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最优控制的特点、实例

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控制方法

控制方法

回路传函恢复控制
• 线性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian—LQG)方法是 以最优线性二次型调节器(LQR)和Kalman滤波器为中心的 反馈控制系统优化设计方法。由于其理论比较成熟，所以 在工程上被广泛应用。但是由于LQG设计的被控对象没有 考虑模型不确定性，带有Kalman滤波器的LQG方法设计 的控制系统鲁棒性差，模型若存在微小偏差或扰动，闭环 系统就可能出现不稳定的现象。因此，为弥补LQG设计方 法的缺陷，1979年Doyle和Stein提出了回路传函恢复方法。 • LQG/LTR回路传函恢复方法是把虚拟的过程噪声作为设 计参数加到设计模型输入端的鲁棒性恢复方法，能使LQG 设计具有最优线性二次调节器LQR所具有的稳定储备。其 设计思想就是设计滤波器增益，使得全状态LQR调节器自 然拥有的鲁棒特性在系统的输入端通过动态调节器得到基 本恢复。根据LQG/LTR理论，回路传递恢复后的系统具 有接近最优反馈控制系统的鲁棒性。
1. 极点配置法：
yp
y1
y2
y3
A1 P1 Q1 i A Ps B P0
A2 P2 Q2
k1 m m1
k2
k3 m2
m3
Fd
1. 极点配置法：
液压源 加速度 信号输入 加速度 三状态 输入回路 速度 位移 伺服控 制电路 控制 信号 负载 伺服阀 与液压缸 加速度计 速度调理 位移计 振动台 位置 输出
鲁棒控制方法概述
鲁棒控制方法弥补现代控制理论对数学模型的过分依赖，在设计过程 中考虑了对象模型的不确定性，使得在一定误差范围内的所有被控对象均 能满足理想的性能要求。 在设计鲁棒控制器时，仍存在以下的问题需要解决 ： 结构数学模型的不确定性估计较为困难，因此准确的分析和刻画不确定 性的大小是进行鲁棒控制器设计的基础。 在鲁棒控制器设计过程中，通常需要依靠权函数的选择来实现控制器对 不确定性的鲁棒性，一般情况下，这种权函数的选择是没有通用的公 式，因此要经过反复多次的试凑才能确定。 设计鲁棒控制器时，往往需要同时满足包括时域、频域在内的多个性能 指标要求。

最优控制理论

最优控制理论
智能优化方法
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数

《控制工程基础》题集

《控制工程基础》题集

《控制工程基础》题集一、选择题（每题5分，共50分）1.在控制系统中，被控对象是指：A. 控制器B. 被控制的设备或过程C. 执行器D. 传感器2.下列哪一项不是开环控制系统的特点？A. 结构简单B. 成本低C. 精度低D. 抗干扰能力强3.PID控制器中的“I”代表：A. 比例B. 积分C. 微分D. 增益4.下列哪种控制系统属于线性定常系统？A. 系统参数随时间变化的系统B. 系统输出与输入成正比的系统C. 系统输出与输入的平方成正比的系统D. 系统参数随温度变化的系统5.在阶跃响应中，上升时间是指：A. 输出从0上升到稳态值的时间B. 输出从10%上升到90%稳态值所需的时间C. 输出从5%上升到95%稳态值所需的时间D. 输出达到稳态值的时间6.下列哪种方法常用于控制系统的稳定性分析？A. 时域分析法B. 频域分析法C. 代数法D. A和B都是7.在频率响应中，相位裕度是指：A. 系统增益裕度对应的相位角B. 系统相位角为-180°时的增益裕度C. 系统开环频率响应相角曲线穿越-180°线时的增益与实际增益之差D. 系统闭环频率响应相角曲线穿越-180°线时的增益8.下列哪种控制策略常用于高精度位置控制？A. PID控制B. 前馈控制C. 反馈控制D. 最优控制9.在控制系统的设计中，鲁棒性是指：A. 系统对参数变化的敏感性B. 系统对外部干扰的抵抗能力C. 系统的稳定性D. 系统的快速性10.下列哪项不是现代控制理论的特点？A. 基于状态空间描述B. 主要研究单变量系统C. 适用于非线性系统D. 适用于时变系统二、填空题（每题5分，共50分）1.控制系统的基本组成包括控制器、和。

2.在PID控制中，比例作用主要用于提高系统的______，积分作用主要用于消除系统的______，微分作用主要用于改善系统的______。

3.线性系统的传递函数一般形式为G(s) = ______ / ______。

最优控制特点

最优控制特点

切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解

管理学控制系统的含义和特点

管理学控制系统的含义和特点

管理学控制系统的含义和特点
管理学中的控制系统是指一种用于监督和调节组织内部活动的
机制。

其含义是通过设定标准和目标，收集信息，进行比较分析，
并采取必要的纠正措施，以确保组织的运作与预期目标保持一致。

控制系统的特点包括：
1. 目标导向，控制系统的核心是确保组织的活动与设定的目标
一致，因此它是目标导向的。

2. 反馈机制，控制系统通过收集和分析信息，对组织的实际表
现进行评估，并进行必要的调整，以保持组织活动的正常运作。

3. 灵活性，控制系统需要具有一定的灵活性，能够适应环境变
化和组织内部的动态变化，以保持其有效性。

4. 多层次性，控制系统通常是多层次的，涵盖了组织的各个层面，从战略层到操作层都需要进行控制。

5. 连续性，控制系统是一个持续进行的过程，不断地收集信息、分析数据、进行调整，以确保组织的活动不偏离预期目标。

总的来说，管理学中的控制系统是一种目标导向、具有反馈机制、灵活性强、多层次、持续进行的机制，用于监督和调节组织内部活动，以确保组织的运作与预期目标保持一致。

最优控制与智能控制

最优控制与智能控制

1 课题背景及意义温度是工业生产过程控制中很重要的被控变量。

在冶金、化工、工业炉窑等工业生产中, 温度控制系统是较普遍且较关键的控制系统, 它具有非线性、强耦合、时变、时滞等特性，采用常规的PI D控制器, 一般很难实现对其快速有效地精确控制，而作为非线性控制的一个分支----模糊控制,在温度控制系统中得到了较好的应用。

模糊逻辑是人工智能的重要组成部分，自从1965年美国控制理论专家L.A.Zadeh提出了用“Fuzzy Sets”(模糊集合)描述Fuzzy(模糊)事物以来[1 ], Fuzzy技术获得了广泛的应用。

而模糊控制取得的最早应用成果之一,是1975 年英国P.J.King和E.H.Mamdani将模糊控制系统应用于工业反应过程的温度控制中。

随后模糊控制成为自动化技术中一个非常活跃的领域.。

著名的自动控制权威Austrom曾经指出：模糊逻辑控制、神经网络控制与专家系统控制是三种典型的智能控制方法。

随着现代科学技术的迅速发展，生产系统的规模越来越大，形成了复杂的大系统，导致了控制对象、控制器以及控制目的的日益复杂化。

而另一方面，人类对自动化的要求也更加广泛，传统的自动控制理论和方法已不能适应复杂系统的控制。

在许多系统中，复杂性不仅仅体现在很高的维数上，更多表现在被控对象模型的不确定性、系统信息的模糊性、高度非线性和多层次、多目标的控制要求。

因此，建立一种更有力的控制理论和方法来解决上述问题，就显得十分重要。

模糊控制是智能控制的一种典型和较早的形式，作为智能控制的一个分支，模糊控制是模糊数学和控制理论相结合的产物，它利用了人的思维具有模糊性- 1 -的特点，通过使用模糊数学中的隶属度函数、模糊关系、模糊推理等工具得到控制规则矩阵表格进行控制。

模糊控制的基本思想是用机器去模拟人对系统的控制, 即在被控对象的模糊模型的基础上运用模糊控制器近似推理等手段, 实现系统控制的一种方法[ 2 ]。

模糊模型是用模糊语言和规则描述一个系统的动态特性及性能指标。

最优化理论与最优控制

最优化理论与最优控制

线性时不变系统
2) 有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，
即 确定： X (t 0 ) ， X (t f
) 。
一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态
X (t 0 )
转移到
X (t f ) 的过程
目标函数(性能指标，性能泛函，目标泛函) ： 是衡量“控制作用”效果的性能指标。 为了实现动态过程中状态从 X (t 0 )
目标函数：多元的普通函数。
最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
黄金分割法（0.618法） b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
（一维搜索）
插值法
爬山法
（多维搜索法）
步长加速法
方向加速法 c. 以梯度法为基础的方法 d. 网络最优化方法
垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时，要求火箭
速度为0，并且燃料消耗为最小。
t=t 0
mg
火箭
F(制动力)
月球表面 分析：在火箭速度降为0之前，
dm 制动力 F K dt
火箭从 t
与燃料消耗成正比
其中：K：常数，m ：火箭（包括燃料的质量）
t 0开始减速，到 t t f时速度为0，
总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是： 在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最 优控制，使目标函数为极大或极小。
用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下： 1） 适用于多变量，非线性，时变系统的设计
2） 初始条件可任意
3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况 4） 便于计算机求解
转移到终端状态 x(tf ) ，并使性能指标J[u] 为极大（小) 值 ，

最优控制的计算方法

最优控制的计算方法
(2) 的第K步估计值 和给定的 合在一起，从 积分正则方程，求出 ，抽出n个要求的分量的终值 ，若 ，停止计算，否则进行下一步。
可得
3、将 代入协态方程，且由边界条件 从t=1倒向积分可得 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指标函数随迭代变化很小为止。 由 ，得
图b 最优状态的求解
图a 用梯度法寻找最优控制 右图表示了控制和状态的初始值和第一次迭代值，可以看到第一次迭代 就几乎收敛到最优值， 与最优值还有差异，而且一般说来愈接近最优值收敛愈慢。
K=1时时，控制量为
所以，这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再重新迭代，寻找共轭梯度方向。
可以证明 ，即为最优控制。这只要证明
2、共轭梯度法
*
用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。
(1) 求函数极值的共轭梯度法
其中，
C为常数， Q为正定阵。
要求寻找X使F(X)取极值。
设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。
间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协态方程，两种方程的积分都从从t0到tf或从tf到t0 。常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。

最优控制线性二次型问题

最优控制线性二次型问题
可实现最优 线性反馈控制
(5 18)
第6章 线性二次型最优控制问题
2.应用其性质求解p(t)
下面思路：
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
x Ax BR 1 BT H Qx AT Qx AT Px x
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
e(t ) yr (t ) y(t )
1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题 状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
终端时间t , 无限时间问题
6.2.2 无限时间状态调节器问题 设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);

第4章 最优控制理论

第4章 最优控制理论
t0
t* f t f
t f 很小，第二项可用积分中值定理
, t dt F x* t f , x * * t f , t f * t f J x F x* , x
t0 tf t* f
t* f
F x
J
1 T T x ( t ) x ( t ) Q x ( t ) x ( t ) u Ru dt d d 2 t0


二次型性能指标，工程中应用最为广泛
• 性能指标，泛函，即函数的函数
按数学形式
积分型 拉格朗日问题 终值型 迈耶耳问题 混合型 波尔扎问题
* *
tf

x
t0
f * , t d F x* , x * , t *, t F x* , x dJ F x* , x dt d 0 t x dt x x t 0
t
tf
0
t0 t f 0 以及极值条件
2.固定边界的泛函极值
t , t dt 积分型，Langrange问题 设泛函 J x F x t , x
xR
tf t0
分部积分法
udv uv
a b
b
b a
vdu
a b b
b
在 t0 , t f 连续二次可导
xt0 x0 xt f x f
2015年11月
§4.0 概述
研究：针对一个控制系统（被控对象），在给定一个性能指标下，
如何选择控制规律，使性能指标达到最优（极小）。
• 问题描述
动态系统： 初始状态：
如何选取容许控制域或最优控制

最优控制理论-最短时间控制系统

最优控制理论-最短时间控制系统

特点：状态方程的右边对控制u (t ) 是一次的。
引出平凡系统和非平凡系统的概念 阐明最短时间控制制系统的基本特征。
3
最短时间控制问题的提法
问题 3-1 已知系统的状态方程
x i t f i xt , t bij xt , t u j t
j 1 m
i 1,2,..., n
(3-15)
于是(3-11)式可写成
ˆ j t q ˆ j t u j t q ˆ j t u
j 1 j 1 m m
(3-16)
9
(3-16)式意味着函数
ut u j t q ˆ j t
j 1 m
(3-17)
ˆ j (t ) 时达整体最小： 当u j (t ) u
(3-1)
或其等价的向量形式), t u (t )
其中 f i xt , t 和bij xt , t 对 x(t)和 t 连续可微。寻找一 m 维有 界闭集中的控制向量，满足下列不等式约束
u j (t ) 1 j 1,2,...m
i 1 j 1 i 1
n
m
n
(3-10)
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t 即 u
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
(3-11)
7
在最优轨线终端处，哈密顿函数的终值是 T ˆ Hx ˆ (t ),λ (t ), u ˆ (t ), t t tˆf t tˆf
(3-2)
4
使系统从已知初态
xt0 x 0
(3-3) (3-4)

最优控制 第6章 最优控制的计算方法

最优控制 第6章 最优控制的计算方法
则(6-7)变为
δJ = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ] + ∫ {H [ X + δX , U + δU , X , t ]
t0
tf
− H [ X , U , λ , t ] − λ [ f ( X + δX , U + δU , t ) − f ( X , U , t )]}dt
δJ = J [U + δU ] − J [U ] = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ]
+ ∫ F [ X + δX , U + δU , t ] − F [ X , U , t ]dt
t0 tf
(6-7)
哈密顿函数为：
H [ X , λ , U , t ] = F [ X , U , t ] + λT f [ X , U , t ]
§6.1 直接法
一、梯度法
给定系统的状态方程：
& = f [ X (t ), U (t ), t ] X
初始条件：
(6-1) (6-2)
X (t 0 ) = t0
以及性能泛函： J [U (t )] = φ[ X (t f ), t f ] + 终端时刻 t f 给定， X (t f ) 自由。
∫
tf
t f ∂H ∂φ T t ] δX (t f ) − [λT (t )δX ]t0f + ∫ [ ] δUdt t0 ∂U ∂X (t f ) T
(6-11)
考虑边界条件 则(6-11)变为

郑大钟线性控制理论

郑大钟线性控制理论



无限时间LQ问题是指末时间 t = ∞ 的一类LQ问题。 有限时间LQ问题只是考虑系统在过度过程中的最优运 行； 无限时间LQ问题则还需考虑系统趋于平衡状态时的渐 进行为。 无限时间的LQ问题的研究通常更有意义，具 有最小能量的控制方式更具实际意义。 无限时间LQ问题的最优解： Ax Bu （6.11.1） x
6.11.2）最小化的最优控制器具有以下线性状态 反馈形式：
u Kx
当且仅当 K R 1 B T P 方程 PA AT P PBR1BT P Q 0
T J x 0 Px0 此时

3、对无限时间LQ调节问题，最优控制具有状态反馈的 形式。状态反馈矩阵为
KR B P
第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速 度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控 制能量的限制。通常状态 衰减速度越快，控制能量越 大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、 R， 调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（6.11.1） 和保证一定性能指标（6.11.2）的前提下，设计一个 控制器 u，使J 最小。
其中，n*n正定对称矩阵P为如下矩阵黎卡提方程的解阵 ： T 1 T
P( A I ) ( A I ) P Q PBR B P 0
导出指定指数衰减度的无限时间时不变LQ问题的最优控制为
u * (t ) R1BT Px * (t )
考虑到最优闭环系统
x ( A BR B P) x *


解阵P为n*n正定矩阵。进而，最优控制u*（）为
u * (t ) K * x * (t ), K* R 1 BT P
最优调节系统为
* ( A BR1 BT P) x*, x * (0) x0 , t 0 x

最优控制的计算方法

最优控制的计算方法

（7-31）
因为 Q 正定，上式对每一个P j 成立，所以必须
有 C j 0 , j 0 , 1, 2 ,n 1 与假设矛盾，这说明
P 0 , P1 , P n1是线性独立的，它们构成了 R n 空间中的
一组基向量。
按照这个性质，函数 F ( X ) 的极小点 X X * 可用这组基来表示，即
用梯度法寻找最优控制使下面的指标最小
1 1 2 J ( x u 2 )dt 2 0
（7-7）
解
哈密顿函数为
1 2 H ( x u 2 ) x 2 u 2
（7-8）
协态方程为
H x 2x x
（7-9）
因x(1)自由，由横截条件得
(1) 0
0
H 0 1 2 u ( t ) u ( t ) ( ) [ 1 ( 1 10 t ) / 121] 5． 。 u 2 K 1 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指
1
标函数随迭代变化很小为止。
u
图 7-1 和 图 7-2 表 示了控制和状态 的初始值和第一次迭 代值，可以看到第一 次迭代 u 1 (t ) 就几乎收 敛到最优值， x(t ) 与 最优值还有差异，而 且一般说来愈接近最 优值收敛愈慢
H ( )K U
5、 修正控制向量
U K 1 U K K g K
K
（7-3）
K 是一个步长因子，它是待定的数。选择 使指 标达到极小。这是一维寻优问题，有很多现成的优 化方法可用。如分数法，0.618法，抛物线法，立 方近似法等。(7-3)表明迭代是沿着梯度g K的负方向 进行的。
间接法
它的特点是，在每一步迭代中都要满足 H 取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协 态方程，两种方程的积分都从 t 0到 t f 或从 t f 到 t 0 。 常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。

现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型

现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
由min H x , ,u,t H x , ,u ,t uU
min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；

LQR控制算法推导以及简单分析

LQR控制算法推导以及简单分析

LQR控制算法推导以及简单分析LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种经典的线性二次调节控制算法，它在控制系统中广泛应用，可以实现对线性系统的最优控制。

LQR控制算法的设计基于离散时间系统的状态空间表达，通过最小化一个二次性能指标来求解最优控制器。

在这篇文章中，我们将推导LQR控制算法的基本原理，并进行简单的分析。

假设我们有一个连续时间线性动态系统的状态空间方程如下：\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\]其中，\( x(t) \in \mathbb{R}^n \) 是系统的状态向量，\( u(t) \in \mathbb{R}^m \) 是控制输入向量，\( A \) 和 \( B \) 是系统的状态空间矩阵。

我们的目标是设计一个最优的反馈控制器来最小化系统的性能指标。

LQR控制算法的性能指标通常定义如下：J = \int_0^{\infty} \left( x^T Q x + u^T R u \right) dt\]其中，\(Q\)和\(R\)分别是状态和控制输入权重矩阵。

我们的目标是找到一个最优的状态反馈控制器\(u(t)=-Kx(t)\)，使得性能指标\(J\)最小化。

为了求解这个问题，我们可以使用最优控制理论中的LQR方法。

首先，我们可以将系统的状态空间方程离散化，得到如下形式：x_{k+1}=Ax_k+Bu_k\]其中，\( x_k \in \mathbb{R}^n \) 是系统在时刻\( k \)的状态向量，\( u_k \in \mathbb{R}^m \) 是控制输入向量。

接下来，我们定义一个二次性能指标：J = \sum_{k=0}^{\infty} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k\right)\]其中，\(Q\)和\(R\)分别是状态和控制输入的权重矩阵。

我们的目标是找到一个最优的状态反馈控制器\(u_k=-Kx_k\)，使得性能指标\(J\)最小化。

最优控制的特点、实例..

最优控制的特点、实例..

实际应用背景
例1：飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力 方向相反的推力f，赖以控制飞船实现 软着陆(落到月球表面上时速度为零)。 要求选择一最好发动机推力程序f(t)， 使燃料消耗最少。
v
h
g
月球
设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。 月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃 料分别为M和F。
1 tf J ( x xd )T ( x xd )dt 2 t0
1 tf T J ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的， 以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出 整齐的解析解。
最优控制问题有四个关键点： （1）受控对象为动态系统；
于是，拦截器与目标的相对运动方程可写为
初始条件为
x v f (t ) v a ( t ) u m(t ) f (t ) m C
x(t0 ) x0 , v(t0 ) v0 , m(t0 ) m0
为实现拦截，既要控制拦截器的推力大小，又要改变推力方 向。拦截火箭的最大推力是一有限值fmax，瞬时推力f(t)应满 足 0 f (t ) f
卷纸筒惯性变化为保持纸张力不变马达的转矩需改变船舶的航线控制传递函数的动态参数随着船载速度吃水深度和环境即波浪风速海潮等的变化而变化变自适应系统的原理框图控制器被控对象参考输入rt控制量ut干扰vt输出量yt自适应系统主要由控制器被控对象自适应器及反馈控制回路和自适应回路组成
最优控制
——与其他控制方法的区别
例如： 飞机控制 近地点和高空的空气密度不同，飞机控制特性随高度、 飞行速度的不同而有很大的变化 导弹控制 导弹的质量和重心随燃料的消耗迅速变化 过程控制 连续生产化工设备参数随着环境温度和输入输出流量而改 变；锅炉机组过热蒸气温度的动态参数随着负荷变化而变 化 电力拖动 造纸：卷纸筒惯性变化，为保持纸张力不变，马达的转矩 需改变 船舶的航线控制 传递函数的动态参数随着船载、速度、吃水深度和环境 （即波浪、风速、海潮等）的变化而变化

控制理论各历史阶段发展的特点

控制理论各历史阶段发展的特点

控制理论各历史阶段发展的特点经典控制理论在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成奠定了基础；二次大战以后，又经过众多学者的努力，在总结了以往的实践和关于反馈理论、频率响应理论并加以发展的基...经典控制理论（20世纪40-50年代）在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成奠定了基础；二次大战以后，又经过众多学者的努力，在总结了以往的实践和关于反馈理论、频率响应理论并加以发展的基础上，形成了较为完整的自动控制系统设计的频率法理论。

1948年又提出了根轨迹法。

至此，自动控制理论发展的第一阶段基本完成。

这种建立在频率法和根轨迹法基础上的理论，通常被称为经典控制理论。

经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入－单输出的线性定常系统为主要的研究对象。

将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。

通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。

经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。

当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，这是因为它的以下几个特点所决定。

1．经典控制理论只限于研究线性定常系统，即使对最简单的非线性系统也是无法处理的；出描述方式，这就从本质上忽略了系统结构的内在特性，也不能处理输入和输出皆大于1的系统。

实际上，大多数工程对象都是多输入－多输出系统，尽管人们做了很多尝试，但是，用经典控制理论设计这类系统都没有得到满意的结果；2．经典控制理论采用试探法设计系统。

即根据经验选用合适的、简单的、工程上易于实现的控制器，然后对系统进行分析，直至找到满意的结果为止。

虽然这种设计方法具有实用等很多优点，但是，在推理上却是不能令人满意的，效果也不是最佳的，人们自然提出这样一个问题，即对一个特定的应用课题，能否找到最佳的设计。

分布参数系统最优控制理论的一些应用的开题报告

分布参数系统最优控制理论的一些应用的开题报告

分布参数系统最优控制理论的一些应用的开题报告一、选题的背景和意义随着现代科学技术的不断发展，控制系统在各个领域得到了广泛的应用，例如工业、军事、航空航天及生命科学等。

控制系统最重要的功能是使系统习得所期望的性能，其中控制器的设计是关键因素。

传统的控制理论一般只涉及到个体或集中参数的系统，但是分布参数系统更符合现实生活中很多问题的描述。

因此，对于分布参数系统的控制和最优化问题成为了研究的热点和难点之一。

为了解决分布参数系统的控制问题，最优控制理论成为了一种有效的方法。

最优控制理论是一种对于动态系统进行优化设计的方法，它可以在最小化成本或最大化性能的同时确保系统的动态特性符合要求。

最近几十年，随着计算机技术和数学方法的发展，最优控制理论在分布参数系统的控制和优化问题中得到了广泛应用。

这些应用包括但不限于模拟和控制化学反应、减小波动力和振荡等物理现象、设备的压控和温控等。

因此，探究分布参数系统最优控制理论的应用，就能为当前研究的深化和今后控制系统设计和工程实现提供支持，具有较高的意义和价值。

二、选题的主要内容和研究方向本文将主要探究分布参数系统最优控制理论的应用研究。

具体来讲，本研究将聚焦于以下几个方面：1. 分布参数系统建模：分析分布参数系统的特点、建立数学模型，使其可用于最优控制理论的分析设计。

2. 最优控制理论的研究：分析最优控制理论的概念、方法、特点，结合分布参数系统的特点，探讨最优控制理论在分布参数系统中的应用。

3. 分布参数系统最优控制的设计：在前两个方面的探讨基础上，结合具体的应用场景，设计分布参数系统的最优控制方案，并进行仿真和实验验证。

三、预期的研究成果1. 程序设计：根据本文的研究内容，设计程序，计算出组成分布参数系统的各因素的时间变化特征，并得到优化控制方案。

2. 数据比较与分析：通过对实验数据进行比较和分析，验证本文提出的最优控制理论的有效性，并进一步指导我国未来各领域控制系统的优化设计。

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至于单位向量u，它可以表示为
u 2 uTu 1
其中|u|表示向量u的长度，有 u u12 u22 u32 也就是说，u的幅值为1，其方向不受限制。
要求控制拦截器从相对于目标的初始状态出发，于某末态
时刻tf与目标相遇（实现拦截），即
且应满足
x(t f ) 0
m(t f ) me
这里， me是燃料耗尽后拦截火箭的质量。 一般说来，达到上述控制目标的f(t)、u(t)和tf并非唯一。 为了实现快速拦截，并尽可能地节省燃料，可综合考虑
最优控制
——与其他控制方法的区别
最优控制
Optimal Control
最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。
我国的探月计划：
绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ；
落பைடு நூலகம்工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器；
回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。
鲁棒控制 —— 以静制动 最优控制 —— “没有更好只有最好” 自适应控制 —— 以变制变
如果是线性时不变系统，则可以表示为
x Ax(t) Bu(t)
性能指标：尽管我们不能为各种各样的最优控制问题规定
一个性能指标的统一格式，但是通常情况下如下形式的性能指 标可以概括一般：
J
( x(t f ), t f )
tf L( x(t), u(t), t)dt
t0
针对不同的具体问题，J一般可以取为不同的具体形式，如：
月球
设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。 月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃 料分别为M和F。
自某t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
其中k为一常数。
h• v
• v
f m
g
m• kf
要求控制飞船从初始状态
h(0) h0 , v(0) v0 , m(0) M F
最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
实际应用背景
v
例1：飞船的月球软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力 方向相反的推力f，赖以控制飞船实现 软着陆(落到月球表面上时速度为零)。 要求选择一最好发动机推力程序f(t)， 使燃料消耗最少。
h g
为最大的数学问题。
例2：防天拦截问题
所谓防天拦截是指发射火箭拦击对方洲际导弹或其它
航天武器。 设x(t)、v(t)分别表示拦截器L与目标M的相对位置和
相对速度向量。a(t)是包括空气动力与地心引力所引起的 加速度在内的相对加速度向量，它是x、v的函数，既然位 置和速度向量是由运动微分方程所确定的时间函数，因此 相对加速度也可以看成时间的函数。设m(t)是拦截器的质 量，f(t)是其推力的大小。用u表示拦截器推力方向的单位 向量。C是有效喷气速度，可视为常数。
▪ “自适应控制”这个名词出现在20世纪50年代。 “大百科” 中定义：能在系统和环境的信息不完备的情况下改变自身特 性来保持良好工作品质的控制系统，称为自适应控制系统。
自适应系统的原理框图
干扰v(t)
参考输入r(t)
控制量u(t)
输出量y(t)
控制器
被控对象
自适应器
自适应系统主要由控制器、被控对象、自适应器及反馈 控制回路和自适应回路组成。
这两种要求，取性能指标为
J
tf t0
C1
f (t) dt
(a)
问题归结为选择f(t)、u(t)和tf ，除实现拦截外还要使规定的
性能指标为最小，此即在性能指标(a)意义下的最优拦截问
题。
上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
x f (x(t), u(t), t)
自适应控制
Adaptive Control
什么是自适应控制？
▪ “自适应”(Adaptive)最初来源于生物系统，指生物变更自 己的习性以适应新的环境的一种特征。人体的体温、血压等 系统都是典型的自适应系统；
▪ 前苏联学者Tsypkin在《学习系统的理论基础》一书中引 用了马克.吐温的一段话来说明自适应：“一只猫在烧热的灶 上烫了一次，这只猫再也不敢在灶上坐了，即使这只灶是冷 的。”说明了自适应过程的机械性；
①最短时间问题
J
tf t0
dt
tf
t0
②线性二次最优控制问题
J 1 t f (xTQx uT Ru)dt 2 t0
③线性伺服器问题
如果要求给定的系统状态x跟踪或者尽可能地接近目标轨
迹xd，则J可以取为
J
1 2
tf t0
(x
xd
)T
(x
xd
)dt
除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的，
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即
h(t f ) 0, v(t f ) 0
控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即
0 f (t) fmax
满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止一 种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，易见，问题可 归结为求
J m(t f )
于是，拦截器与目标的相对运动方程可写为
x v
v
a(t)
f (t) m(t)
u
初始条件为
m
f (t) C
x(t0 ) x0 , v(t0 ) v0 , m(t0 ) m0
为实现拦截，既要控制拦截器的推力大小，又要改变推力方
向。拦截火箭的最大推力是一有限值fmax，瞬时推力f(t)应满
足
0 f (t) fmax
以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出
整齐的解析解。
最优控制问题有四个关键点： （1）受控对象为动态系统； （2）初始与终端条件（时间和状态）； （3）性能指标； （4）容许控制。 而最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用或控 制规律，使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某 种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到 最小值或者是最大值。