2016版高考数学大一轮复习课时限时检测(二十三)正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(分A 、B 卷，共2页)A 卷：夯基保分一、选择题1．(2015·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34 C.36D.382．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 35．(2015·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π66．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4二、填空题7．(2014·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝ ________.8．(2015·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．9．(2015·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A的值等于________．10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为________．三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA ·CB ＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．B 卷：增分提能1．(2014·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．2．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．(1)若λ＝3时，证明：△ABC 为直角三角形； (2)若AC ·BC ＝98λ2，且c ＝3，求λ的值．答 案A 卷：夯基保分1．选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 2．选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)． 则cos C ＝5x2＋11x 2－13x 22·5x ·11x＝－23x 2110x2<0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形． 3．选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 4．选C 由c 2＝(a －b )2＋6， 可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.5．选A 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.6．选C 根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.7．解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，且b >a ，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：79．解析：依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 210．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3.答案：311．解：(1)由已知及正弦定理得： (sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0， sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ， sin(B ＋C )＝2sin A cos C ， ∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.12．解：(1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A ·cos C ＝916.(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC .∵2BA ·CB ＝－27，cos B ＝916，∴|BA ||CB |＝24， ∴BC ＝4，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B＝16＋36－2×4×6×916＝5.B 卷：增分提能1．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.2．解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴absin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.3．解：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ， 由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32，从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，B ＝π6或B ＝π2.若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形．(2)若AC ·BC ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.又a ＋b ＝3λ，由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9， 故9λ2－274λ2＝9，94λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.。

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课后限时自测 理 苏教版[A 级 基础达标练]一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.[解析] 由正弦定理得3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°.[答案] 60°或120°2．、(2014·某某高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[解析] 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－232×23＝2 3.[答案] 2 33．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [解析] 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.[答案] －144．(2013·某某高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝________.[解析] 由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C ·sin B cos A ＝12sin B ，又因为 sinB ≠0，所以 sin A cosC ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B＝π6. [答案]π65．(2013·某某高考改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形．[解析] ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．[答案] 直角6．如图3­6­1，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________.图3­6­1[解析] 在Rt △EAD 和Rt △EBC 中，易知ED ＝2，EC ＝5，在△DEC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝ED 2＋EC 2－CD 22ED ·EC ＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin ∠CED ＝1010. [答案]10107．(2013·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________.[解析] 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.[答案]2π38．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值X 围是________．[解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12＋22－c 22×1×2＝5－c 24.∵角C 是钝角，∴－1<cos C <0. ∴－1<5－c24<0，∴5<c <3.[答案]5<c <3 二、解答题9．(2014·大纲全国卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .[解] 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1.即B ＝135°.10．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·某某高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．[解析] 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin π6＝12×23×12＝16.[答案]162．(2013·某某高考) 如图3­6­2，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3­6­2[解析] ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. [答案] 3 二、解答题3．(2014·某某高考) 如图3­6­3，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．图3­6­3[解] (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714.所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD ·cos∠CAD －cos ∠BAD ·sin∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.。

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，若a2＋b2－c22ab<0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或钝角三角形解析由已知及余弦定理得cos C<0，C是钝角，故选C.答案 C2．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sin A＋sin B＋10sin C)，A＝60°，则a＝()A. 3 B．2 3C．4 D．不确定解析由已知及正弦定理得asin A＝2，a＝2sin A＝2sin 60°＝3，故选A.答案 A3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()．A. 2B. 3C.32D．2解析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝3，∴asin A＝bsin B，∴sin A＝a sin Bb＝32×13＝12，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC ＝12×1×3＝32.答案 C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°，即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×32＝332，故选B.答案 B5．已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于()．A．3＋ 3 B．3 3C．2＋ 3 D.33 2解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为12ac sinπ3＝32，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A.答案 A6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析由bsin B＝csin C及sin C＝23sin B，得c＝23b，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32.∵A为△ABC的内角，∴A＝30°.答案 A二、填空题7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案 －249．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]10．已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________，S △ABC ＝________.解析 解法一：由正弦定理得8sin A ＝7sin 60°， ∴sin A ＝87sin 60°＝47 3. ∴cos A ＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372＝±17. ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314或3314. 由7sin 60°＝csin C ，得c 1＝5，c 2＝3.∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝103或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝6 3. 解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， ∴72＝c 2＋82－2×8×c cos 60°.整理得：c 2－8c ＋15＝0，解得：c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63， 或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 答案 3或5 63或10 3. 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23， 得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.12．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2＋c 2－a 2＋bc ＝0，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求bc 的最大值；(3)求a sin (30°－C )b －c的值．解 (1)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)由a ＝3，得b 2＋c 2＝3－bc ，又∵b 2＋c 2≥2bc (当且仅当c ＝b 时取等号)． ∴3－bc ≥2bc (当且仅当c ＝b 时取等号)． 即当且仅当c ＝b ＝1时，bc 取得最大值为1. (3)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a sin (30°－C )b －c ＝2R sin A sin (30°－C )2R sin B －2R sin C＝sin A sin (30°－C )sin B －sin C ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C －32sin C sin (60°－C )－sin C＝34cos C －34sin C 34cos C －32sin C＝12.13． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.14．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC→.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解 (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B .即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A . 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2 C ＝255，从而tan C ＝2， 于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2 A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.。

课时规范练23 正弦定理、余弦定理课时规范练第40页一、选择题1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=c=,且A=75°,则b等于( )A.2B.4+2C.4-2D.答案:A解析:如图所示.在△ABC中,由正弦定理得=4,∴b=2.故选A.2.在△AB C中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若,则△ABC一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:A解析:方法一:由正弦定理得,[:∴sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,∴A=B.方法二:由余弦定理将角化为边,可得a=b,故选A.3.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为( )A. B. C. D.答案:D解析:由(a2+c2-b2)tan B=ac及余弦定理得2accos Btan B=ac,∴sin B=.又0<B<π,∴B=或B=.故选D.4.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=( )A. B. C. D.答案:D解析:∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=,c=2.由余弦定理可知cos B=.故选D.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则角A等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案:A解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化为c=2b.又∵a2-b2=bc,∴a2-b2=b×2b=6b2,即a2=7b2,a=b.在△ABC中,cos A=,∴A=30°.故选A.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是( )A. B.- C. D.-答案:D解析:依题意及正弦定理可得b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cos A==-.又0<A<π,所以A=,tan A=tan=-,选D.二、填空题7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=,B=,tan C=2,则c= .答案:2解析:⇒sin2C=⇒sin C=.由正弦定理,得,∴c=×b=2.8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,则角A的大小为.答案:解析:由题意根据正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,则cos B=, 故B=,sin B=.又∵3sin Asin C=sin2B=,[:∴4sin Asin C=1,即2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,2[cos(A-C)+cos B]=1.∴cos(A-C)=0.又∵-π<A-C<π,∴A-C=±.又∵A+C=,∴A=或A=.9.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论:①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC一定是钝角三角形;③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;④若b+c=8,则△ABC的面积为.其中正确结论的序号是.答案:②③解析:由条件可设故①不正确;由余弦定理可得cos A=-,即A=120°,故②正确;由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,故③正确;当b+c=4k=8时,则k=2,故三角形三边分别为7,5,3,所以S△ABC=bcsin A=×5×3×sin120°=,故④不正确.三、解答题10.已知△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=,BC=,求的值.解:因为AB2+AC2=BC2,所以△ABC为直角三角形,∠A=90°.如图所示,外接圆的圆心为BC的中点,则cos∠AOB==-.所以·=||||·cos∠AOB==-.11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=2+2cos(A+B).(1)求证:b=2a;(2)若c=a,求角C的大小.解：(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,即sin(A+π-C)=2sin A-2sin Acos C,sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+C)=2sin A,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a.(2)解由余弦定理知cos C==-,所以C=120°.12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,b=2,B=.(1)求sin A的值;(2)求cos2C的值.解:(1)a=1,b=2,B=,依据正弦定理得,[:即,解得sin A=.(2)∵a<b,∴0<A<B<.∴cos A=.∴sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=.∵A+B+C=π,∴C=-A.∴cos2C=cos=coscos2A+sinsin2A=-[:=-.∴cos2C=-.[:数理化]。

课时作业(二十二) [第22讲 正弦定理和余弦定理](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2014·安顺二模] 若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．[2014·日照模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A .π6B .π3C .π6或5π6D .π3或2π33．在△ABC 中，内角A ，B 的对边分别是a ，b ，且A ＝30°，a ＝2 2，b ＝4，那么满足条件的△ABC( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a 的值为( )A . 3B . 6C .13D ．2 135．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A .π3B .2π3C .3π4D .5π66．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．能力提升7．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，且B ＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( ) A ．1＋ 3 B ．3＋ 3C .3＋33D ．2＋ 3 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．[2014·广州二模] 在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A .314B .3 314C .2114D .3 211410．[2014·武汉模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )A .π6B .π4C .π3D .5π1211．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin (A －B ＋C)＝sin (C －A －B)＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc(b ＋c)>8B ．ab(a ＋b)>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2412．在△ABC 中，若C ＝60°，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________． 13．[2014·江西师大附中模拟] 在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，且c sin A ＝3a cos C ，则△ABC 的面积为________． 14．(10分)已知锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，sin 2C ＝－3cos 2C.(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝13，求△ABC 的面积． 15．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝2 6，B ＝2A.(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．难点突破16．(12分)[2014·昆明调研] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b. (1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．课时作业(二十二)1．C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.30°或150°7．C 8.C 9.D 10.A 11.A 12.1 13. 314．(1)C ＝π3(2)S △ABC ＝2 3＋12 2315．(1)cos A ＝63 (2)c 的值为516．解：(1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴由正弦定理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．(2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得，42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16.又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.。

第七节 正弦定理和余弦定理题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C＝( )A.π6B.π4C.3π4 D.π4或3π4答案：B2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24 D.23解析：△ABC 中，a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.故选B. 答案：B3. (2013·广西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3bsin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1 D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A4．在△ABC 中，已知sin Bsin C ＝cos 2A2，则三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2.∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]． 将cos(B ＋C )＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1. ∴cos(B －C )＝1.又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π， ∴B －C ＝0.∴B ＝C .故此三角形是等腰三角形．故选D. 答案：D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若acos B ＋bcos A ＝csin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由余弦定理可知：a cos B ＋b cos A ＝a a 2＋c 2－b 22ac ＋b c 2＋b 2－a 22bc ＝c sin C ，于是sinC ＝1，C ＝π2，从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)，解得a ＝b ，∴B ＝45°.故选C.答案：C6．(2013·皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135 B.125 C ．3 D.134 解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋（c ＋b ）（c －b ）2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴cos B ＝3＋4（c －b ）23c ＝32，即3＋4(c －b )＝3c ，3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.故选A.答案：A7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0. 所以cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：72＝b 2＋62－12b ×15，解之得：b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.答案：D8．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________． 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac . 所以a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：09．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是________．解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16，所以S ＝12bc sinA ≤12×16×sin π3＝4 3.答案：4310．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：sin A sin C ＝BC AB ＝75，而sin A ＝32，可得sin C ＝5314，因为BC >AB ，所以C 为锐角，cos C ＝1－sin 2C ＝1114， 所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3314， 所以sin B sin C ＝35.答案：3511．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解析：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取得最大值3.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝3acos C. (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 解析：(1)由c sin A ＝3a cos C ，结合正弦定理得，a sin A ＝c 3cos C ＝csin C ，∴sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，∴3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝3sin A －cos B ＝3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A －cos2π3cos A －sin 2π3sin A ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，当A ＋π6＝π2时，3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2取得最大值1，此时A ＝π3，B ＝π3.。

课时达标检测(二十三） 正弦定理和余弦定理[练基础小题——强化运算能力]1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为________．解析：由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案：45°2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝________.解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：73．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，故C 是钝角．即△ABC 是钝角三角形．答案：钝角三角形4．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的角为C .由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：8[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为________．解析：由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac 2ac ＝9a 2－152a 26a2＝14. 答案：142．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A ＝________.解析：由S ＋a 2＝(b ＋c )2，得a 2＝b 2＋c 2－2bc 14sin A －1，由余弦定理可得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517或cos A ＝－1(舍去)．答案：－15173．(2018·苏州实验中学模拟)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________．(填“有一解”、“有两解”、“无解”)解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：无解4．(2018·南京模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：345．(2018·昆山模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝________.解析：因为sin A ＋B sin B ＝23，故sin C sin B ＝23，即c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b2＝32，所以A ＝π6. 答案：π66．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝________.解析：根据正弦定理asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3.答案：π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________.解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：578．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：1521049．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：110．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB ，∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°＜∠ADB ＜60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC ＝30°，C ＝30°，∴BC ＝AB ＝ 2. 在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，∴AC ＝ 6.答案： 6 二、解答题11．(2018·苏南三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sinB ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴由正弦定理得sin A sin B ＝－sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，则sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝12bc sin A ＝14bc ＝34c 2，得b ＝3c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 12．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．解：(1)在△ABC 中，因为a ＞b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin B b ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a ＜c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－513＝7226.。

课时跟踪检测 (二十二) 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cosB ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6C ．14D ． 6解析：选D b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D ．3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°．答案：30°或150°5．(2015·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________． 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2． 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3．故选C ．2．(2017·重庆适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．34 B ．34 C ．32D ．32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sinC ＝12×3×32＝34，选B ． 3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1．∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选 A 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A ．32B ．34C ．36D ．38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3．故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ． 又a ＝2，∴b ＝3．由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4． 答案：47．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1．答案：18．(2017·云南统检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________．解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654．答案：56549．(2017·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cosC ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3．(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos2A2＝52b ． (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b ．解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b ．(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154．由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，所以b ＝4． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12．∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c 24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c ．2．(2016·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33， 所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13．因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223．因为AD ＝1，CD ＝3， 所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin∠D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠D ＝12，所以AC ＝23． 因为BC ＝23，ACsin ∠B ＝ABsin ∠ACB，所以23sin ∠B＝AB π－2∠B ＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin∠B cos ∠B ＝AB233sin ∠B ，所以AB ＝4．。

开卷速查(二十二) 正弦定理和余弦定理A 级 基础巩固练1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B 等于( ) A.15 B.59 C.53 D ．1解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b a sin A ＝53×13＝59，故选B.答案：B2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．23 B.2 C.2D.1解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：1sin A ＝3sin B ， 又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A ， ∴cos A ＝32，∴A ＝30°. ∴B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝ 12＋(3)2＝2.答案：B3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：根据正弦定理：a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a ＞b ，∴A ＋C ＝5π6，∴B ＝π6.故选A 项． 答案：A4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，即得AC ＝ 5.由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即522＝3sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝31010. 答案：C5．[2014·课标全国Ⅱ]钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5B. 5 C ．2D.5解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12， 又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1， 此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°. 由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5. 答案：B6．[2014·江西]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332D.3 3解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6 ①.由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab ②.所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：C7．[2014·福建]在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于__________．解析：方法一 在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，所以4sin B ＝23sin60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝2 3.方法二 在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以4sin B ＝23sin60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以AB ＝42－(23)2＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AB ·BC ＝2 3.答案：2 38．[2014·山东]在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为__________．解析：根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，故△ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|·sin π6＝16.答案：169．在△ABC 中，若BC ＝1，A ＝π3，sin B ＝2sin C ，则AB 的长度为__________．解析：∵BC sin A ＝AB sin C ，∴1sin π3＝AB sin C ，∴AB ＝23sin C .又∵sin B ＝2sin C ，∴sin(A ＋C )＝2sin C .∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ＝2sin C ，∴tan C ＝33.∴C ＝π6，∴sin C ＝12，∴AB ＝23×12＝33.答案：3310．[2014·北京]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32 ＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.B 级 能力提升练11．[2014·重庆]已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8 B.ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D.12≤abc ≤24解析：因为A ＋B ＋C ＝π，由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝12，即sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＋sin2C ＝12，整理得2sin C cos(A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，整理得4sin A sin B sin C ＝12，即sin A sin B sin C ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C 、D 不一定成立．又b ＋c >a >0，因此bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即bc (b ＋c )>8，选项A 一定成立．又a ＋b >c >0，因此ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即ab (a ＋b )>8，显然不能得出ab (a ＋b )>162，选项B 不一定成立．综上所述，选A.答案：A12．[2014·课标全国Ⅰ]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为__________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案： 313．[2014·辽宁]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解析：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 14．[2014·湖南]如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． 解析：(1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD.故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714， 所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142 ＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.。

课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h4．(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m6．(2015·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，π2二、填空题7．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.8.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1.4，3＝1.7)三、解答题11．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．12.(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案1．选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．3．选B 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.4．选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan15°＝120(3－1)(m)，故选C.5．选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.6．选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.7．解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 38．解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 29．解析：如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ，故通信塔CD 的高为60 m.答案：6010．解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB， ∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 65011．解析：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．12．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在1 250 43，62514(单位：m/min)范围内．。

§4.6 正弦定理、余弦定理1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．33．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π46．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－17．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．11．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .12.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积.答案精析1．C 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.21138.π3或2π39.8 10.12 11．(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A， 又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A，即sin B ＝cos A . (2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知， sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34， ∴cos A sin B ＝34. 由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角， 故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3， ∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理， 得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.13．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ， 化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

5.正弦定理、余弦定理的应用【基础训练】120ABC ︒∠=，如何锯断木条，才能使第三条边AC 最短3. 如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，求AB 的长．【典型例题】例1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c .例2. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点Ｂ在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？CBAO例3.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C ． （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？【巩固练习】1．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，求运动开始多少h 后，两车的距离最小．2．某人向正东方向走xk m 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 k m ，结果他离出发点恰好3k m ，那么求x 的值．CBADMN3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =A ，135cos =B ,3=b 则求c 的值4．如图，在ABC ∆中，,已知45B ︒=，D 是BC 边上一点AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长6．在ABC ∆中，求证：(1)CBA c b a 222222sin sin sin +=+； (2))cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++．CD B A7．在ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，判断ABC ∆的形状．8．在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =．（1）当5,14p b ==时，求,a c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。

课时跟踪训练(二十三) 正弦定理和余弦定理[基础巩固]一、选择题1．在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝63，B ＝30°，则A 等于( )A ．60°B ．90°C ．30°或90°D ．60°或120°[解析] 由c sin B ＝33<b <c 可知，该三角形有两解，由正弦定理b sin B ＝csin C，得sin C＝63×sin30°6＝32，故C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°，故选C.[答案] C2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B.3C ．2D ．3[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得5＝b 2＋4－83b ，即3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．故选D.[答案] D3．(2017·合肥模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3[解析] c 2＝(a －b )2＋6， 即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.[答案] C4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( ) A.1010 B.31010C.55D.255[解析] 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. [答案] B5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .[答案] A6．(2017·甘肃省张掖市高三一诊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74 B.34 C.73D.13[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A. [答案] A 二、填空题7．在△ABC 中，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，则△ABC 的形状为________． [解析] 由已知得sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin B cos A －cos B sin A ＝2sin A cos A ，即sin B cos A ＝sin A cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，若cos A ＝0，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形．若sin B －sin A ＝0，则A ＝B 或A ＋B ＝π(舍去)．△ABC 为等腰三角形，故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．[答案] 直角三角形或等腰三角形8．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. [解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝35×513＋1213×45＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b ＝a sin Bsin A ＝1×6365×53＝2113.[答案] 21139．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.[解析] 解法一：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac＝a ×a 2＋b 2－c 22ab＋c ×b 2＋c 2－a 22bc，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝12.又0<B <π，所以B ＝π3.解法二：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，因此cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.[答案] π3三、解答题10．(2017·北京人大附中期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2B ＋cos B ＝0.(1)求角B 的值； (2)若b ＝7，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABC 中，由已知cos2B ＋cos B ＝0得 2cos 2B ＋cos B －1＝0，解得cos B ＝12，或cos B ＝－1(舍去)．因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B . 将B ＝π3，b ＝7代入上式，整理得(a ＋c )2－3ac ＝7.因为a ＋c ＝5，所以ac ＝6.所以△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ＝332.[能力提升]11．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A ·(sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3[解析] 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，所以A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. [答案] B12．(2017·安徽省合肥市高三一检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π[解析] 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，即R ＝3.所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.[答案] C13．(2017·广东省惠州市三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为________．[解析] 由正弦定理b sin B ＝c sin C得sin B ＝b sin C c＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.[答案]3＋114．(2017·河北石家庄模拟)已知在△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝________.[解析] 设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ.在△CDA 中，利用正弦定理得CDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝ACsin2θ；在△AMB 中，利用正弦定理得MAsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝ABsin π－θ，又在Rt △ABC 中，cos θ＝AC AB，∴CDMA＝AC ·sin θAB ·sin2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，又CD ＝1，从而MA ＝2.[答案] 215．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.16．(2017·四川省成都市高三二检)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，CE ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．[解] (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴DE ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.∴CD ＝7.[延伸拓展](2017·广东汕头一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos Bcos A，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534C ．3 D.4＋52[解析] 由b a＝1－cos B cos A及正弦定理可得sin B ·cos A ＝sin A －sin A cos B ，∴sin(A ＋B )＝sin A ，∴sin C ＝sin A ，又A ，C ∈(0，π)，∴C ＝A ，∴c ＝a ，又b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，设该三角形的边长为x ，则x 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34x 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534，又θ∈(0，π)，∴当θ＝5π6时，S 四边形OACB 取得最大值8＋534.故选B.[答案] B。

课时跟踪检测（二十三） 正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°， 所以B ＝180°－C －A ＝30°，由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A ＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为________． 解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BDCD＝6. 答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B)， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos Ac ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin A ＋Bsin A ＋B＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729 C. 2 D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sinB ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin∠ACD ＝25·sin∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即sin A ＝CD ·sin∠ACD AD ＝55.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin Asin B＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ， 又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32. 6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin∠ABD ＝12×2×5×sin∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos∠ABD ，可得AD 2＝5， 所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。

正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

第三章 第22讲1．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝1. 解析：在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos A c ＝2×4×346＝1. 2．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为8. 解析：因为cos A ＝－14，0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.由315＝12bc sin A 得bc ＝24.又因为b －c ＝2，所以b ＝6，c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝36＋16＋12＝64，故a ＝8.3．(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小； (2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解析：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<B <π，所以B ＝π4. (2)由(1)知A ＋C ＝3π4， 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎫A －π4.因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．解析：(1)由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B＋ sin B cos A cos B， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．从而sin A ＋sin B ＝2sin C ．由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.。

第6讲 正弦定理与余弦定理A 级训练(完成时间：15分钟)1.设a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 和∠C 的对边，则△ABC 的面积为( ) A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.12ab cos C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3.在△ABC 中，∠A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( ) A ．1 B. 3C ．2D ．34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ＝135°，B ＝15°，c ＝1，则三边中最大边长为________．5.在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，c ＝3，A ＝45°，则角C ＝ 60°或120° .6.已知：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．求证：a sin A ＝b sin B ＝c sin C.若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．B 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，若∠A ＝512π，∠B ＝14π，AB ＝62，则AC ＝( ) A. 3 B ．2 3C ．3 3D ．4 32.[限时2分钟，达标是( )否( )](2013·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A.1010 B.105C.31010D.553.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( )A.817B.1517C.1315D.13174.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 、若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝__________.5.[限时5分钟，达标是( )否( )](2013·全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C ＝3－14，求C .6.[限时5分钟，达标是( )否( )] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足3sin C cos C －cos 2C ＝12. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，且c ＝3，求a 、b 的值．C 级训练(完成时间：12分钟)1.[限时6分钟，达标是( )否( )](2013·浙江)△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝____________.2.[限时6分钟，达标是( )否( )](2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值；(2)求BE 的长．第6讲 正弦定理与余弦定理【A 级训练】1．C2．C 解析：△ABC 中，由a 2＋b 2＜c 2可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，故C 为钝角， 故△ABC 的形状是钝角三角形．3．A 解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2b sin π3＝32，解得b ＝1.所以AC ＝b ＝1. 4.2 解析：因为A ＝135°为最大角，所以最大边为a ，根据三角形内角和定理：C ＝180°－(A ＋B )＝30°，在△ABC 中，由正弦定理有：a sin A ＝c sin C，得a ＝ 2. 5．60°或120° 解析：在△ABC 中，有正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，即2sin45°＝3sin C， 解得sin C ＝32， 所以C ＝60°或120°.6．证明：如图，在△ABC 中，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，因为BD ＝BD ，所以AB sin A ＝BC sin C ，即c sin A ＝a sin C ⇒a sin A ＝c sin C， 同理可证a sin A ＝b sin B， 所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 7．解析：△ABC 中，因为A 、B 、C 成等差数列，可得2B ＝A ＋C .再由A ＋B ＋C ＝180°可得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由a ，b ，c 成等比数列可得b 2＝ac ，由正弦定理可得sin 2B ＝sin A sin C ，即34＝sin A sin(120°－A ) ＝32sin A cos A ＋12sin 2A ＝34sin2A －14cos2A ＋14， 整理可得，sin(2A －30°)＝1，故有A ＝60°，所以B ＝C ＝60°，故△ABC 是等边三角形．【B 级训练】1．D 解析：因为∠A ＝512π，∠B ＝14π，AB ＝62， 所以C ＝13π， 则由正弦定理可得AB sin C ＝AC sin B，所以AC ＝62×2232＝4 3. 2．C 解析：由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2＋9－22×3×22＝5.所以AC ＝5， 所以cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2＋5－92×2×5＝－1010. 而0<A <π，sin A >0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝31010，故选C. 3．B 解析：由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，化简S ，利用三角形的面积公式求出S ＝12bc sin A ， 两者相等得S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ， 所以sin A ＝4(1－cos A )，两边平方，再根据同角三角函数间的基本关系得：16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，解得cos A ＝1517或cos A ＝1(舍去)． 4.33解析：由正弦定理，知由(3b －c )cos A ＝a cos C 可得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，所以3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝33. 5．解析：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝(a ＋c )2－b 2＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12， 又B 为三角形的内角，则B ＝120°.(2)由(1)得：A ＋C ＝60°，因为sin A sin C ＝3－14，cos (A ＋C )＝12， 所以cos (A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos (A＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32， 所以A －C ＝30°或A －C ＝－30°，则C ＝15°或C ＝45°. 6．解析：(1)因为3sin C cos C －cos 2C ＝12， 所以32sin 2C －cos 2C ＋12＝12， 化为32sin 2C －12cos 2C ＝1， 所以sin(2C －π6)＝1.因为C ∈(0，π)，所以(2C －π6)∈(－π6，11π6)， 所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3. (2)因为向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，所以sin B －2sin A ＝0，由正弦定理得a sin A ＝b sin B，所以b ＝2a . 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ，所以32＝a 2＋b 2－2ab cos π3，化为a 2＋b 2－ab ＝9. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2a a 2＋b 2－ab ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝3b ＝23. 【C级训练】1.63解析：如图， 设AC ＝b ，AB ＝c ，CM ＝MB ＝a 2，∠MAC ＝β， 在△ABM 中，由正弦定理可得a 2sin ∠BAM ＝c sin ∠AMB， 代入数据可得a 213＝c sin ∠AMB， 解得sin ∠AMB ＝2c 3a， 故cos β＝cos(π2－∠AMC )＝sin ∠AMC ＝sin(π－∠AMB )＝sin ∠AMB ＝2c 3a， 而在Rt △ACM 中，cos β＝AC AM ＝b (a 2)2＋b 2， 故可得b (a 2)2＋b 2＝2c 3a ， 化简可得a 4－4a 2b 2＋4b 4＝(a 2－2b 2)2＝0，解之可得a ＝2b ，再由勾股定理可得a 2＋b 2＝c 2，联立可得c ＝3b ，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝BC AB ＝a c ＝2b 3b ＝63. 2．解析：如图，设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC . 于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ， 即CD 2＋CD －6＝0.解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理，得 ECsin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝ 1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－α)＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.。