高中数学考点12 零点定理(讲解)(解析版)知识点解析

考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。

2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x -2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。

2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。

3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。

4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。

2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。

2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。

3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。

4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。

函数零点是近年来高考既是热点，又是重点，更是高频考点内容，在全国各个省的高考题，及各市各套模拟试卷都屡见不鲜，尤其是三角函数的零点问题，常考常新，但解答题都是通过分类讨论研究零点，分离参数划归为曲线的交点，分离函数等研究零点问题，下面就解答题加以分析： 一．理论基础，解题原理对函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

1.函数零点定义：2. 等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔曲线y=g(x)与y=h(x)的交点⇔函数y=f(x)有零点； 3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

二 例题枚举例1.（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 三角函数零点问题∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.例2（17山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-其中 2.71828e =L 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（Ⅰ）易求：222y x ππ=--（Ⅱ）由题意得 2()(c o ss i n 22)(2c o s )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x xh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上递增，在()ln ,0a 上递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，【点睛】 1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道较难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.例3（19天津）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.解：(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

第12讲 函数的零点问题知识与方法1确定函数()f x 零点所在区间的常用方法函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的3种不同表达形式.确定零点、方程根、函数图像与x 轴交点所在区间本质上是同一问题的不同表述形式,所以常用解法有3种.(1)解方程法;(2)利用函数零点的存在性定理;(3)数形结合法. 同样,判断函数零点个数也是这3种方法.2已知函数有零点(方程有根),求参数取值常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法.先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.典型例题【例1】已知:,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根,且2αβ<<,求m 的取值范围.(2)若220x ax ++=的两个根都小于1-,求a 的取值范围. 【解析】(1)【解法一】()()()2,220,240αβαβαβαβ<<∴--<∴-++<利用韦达定理1242,mm αβαβ+=-⎧⎨=-⎩代人(1)式得()4221240m m ---+<,解得3m <-.m ∴的取值范围为(),3∞--.【解法2】令()()22142f x x m x m =+-+-,拋物线开口向上.由实根分布2αβ<<,只要()20f <即可,即()()24212420f m m =+-⨯+-<,解得3m <-,即m 的取值范围为(,∞-,()3.-(2)【解法1】设()22f x x ax =++,当两根都小于1-时,函数()f x 的图像与x 轴的交点在一1的左侧,可得)()0,1,3,? .210a a a f ∆≥⎧⎪⎪⎡-<-⇒≤<⎨⎣⎪->⎪⎩即的取值范围为【解法2】设12,x x 是方程的两个实根,有()()()()111212122212120,0,0,0,1,,10,1101011011020x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧∆≥∆≥∆≥∆≥⎧⎪⎪⎪⎪<-+<⇒++>⇒+++>⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<+++<++<⎩⎩⎩⎩利用韦达定理,解不等式组得3a ≤<,即a的取值范围为)⎡⎣.【例2】(1)已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()4f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=(2)设函数()()()20,20,x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩若()()()40,22f f f -=-=-,求关于x 的方程()f x x =的解的个数.【解析】(1)定义在R 上的奇函数,满足()()()()4,4f x f x f x f x -=-∴-=-.∴由()f x 为奇函数得函数图像关于直线2x =对称且()00f =;由()()4f x f x -=-知()()()()8444,f x f x f x f x -=--=--=∴函数是以8为周期的周期函数,又()f x 在区间[0,2上上是增函数，() f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数,如图121-所示,则方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有4个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<.由对称性知1234123412,4,1248.x x x x x x x x +=-+=∴+++=-+=-(2)【解法1】由()()()40,22f f f -=-=-,可得164,4,2422,b c c b c b c -+=⎧∴==⎨-+=-⎩.()()()242020x x x f x x ⎧++≤⎪∴=⎨>⎪⎩∴方程()f x x =等价于()0,2,x x f x >⎧⎨==⎩或20,42x x x x ≤⎧⎨++=⎩即2x =或20,2320,x x x x ≤⎧∴=⎨++=⎩或1x =-或2x =-,即()f x x =有3个解. 【解法2】同【解法1】可得()()()24204,2,20x x x b c f x x ⎧++≤⎪==∴=⎨>⎪⎩如图122-所示,方程()f x x =解的个数即函数()y f x =与y x =图像交点个数,由图知两图像有3A B C 、、个交点,故方程有3个解.【例3】设函数()()()2,1,42, 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为________.(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________.【解析】()1当1a =时,()()()21,1412,1,xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩当1x <时,()11f x -<<,无最小值;当1x ≥时,()()()412f x x x =--=24128.x x -+由二次函数的性质知,32x =时,()f x 的最小值为()1,f x -∴的最小值为 1.- (2)当0a ≤时,20xa -=无解,()()420x a x a --=有两解,分别为a 与2a ,但均小于1,不合题意,故0a ≤时不成立;当0a >时,20xa -=有解()()2log ,420x a x a x a =--=有解x a =或2x a =,要使()f x 恰有2个零点,需3个根中有1个不合题意,只有22log 1,log 11,1,2121a a a a a a ⎧≥<⎧⎪⎪≥<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩或 综上,实数a 的取值范围是[)1,12,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭.【例4】设函数()222f x ax bx =+,若存在实数()00,x t ∈,使得对任意不为零的实数,a b 均有()0f x a b =+成立,则t 的取值范围是________. 【解析】【解法1】(零点存在性定理)由题意222ax bx a b +=+在区间()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有解. 故()()222g x ax bx a b =+-+在()0,x t ∈上对于任意的0,0a b ≠≠均有零点.()()()0,1.g a b g a b =-+=+故()()()2010g g a b =-+≤若0a b +=,则t 一定要大于1; 若1t >,则()()()2010g g a b =-+≤. 故()g x 在区间()0,t 上必有零点. 由零点存在性定理可得 1.t > 【解法2】(一“定”一“动”,数形结合)222ax bx a b +=+在区间()0,t 上对于任意的0,0a b ≠≠有解,即212122b x x a ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,t 上对于任意0,0a b ≠≠均有解. 即2121y x =-与()2102y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭在 区间()0,t 上有交点,如图123-所示,故1t >强化训练1.已知函数()2223f x ax x =+-,如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点,则实数a 的取值范围为________.【解析】若,则得不合题意,故. (i)若时，在上至少有一个零点.有即解得(ii)当时，在上有零点的条件是 解得 综上,实数的取值范围为.2.设()22f x x ax b =++在区间[]1,2上有两个零点(可重合),则a b +的取值范围是________. 【解析】0a =()()23,0f x x f x =-=[]31,1.2x =∉-0a ≠()()110f f -⋅()f x []1,1-()()2232230,a a --+-()()25210,a a --15.22a ()()110f f -⋅>()f x []1,1-()()()110,2111,2110,f f a a f f ⎧⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-⋅>⎪⎩5.2a >a 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解法1】易知,设, 则故即 【解法2】设的两根为,且.由韦达定理可得 将(1)式看作关于的一次函数,又3.已知函数()254,0,22,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.【解析】画出函数的图像如答图所示.函数有4个零点,即函数的图像与函数的图像有4个交点根据图像知需.当时,函数的图像与函数的图像有3个交点,故.当与相切时,在整个定义域内,的图像与的图像有5个交点.此时,由得. 由得,解得或(舍去).则当时,两个函数图像有4个交点,故实数的取值范围是.1124a b f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()()()12f x x x x x =--121211111.22222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121113,,.2222x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦119,,244f ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]0,2.a b +∈220x ax b ++=12,x x []12,1,2x x ∈()121212212122,111.,222x x a a b x x x x x x x x x b +=-⎧⎛⎫∴+=-++=--⎨⎪=⎝⎭⎩1x []2211321,2,,.22x x x a b --⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦][21,2,0,2.x a b ⎡⎤∈∴+∈⎣⎦()f x 121-()y f x a x =-1y a x =()f x (0a >2a =()f x 1y a x =2a <()0y a x x =254y x x =++()f x 1y a x =2,54y ax y x x =-⎧⎨=---⎩()2540x a x +-+=Δ0=2(5)160a --=1a =9a =12a <<a ()1,24.若在区间1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上存在两个不同的实数,a b ,使得2a b k a ++=和2b a k b ++=同时成立,求k 的取值范围. 【解析】【解法1】将式子和相减并整理,可得,即,故且.方程在区间上有两个不等实根.令结合图像可得解得即 【解法2】将和相减并整理,可得,即. 故且方程在区间上有两个不等实根.令即直线与抛物线有两个不同的交点，结合图像可得，即 5.(1)若()(0xf x a x a a =-->且1a ≠有2个零点,则实数a 的取值范围是________.2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-2220a a k -++=2220b b k -++=∴2220x x k -++=1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x k =-++111,22102x f ⎧⎛⎫>= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩对称轴在右边51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2a b k a ++=2b a k b ++=2a b +=2b a =-222k a a =-+-22 2.k b b =-+-∴222k x x =-+-1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222,f x x x =-+-y k =()222f x x x =-+-51,4k -<<-5,1.4k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】 (1)函数的零点的个数就是函数与函数的交点的个数.如答图所示,由函数的图像可知时两函数图像有两个交点,时两函数图像有唯一交点,故.(2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的区间是(). A.()1,2B.()2,3C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()e,3【解析】∴函数在区间内存在零点， 【答案】B.6.若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是().A.()41f x x =-B.()()21f x x =-()f x xy a =y x a =+122-1a >01a <<1a>()()()210220,2ln 210,3ln 30,3f f f =-=-<=-<=->()()()2110,120,230,f e f e f f ee ⎛⎫=->=--<∴< ⎪⎝⎭()2ln f x x x=-()2,3C.()e 1x f x =-D.()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】的零点为的零点为, 的零点为的零点为接下来我们估算的零点，的零点又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过只有的零点符合此要求,【答案】A.7.已知函数()42x xmf x +=是R 上的奇函数.(1)求m 的值. (2)设()12x g x a +=-,若函数()f x 与()g x 的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由函数是上的奇函数可知,解得.(2)函数与的图像至少有一个公共点.则方程至少有一个实根， 即方程至少有一个实根. 令则方程变为令,由于,只需解得实数的取值范围为()41f x x =-()21,(1)4x f x x ==-1x =()e 1x f x =-()10,ln 2x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3.2x =()422xg x x =+-()101,1,2g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ∴10,.2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()422xg x x =+-0.25,∴()41f x x =-()f x R ()010f m =+=1m =-()f x ()g x 14122x x xa +-=-4210x xa -⋅+=20,xt =>210.t at -+=()21h t t at =-+()010h =>∴2Δ400,2a a ⎧=-⎪⎨>⎪⎩2,a ∴a [)2,∞+。

数学高考知识点零点数学是高考重要的一科，考察的知识点相对较多。

其中，零点知识点是必须掌握的，因为它们是数学学科的基础，涉及到后续知识的推导和应用。

本文将介绍数学高考零点知识点，帮助考生系统、全面地掌握这些基础知识。

一、集合与命题1. 集合的定义与表示方法集合是具有某种特性的对象的总体。

可以用两种方法表示集合：列举法和描述法。

2. 集合间的关系与运算集合间包括相等、包含、交、并、差等关系，对应的运算分别是并集、交集、补集、差集等。

3. 命题与命题的连接词命题是能够用真或假来判断的陈述句，常见的连接词有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。

二、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数与数的对应关系，具有定义域、值域和多个性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数一次函数是指次数为1的多项式函数，表达式为f(x)=ax+b；二次函数是指次数为2的多项式函数，表达式为f(x)=ax^2+bx+c。

3. 方程与方程组方程是含有未知数的等式，方程组是由多个方程组成的一组等式。

常见的解法有分离变量法、代入法、消元法等。

三、几何与向量1. 直线、曲线与圆直线是没有弯曲的线段，曲线是有弯曲的线段，圆是由与圆心距离相等的点构成的闭合曲线。

2. 二维与三维几何图形的性质二维几何图形包括三角形、四边形、圆形等，三维几何图形包括正方体、球体、棱柱等，它们各具特征性质。

3. 向量的定义、运算与性质向量是具有大小和方向的量，向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积，向量具有共线、共面等性质。

四、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列等差数列是指相邻两项之差相等的数列，等比数列是指相邻两项之比相等的数列。

2. 数列的通项公式与前n项和公式数列的通项公式可以表示数列的第n项，前n项和公式可以求解数列的前n项和。

3. 数列极限的概念与性质数列极限是数列趋向于无穷大或无穷小的值，具有等价无穷小、有界性等性质。

五、概率与统计1. 概率的定义与基本性质概率是指事件发生的可能性，具有介于0和1之间的取值，概率的基本性质包括加法公式、乘法公式等。

函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：函数()f x 的零点Þ方程()0f x =的根¾¾¾¾®方程变形方程()()g x h x =的根Þ函数()g x 与()h x 的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。

将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A.()+¥ B.)é+¥ë C.()3,+¥ D.[)3,+¥思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=ìï>í=ïî，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e -ì=-=ìïÞíí==ïîî，所以122t t a b e e+=+，而0te >，所以()123,t t e e+Î+¥答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。