2019-2020学年高中数学 3.2.1对数及其运算(一)学案新人教B版必修1.doc

对数与对数运算（一）三维目标一、知识与技能1.理解对数的概念.2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.二、过程与方法1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N ＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.三、情感态度与价值观1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学重点1.对数式和指数式之间的关系.2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.教学难点对数概念的理解以及对数符号的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则y =13×1.01x .我们能从这个关系式中算出任意一个年头x 的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？（生思考，师组织学生讨论得出）由y =1.01x 的图象可求出当y =1318、1320、1330时，相应的x 的值，实际上就是从1.01x =1318，1.01x =1320，1.01x =1330……中分别求出x . 师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x =1318中，要我们求解的量在什么位置？ 生：在等式左边的指数位置上.师：那么，要求x 的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？生：求指数x .师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.（引入新课，书写课题——对数）二、讲解新课（一）介绍对数的概念合作探究：若1.01x =1318，则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？ （生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）一般地，如果a x =N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.师：你如何理解“log ”和log a N ？（生探讨，得出如下结论）知识拓展：符号“log ”与“+，”等符号一样表示一种运算，log a N 是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N 三者的乘积.读作以a 为底N 的对数，注意a 应写在右下方.（二）概念理解合作探究：对数和指数幂之间有何关系？（生交流探讨得出如下结论）说明：括号内属填空、选择的题目.合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式log a N =b 中，真数N 可以取哪些值？为什么？ （生讨论，结合指数式加以解释）∵在指数式中幂N =a b ＞0，∴在对数式中，真数N ＞0.（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.师：条件N ＞0说明了什么？生：负数与零没有对数.合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求log a 1和log a a （a ＞0，且a ≠1）的值. （生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 0=1，∴log a 1=0.同样，∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 1=a ，∴log a a =1.合作探究：a N a log =N 、log a a b =b 是否成立？（师生共同讨论，给出如下解释）（1）设a N a log =x ，则log a N =log a x ，所以x =N ，即a Na log =N .（2）∵a b =a b ，∴log a a b =b （对数恒等式）.师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）（三）常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，如log 102、log 1012等，并把对数log 10N 简记为lg N ，如lg2、lg12等.（四）自然对数在科学技术中，常常使用以e （e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，如ln2、ln15等.（五）例题讲解师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？（投影显示如下例题）【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=641；（3）（31）m =5.73；（4）log 2116=－4；（5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log 5625=4；（2）log 2641=－6；（3）log 315.73=m ；（4）（21）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e 2.303=10. 【例2】 求下列各式中的x 的值：（1）log 64x =－32；（2）log x 8=6；（3）lg100=x ；（4）－lne 2=x . （师生共同讨论，师板书）解：（1）因为log 64x =－32，所以x =6432-=（43）32-=4－2=161； （2）因为log x 8=6，所以x 6=8，x =861=（23）61=221=2； （3）因为lg100=x ，所以10x =100，10x =102，于是x =2；（4）因为－lne 2=x ，所以lne 2=－x ，e 2=e －x ，于是x =－2.方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.（六）目标检测课本P 74练习第1，2，3，4题.（生完成，师组织学生进行课堂评价） 解答：1.（1）log 28=3；（2）log 232=5；（3）log 221=－1；（4）log 2731=－31. 2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=41；（4）3－4=811. 3.（1）设x =log 525，则5x =25=52，所以x =2；（2）设x =log 2161，则2x =161=2－4，所以x =－4； （3）设x =lg1000，则10x =1000=103，所以x =3； （4）设x =lg0.001，则10x =0.001=10－3，所以x =－3.4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？ （生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.四、布置作业板书设计2.2.1 对数与对数运算（1）1.对数的定义2.对数式和指数式的关系3.自然对数和常用对数的概念一、例题解析及学生练习例1例2二、课堂小结与布置作业。

3.2.1对数及其运算（第一课时）一、教学目标：二、教学重点：1重点是对数定义的理解2在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。

鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。

引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性三、教学方法：1充分利用信息技术和网络资源来学习知识2学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的3 教学方法与学习指导策略建议对学生的学法指导：联想类比。

数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。

鼓励学生自主学习和协作学习。

学生是在特定的学习环境进行学习。

“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。

鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息。

对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备。

四、教学过程：引入新课[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（Joh n Na ei p r，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jo b st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价3.2.1对数及其运算（二）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则（2）掌握对数的加、减、乘、除运算法则（3）知道对数运算性质的实质：把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2、过程与方法（1）通过学习对数运算性质和法则，再次强调真数大于零（2）学会借助实例分析、探究数学问题3、情感、态度与价值观通过对数运算性质的研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。

备课
学习
xy = z
; （2） log a ( x3 y5 ) = （4） log a
;
（3） log a 例 2.计算：
x = yz
x2 y
3
z
=
（1） lg 5 100 = （1） lg 4 lg 25 = ;
;
（2） log2 (47 25 ) = （2） (lg 2) lg 20 lg5 =
① (loga x)n n loga x ② (loga x)n loga xn ③ log a x log a 其中成立有____ ______________。 2.求值： log4 3 log9 25 log5 8 =
一、学习目标： §3.2.1 对数及其运算（课堂探究案） 1. 理解和掌握对数的运算性质，知道换底公式能将一般对数式转化成自然对数 或常用对数； 2. 准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. 二、重点：对数的运算性质与换底公式的应用. 难点：换底公式及对数式变形 典例分析： 一、积商幂的对数运算 例 1.用 loga x ， log a y ， loga z 表示下列各式： （1） log
2019-2020 学年高中数学 3.2 对数及其运算 （二） 教案 新人教 B 版必 修1
重点处理的问题（预习存在的问题） ：
一、新知导学 问题 1.积、商、幂、方根的对数： （1）log a （MN）＝_________________；推广： （2） log a ；
n
M ＝_________； （3） log a M ＝_______； （4） log a N
2
备课札记
=
；
（2） e

课题 §3.2.1 对数及其运算（一） （一）学习目标知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。

过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。

情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。

（二）重点难点 重点：对数的定义难点：对数的概念、对数的符号表示（三）教学内容安排1．复习引入细胞分裂x 次后，细胞个数为2x y =；给定分裂次数x ，可求出细胞分裂后的个数y ，实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y ，计算分裂的次数x ，又如指数式9x y =中，已知底数9和幂y 的值，求指数x ，怎样求呢？2．新授内容在指数函数x y a =()0,1a a >≠中，对实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一的值y 和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一的值x 和它对应；我们把幂指数x 叫做以a 为底 y 的对数。

定义：一般地，对于指数式 N a b = ()0,1a a >≠，我们把数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 log a b N =，读作“数 b 等于以a 为底 N 的对数”，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

学生举例例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ⑷底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围范围),0(+∞。