝12×4＝2，CF ＝CD ·cos 30°＝4×32＝23， ∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝4 3. ∵EG ⊥AB ，AB ⊥BC ，EF ⊥BF ， ∴四边形GBFE 是矩形， ∴GE ＝BF ＝43，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5. 在Rt △AGE 中， ∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan 37°≈33， ∴AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)(米)． 答：旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．4．(2017·广安)如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，垂足分别为A ，D .从D 点测到B 点的仰角α为60°，从C 点测得B 点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB ＝30米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD ； (2)求乙建筑物的高CD .解：(1)在Rt △ABD 中，α＝60°，AB ＝30， ∴AD ＝AB tan 60°＝103(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为103米； (2)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，如解图所示．∵AB ⊥AD ，CD ⊥DA ，CE ⊥AB ， ∴四边形CDAE 为矩形， ∴CD ＝AE ，CE ＝AD ＝10 3.在Rt △BCE 中，β＝30°，CE ＝103， ∴BE ＝CE ·tan 30°＝10，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20(米)． 答：乙建筑物的高度CD 为20米．5．(2017·郴州)如图所示，C 城市在A 城市正东方向，现计划在A ，C 两城市间修建一条高速公路(即线段AC )，经测量，森林保护区的中心P 在A 城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：3≈1.73)解：计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．理由如下：过点P作PH⊥AC于点H，如解图所示．由题意可知∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，∴∠P AB＝30°，∠PBH＝60°.∵∠PBH＝∠P AB＋∠APB，∴∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝120.在Rt△PBH中，sin∠PBH＝PH PB，∴PH＝PB·sin 60°＝120×32≈103.8.∵103.8＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．6．(2017·周口模拟)如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)解：延长PQ交直线AB于点M，如解图所示，则∠PMA＝90°.设PM的长为x米．在Rt△P AM中，∠P AM＝45°，∴AM＝PM＝x，∴BM＝x－100.在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝PM BM，∴tan 68°＝xx－100≈2.48，解得x≈167.57.∴PM＝167.57.在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝QM AM，∴QM＝AM·tan∠QAM＝167.57·tan 31°≈167.57×0.60≈100.54，∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0(米)．答：信号塔PQ的高度约为67.0米．。

解直角三角形的应用一、选择题1、(曲阜市实验中学中考模拟)如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）A ．6sin15°cmB ．6cos15°cmC ．6tan15° cmD ．6tan15°cm答案：C二、解答题1、（温州市一模）如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，BE ⊥AD 于点E ，AB =50米，BC=30米,∠A=60°，∠D=30°．求AD 的长度．解：画CF ⊥AD 于点F ．∵BE ⊥AD∴sin 50BE AB A ===∴25AE ===∵BC ∥AD ，CF ⊥AD∴CF=BE =75tan CF FD D ===， EF=BC=30∴253075130AD AE EF FD =++=++=米2、(吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP 攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）F答案：解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴． …………… 2分设AH=5k ，则PH=12k ，由勾股定理，得AP=13k ．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米． …………… 4分（2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．∴四边形AHDC 是矩形，CD=AH=10，AC=DH ．∵∠BPD =45°，∴PD=BD ．设BC=x ，则x+10=24+DH ．∴AC=DH=x －14．在Rt △ABC 中，，即． ………6分 解得，即． ………… 7分答：古塔BC 的高度约为19米． ………… 8分3、(曲阜市实验中学中考模拟)如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈）AB答案：解：作PD ⊥AB 于点D ………………1分4、（温州市中考模拟）如图，小明在楼上点A 处观察旗杆BC ，测得旗杆顶部B 的仰角为30°，测得旗杆底部C 的俯角为60°，已知点A 距地面的高AD 为12m ．求旗杆的高度．答案：解：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，得矩形ADCE ，∴CE=AD=12.∴AE=4tan 60CE = Rt △ABE 中，∵∠BAE=30°，BE=AE tan 304=.∴BC=CE+BE=16m.5、（湖州市中考模拟试卷7）如图，一艘渔船位于海洋观测站P 的北偏东60°方向，渔船在A 处与海洋观测站P 的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P 的南偏东45°方向上的B 处。

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。

2019年中考数学解直角三角形的实际应用专题卷（含答案）一、解答题（共13题；共70分）1.如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2 ，无人机的飞行高度AH为500 米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．2.位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）3.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）4.一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数）5.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.（结果精确到0.1m。

湖南省邵阳市中考数学专题题型复习05：解直角三角形的实际应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共13题；共70分)1. （5分） (2020九下·合肥月考) 如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°。

若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）2. （5分） (2016九上·通州期末) 如图是春运期间的一个回家场景。

一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）3. （5分）(2017·广元模拟) 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）4. （5分）(2014·崇左) 中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．如图，某天该深潜器在海面下2000米的A点处作业，测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子信号发出．该深潜器受外力作用可继续在同一深度直线航行3000米后，再次在B点处测得俯角为45°正前方的海底C点处有黑匣子信号发出，请通过计算判断“蛟龙”号能否在保证安全的情况下打捞海底黑匣子．（参考数据≈1.732）5. （10分）(2017·埇桥模拟) 如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m 到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．6. （5分）(2011·梧州) 如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m．在D点处观察点A的仰角为54°，已知坡角为30°，你能求出楼房AB的高度吗？（tan54°≈1.38，结果精确到0.1m）7. （5分）(2012·成都) 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，）8. （5分）如图，某景区有一出索道游览山谷的旅游点，已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB=90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°，求山峰顶点A到C点的水平面高度AD．（参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°=0.92，tan23.5°=0.43）9. （5分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）10. （5分） (2017九下·萧山开学考) 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据： 1.414，≈1.732）．11. （5分）(2019·嘉定模拟) 如图，海中有一个小岛A,该岛的四周10海里的范围内有暗礁，有一货轮在海面上由西向东航行，到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处，如果货轮继续向东航行，是否会有触礁危险？请通过计算说明：12. （5分）(2018·淅川模拟) 如图所示，某教学活动小组选定测量山顶铁塔AE的高，他们在30m高的楼CD的底部点D测得塔顶A的仰角为，在楼顶C测得塔顶A的仰角为若小山高，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求铁塔的高参考数据：，13. （5分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB 为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）（tan15°＝0.27）.二、综合题 (共5题；共50分)14. （10分） (2017九下·六盘水开学考) 据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°.（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．15. （10分）为营造“安全出行”的良好交通氛围,实时监控道路交迸,某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示,立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE∥AB,摄像头EF⊥DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4米,∠CDE=162°.（参考数据;sin72°=0.95，cos72°≈0.31,tan72°=3.08,sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离.(精确到百分位)16. （10分）(2014·茂名) 如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°（1）求调整后的滑梯AD的长度；（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，，≈2.45）17. （10分）(2019·涡阳模拟) 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两上观测站，A在B的正东方向，BP＝6（单位：km）．有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观测站B到射线AP的最短距离．18. （10分）(2016·海南) 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）参考答案一、解答题 (共13题；共70分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、综合题 (共5题；共50分) 14-1、14-2、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。