1.2.3公式法3

一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是许多同学在学习中感到困惑的部分。

解一元二次方程需要一定的方法和技巧，下面我将从深度和广度两个方面来探讨一元二次方程的解题方法。

一、基础知识概述1.1 什么是一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，x是未知数，且a≠0。

在解一元二次方程时，我们要找到使得方程成立的x的值。

1.2 一元二次方程的解法解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法来进行，下面我将逐一介绍这些方法。

二、解题方法详解2.1 因式分解法当一元二次方程可以通过因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过因式分解法来解题。

对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将x^2+5x+6因式分解为(x+2)(x+3)=0，再分别令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3。

2.2 配方法对于无法直接因式分解的一元二次方程，我们可以通过配方法来解题。

对于方程x^2+6x+8=0，我们可以通过配方法将x^2+6x+8改写为(x+4)(x+2)=0，再解得x=-4和x=-2。

2.3 公式法当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来解时，我们可以使用求根公式来解题。

一元二次方程的求根公式为x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。

根据这个公式，我们可以直接求出方程的根。

三、个人观点和理解解一元二次方程的方法多种多样，每种方法都有其适用的情况。

在实际解题中，我们可以根据方程的形式和特点来选择合适的解题方法。

在解题过程中，要注意化简和检验解的步骤，以确保解的准确性。

总结回顾通过本文的介绍，我们了解了一元二次方程的解题方法，包括因式分解法、配方法和公式法。

每种方法都有其适用的情况，在实际解题中，我们应该灵活运用这些方法。

解题过程中要注意细节和检验解的步骤，以确保解的准确性。

在学习一元二次方程的过程中，我们还应该理解方程根的几何意义和二次函数的图像特点，这些都将有助于我们更深入地理解和运用一元二次方程。

数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。

例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。

1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。

- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。

- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。

- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。

1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。

- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。

- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。

如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。

1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。

- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。

- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。

- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。

二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。

例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。

构造数列的方法总结数列是数学中一种重要的概念，它是按照一定的规律排列的一组数。

构造数列是数学学习中的重要内容之一，通过学习数列的构造方法，不仅能够培养思维能力，而且能够提高解决问题的能力。

本文将总结几种常见的构造数列的方法。

一、等差数列等差数列是一种最基本的数列形式，它的特点是数列中的每两个相邻的数之间的差值都是相等的。

例如1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，相邻两个数的差值都是2。

构造等差数列的方法有两种：1.1. 公差法公差法是通过确定数列的首项和公差来构造等差数列。

公差指的是相邻两个数之间的差值。

例如，已知数列的首项a1=3，公差d=2，可以得到数列3, 5, 7, 9, 11。

1.2. 通项公式法通项公式法是通过数列的首项和公差，得到数列的通项公式，从而可以方便地找到数列中任意一项的值。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项。

例如，已知数列的首项a1=1，公差d=3，可以得到数列1, 4, 7, 10。

二、等比数列等比数列是一种数列，其中每个数都是前一个数与一个固定常数的乘积。

例如2, 4, 8, 16就是一个等比数列，相邻两个数的比值都是2。

构造等比数列的方法有两种：2.1. 公比法公比法是通过确定数列的首项和公比来构造等比数列。

公比指的是相邻两个数之间的比值。

例如，已知数列的首项a1=2，公比r=2，可以得到数列2, 4, 8, 16。

2.2. 通项公式法通项公式法是通过数列的首项和公比，得到数列的通项公式，从而可以方便地找到数列中任意一项的值。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项。

例如，已知数列的首项a1=2，公比r=2，可以得到数列2, 4, 8, 16。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。

例如1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列。

构造斐波那契数列的方法如下：3.1. 递归法递归法是一种通过定义函数自身来构造数列的方法。

华东师大版九年级数学上册《公式法》教案及教学反思一、教学目标1.掌握含参数的一元一次方程的解法，学会用“公式法”解决方程。

2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。

3.培养学生的创新思维和运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点1.理解含参数的一元一次方程的解法，掌握用“公式法”解决方程。

2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。

三、教学难点1.理解含参数的一元一次方程的解法，特别是在运用“公式法”时的实际操作。

2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够在实际问题中灵活运用公式法解决问题。

四、教学内容与教学方法1. 教学内容1.1 一元一次方程的解法1.消元法2.等式移项法3.公式法1.2 魔方的解法及公式法1.魔方的基本解法2.公式法在魔方中的应用3.魔方相关实际问题的解决2. 教学方法1.讲授法：通过讲解笔记、课本知识点和必要的概念性内容，让学生对一元一次方程的解法和魔方问题有更全面的认识。

2.互动式教学法：通过小组讨论、课堂互动等方式，增强学生的参与感和探究式学习的能力。

五、教学流程1. 一元一次方程的解法1.1 自如教学主题：一元一次方程的解法步骤教师活动学生活动时间Step 1介绍公式法的概念听讲并记录课堂笔记5分钟Step 2通过例题讲解公式法的基本思路认真听讲并理解公式法的基本思路15分钟Step 3给出一些公式法解题的实例，进行求解学生跟随教师的指导，互相讨论，合作解题30分钟Step 4给一些综合的应用题，开展小组活动学生分组合作，进行讨论；教师引导学生探究复杂问题的思路和方法25分钟Step 5总结笔记学生回顾笔记，通过讲解的方式总结本节课学习的重点和难点15分钟2. 魔方的解法及公式法2.1 自由探究主题：魔方的解法及公式法步骤教师活动学生活动时间Step 1了解魔方基本的解法，自由探究学生自由探究，教师在旁边引导和点拨30分钟Step 2所有学生组成4~5人的小组，在小组内进行自由讨论并交流解法小组内自由讨论和交流解法20分钟Step 3教师再进行总结并整理魔方的基本解法和公式法学生记录重要的内容20分钟Step 4带领学生探讨魔方的应用学生在教师的引导下，讨论探究魔方在实际问题中的应用30分钟Step 5总结根据探讨的结果进行总结和归纳10分钟六、教学反思1. 教学方法在教学过程中，听取学生的意见和建议，采用互动式教学法，让学生在其中更好的掌握知识并形成持续性思考。

华师大一附中初高中数学衔接教材目 录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

2013-2014学年九年级数学上册1.2.3公式法导学案第一篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案1·2·3公式法(2)学习目标：1、熟练运用求根公式解一元二次方程。

2、运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

学习过程：一、快乐自学：1、自学教材P17-P18，关注b²－4ac的大小与方程根的情况的关系。

2、自学检测：(1)解方程：①x²-4x+3=0② x²-4x+4=0③x²-4x+5=0(2)上面三个方程：方程①的解的情况为，方程②的解的情况为，方程③的解的情况是。

（3）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的跟的情况为：①当﹥0时，②当﹤0时，③当=0时，（4）不解方程,判断下列方程根的情况：①2x²-3x-5=0② 9x²=30x-25③ x²+6x+10=0解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。

解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。

解a=b=c=∵b²-4ac=∴方程。

三、合作探究：当k为何值时方程x²-kx+4=0有两个相等实数根，并求此时方程的根。

四、课堂小结五、当堂检测：1、不解方程判断下列方程根的情况①x²+9x=0②4y+2y²+3=02、判断关于x的方程mx²+(2m+1)x+（m+1）=0的根的情况。

第二篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案1·2·3公式法（1）学习目标：运用求根公式解一元二次方程。

学习过程：一、课前热身：方程x²－2x=1化为一般形式为，a=，b=，c=。

b²－4ac=。

二、快乐自学：1、自学P15-P17的内容。

重点掌握求根公式的推导过程。

2、把一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的二次项系数化为1得，把方程左边配方得即为。

数项级数的求和方法数项级数是指由一系列数字组成的无限数列相加的结果。

求和数项级数的方法有很多，包括公式法、变换法、分解法等等。

接下来，我将详细介绍一些常用的数项级数求和方法。

一、公式法公式法是指通过已知的公式来计算数项级数的和。

下面列举几种常见的公式法求和方法：1.1等差数列的和：等差数列的和公式为Sn=n(a+L)/2，其中n是项数，a是首项，L是末项。

1.2等比数列的和：等比数列的和公式为Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a是首项，q是公比，n是项数。

1.3平方数的和：平方数的和公式为Sn=n(n+1)(2n+1)/61.4立方数的和：立方数的和公式为Sn=[n(n+1)/2]^21.5斐波那契数列的和：斐波那契数列的和公式为Sn=Fn+2-1，其中Fn表示斐波那契数列的第n项。

二、变换法变换法是指通过对数项级数进行变换，从而将其转化为已知的级数，然后再求和。

常用的变换法包括部分和公式、差分法、反演法等。

2.1 部分和公式：对于一些特殊的数项级数，可以找到其部分和的公式，从而通过计算部分和来求和。

例如，对于等差数列an = a+(n-1)d，其部分和Sn = (2a+(n-1)d)n/22.2差分法：差分法是指通过计算数项级数的差分序列来找到规律，从而得到求和公式。

例如，对于一般的等差数列和，可以通过计算相邻项的差值得到一定的规律，进而得到求和公式。

2.3反演法：反演法是指通过将数项级数转化为另一种形式，然后求和。

例如，对于倒数级数1+1/2+1/3+...，可以通过将其乘以2再减去1的方式，得到一个新的序列1+1/2+1/4+...，从而得到求和公式。

三、分解法分解法是指将数项级数分解为若干个子级数，通过计算子级数的和再相加来求得原级数的和。

常用的分解法包括部分和分解、特殊级数分解、倒数级数分解等。

3.1部分和分解：对于有穷项的级数，可以将其进行部分和的分解，然后再相加得到原级数的和。

求实数根的方法一、什么是实数根。

1.1 实数根的概念。

实数根呢，就是方程的解是实数。

在数学这个大花园里，方程就像一朵朵花，而实数根就是这些花朵结出的果实。

比如说一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），当我们找到满足这个方程的实数x的值，这个x就是方程的实数根。

这就好比我们在寻找一把特殊的钥匙，来打开方程这个锁。

1.2 实数根的意义。

实数根在实际生活中可有着大用处。

它就像隐藏在现象背后的密码，帮助我们解决各种各样的实际问题。

像计算物体的运动轨迹、工程建设中的数据计算等，都离不开求出方程的实数根。

要是没有实数根这个概念，很多实际问题就像是一团乱麻，理也理不清。

2.1 直接求解法。

对于一些简单的方程，我们可以直接求解。

就像我们走路遇到直道，直接走过去就行。

例如方程x + 3 = 5，我们一眼就能看出来x = 2，这就是方程的实数根。

这就如同瓮中捉鳖，简单直接。

还有像x² = 9这种方程，我们能马上得出x = 3或者x = 3，这也是直接求解法的魅力所在。

2.2 因式分解法。

因式分解法就像是把一个复杂的东西拆分成几个简单的部分。

对于方程x² 5x + 6 = 0，我们可以把它因式分解为(x 2)(x 3)=0。

这时候呢，我们就可以利用“零乘任何数都为零”这个性质，得出x 2 = 0或者x 3 = 0，从而求出x = 2或者x = 3这两个实数根。

这就好比把一个大难题分解成几个小问题，各个击破。

2.3 公式法。

公式法可是个“万能钥匙”。

对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），我们有求根公式x = [-b ±√(b² 4ac)] / (2a)。

不管这个方程看起来多么复杂，只要它是一元二次方程，我们就可以把系数a、b、c代入这个公式求出实数根。

不过这个方法有时候就像走盘山公路，虽然能到达目的地，但是过程可能会有点曲折，因为计算√(b² 4ac)可能会有点复杂。

公式法教学目标1．使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。

2．引导学生熟记求根公式a ac b b x 242-±-=并理解公式中的条件042≥-ac b3．使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。

教学重点：1．掌握一元二次方程的求根公式。

2．熟练地运用求根公式解一元二次方程。

教学难点：求根公式的推导教学过程（一）复习引入我们学过了一元二次方程的两种解法，它们是1．直接开平方法：a x =2 )0(≥a 2．配方法：（提问步骤）（二）探索新知1.学生尝试用配方法推导一元二次方程的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式。

3．例题学习例1、解方程 0232=+-x x（学生自主解答，教师点拨）小结：方程满足一般式，确定a 、b 、c 后代入求根公式，即可求出方程的根。

例2、 解方程 4722=+x x（小组交流合作完成）小结：方程不是一般式，先化为一般形式后再求方程的根。

例3、解方程 03422=-+-x x（自主完成，小组交流）小结：方程的二次项系数为负数，通常先把它化为正数，再求根较好，而且ac b 42-＜0可以用算术平方根的意义得到方程没有实数根。

4．反馈练习（1）03522=-+x x （2）12252=+y y（3）522=+t t （4）16)8(=-P P（学生先练习，老师后点评）（三）课堂总结：（1）要牢记一元二次方程的求根公式)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x（2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：①化方程为一般形式②确定方程中的a 、b 、c 的值③算出ac b 42-的值④代入求根公式求方程的根（3）求根公式是在042≥-ac b 时求方程的根，如果ac b 42-＜0时，则方程在实数范围内无解。

（四）拓展练习（1）用公式法解方程31242-=-x x 得到方程的根是 。

数字的平方和立方学习如何计算数字的平方和立方数字的平方和立方是数学中常用的计算方式，通过求平方或者立方可以得到数字的相应结果。

在日常生活和学习中，我们经常用到这两种计算方法。

本文将介绍如何计算数字的平方和立方，以及应用场景和计算的技巧。

一、平方的计算方法平方是将一个数与自身相乘得到的结果。

比如，2的平方是2乘以2，也就是4。

计算平方有以下两种方法：1.1 乘法运算法乘法运算法是最基本的计算平方的方法，即将一个数与自身相乘。

当计算一个较小的数的平方时，可以直接进行乘法运算。

例如，计算3的平方，可写成3乘以3，结果是9。

1.2 平方公式法对于较大的数字或小数，乘法运算法显得不够简便。

此时，可以使用平方公式法来计算平方。

平方公式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

例如，计算7的平方，可以将7表示为(5+2)，然后套用平方公式求解，即(5+2)^2 = 5^2 + 2*5*2 + 2^2 = 25 + 20 + 4 = 49。

二、立方的计算方法立方是将一个数与自身相乘两次得到的结果。

比如，2的立方是2乘以2乘以2，也就是8。

计算立方有以下两种方法：2.1 乘法运算法乘法运算法是最基本的计算立方的方法，即将一个数与自身相乘两次。

例如，计算3的立方，可写成3乘以3乘以3，结果是27。

2.2 立方公式法对于较大的数字或小数，乘法运算法不够简便。

此时，可以使用立方公式法来计算立方。

立方公式为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 +b^3。

例如，计算4的立方，可以将4表示为(3+1)，然后套用立方公式求解，即(3+1)^3 = 3^3 + 3*3^2*1 + 3*3*1^2 + 1^3 = 27 + 27 + 9 + 1 = 64。

三、应用场景和计算技巧平方和立方的计算方法在实际生活和学习中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景和计算技巧：3.1 平方的应用场景和技巧平方常用于计算面积、长度、体积等方面。

1.2.3 公式法(1)教学目标1、理解求根公式法与配方法的联系.2、会用求根公式法解一元二次方程.3、注意培养学生良好的运算习惯.重点难点重点：会运用求根公式法解一元二次方程.难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式.教学过程（一）创设情境由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．（二）探究新知按课本P．16的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：x=2b b4ac±-－(b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.（三）讲解例题1、展示课本P．16~P．17例10(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.2、引导学生完成P．17例10(3)的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.（四）应用新知课本P．18练习，第(1)~(4)题.（五）课堂小结1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程. 布置作业教学后记：1.2.3 公式法(2)教学目标1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。

2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。