单自由度机械振动系统习题课

第一章 概论1-1概念1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？2. 机械振动研究哪三类基本问题？3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？6. 什么叫离散元件或集中参数元件？7. 什么叫连续体或分布参数元件？8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？9.建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模型。

一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。

10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？ 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？1-2简谐运动及其运算1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2πω+=t x （2）)410cos(4ππ+=t x （3）)452cos(3︒+=t x π答案：（1）111,,2222S B B X j X j X j +-==-=+ （2）,,S B B X X X +-== （3）,,224444S B B X j X j X j +-=+=+=-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核（1）)3sin(21πω+=t x )32s i n (32πω+=t x （2）t x π10sin 51=)410cos(42ππ+=t x（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π)452cos(33︒+=t x π)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π答案：（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π3试计算题1中)(t x 的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++ 。

习题课-单自由度系统1.图示系统质量块质量为m=10kg，弹簧刚度为k=30kN/m并且弹簧质量可以忽略，质量块被向左方向推离位置1mm后放手，求此系统的固有频率、周期和响应，以及弹簧所受的力。

2.如果前题的系统必须考虑该弹簧的质量，弹簧单位长度的质量等于 =0.1kg，弹簧的长度为L=10mm。

求系统的固有频率并与上题比较，误差有多大？提示：质量块的位移用)(t x 来表示。

假设在振动过程中弹簧位移是线性的。

显然左端不动、右端与质量块一致，则可设在距离弹簧左端ξ处取一质量为ξρd 的微单元，则该单元位移为Lt x ξ)(，则系统的动能为：)(321L 3)(21)(21)(21)(21T 2232222200t xL m t x t x m d t xL t x m L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρξρξρξ系统的势能为:)t)(212t kx V =系统机械能:)(21)(32122t kx t x L m V T E ++=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ρ 由根据机械能守恒原理0=dtdE得到系统振动微分方程为：0)()(3=++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t kx t xL m ρ代入数据可得：t）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力激励如3.设无阻尼质量-弹簧系统在（0，1图所示。

F01（1）求系统响应；解：（1） 由图可知11(0)()()F t t F t t t ≤≤⎧=⎨≥⎩当10t t ≤≤时，由杜哈梅积分得0()()()tx t F h t d τττ=-⎰则001()sin ()tn nx t F t d m ωττω=-⎰解得()(1cos )n F x t t kω=- 当1t t ≥时，由杜哈梅积分分段积分得到11()()()()()t tt x t F h t d F h t d ττττττ=-+-⎰⎰ 110011()sin ()0sin ()t t n n t n nx t F t d t d m m ωττωττωω=-+⨯-⎰⎰10001()cos ()|[cos ()cos ]t n n n F x t t kF t t t kωτωω=-=--由此可以写出系统响应1011(1cos )0()[cos ()cos ]n n nF t t t kx t F t t t t t kωωω⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2） 求系统在该激励下的响应谱； 当脉冲力作用时间1t 超过系统的半周期即12Tt >时，位移响应()x t 的驻值发生在()0m x t =，即2m T t =时刻亦即12m t T =，位移的最大值为02()2F T x k =。

1 / 21第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：2n=g/δ运动微分方程（式2.5）：x +2nx=0初始条件：x (0)=3δ,x(0)=0 由式2.8有：A=2020)(ωnxx +=3δ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x =3δcos(δg t)2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：ω2n =g/δ=9.8/0.2=49运动微分方程（式2.5）：x +ω2n x=0 初始条件：x (0)=-0.2,x(0)=0 由式2.8有：振幅：A=2020)(ωnxx +=0.2ϕ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2/ωn弹簧刚度：k=mg/δ=19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力：F Smax =-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。

图 T —2.3解：ω2n =k/(m 1+m 2)运动微分方程（式2.5）：x+2nx=0初始条件：x (0)=- m 2g/km 2gh=21(m 1+m 2)x2(0)⇒ x (0) (以下略)2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆3 / 21心受到一弹簧k 约束，如图T —2.4所示，求系统的固有频率。

图 T —2.4解：系统的势能：U=21kr 2θ2系统的动能：E t =21I •θ2+21mr2•θ2由d(U+E t )=0得：（I+ mr 2）••θ+kr 2θ=0ω2n =22m r I kr +2.5 均质杆长L 、重G ，用两根长h 的铅垂线挂成水平位置，如图T —2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO 微幅振动的周期。

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

机械振动分析与应用习题第一部分问答题1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。

3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。

4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。

6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。

第二部分计算题1．求图2-1所示两系统的等效刚度。

图2-1 图2-2 图2-32．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。

3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。

图2-4 图2-5 图2-6 图2-74．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。

现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。

(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。

)5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。

6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。

7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。

8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。

图2-8 图2-99．长度为L 、重量为W 的均匀杆对称地支承在两根细绳上，如图2-8所示。

试建立杆相对于铅垂轴线o-o 的微角度振动方程并确定它的周期。

10．求图2-9所示系统的等效刚度和固有频率。

11．用能量法求图2-10所示均质圆柱体振荡的固有频率。

单自由度系统机械振动习题课1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ，弹簧刚度为K 。

2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2）3．如图所示为一台机器，其总质量为M ，安装在一个弹簧和一个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻尼系数为c 。

机器工作时旋转中心为O ，角速度为ω，不平衡质量大小为m ，偏心距离为e 。

机器只能在垂直方向运动。

求机器振动时传给地面的力的最大值。

4．图示系统中，质量m 上受激励力为F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时，求质量m 的稳态响应WK5.图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固有频率，圆盘转动惯量为J，质量块的质量为m，弹簧刚度为K6.一重块与两弹簧相连，W=490N，k=9800N/m，图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位移表达式？7. 如图所示为一台机器，其总质量为m，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹簧常数为k，阻尼系数为c。

基础的运动为y(t)=Ysinωt，机器只能在垂直方向运动。

求基础振动时传给机器的力的最大值。

8．图示系统中，质量m上受激励力为F（t）=sinωt+10sin10ωt时，求质量m的稳态响应。

WKK9.一般振动问题，如图所示：三类振动问题分别是：（1）振动分析，已知，求；（2）振动环境预测或载荷分析，已知，求；（3）系统识别，已知，求。

10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有，和。

11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅为，振动频率为为，振动的初相位为12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有振型，其中的第i阶主振型有个节点。

振动力学模型简化1、翻斗车、简化模型及其坐标系选择如图所示。

1）如果仅分析主要振动，即只考虑绕 y 轴转角振动和沿 z 轴垂直振动，请图示其相应的力学模型。

2）如果只考虑最主要的一维振动，应该选择哪种坐标进行分析？图示其相应的力学模型。

等效质量、等效刚度——2、[图a]为并联弹簧—杠杆系统，AB为刚性杆，在C点又连接一弹簧—质量系统，若 ,则A 、B 杆保持水平上下移动，此时，三个弹簧的组合关系可简化为：3、将飞轮、电机变速传动系统（如图a所示）简化为如图b所示的等效系统，在此简化、分析过程中，包括了哪些等量关系？21a bk k[试从能量、受力、运动等方面进行总结] 。

简谐振动表述(余弦函数)用余弦函数表示的简谐振动， 参数所表达的物理意义和用正弦函数表示的简谐振动有无区别？公式（1-10）中，代表的是 在 图(a)中哪个轴上的投影？扭转振动分析——1、已知：系统由固定端垂直轴与水平圆盘连接而成，轴的长度为 L 、 直径为 d 、 剪切模量为 G ，圆盘转动惯量为 I (略去轴的质量，不记阻尼) 。

该结构（固定端直轴）的扭转刚度为： 求 ：系统固有频率f ；自由扭转振动微分方程；()cos (110)x A t ωϕ=+-0A ωϕ、、A x lG d k 324πθ=飞轮电机单质体受迫振动受力分析与方程列写凸轮以等角速度 转动，顶杆的运动规律为（图2-36b ）。

设某瞬时 均不为零，单独考虑两个弹簧对质体所传递的弹性力，1、画出质体受力图；2、列写质体运动方程，并推导至下列标准方程形式：固有频率求解——2、静变形法求解固有频率适用于（ ）情形；能量法求解固有频率适用于（ ）情形； 瑞利法求解固有频率适用于（ ）情形。

3、瑞利法求解固有频率时，为什么要作弹性元件的变形曲线假设？122()()()m x r x k k x Q t k y t +++==()y t ω()()x t y t 、曲线性质分析___幅频曲线性质、瞬态振动曲线、拍振曲线的演变1、图2-19是简谐激励无阻尼受迫振动稳态响应的幅频曲线，纵坐标为，在、及处曲线取值的物理含义2、图2-22（a）、（b）分别为、时稳态受迫振动和伴生振动叠加的瞬态振动曲线，试给出相应的稳态振动曲线。