第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。
一般地说，这两种概率未必相同。
为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。
条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。
其他样本点可类似说明。
在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。
（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 显然3()4P A =；（1） 若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ； （3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。
为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。
例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。
在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。
试求（1） 取得的是一级品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。
解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。
（1） 由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2） 因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。
由于50件产品中有40件合格品，故545040)(==B P ; 因AB 表示“取得的产品是合格品并且是一级品”。
而50件产品中只有30件既是合格品又是一级品，故535030)(==AB P , 通过简单的运算可得)()(545343)|(B P AB P B A P === , 由上式的启发，我们定义条件概率如下：定义7 设B A ,为试验E 的两个事件，且0)(>B P ,则称)()()|(B P AB P B A P = , (1.6)为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。
条件概率也具有一般概率的性质。
当0)(>B P 时有：(1) 对任意事件A , 1)()()|(0≤=≤B P AB P B A P ；1)()()|(==B P SB P B S P ； (2) 若⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21i A A A 互不相容，则 )|()|(11B A P B A P ni i n i i ∑∑===; )|()|(11B A P B A P i i i i ∑∑∞=∞==， (3) 对任意事件A , )|(1)|(B A P B A P -=, 事实上)()()()()|(B P AB B P B P B A P B A P -== )()(1)()()(B P AB P B P AB P B P -=-=)|(1B A P -= ,等等，这里不一一列举。
记)|()(B A P A P B =，（F A ∈）， 则B P 也是定义在),(F S 上的一个概率测度函数（与B 有关）。
(,,)B S F P 也是一个概率空间。
例2 10件产品中有6件正品，4件次品。
从中任取4件，求至少取到1件次品时，取到的次品不多于2件的概率。
解：设 =A “取到的次品不多于2件”, =B “至少取到1件次品”, =i B “恰好取到i 件次品”，2,1,0=i ; 则所求概率为)()()|(B P AB P B A P =,而14131)(1)()(4104600=-=-==C C B P B P B P , 410464)(C C C B P i i i -= ,事件AB 表示所取4件产品中恰好有1件次品或恰好有2件次品，即有21B B AB +=,且∅=21B B ,故由概率的有限可加性及概率的古典定义得)()()(21B P B P AB P +=211721921841026244103614=+=+=C C C C C C , 于是，所求概率 )()()|(B P AB P B A P =393414132117== .二、 乘法公式由条件概率的定义得若0)(>B P ,由)()()|(B P AB P B A P =,得)|()()(B A P B P AB P =,(0)(>B P ) (1.7)若0)(>A P ,由)()()|(A P AB P A B P =,得)|()()(A B P A P AB P =,(0)(>A P ) (1.8) 上述式(1.7)和式(1.8)均称为乘法公式。
它在概率的计算中有重要作用。
乘法公式可推广到任意有限多个事件的情形,即当0)(121>⋅⋅⋅-n A A A P 时,有)|()|()()(21312121A A A P A A P A P A A A P n ⋅⋅=⋅⋅⋅)|(121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n A A A A P , (1.9) 事实上)|()|()(213121A A A P A A P A P ⋅⋅)|(121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n A A A A P)()()()()()()(12121213211211-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P A P)(21n A A A P ⋅⋅⋅=，（证毕）还成立如下形式的乘法公式：)|()|()()(213121321A A A P A A P A P A A A P ⋅⋅=， )|()|()|(12121B A A P B A P B A A P ⋅=， )|()|()|()|(213121321B A A A P B A A P B A P B A A A P ⋅⋅=。
例3 袋中有5个白球和4个红球。
从中作不放回抽取两次，每次任取一个球。
试求：（1） 取到两个白球的概率；（2） 取到两种颜色球的概率。
解：令=A “取到两个白球”,=B “取到两种颜色球”, =i A “第i 次取到白球”，（1） 因为21A A A =，故由乘法公式得)|()()()(12121A A P A P A A P A P ⋅== 1858495=⨯= ,(或直接求1858945)(=⨯⨯=A P )（2） 由于2121A A A A B +=， 且21A A 与21A A 互不相容， 故由概率性质及乘法公式得)()()(2121A A P A A P B P += )|()()|()(121121A A P A P A A P A P += 9585948495=⨯+⨯= .(或直接做95)(291415==C C C B P , 或95895445)(=⨯⨯+⨯=B P )例4 已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P , 35.0)|(=B A P ,求)(A B P -和)|(B A P 解：由35.0)|(=B A P ,得65.0)|(1)|(=-=B A P B A P ,52.065.08.0)|()()(=⨯==B A P B P AB P , )(1)()()(B A P A B P A B P A B P +-=+==-)]()()([1AB P B P A P -+-=)]|(1)[()(1B A P B P A P ---= )|()()(1B A P B P A P --=12.028.04.035.08.06.01=-=⨯--=, (或)()()()(B A A P B A P A B P A B P -=-==- )()(B A P A P -= )|()()(1B A P B P A P --= 12.028.04.035.08.06.01=-=⨯--=) )()()()()|(B P AB A P B P B A P B A P -==4.02.052.06.0)(1)()(=-=--=B P AB P A P . 例 设a A P =)(,)0(,)(>=b b B P , 试证 bb a B A P 1)|(-+≥. 证明 由)()()()()(1AB P b a AB P B P A P B A P -+=-+=+≥, 得 1)(-+≥b a AB P ,于是bb a B P AB P B A P 1)()()|(-+≥= .第四节 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个基本公式，在概率计算和理论推导中起着重要作用。
一、 全概率公式定理一 设事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅满足：（1）S B n i i =∑=1；（2）n B B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容；（3）n i B P i ,,2,1,0)(⋅⋅⋅=>，则对任意事件A ，恒有)|()()(1i ni i B A P B P A P ∑==, (1.10) 式（1.10）称为全概率公式。
证：∑∑=====ni i n i i AB B A AS A 11)(, 由nB B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容知n AB AB AB ,,,21⋅⋅⋅亦互不相容，故由概率的有限可加性及乘法公式得 )|()()()(11i n i i n i i B A P B P AB P A P ∑∑==== . 从形式上看，全概率公式似乎把问题复杂化了，其实不然。
在实际中，当事件A 比较复杂不容易计算其概率)(A P 时，如果)(i B P 和)|(i B A P 都比较容易计算，那么，应用全概率公式就容易把)(A P 计算出来。
运用全概率公式的关键往往在于找到满足定理中条件的事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅。
一般地说，事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅是可能导致事件A 发生的全部“原因”。
注:（1）定理一中的条件SB n i i =∑=1可减弱为A B ni i ⊇∑=1; （2）事件组可以是可列无穷多个事件:⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B .定理一＇设事件组⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B 满足：（1）1i i B S ∞==∑； （2）⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B 互不相容；（3）()0,1,2,,,i P B i n >=⋅⋅⋅， 则对任意事件A ，恒有1()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑, (1.10) ＇ 式（1.10）＇称为全概率公式。
