逻辑函数的公式法化简
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03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
注意：卡诺图水平方向同一行首尾，同一列 首尾也为逻辑相邻相。
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
4.逻辑函数的公式化简
数
字
电
子
技
术
1、代入规则 在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中， 在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中，如果将所有 出现A的地方代之一个逻辑函数，则等式仍然成立。 出现A的地方代之一个逻辑函数，则等式仍然成立。 1： B（A+C） 现将A用函数 用函数（ 代替， 例1： B（A+C）= BA+BC ，现将A用函数（ A+D ）代替， 证明： 成立。 证明：等式 B [（ A+D ）+C ]= B（A+D）+BC 成立。 （ （ ） 证：等式左边 B [（ A+D ）+C ]= BA+BD+BC （ 等式右边 B（A+D）+BC = BA+BD+BC （ ）
2、化简逻辑函数的标准（得到最简与或式） 、化简逻辑函数的标准（得到最简与或式）
（1）变量数要最少； 变量数要最少； 与项（乘积项）数要最少。 （2）与项（乘积项）数要最少。
3、逻辑函数化简，通常遵循以下几条原则： 、逻辑函数化简，通常遵循以下几条原则：
(1)逻辑电路所用的门要最少； (1)逻辑电路所用的门要最少； 逻辑电路所用的门要最少 各个门的输入端要尽量少； （2）各个门的输入端要尽量少； （3）逻辑电路所用的级数要尽量少； 逻辑电路所用的级数要尽量少； （4）逻辑电路能可靠地工作。 逻辑电路能可靠地工作。
数
字
电
子
技
术
一、逻辑代数的基本公式、定律； 逻辑代数的基本公式、定律； 二、逻辑代数的三个规则; 逻辑代数的三个规则; 三、逻辑代数的公式化简法。 逻辑代数的公式化简法。
数
字
电
子
第1章(2课) 逻辑函数常用公式和化简
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC) AB AC BC
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,11 ,14,15)
AB CD 00 00 01 11 10 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1
m1 m3
m4
m11
m7
m15
0
m6
m14
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC) AB AC BC
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,11 ,14,15)
AB CD 00 00 01 11 10 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1
m1 m3
m4
m11
m7
m15
0
m6
m14
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
第1章 逻辑函数的化简
= AB(C + C ) + AB(C + C )
= AB + AB
= A( B + B )
20102010-9-14
=A
第一章 (3)
2
2. 吸收法
利用公式
A + AB = A
A + ABC = A
，吸收掉多余的项，例如： 吸收掉多余的项，例如：
AB + ABC (D + E ) = AB
3. 消去法
1.4 逻辑函数的化简
◆ 问题的提出：同一逻辑函数的两个不同表达式 问题的提出：
F1 = A B + B + AB F2 = A + B
可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简，一般 可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简， 就是指化为最简的与或表达式。 就是指化为最简的与或表达式。 ◆ 判断与或表达式是否最简的条件是： 判断与或表达式是否最简的条件是： （1）逻辑乘积项最少； 逻辑乘积项最少； 每个乘积项中变量最少。 （2）每个乘积项中变量最少。 化简逻辑函数的方法，最常用的有： 化简逻辑函数的方法，最常用的有：
第一章 (3) 7
20102010-9-14
表1.7 三变量所有最小项的真值表
全 部 最 小 项 变 量 A B C
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
ABC 0 0 0 0 0 0 0 1
A B C A BC ABC
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
= AB + AB
= A( B + B )
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=A
第一章 (3)
2
2. 吸收法
利用公式
A + AB = A
A + ABC = A
，吸收掉多余的项，例如： 吸收掉多余的项，例如：
AB + ABC (D + E ) = AB
3. 消去法
1.4 逻辑函数的化简
◆ 问题的提出：同一逻辑函数的两个不同表达式 问题的提出：
F1 = A B + B + AB F2 = A + B
可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简，一般 可见，逻辑函数的表达式需要化简。所谓化简， 就是指化为最简的与或表达式。 就是指化为最简的与或表达式。 ◆ 判断与或表达式是否最简的条件是： 判断与或表达式是否最简的条件是： （1）逻辑乘积项最少； 逻辑乘积项最少； 每个乘积项中变量最少。 （2）每个乘积项中变量最少。 化简逻辑函数的方法，最常用的有： 化简逻辑函数的方法，最常用的有：
第一章 (3) 7
20102010-9-14
表1.7 三变量所有最小项的真值表
全 部 最 小 项 变 量 A B C
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
ABC 0 0 0 0 0 0 0 1
A B C A BC ABC
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
逻辑函数的公式化简
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函 数的最简或与表达式
Y ( A B)( A C )
4）最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Digital Logic Circuit
Y AB AC (A B)(A C )
[ A (0 B) (0 B)(1 C)(0 DF)(1 E))] [ A (1 B (1 B)(0 C)(1 DF)(0 E))]
[ A BDF][ A B CE] AB ACE ABDF BDF BCDEF AB ACE BDF
利用摩根定律将Y1式变换为Y2式：
Digital Logic Circuit
3. 逻辑函数的最简式——1）最简与-或式 乘积项个数最少。 每个乘积项变量最少。
Y ABE AB AC AC E BC BCD
AB AC BC
AB AC
最简与或表达式
2）最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变
A ·f（AX， ，Y，……，Z）= ·f（0，1，Y，……，Z）
2） A+ =1，AX+ B=A+B，A+AB=A的扩充
X当包含变量X、 的函数f和X 变量X相“或”时，函数f中的X均可用“0”代 X替，
均可用“1”代替X。当f和
代替，
X
X
均可用“0”代替。即
变量相“或”时，函数f中的X 均可用“1”
运用摩根定律
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) (B BCD) A B
是另项是 多外的另 余一因外如 的个子一果 。乘，个乘
②利用反演规则写出函 数的最简或与表达式
Y ( A B)( A C )
4）最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Digital Logic Circuit
Y AB AC (A B)(A C )
[ A (0 B) (0 B)(1 C)(0 DF)(1 E))] [ A (1 B (1 B)(0 C)(1 DF)(0 E))]
[ A BDF][ A B CE] AB ACE ABDF BDF BCDEF AB ACE BDF
利用摩根定律将Y1式变换为Y2式：
Digital Logic Circuit
3. 逻辑函数的最简式——1）最简与-或式 乘积项个数最少。 每个乘积项变量最少。
Y ABE AB AC AC E BC BCD
AB AC BC
AB AC
最简与或表达式
2）最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变
A ·f（AX， ，Y，……，Z）= ·f（0，1，Y，……，Z）
2） A+ =1，AX+ B=A+B，A+AB=A的扩充
X当包含变量X、 的函数f和X 变量X相“或”时，函数f中的X均可用“0”代 X替，
均可用“1”代替X。当f和
代替，
X
X
均可用“0”代替。即
变量相“或”时，函数f中的X 均可用“1”
运用摩根定律
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) (B BCD) A B
是另项是 多外的另 余一因外如 的个子一果 。乘，个乘
第四章：逻辑代数及其化简(4)
0 1 1 0
BC
F2
F = AB + C = AB + C = AB ⋅ C 1
F2 = BC + ABC = BC + ABC = BC ⋅ ABC 2、将 F1 和 F2 整体 化简(找公共项 找公共项） 找公共项
AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 0 0 1 ABC 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 C
尾部代替因子 一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩 展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后 的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。
Ei = abc = abac = abbc = ababc 头部因子可以随意放入尾部因子， 头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因 子中取走。 子中取走。 即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头 部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。
例： 证明： 证明： abc = abac = ab(a + c) = aba + abc = abc
abc = abbc = ab b + c = abc abc = ababc = ab a + b + c = abc
(
(
)
(a ⋅a = 0)
)
乘积项合并 如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个 乘机项可以合并为一个乘积项。 AB
例4:已知 F = ∑m(0,1,3,4,5)求F' 的最小项表达式。
F = B+ A C F' = B A + C = AB + BC
(
1 1 0 1 B = ABC + ABC + ABC A C = ∑m (0,1,5) F和F'号码数目相同，对应之和为7。 变量： F和F'之间的关系： 由此推广到 n 变量： ) F = ∑m (0,1,3,4,5) F( a, b, cL = ∑( i) 最小项编号
逻辑函数及其简化
消去法
运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。
L A AB BE A B BE ABE
L AB AC BC
AB A B C
AB ABC
AB C
AB AB C C ABC ABC
AB AC AB AC BC
将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项 进行合并化简。
AB
A
C 00 01 11 10
00 0 1 0
C1 0 1 1 1
B
从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图,方法如下：
逻辑函数包含的最小项，其对应的方格填1。 逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。
用卡诺图表示3变量逻辑函数： F ABC ABC ABC ABC
所以：F F * * AC B D B F
不受变量数目的限制。
没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 复杂的逻辑函数化简时需要技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
1. 逻辑函数化简的意义和目标； 2. 逻辑函数的化简方法； 3. 公式法化简的方法和步骤。
逻辑函数的 卡诺图法化简
从真值表到卡诺图
已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。
解 该函数有3个变量，先 画出3变量卡诺图，然 后根据真值表将8个最 小项的取值0或者1填入 卡诺图中对应的8个方 格中即可。
真值表
ABC L
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
A AC BD BEF （利用 A AB A ） A C BD BEF （利用 A AB A B ）
化简函数
F A A B A C B D A C E F B F D E F
逻辑函数的公式法化简 数电课件
，X给某个X逻辑1函数表达式增加适当的多余项，
进而消去原来函数中的某些项，从而达到化简逻辑函数的目的。
例2.3.3 化简逻辑函数
F7 AB BC AB BC
方法1
F7 AB BC AB BC
AB BC AB C C A A BC
3. F3 AB ABC AC
ABC A B C
ABC ABC
A
2. 吸收法
利用吸收律Ⅰ
A A；B或吸收A律Ⅱ
例2.3.2 化简下列逻辑函数。
1. F4 AB AD BE A B AD BE AB
，A消去A多B余的A与项B或因子。
例2.3.4 化简逻辑函数
F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE F8 AD AD AB AC BD ACE BE DE
A AB AC BD ACE BE DE A C BD BE DE A C BD BE
§2·3 逻辑函数的公式法化简
一个逻辑函数可以有不同形式的表达式。
Ⅰ. “与或”式 Ⅱ. “或与”式 Ⅲ. “与非—与非”式 Ⅳ. “与或非”式 Ⅴ. “或非—或非”式
F AgB AgC
F A Bg A C
F AgB g AgC F AgB AgC
F AB AC
其次，逻辑函数的最简“与或”式最优先。
二、逻辑函数的公式法化简
1. 合并项法
利用合并律
AB A，B将两 个A与项合并成一项，并消去多余的与项和变量。
例2.3.1 化简下列逻辑函数。
1. F1 ABC ABC AB
数电1-6_公式化简法
整体提公因子A 只有一个变量不同的 两个最大项的乘积等 于各相同变量之和
(A+C)
10
解:
1.Y AB B AB
A B AB
消因子法
A B
2.Y ABC A B C
看作整体运用还原 律和德摩根定律
ABC (( A B C))
16
卡诺图的构成原则
构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的 形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合 并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头； 在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断 三是相重——对折起来后位置相重。 某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
Y ( A, B, C) AB(C C) A(B B)C ABC
ABC ABC ABC ABC
m7 m6 m5 m1
A BC 00 0 m0 0 m4 01 1 m1 1 m5 11 0 m3 1 m7 10 0 m2 1 m6
0
1
0
1 1 1
32
Y2 ( A, B, C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11 ,15)
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
33
Y3 A B C ABCD
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
22
二、 用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方 块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。 例1： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 卡诺图
(A+C)
10
解:
1.Y AB B AB
A B AB
消因子法
A B
2.Y ABC A B C
看作整体运用还原 律和德摩根定律
ABC (( A B C))
16
卡诺图的构成原则
构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的 形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合 并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头； 在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断 三是相重——对折起来后位置相重。 某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
Y ( A, B, C) AB(C C) A(B B)C ABC
ABC ABC ABC ABC
m7 m6 m5 m1
A BC 00 0 m0 0 m4 01 1 m1 1 m5 11 0 m3 1 m7 10 0 m2 1 m6
0
1
0
1 1 1
32
Y2 ( A, B, C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11 ,15)
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
33
Y3 A B C ABCD
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
22
二、 用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方 块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。 例1： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 卡诺图
数电 第二章 逻辑代数基础(3)
3、将合并后的各个乘积项进行逻辑相加。
数字电子技术
16
•
注意：
• 每一个1必须被圈，不能遗漏。
• 某一个1可以多次被圈，但每个圈至少包含一个新的1。
• 圈越大，则消去的变量越多，合并项越简单。圈内1 的个数应是2n（n=0，1，2…）。
• 合并时应检查是否最简。 • 有时用圈0的方法更简便，但得到的化简结果是原函 数的反函数。
在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0， 所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将 约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。
数字电子技术
21
二.任意项
在输入变量的某些取值下函数值是1 还是 0皆可，并不影响电路的功能。
由于任意项的取值不影响电路的功能。所 以既可以把任意项写入函数式中，也可以不 写进去。
数字电子技术
28
例： 例1 Y
ABC D ABCD ABC D
给定约束条件为： ABCD+ABC D+ABC D+AB C D+ABCD+ABCD+ABCD=0
AB
00 00 0 01 0
CD
01 1 x 0 x
AD
AD
Y BC 00 A 0 0 1 1
数字电子技术
01 1 1 1
11 1 0
10 1 1
13
二、用卡诺图化简函数
例1： 将 Y ( A, B, C ) AC AC BC BC 化简为最简与或式。 Y BC 00 A 0 0 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 1
Y BC 00 A 0 0 1 1
ABC D ABCD ABC D
1.3逻辑函数公式化简法
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…) 变量和常量的关系(变量： ) 与 或 非 异或
A· 1 =A A· 0 = 0
A + 0 = A A⋅ A = 0 A+ 1 = 1 A+ A=1
A⊕ 0 = A A⊕ 1 = A
逻辑函数的公式法化简
三、与普通代数相似的定理 交换律 结合律 分配律
A⋅ B = B⋅ A
综上： 综上：
Y = AB+ A ----- 最简与或式 C
最简与非 = AB⋅ A ⋅ C -----最简与非 – 与非式
= (A+ B) (A+C) ----- 最简或与式
最简或非 = A+ B + A+C -----最简或非 – 或非式
= AB + A C
----- 最简与或非式
结论：只要得到函数的最简与或式， 结论：只要得到函数的最简与或式，再用摩根定理 进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。 进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。
(5) AB+ A = A B+ AB B
逻辑函数的公式法化简
证明： 公式 (4) 证明：
AB+ A + BC = AB+ A C C
B 左 = AB + AC + ( A + A) BC A+ A = A
= AB + AC + ABC + ABC = AB+ A + C
推论
AB+ A + BCD= AB+ A C C
例如， 例如，已知 A + B = A ⋅ B (用函数 A + C 代替 A) ) 则 (A + C) + B = A + C ⋅ B = A⋅C ⋅ B 2. 对偶规则： 对偶规则： 式中“ 换成 换成“ 换成“ 将Y 式中“·”换成“+”,“+”换成“·” 换成 “0”换成“1”,“1”换成“0” 换成“ 换成“ 换成 换成 注意运算顺序： 注意运算顺序：括号 乘 加
逻辑函数的公式化简法
公式法化简的一般规律（经验总结）： 1. 提公因式； 2. 使用最频繁的是反演律、互补律、吸收律和冗 余律。
脉冲与数字电路
3. 对偶法则
第一章 数字电路基础
对任意一个逻辑函数表达式，若将0→1，1→0，＋→∙，∙→ ＋，并保持原来的运算顺序，则新的逻辑式与原来的逻辑式互为 对偶式。
A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
A(A+B)=A
A+AB=A
对偶法则：如果两个函数相等，则它们的对偶式也相等。
结合律
A( BC ) ( AB )C
A ( B C ) ( A B) C
A BC ( A B)( A C )
A B AB
分配律
A( B C ) AB AC
AB A B
反演律
A( A B ) A
吸收律
A( A B) AB
F1 AB ABCDE F F2 AB C ABD AD
脉冲与数字电路
3.消元法
利用公式
第一章 数字电路基础
A AB A B ，消去多余的因子 A 。
F1 AB AC BC
F2 A AB BE
脉冲与数字电路
4. 配项法
将任一项乘以 A 与其它项合并化简。
L A C D C B BD
脉冲与数字电路
§1.4 逻辑函数的公式化简法
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
一、逻辑函数表达式的几种形式
F AB AC
A B A C
AB AC A B A C
逻辑函数的化简
1.3.4 逻辑函数的化简•对逻辑函数进行化简，可以求得最简逻辑表达式，也可以使实现逻辑函数的逻辑电路得以简化，这样既有利于节省元器件，也有利于提高可靠性。
•逻辑函数有如下三种化简方法：•公式化简法：利用逻辑代数的基本公式和规则来化简逻辑函数。
•图解化简法：又称卡诺图（Karnaugh Map）化简法。
•表格法：又称Q－M（Quine-McCluskey）化简法。
1.逻辑函数的公式化简法同一个逻辑函数，可以用不同类型的表达式表示，主要有以下五类：“与或”表达式、“或与”表达式、“与非”-“与非”表达式、“或非”-“或非”表达式、“与或非”表达式。
例如函数：=+Z AC AB“与或”表达式A B A C“或与”表达=++()()式AC AB“与非”-“与非”表达=⋅式=+++A B A C“或非”-“或非”表达式“与或非”表达式判断最简“与或”表达式的条件如下：(1)乘积项（即与项）个数最少的“与或”表达式；(2)当乘积项个数相等，则每个乘积项中因子（即变量）的个数最少的“与或”表达式。
例1-5 以下4个“与或”表达式是相等的，即它们表示同一个函数：(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 试判断哪一个是最简“与或”表达式。
(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 解：根据判断条件（1），式（1）含有4个与项，而式（2）～（4）都含有3个与项，因此，式（2）～（4）有可能最简；进一步比较与项中个数，式（3）和式（4）中，各与项都含2个变量，而式（2）中有一个与项含3个变量。
结论：式（3）和式（4）同为该函数的最简“与或”表达式。
公式法化简：借助定律和定理化简逻辑函数，常用以下几种方法。
(1)并项法利用互补率1A A +=()+=+=A BC A BC A B C C A B()()+++=⋅⊕+⋅⊕=A BC BC A BC BC A B C A B C A+=B ABD B，将两项合并为一项，合并时消去一个变量，如：(2)吸收法利用定理1（A + AB = A ），吸收掉（即除去）多余的项，如：(3)消去法利用定理2（+=+A AB A B ()++=++=+=+AB A C BC AB A B C AB ABC AB C(4)配项法根据互补律，利用()=+B A A B +A A ()()+++=+++++AB BC BC AB AB BC A A BC AB C C =+++++AB BC ABC A BC ABC ABC()()()=+++++AB ABC BC ABC A BC ABC =++AB BC A C），消去多余的因子，如：，先添上（）作配项用，以便最后消去更多的项。
2.6 逻辑函数公式法化简W(1)
AB
C
BC
Y
A
B
BC
Y AB ABBC ABC
8:49:14
【练习】写出下时序图形的函数式
A B
Y1
Y2
Y1 A B Y2 A⊙B
8:49:14
【练习】写出下时序图形的函数式并填写真值表
A B C
Y
Y1 ABC ABC ABC ABC ABC
8:49:14
基本要求：
小结 1. 了解逻辑函数三种描述方法的特点，
掌握他们之间的转换方法； 2. 掌握最小项和最大项的概念； 3. 掌握逻辑函数两种标准形式的求法。
作业： P61 习题（交）
2-10题中的（1） （3）(6)小题 1-11题中的（2） （3）(6)小题 （写出2-10及2-11函数所包含的最 大项及最小项的编号）。
8:49:14
3. 从逻辑式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号， 方法：先从最后一级运算画起。
【例】已知逻辑函数为 Y AB BC
试画出对应的逻辑图。 解：
将式中所有的与，或，非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
8:49:14
【例】已知逻辑函数为：
Y
AB
BC
B
D(
A
C
)
画逻辑图
D A
C
A
B
B
C D
8:49:14
4(AAA.从 对(AA从A应输B逻BBB的入A辑))(逻端BA图辑到A(写AA式输ABB出。出BB))逻B端辑B逐式B级 写出每个图形符号
1
C
BC
Y
A
B
BC
Y AB ABBC ABC
8:49:14
【练习】写出下时序图形的函数式
A B
Y1
Y2
Y1 A B Y2 A⊙B
8:49:14
【练习】写出下时序图形的函数式并填写真值表
A B C
Y
Y1 ABC ABC ABC ABC ABC
8:49:14
基本要求：
小结 1. 了解逻辑函数三种描述方法的特点，
掌握他们之间的转换方法； 2. 掌握最小项和最大项的概念； 3. 掌握逻辑函数两种标准形式的求法。
作业： P61 习题（交）
2-10题中的（1） （3）(6)小题 1-11题中的（2） （3）(6)小题 （写出2-10及2-11函数所包含的最 大项及最小项的编号）。
8:49:14
3. 从逻辑式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号， 方法：先从最后一级运算画起。
【例】已知逻辑函数为 Y AB BC
试画出对应的逻辑图。 解：
将式中所有的与，或，非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
8:49:14
【例】已知逻辑函数为：
Y
AB
BC
B
D(
A
C
)
画逻辑图
D A
C
A
B
B
C D
8:49:14
4(AAA.从 对(AA从A应输B逻BBB的入A辑))(逻端BA图辑到A(写AA式输ABB出。出BB))逻B端辑B逐式B级 写出每个图形符号
1
逻辑函数及其简化
A + BC= A + B） A + C） （ （ ⋅
证明： 证明：右式 = A +AC +AB +BC = A（1+C+B）+BC （ ） = A+BC = 左式
A⋅ B + A⋅ B = A
证明： 证明： 左式 = A（B+B） （ ） = A = 右式
A + A⋅ B = A + B
右式=(A+B)(A+A) 右式 = A+AB+AA+AB =A+AB = 左式
A + A⋅B = A
A（1+B） 左式 = A（1+B）=A = 右式
A⋅B+A⋅C+B⋅C= A⋅B+A⋅C
左式= 左式 AB+AC+BC(A+A) = AB+AC+ABC+ABC = AB+AC = 右式
A⋅ B+ A⋅ C = A⋅ B+ A⋅ C
左式= 左式 AB AC =(A+B)(A+C) = AB+ A C + B C(A+A) = AB+ A C =右式 右式
+B
§10-1 逻辑函数的公式化简法 一、基本逻辑关系 3 非 逻辑运算 R us A F 与 或 非
条件 结果
日常事物中往往会有这种情况， 日常事物中往往会有这种情况，条件和
结果是一种相反的关系，这种条件 和 结果 的关系就是 非 逻辑关系 合上为“ 断开为“ 开关 A 合上为“1” 断开为“0” 逻辑变量 亮为“ 不亮为 不亮为“ 灯 F 亮为“1”不亮为“0” 逻辑函数 逻辑关系表达式： 逻辑关系表达式：F=
电子技术基础-6.6 逻辑代数的公式法化简
二、逻辑函数化简的意义与标准
F1 ABC ABC ABC ABC
A B C A B C A B C A B C
&
&
≥1
F1
&
&
二、逻辑函数化简的意义与标准
F2 AB AC BC
A B A C B C
F3 AB AC
A B
&
&
≥1
&
&
≥1
F3
F2
A
C
&
二、逻辑函数化简的意义与标准
三、逻辑函数的公式法化简方法
2、吸收法 （１）利用公式A+AB=A，消去多余的项。 余这 一 的另 个 Y1 AB ABCD (E F) AB 如 。 外 乘 运用摩根定律 一积果 个项乘 Y2 A B C D ADB A BC D AD B 乘的积 ( A AD) (B BC D ) AB 积因项 项子是 是，另 多则外
F AB AC 与——或表达式 ( A C)(A B) 或——与表达式
AB AC
与非——与非表达式
A C A B 或非——或非表达式
AB AC
与——或——非表达式
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
一、逻辑函数不同表达形式之间的转换
1. 与非-与非表达式
Y AB AC
一、逻辑函数不同表达形式之间的转换
3、或与表达式
Y AB AC
Y ( A B)(A C)
将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式。
一、逻辑函数不同表达形式之间的转换 4、或非-或非表达式
逻辑函数化简
0 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
（1-7）
0 1 1
AD
11 10
0 1
2. 先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项 先找面积尽量大的组合进行化简， 的因子数。 的因子数。 3. 各最小项可以重复使用。 各最小项可以重复使用。 4. 注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。 注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。 5. 所有的1都被圈过后，化简结束。 所有的 都被圈过后，化简结束。 都被圈过后 6. 化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。 化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。
0 φ
0 1
0 1
A
认为是1 认为是 F=A
（1-12）
结束
（1-13）
C 0 1 0 1 0 0 1
F 0 0 0 0 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出
（1-11）
化简时可以将无所谓状态当作1或 ， 化简时可以将无所谓状态当作 或 0，目的 是得到最简结果。 是得到最简结果。 BC 00 A 0 1
01
11
10
0 1
（1-2）
例1： F ：
= AB + AB ⋅ BC + BC
（ = AB + AB + (BC + BC) ）
反演
= AB + A B ( C + C ) + BC ( A + A ) + B C
配项
= AB + A BC + ABC
被吸收
被吸收
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=AB + (A + B )C
=AB + ABC
=AB + C
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第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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第二章逻辑函数及其简化
3 .消去法：
运用吸收律幺+ AB = A + B消去多余因子。
例4： L = A + AB + BE
=A + B + BE =A + B + E
例 5：L = AB + AC + ~BC
A B
3.化简意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低成本,
提高工作的可靠性。
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第二章逻辑函数及其简化
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2.5.1公式法化简(代数法)
1.合并项法：
运用公式A + A = 1,AB + AB = A ，将两项合并为一项，消去一个变量。
1・化简目标：化简为最简的与■或表达式。
2.化简方法：公式法（代数法）； 图解法（卡诺图法）。
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第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
例：F = AB ( B + C ) + AC + BC = AB +C对应两种逻辑电路图，如下:
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
逻辑函数简化的目标和意义 公式法化简（代数法） 03 总 结
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第二章逻辑函数及其简化
2.5逻辑函数的简化
数字电路与逻辑设计
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如逻辑 函数式的常见形式有:
L = AC+ AB
与--或表达式
=(A + B )( A + C) 或——与表达式
=AC - AB
与非 与非表达式
=A + B + A + C
=AC + AB
或非 或非表达式
与
或
非表达式
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第二章逻辑函数及其简化
其中，与-或表达式是逻辑函数的最=基本表达形式。 逻辑 函数的最简"与一或表达式”的标准： （1） 与项最少，即表达式中号最少。 （2） 每个与项中的变量数最少，即表达式中“- ”号最少。
=A + C + BD + BEF （利用 A + AB = A + B）
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第二章逻辑函数及其简化
例8：化简逻辑函数： L = AB + BC + BC + AB 解法 1： L = AB + BC + BC + AB + AC （增加多余项 AC）
=AB + BC + AB + AC （消去一个多余项BC）
=Be+AB+AC （再消去一个多余项AB ）
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解法2： L = AB + BC + Be + AB + AC （增加多余项 AC）
=AB + BC + AB + AC （消去一个多余项BC ） =AB + BC+AC （再消去一个多余项AB）
2 .吸收法： 运用吸收律A+AB=A .1“ + AC + BC = AB + /C ,消去多余的与项。
例2： L = AB + AB(C + DE) = AB
例3: L = AC+ABCD+ABC+ CD+ABD
=AC + ~CD + ABD
=AC + CD + AD + ABD
=AC + CD + AD
由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。
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第二章逻辑函数及其简化
本节小结
1逻辑函数简化的目标和意义; 2,逻辑函数的简化方法; 3、公式法化简的方法和歩骤。
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例1: L = A(BC+BC) + A(BC+BC)
=ABC + ABC + ABC + ABC =AB(C + C) + AB(C + 43; B) = A
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第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
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=AB + ABC
=AB + C
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第二章逻辑函数及其简化
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4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
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! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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3 .消去法：
运用吸收律幺+ AB = A + B消去多余因子。
例4： L = A + AB + BE
=A + B + BE =A + B + E
例 5：L = AB + AC + ~BC
A B
3.化简意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低成本,
提高工作的可靠性。
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2.5.1公式法化简(代数法)
1.合并项法：
运用公式A + A = 1,AB + AB = A ，将两项合并为一项，消去一个变量。
1・化简目标：化简为最简的与■或表达式。
2.化简方法：公式法（代数法）； 图解法（卡诺图法）。
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第二章逻辑函数及其简化
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例：F = AB ( B + C ) + AC + BC = AB +C对应两种逻辑电路图，如下:
第二章逻辑函数及其简化
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逻辑函数简化的目标和意义 公式法化简（代数法） 03 总 结
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第二章逻辑函数及其简化
2.5逻辑函数的简化
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一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如逻辑 函数式的常见形式有:
L = AC+ AB
与--或表达式
=(A + B )( A + C) 或——与表达式
=AC - AB
与非 与非表达式
=A + B + A + C
=AC + AB
或非 或非表达式
与
或
非表达式
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第二章逻辑函数及其简化
其中，与-或表达式是逻辑函数的最=基本表达形式。 逻辑 函数的最简"与一或表达式”的标准： （1） 与项最少，即表达式中号最少。 （2） 每个与项中的变量数最少，即表达式中“- ”号最少。
=A + C + BD + BEF （利用 A + AB = A + B）
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第二章逻辑函数及其简化
例8：化简逻辑函数： L = AB + BC + BC + AB 解法 1： L = AB + BC + BC + AB + AC （增加多余项 AC）
=AB + BC + AB + AC （消去一个多余项BC）
=Be+AB+AC （再消去一个多余项AB ）
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解法2： L = AB + BC + Be + AB + AC （增加多余项 AC）
=AB + BC + AB + AC （消去一个多余项BC ） =AB + BC+AC （再消去一个多余项AB）
2 .吸收法： 运用吸收律A+AB=A .1“ + AC + BC = AB + /C ,消去多余的与项。
例2： L = AB + AB(C + DE) = AB
例3: L = AC+ABCD+ABC+ CD+ABD
=AC + ~CD + ABD
=AC + CD + AD + ABD
=AC + CD + AD
由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。
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第二章逻辑函数及其简化
本节小结
1逻辑函数简化的目标和意义; 2,逻辑函数的简化方法; 3、公式法化简的方法和歩骤。
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例1: L = A(BC+BC) + A(BC+BC)
=ABC + ABC + ABC + ABC =AB(C + C) + AB(C + 43; B) = A
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