2011年考研数学二真题答案解析
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2011年考研数学数二真题解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.(1)已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小量，则（ ） (A) 1,4==k c (B) 1,4==-k c (C) 3,4==k c (D) 3,4==-k c【答案】(C) 【解析】由泰勒展开，因为33sin ()3!x x x o x =-+，所以33(3)sin 33()3!x x x o x =-+.则，333339()3sin sin 33()4()322x x f x x x x o x x o x x ⎛⎫=-=--+=+- ⎪⎝⎭. 当0x →时，3()4f x x ，所以选择(C) .(2)设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()233()2limx x f x f x x→-=（ ）2(0)(A) f '- )() 0B (f '- )(C) (0f ' (D) 0【答案】(B) 【解析】()[]()2323332(0)()(0)()2limlimx x x f x f f x f x f x f x xx→→⎡⎤----⎣⎦=()3300(0)()(0)lim 2lim (0)2(0)(0)x x f x f f x f f f f x x'''→→--=-=-=-。
(3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--'=---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=--- 令2()31211g x x x =-+，由于2124311120∆=-⨯⨯=>，故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点.(4)微分方程2(0)λλλλ-''-=+>x x y y e e 的特解形式为（ ） (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+.(C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+【答案】(C) 【解析】特征方程为220r λ-=,解得特征根12r r λλ==-, 齐次方程20y y λ''-=的通解为12x x y C e C e λλ-=+, 非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅, 非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅,故非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)设函数(),g()f x x 均具有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0f g ><，且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）(A) (0)0,g (0)0f ''''<>. (B) (0)0,g (0)0f ''''<<.(C) (0)0,g (0)0f ''''>>. (D) (0)0,g (0)0f ''''><.【答案】(A) 【解析】(0,0)(0,0)(0)(0)0()()x z f g f x g y '''===，(0,0)(0,0)(0)(0)0()()y z f g f x g y '''===。
2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于（）。
A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。
由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。
因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。
A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。
当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
2011年考研数学二考试真题试题及答案
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2011 全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案解析
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2011 年考研数学二考试真题试题及答案
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Hale Waihona Puke 时代学习网——职业人士网上考试辅导学习的家园 ，资料由本站网上收集整理。
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2011考研数学二真题
第4 页 共9 页
明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g(0) < 0 ， 且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值
2011年考研数学(二)及参考答案
2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。
16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。
19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。
22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。
2011年考研数学二真题
第4页共9页
Hale Waihona Puke 明、证明过程或演算步骤.∫ x ln(1+ t2 )dt
（15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x) = 0 x3a
，设
limx→+∞ F (x) = limx→0+ F (x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 limx→+∞ F (x) = 0 ，所以至少 a > 0
由 limx→0+ F (x) = 0 ，
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f (x)g( y) 在点 (0, 0) 处取得极小值的一个充分条件
是（ ）
（A） f ′′(0) < 0, g′′(0) > 0
（B） f ′′(0) < 0, g′′(0) < 0
（C） f ′′(0) > 0, g′′(0) > 0
（D） f ′′(0) > 0, g′′(0) < 0
【详解】
lim
x→0
(1
+2 2
x
)
1 x
= elim
x→0
1 x
ln
(1+
1+ 2 x 2
−1)
1 2x −1
= elimx→0 x 2
=
2
（10）微分方程 y '+ y = e−x cos x 满足条件 y(0) = 0 的解为 y =
【答案】 e−x sin x
∫ 【 详 解 】
y
=
−
e
∫1dx
⎪ ⎪
y′(0) = 1
⎪⎩
令
y′ =
p,则y′′ =
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2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。
11年数二真题答案解析
11年数二真题答案解析介绍：数学是让很多学生头疼的学科之一，尤其是高考的数学考试。
为了帮助学生更好地备考，我们将对2011年的数学二真题进行答案解析。
在本文中，我们将从各个知识点出发，深入分析每道题目的解题思路和方法，以帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。
第一部分：选择题1. 题目：设M是一条直线，过点（2,1），斜率为1/3. P，Q是在M上的两个不同点，且PQ=2. 则M的方程为？解析：根据题意，直线M过点（2,1），斜率为1/3，那么直线M 的方程可以表示为y = (1/3)x + b，其中b为常数。
因为PQ=2，所以P和Q的坐标分别为（2,1）和（2+2，1+2）=(4,3）。
将坐标代入直线M的方程中，得到1 = (1/3)×2 + b，解得b=1/3。
因此，直线M的方程为y = (1/3)x + 1/3。
2. 题目：一个家庭用3个煤气罐烧饭吃5天，如果家庭再增加一人，每天烧饭的重量减少2千克，可以多烧3天。
求这个家庭有几人，每天烧饭淡每人煤气使用量是多少？解析：设这个家庭原本有x人，每人每天烧饭的重量为y千克。
根据题意，3个煤气罐烧饭可以维持5天，所以3y × 5 = 15y是煤气使用的总重量。
当家庭增加一人后，每天烧饭的重量减少2千克，多烧3天，所以(x+1)(y-2) × 8 = 15y。
将两个方程合并，得到15y = 8y - 16，解得y=2/7。
由此可得，家庭有15个人，每人每天烧饭的煤气使用量是2/7千克。
第二部分：填空题1. 题目：已知∠A = 2∠B，BC = 2，BC = 4，则∠C = _______。
解析：根据题意，已知∠A = 2∠B，那么∠B = ∠A/2。
又BC = 2，AC = 4，根据正弦定理，得到sin∠A/2 = sinC/4。
以及sin∠C = BC/AC × sinA，代入已知条件得到sin∠C = 1/2 × sinA。
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2011年考研数学二真题答案解析2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助2(111考研数学真题解析——数学二<s-r 1⑶检跖-C【解答7j (J )=■ ta |(J -1)(I_ 2m - 5| 侧£ 山个割1|+1#|^—2|+fcn^t —3|* 1 I 1y ='——-+—+—X-： x-2 X-3匕_奴*_3)*( = _1)(黑-3)*(君-D(x_2)(x-DCx-2XJr-3)3x J - I ：A+ll(z- 1X T -2X X -3)(4)岑窠： 【解鶴J©U 特祉痕打T h ■ -a 故曲血吐私■崔盘匕"亠曲卅)严】》K -L A(B)故达cI^L7/W = 40(^)- 4十y" ~ 二 J 特解”二疋特解 y 2 - A<r'*C 2特解 > = XC I €Jk +C J r->)故选(（5）鲁案:（X ）【解答】 “姻・3铁广他3占=釜=/V )€ V) X=^|= /f (x)g(y) C i 篇二《/他 3在(0.0)点 4 = /r (0)g(0) B =・f 伽g “ C=AC-B^ >0 M ^>0=> r (0)<0g*(0) > 0 故选 A⑹答案：2 【解存】x e (0,―)A $m x <cosx <1 <cot x 则In $tn x < In cowx < 0 <ln cotx9 ■ ■MB八；In 心皿 >0 $ h «n xdx < $ In cs x<h <0故 即ZKvJ故选B（7）族（0）【解答】显儘作4片=£. A =.因为/：' = /：•所以“朋*.选（〃）・（&）答案：（/））•庆＜o 』＞=0若"几呃x% （0.0）伽他dz【解答】因为J1X=()^础解系會一个线性无关的解向秋・所以r(J)=3・J 是「(/T)二I. 故/TX = 0堆础解系含3个线性无关的解向磺，<A'A=\A\E = 0 H.r(J)=3・所以A 的列向磧组中含XX = 0的舉础解系， 周为(I.O.LO)7是方程?1l AX = 0的肚础解系.所以a.+a, =0.故或冬心，5线性无关,显然a 2>a iy a^A 9X = 0的一个基础解系•选(0)・<10) ”*十8"解 办 yby 二・x+lnC”=葩・'常数变y ="(*)*'代入 u'e~T +ue'*(- l) + u(x)"* =^_r cosx w r =cosxu = $m + C通斛 y =€ 1(5in A + O 7(0) = 0 C = 0KS = 71 + tan 2 xdx =<11)i sec xdx = In (sec A + tan =ln(V2 +1)二、填空腔「M(x)Nx==「矿"xdx 〈12)x=虻二-“亠『十「严dx八T iS —S —/ = jj xyda =cos 3 沁 6 p dp(14)解；特征值4 "心八4严4. 2惯性指数为2三.解答题 (15)题 【解答】lia = 0时.因为lim l\x) = ^.所以结论不iE 确: q k/<0时.因为lim FM = +«.所以结论也不正确；lim F(x) = lim卅=jim 山(】+ 壮JTT 乜ATT 佃再 林CIX^ 1=lim 怕(二］im = o 得 2 > ”一 1・ 所以 jr ►(> ♦ QX^ 1 x>O* 口丫^ a <3 . 「是1<a <3 •式>pr 原--13fi i Hi-/i ii1 3 113-41 b i i.111 IT当4> 0时. 111(1 + 丫')2工 ______ I 1 +x 2 a(a- l)x a=0«a>l「ln(l +/J )J/ lim/^v)= lim 如 JT 2・ ■-co$6m &d9二 n )(「4) • t【解答】 空二业二口二0紺二±1 <Zv cixlolt t +1c/u d( z Vdf dx dx/(Ji当/ = 一1附・同为^ = -^—^-=-~< 0・所UI^/ = -l 即x = -W 常数取极大値 Z (八十1)' 2 V = 1 •J- V 4/ I 5 1为/ = 1时・因为 - = ----- --- r = — > 0 >所以X / = 1即・丫 =-时.函数取极小值『= --- o收(厂2 3 3」2dg'fdf八令汁二一二刖厂X""^/<OL!Pxe(-®,|)时.由故为上M 函数; 1/>0即XG (*+ao )时・函数为下凹函数.(I?)题 【解答】ih g(.v)可导且在.r = 1处取极值#(1)二I ・所以g*(>) = 0・ ' ■云=fXxy,yg(x)]y + /；[叽)沁)呢何・磊=血卩加切斗)何；(硏加岗)*⑴川巧>凭(引)W则 ^J = AUD+/n (U)+Z ：(U).d 2y dx 2当Y0时.当/》0时.【解答】—=tail cz!两边对?:得dx5ec :^. —= y\ 即(l+3“)F = y ・， dx•討=(1 + 产)* 于是有八 厂 .v(O)=O ;y(O) = lf 9令y=p,则T=竺，于是有空=戸(1+，)，变重分离得 ebc dx牛悬如如两边积分得血••〔 j. = x+G ，代入初始条件得G=in_],故-=£==-L^ J1+ J] Jl + pd J] 两边平方解得QeD ■ = --------- -- , P =‘ 2」• VTv 7• QQI---flx = arcsii —= * C\,因为 v T (0) = 0,所以C ：二一二，故 y = arcsin —-—4 A /2 4(19)题 【解答】ln(1 +丄)=ln(1 十丄)-S» M证恥①/⑴=加(】1)在 ol应用中值定理1+丄 即Ml<h(l+ A) <1-1nn n351-+、£ V +H S +大z【 y e ■ 尺 W I (T +C£ v +(i + D + (i +L )£A «E l i v +T +一 =£蚩?ss・w 「0)s V 7»OY»0l 7・D一+ 7:V —I +3T H g£l a 4M )£一+«Zd u ll —V H «5?)y fTPHJH 言s r .)H.=n 一【塁】園(H)s——n■ L P Q r x f —rl ) J十$("(—&(.(12-档、n f r w w —v、M Q (r rl)〔T 5:".(！d u、g Q (.f —rl )3 nY盘总总(r + W於&(4—rl )g H 」1 N)I旷 ・卅卩戈f k — D 9+ €(r 1( L rl) H '(二【帥離】J 是/二 J ：皿［”；(x J M 二］伙(儿1)&・［刃妙 =M/V,l) I ； -［加［*；(大丿)加=-［；创*;(2)次=-［£'wj )ii 令-f 飒=(f (v.yWd = JJ J\ 2 Wxcly = </ ・(22)题 【解答】1 0 I(I) W/j|a t |= 0 1 3 = I H O ・所以r(a^a^a 3)= 31 I 5义肉为4心心不能由久几/点件牝品 听以"久"一儿）< 彳•于是101代0心解得八5(2) 二 0 1厂 10 1 1 1 3、P 0 0 2 1 5、 0 1 3 1 2 4 ->1 0 42 10 0 X 14 0 2 2丿0 \0 1-1_ 2仇=2a )十4久-a ； 于是< 0：二 a 、+ 2a ： + Otz L .fly = 5flf ］ 4- \0a : -2a y（23〉題【解答】楓据特征值特征向磧的定义•，的待征值为人=-1.入=1 •对应的线性无关的特征向肚为< 1、<1）令內=0 1一1丿S =J \ X 3 12 4 5 13 5,因为r(/l) = 2<3< 所以|J<|=0>故=0令$二兀为的H1应于入二0的特征向临阂为/＜为实对祢矩阵•所以右0a].a“ajp・{2 化厲令0 =（儿，乙，乙）=1、0 0、I 00 0?『•足片=00 y r = 00 10 00,。