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统计学中的判别分析判别分析是统计学中一种常见的分析方法，旨在通过将样本数据归类到一个或多个已知的类别中，来识别和描述不同类别之间的差异。
它在很多领域中都有广泛的应用，例如医学、市场调研、金融等。
本文将介绍判别分析的基本原理、常见的判别分析方法以及其在实际应用中的一些例子。
一、判别分析的原理判别分析的目标是构建一个判别函数，通过输入变量的值来判别或预测样本所属的类别。
它的核心思想是通过最大化类别间的差异和最小化类别内部的差异，来建立一个有效的分类模型。
判别分析的基本原理可以用以下步骤来描述：1. 收集样本数据，包括已知类别的样本和它们的属性值。
2. 对每个样本计算各个属性的平均值和方差。
3. 计算类别内部散布矩阵和类别间散布矩阵。
4. 根据散布矩阵计算特征值和特征向量。
5. 选择最具判别能力的特征值和特征向量作为判别函数的基础。
二、判别分析的方法判别分析有多种方法可以选择，常见的包括线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）和二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis，简称QDA）。
1. 线性判别分析（LDA）线性判别分析假设每个类别的样本数据满足多元正态分布，并且各个类别的协方差矩阵相等。
它通过计算最佳投影方向，将多维属性值降低到一维或两维来实现分类。
LDA在分类问题中被广泛应用，并且在特征选择和降维方面也有一定的效果。
2. 二次判别分析（QDA）二次判别分析不同于LDA，它允许每个类别具有不同的协方差矩阵。
QDA通常适用于样本数据的协方差矩阵不相等或不满足多元正态分布的情况。
与LDA相比，QDA在处理非线性问题时可能更有优势。
三、判别分析的应用实例判别分析在多个领域中都有广泛的应用，下面列举了一些实际的例子。
1. 医学领域在医学中，判别分析可以帮助诊断疾病或判断病情。
例如，可以利用病人的临床数据（如血压、血糖等指标）进行判别分析，来预测是否患有某种疾病，或者判断疾病的严重程度。
图1由前面分析发现，协方差矩阵不等，可以考虑采用Separate-groups协方差矩阵。
输出结果表1-10：分類結果a被解释变量預測的群組成員資格總計Setosa 鸢尾花Versico-lor 鸢尾花Virginica 鸢尾花原始計數Setosa 鸢尾花50 0 0 50 Versico-lor 鸢尾花0 47 3 50Virginica 鸢尾花0 1 49 50 %Setosa 鸢尾花100.0 .0 .0 100.0 Versico-lor 鸢尾花.0 94.0 6.0 100.0 Virginica 鸢尾花.0 2.0 98.0 100.0a. 97.3% 個原始分組觀察值已正確地分類。
图2分類處理摘要已處理31 已排除遺漏或超出範圍群組代碼0至少一個遺漏識別變數0已在輸出中使用31群組的事前機率地区在前分析中使用的觀察值未加權加權1 .3332 2.0002 .333 2 2.0003 .333 1 1.000總計 1.000 5 5.000分類函數係數地区1 2 3人均食品支出.014 -.004 .021 人均衣着支出-.058 .024 -.092 （常數）-10.708 -3.645 -19.157 費雪 (Fisher) 線性區別函數图4 分類結果a地区預測的群組成員資格總計1 2 3原始計數 1 2 0 0 22 0 2 0 23 1 0 0 1未分組的觀察值8 18 0 26% 1 100.0 .0 .0 100.02 .0 100.0 .0 100.03 100.0 .0 .0 100.0未分組的觀察值30.8 69.2 .0 100.0a. 80.0% 個原始分組觀察值已正確地分類。
由表1-10可以看出，通过判别函数预测，有146个观测是分类正确的，其中，y=1组50个观测全部被判对，y=2组50个观测中有47个被判对，y=3组50个观测中有49个被判对，从而有97.3%的原始观测被判对。
一、案例背景随着现代人力资源管理理论的迅速发展，绩效考评技术水平也在不断提高。
绩效的多因性、多维性，要求对绩效实施多标准大样本科学有效的评价。
对企业来说，对上千人进行多达50~60个标准的考核是很常见的现象。
但是，目前多标准大样本大型企业绩效考评问题仍然困扰着许多人力资源管理从业人员。
为此，有必要将当今国际上最流行的视窗统计软件SPSS应用于绩效考评之中。
在分析企业员工绩效水平时，由于员工绩效水平的指标很多，各指标之间还有一定的关联性，缺乏有效的方法进行比较。
目前较理想的方法是非参数统计方法。
本文将列举某企业的具体情况确定适当的考核标准，采用主成分分析以及聚类分析方法，比较出各员工绩效水平，从而为企业绩效管理提供一定的科学依据。
最后采用判别分析建立判别函数，同时与原分类进行比较。
聚类分析二、绩效考评的模型建立1、为了分析某企业绩效水平，按照综合性、可比性、实用性与易操作性的选取指标原则，本文选择了影响某企业绩效水平的成果、行为、态度等6个经济指标(见表1)。
2、对某企业，搜集整理了28名员工2009年第1季度的数据资料。
构建1个28×6维的矩阵(见表2)。
3、应用SPSS数据统计分析系统首先对变量进行及主成分分析，找到样本的主成分及各变量在成分中的得分。
去结果中的表3、表4、表5备用。
表 5成份得分系数矩阵a成份1 2Zscore(X1) .227 -.295Zscore(X2) .228 -.221Zscore(X3) .224 -.297Zscore(X4) .177 -.173Zscore(X5) .186 .572Zscore(X6) .185 .587提取方法 :主成份。
构成得分。
a. 系数已被标准化。
4、从表3中可得到前两个成分的特征值大于1，分别为3.944与1.08，所以选取两个主成分。
根据累计贡献率超过80％的一般选取原则，主成分1与主成分2的累计贡献率已达到了83．74％的水平，表明原来6个变量反映的信息可由两个主成分反映83．74％。
例：人文与发展指数是联合国开发计划署于1990年5月发表的第一份《人类发展报告》中公布的。
该报告建议，目前对人文发展的衡量指标应当以人生的三大要素为重点。
衡量人生的三大要素的指标分别为：实际人均GDP指数、出生时的预期寿命指数、受教育程度指数（由成人识字率指数和综合总人学率指数按2/3、1/3的权重加权而得），将一生三个指数合成为一个指数就是人文发展指数。
今从2007年世界各国人文发展指数（2005年）的排序中, 选取高发展水平、中等发展水平和低发展水平国家各6个作为三组样品，另选四个国家作为待判样品，资料如下表所示。
试用判别分析过程对以下数据资料进行判别分析，并据此对待选的四个国家进行判别归类。
data develop;in put type gdp life rate zhrate@@;cards ;1 4189077.999.593.31 2946179.199.2881 2338178.996991 2966379.492.587.31 2852980.398.490.61 2202977.999962 6000 77.799.887.62 9060 71.997.376.82 8402 71.788.687.52 8677 69.692.671.22 5137 7192.681.12 8407 71.487.468.73 1550 62.648.658.13 1128 46.569.156.23 2299 49.867.962.33 2370 64.649.9403 3071 73.790.363.93 3843 69.790.468.2.3126782.39985.9.3452 63.76163.8.6757 72.590.969.1.1111050.882.477proc discrim simple wcov dista nee list ; /*simple: 要求技术各类样品的简单描述统计量；选项WCOV要求计算类内协方差阵；选项DISTANCE要求计算马氏距离；选项LIST要求输出重复替换归类结果。
判别分析假设有k 个总体，判别分析就是根据某个个体的观察值来推断该个体是来自这k 个总体中哪一个总体。
下面的例子说明判别分析有着广泛的应用。
（1）根据已有的气象资料，如气温、气压等判断明天是晴天还是阴天，是有雨还是无雨。
明天的天气情况是未来的行为。
因为是未来行为，难以得到它的完全信息。
已有的气象资料仅是它的一部分信息。
基于未来行为的不完全信息对未来行为进行预测是判别分析的一个应用。
（2）在非洲发现了一种头盖骨化石，考古学家要研究它究竟是像猿（如黑猩猩）还是像人。
倘若研究对象是活的，就能对他进行各方面的观察，有充足乃至完全的信息。
但研究对象早就死了，他的很多重要信息都丢失了。
考古学家只能根据不完全信息，如牙齿的长宽来进行判断。
当信息丢失后，对过去的行为进行判断是判别分析的另一个应用。
（3）有时人们难以得到完全的信息，这里有两种情况。
情况之一是信息完全只能来自破坏性试验。
例如，汽车的寿命只有在把它用坏之后才知道。
一般地，希望根据一些测量指标（如零部件的性能）就能事先对汽车的寿命作出判断。
情况之二是获得完全信息的代价太高。
例如，有些疾病可用代价昂贵的检查或通过手术得到确诊。
但人们往往更希望用便于观察得到的一些外部症状来诊断体内的疾病，以避免过大的开支和损失。
在完全信息难以得到时，对行为判断是判别分析的又一格应用。
正因为判别分析是基于不完全信息作出的判断，它就不可避免地会犯错误，一个好的判别法则错判的概率应很小。
除了错判概率，在判别分析问题中还应考虑费用，一个好的判别法则错误的损失应很小。
关于判别法则优良性的讨论从略。
判别分析问题的描述：设有k 个m 维总体k G G G ,,,21 ，其分布特征已知（如已知分布函数分别为)(,),(),(21x F x F x F k ，或知道来自各个总体的训练样本）。
对给定的一个新样品X ，我们要判断它来自哪个总体。
在进行判别归类时，由假设的前提，判别的依据及处理的手法不同，可得出不同判别方法。
可编辑修改精选全文完整版实验报告5判别分析（设计性实验）(Discriminant analysis)实验原理：判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法。
判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数目，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。
本实验要求学生应用距离判别准则（即，对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类），对两总体和多总体情形下分别进行判别分析。
实验中需注意协方差矩阵相等时，选取线性判别函数；协方差矩阵不相等时，应选取二次判别函数。
实验题目一：为了检测潜在的血友病A携带者，下表中给出了两组数据：(t11a8)其中x1＝log10（AHF activity），x2＝log10（AHF antigen）。
下表给出了五个新的观测，试对这些观测判别归类；(t11b8)实验要求：（1）分别检验两组数据是否大致满足二元正态性；（2）分别计算两组数据的协方差矩阵，是否可以认为两者近似相等？（3）对训练样本和新观测合并作散点图，不同的类用不同颜色标识；（4）用lda函数做判别分析，即在协方差矩阵相等的情形下作判别分析；（5）用qda函数做判别分析，即在协方差矩阵不相等的情形下作判别分析；（6）比较方法（4）和方法（5）的误判率。
实验题目二：某商学研究生院的招生官员利用指标――大学期间平均成绩GPA和研究生管理能力考试GMAT的成绩，将申请者分为三类：接受，不接受，待定。
下表中给出了三类申请者的GPA与GMAT成绩：(t11a6)GPA （x1）GMAT（x2）接受GPA（x1）GMAT（x2）不接受GPA（x1）GMAT（x2）待定2.96 596 1 2.54 446 2 2.86 494 33.14 473 1 2.43 425 2 2.85 496 3 3.22 482 1 2.2 474 2 3.14 419 3 3.29 527 1 2.36 531 2 3.28 371 3 3.69 505 1 2.57 542 2 2.89 447 3 3.46 693 1 2.35 406 2 3.15 313 3 3.03 626 1 2.51 412 2 3.5 402 3 3.19 663 1 2.51 458 2 2.89 485 3 3.63 447 1 2.36 399 2 2.8 444 33.59 588 1 2.36 482 2 3.13 416 33.3 563 1 2.66 420 2 3.01 471 33.4 553 1 2.68 414 2 2.79 490 33.5 572 1 2.48 533 2 2.89 431 33.78 591 1 2.46 509 2 2.91 446 33.44 692 1 2.63 504 2 2.75 546 33.48 528 1 2.44 336 2 2.73 467 33.47 552 1 2.13 408 2 3.12 463 33.35 520 1 2.41 469 2 3.08 440 33.39 543 1 2.55 538 2 3.03 419 33.28 523 1 2.31 505 2 3 509 33.21 530 1 2.41 489 2 3.03 438 33.58 564 1 2.19 411 2 3.05 399 33.33 565 1 2.35 321 2 2.85 483 33.4 431 1 2.6 394 2 3.01 453 33.38 605 1 2.55 528 2 3.03 414 33.26 664 1 2.72 399 2 3.04 446 33.6 609 1 2.85 381 23.37 559 1 2.9 384 23.8 521 13.76 646 13.24 467 1实验要求：（1）对上表中的数据作散点图，不同的类用不同的颜色标识；（2）用lda函数做判别分析，即在协方差矩阵相等的情形下作判别分析；（3）用qda函数做判别分析，即在协方差矩阵不相等的情形下作判别分析；（4）比较方法（2）和方法（3）的误判率；（5）现有一新申请者的GPA为3.21，GMAT成绩为497。
判别分析--线性判别分析（LDA）应⽤案例1 线性判别分析执⾏线性判别分析可使⽤lda()函数，且该函数有三种执⾏形式，依次尝试使⽤。
（1）公式formula格式我们使⽤nmkat变量作为待判别变量，其他剩余的变量作为特征变量，根据公式nmkat~使⽤训练集数据来运⾏lda()函数：library(MASS)library("MASS")fitlda1<-lda(nmkat~.,datatrain) #以公式格式执⾏判别分析names(fitlda1) #查看lda输出项名称结果分析：我们看到,可以根据lda()函数得到10项输出结果，分别为执⾏过程中所使⽤的先验概率prior、数据集中各类别的样本量counts、各变量在每⼀类别中的均值 means等。
fitlda1$prior #查看本次执⾏过程中所使⽤的先验概率fitlda1$counts #查看数据集datatrain中各类别的样本量结果分析：由于我们在之前的抽样过程中采⽤的是nmkat各等级的等概率分层抽样⽅式，因此如上各类别的先验概率和样本量在5个等级中都是相等的。
具体的，5类的先验概率都为0.2，之和为1，且训练集中每⼀类都抽出了144个样本。
fitlda1$means结果分析：在如上的均值输出结果中，我们可以看到⼀些很能反映现实情况的数据特征。
⽐如，对于占地⾯积wfl变量，它明显随着租⾦nmkat的升⾼⽽逐步提⾼，我们看到在租⾦为等级1(少于500马克）时，占地⾯积的均值仅为55.53平⽅⽶，⽽对于租⾦等级5(租⾦不低于1150 马克)，平均占地⾯积则达到了92.24平⽅⽶。
⾯积越⼤的房屋租⾦越贵，这是⼗分符合常识的。
执⾏fitlda1可直接将判别结果输出。
（2）数据框data.frame及矩阵matrix格式由于这两种函数格式的主体参数都为x与grouping，我们放在⼀起实现，程序代码如下：fitlda2<-lda(datatrain[,-12],datatrain[,12])#设置属性变量（除第12个变量nmkat外）与待判别变量（第12个变量nmkat）的取值fitlda22．判别规则可视化我们⾸先使⽤plot()直接以判别规则fit_ldal为对象输出图形，如下图所⽰：plot(fitlda1)结果分析：从图可以看到，在所有4个线性判别式(Linear Discriminants，即 LD)下1⾄5这5个类别的分布情况，不同类别样本已⽤相应数字标出。
