名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业2.4正态分布(备选)(含答案详析)

正态分布．了解正态分布的意义．．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)．了解正态曲线的意义和性质．．会利用φ()，()的意义求正态总体小于的概率．(难点)[基础·初探]教材整理正态曲线及正态分布阅读教材～，完成下列问题．．正态曲线若φμ，σ()＝－，∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>)为参数，我们称φμ，σ()的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．图--随机变量落在区间(，]的概率为(<≤)≈φ，即由正态曲线，过点()和点()的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形()μ，σ的面积，就是落在区间(，]的概率的近似值，如图--.．正态分布如果对于任何实数，(<)，随机变量满足(<≤)＝φ()，则称随机变量服从正态分布．μ，σμ正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作σ如果随机变(μ，σ)．量服从正态分布，则记为～(μ，σ)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )()服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )()正态曲线是一条钟形曲线．( )()离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】 ()× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．()√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．()√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．()× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】 ()× ()√ ()√ ()× 教材整理 正态曲线的特点及σ原则阅读教材～，完成下列问题．．正态曲线的特点；不相交，与轴上方()曲线位于轴 对称；直线＝μ()曲线是单峰的，它关于；处达到峰值＝μ()曲线在 ()曲线与轴之间的面积为；平移；轴()当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 ，表示总体的”瘦高“()当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越分散．，表示总体的分布越”矮胖“；σ越大，曲线越集中分布越．σ原则.()μ，σφμ＋)＝≤()若～(μ，σ)，则对于任何实数>，(μ－<()正态分布在三个特殊区间内取值的概率：(μ－σ<≤μ＋σ)＝， (μ－σ<≤μ＋σ)＝，。

教学设计2．4正态分布整体设计教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳正态曲线的性质．过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)．教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．教学过程复习旧知1．回顾曲边梯形的面积S＝b f(x)dx的意义；⎠⎛a2．复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：①在频率分布直方图中，区间(a，b)对应的图形的面积表示____________________．②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_______________________________．设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律．探究新知提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布．活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容．提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图．(2)当n由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)．式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．1．一般地，如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)dx ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．理解新知正态分布密度函数的理解：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2， 其中：x 是随机变量的取值；π是圆周率；e 是自然对数的底；参数μ是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数σ是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)f(x)＝12πe－x22；(2)f(x)＝122πe－(x－1)28；(3)f(x)＝2πe－2(x＋1)2.答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固．通过对问题的解答，进一步加深对定义的认识．提出问题：正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．例如令σ＝0.5，μ＝－1,0,1….活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．活动结果：(一)正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．(5)σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中．六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．(二)标准正态曲线：当μ＝0、σ＝1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)＝12πe －x 22(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．1．N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：①若ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－μσ～N(0,1)，有P(ξ<x 0)＝F(x 0)＝Φ(x 0－μσ)； ②若ξ～N(μ，σ2)，则P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2－μσ)－Φ(x 1－μσ)． 2．在标准正态分布表中相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P(ξ<x 0)．两个重要公式：①Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，②P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2)－Φ(x 1)．3．3σ原则．进一步，若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)dx 为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大．这说明σ越小，X 落在区间(μ－a ，μ＋a]的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大．特别有：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，用图表示为：正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．因此在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．运用新知例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84解析：解法一：∵P(ξ≤4)＝F(4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.84，∴P(ξ≤0)＝F(0)＝Φ(0－2σ)＝Φ(－2σ)＝1－Φ(2σ)＝0.16. 解法二：因为曲线的对称轴是直线，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16. 答案：A例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975解析：解法一∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.解法二：∵曲线的对称轴是直线x＝0，∴由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.故答案为C.答案：C例3设X～N(4,1)，求P(5＜x＜6)．分析：确定μ，σ的值，由正态曲线的对称性及P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)的概率计算．解：由已知得，μ＝4，σ＝1，P(3＜X＜5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(2＜X＜6)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(2＜X＜3)＋P(5＜X＜6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由对称性得，P(2＜X＜3)＝P(5＜X＜6)＝0.135 9.【变练演编】1．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.答案：0.52．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：正态分布函数的图象关于x ＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．答案：A3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) 解析：考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案为B. 答案：B【达标检测】1．若随机变量X ～N(μ，σ2)，a 为一个实数，证明P(X ＝a)＝0.证明：对于任意实数a 和自然数n 有{a －1n <X≤a}＝{X ＝a}∪{a －1n<X<a}． 因为事件{X ＝a}与事件{a －1n<X<a}互斥，由概率加法公式得 P(a －1n <X≤a)＝P(X ＝a)＋P(a －1n<X<a)≥P(X ＝a)． 因为X ～N(μ，σ2)，所以0≤P(X ＝a)≤P(a －1n <X≤a)＝⎠⎛a a －1n φμ，σ(x)dx ≤1σ2π⎠⎛a a －1n dx ＝1n σ2π，n ＝1,2，…，故P(X ＝a)＝0. 点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目．2．若X ～N(5,1)，求P(6＜X ＜7)．解：由X ～N(5,1)知，μ＝5，σ＝1.因为正态密度曲线关于x ＝5对称，所以P(5＜X ＜7)＝12·P(3＜X ＜7)≈12·0.954 4＝0.477 2； P(5＜X ＜6)＝12·P(4＜X ＜6)≈12·0.682 6＝0.341 3； P(6＜X ＜7)＝P(5＜X ＜7)－P(5＜X ＜6)≈0.135 9.3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，求总体落入区间(－1.2,0.2)之间的概率．解：正态分布的概率密度函数是f(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布． P(－1.2<x<0.2)＝Φ(0.2)－Φ(－1.2)＝Φ(0.2)－[1－Φ(1.2)]＝Φ(0.2)＋Φ(1.2)－1.课堂小结1．正态分布．2．正态分布密度曲线及其特点．3．标准正态曲线．4．了解3σ原则．补充练习【基础练习】1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，整条曲线在x 轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x ＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．上述叙述中，正确的有__________．答案：(1)(3)(4)2．设某长度变量X ～N(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．E(X)＝D(X)＝D(X)B ．D(X)＝D(X)C ．E(X)＝D(X)D ．E(X)＝D(X)答案：A3．把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1．设X ～N(0,1)．①P(－ε＜X ＜0)＝P(0＜X ＜ε)；②P(X ＜0)＝0.5；③已知P(│X│＜1)＝0.682 6，则P(X ＜－1)＝0.158 7；④若P(│X│＜2)＝0.954 4，则P(X ＜2)＝0.977 2；⑤若P(│X│＜3)＝0.997 4，则P(X ＜3)＝0.998 7；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．已知X ～N(0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率等于( )A ．0.022 8B ．0.045 6C ．0.977 2D ．0.954 4答案：A3．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)＝p ，那么p 的值为( )A ．0 B.12C ．1D ．不确定，与σ有关答案：A4．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200,18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )A ．0.997 3B ．0.866 5C ．0.841 3D ．0.815 9答案：A设计说明本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1．注重目标控制，面向全体学生，启发式教学．2．学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法．备课资料备选例题：1．若X ～N(μ，σ2)，问X 位于区域(μ，μ＋σ)内的概率是多少？解：P(μ<X<μ＋σ)＝12P(μ－σ<X<μ＋σ)≈12×0.682 6＝0.341 3. 2．某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10， 在60到80之间的学生占的比例为P(70－10<X<70＋10)≈0.683＝68.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5×(1－0.683)≈0.159＝15.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为0．5×[P(70－2×10<X<70＋2×10)－P(70－10<X<70＋10)]≈0.5×(0.954－0.683)≈0.136＝13.6%.(设计者：刘鹏)。

§2.4正态分布一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18π2(10)8ex--，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差[答案] B[解析]由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算[答案] A[解析]∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ≤4)＝0.84，∴P (ξ≥4)＝1－0.84＝0.16， ∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.16.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 [答案] B[解析] 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.6826，P (－6<ξ≤6)＝0.9544， 故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2＝0.9544－0.68262＝0.1359＝13.59%，故选B.4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9544)A ．2386B ．2718C ．4772D ．3413 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 [答案] D[解析] 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.6826，∴P (0≤X ≤1)＝12×0.6826＝0.3413，故S ≈0.3413.∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10000＝S1，∴x ＝10000×0.3413＝3413，故选D.5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t ) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 [答案] C[解析] 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错； P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )>P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 正确，D 错．6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差[答案] B[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( ) A ．(90,110] B ．(95,125] C ．(100,120] D ．(105,115]考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 [答案] C[解析] ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60.8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A ．1500名 B ．1700名 C ．4500名D ．8000名考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 [答案] A[解析] 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587，所以0.1587×9450≈1500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名． 二、填空题9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为． 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 [答案] 1[解析] ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝. 考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算 [答案] 0.2[解析] 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为．考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 [答案] 0.4772[解析] 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵f (x )的最大值为f (μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12×0.9544＝0.4772.三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.6826. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P (64＜X ≤72)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数， 在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80. 又P (72<X ≤88)＝0.6826.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，可知σ＝8. (2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ) ＝P (64<X ≤96) ＝0.9544.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)， 所以P (X ≤64)＝12×(1－0.9544)＝12×0.0456＝0.0228. 所以P (X >64)＝0.9772.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587， 所以P (X >72)＝0.8413， P (64<X ≤72) ＝P (X >64)－P (X >72) ＝0.1359.13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 还有7分钟时：若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率 P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7) ＝12＋12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率 P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)＝12＋12P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线． 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为．考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用[答案]683[解析]依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数为1000×0.6826≈683.15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(附：150≈12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.。

选修2-3第一章 1.1第1课时
1．(2012·北京)从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()
A．24 B．18
C．12 D．6
[答案] B
[解析](1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．
(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．
综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．
2．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有________________种．
[答案]16
[解析]五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．。

选修 2-3第二章2.3451．设随机变量 X ～ B(n ，p) ，X 的均值与方差分别是 15 和 4 ，则 n 、p 的值分别是 ()1 1 A ． 50， 4 B ．60， 433 C ． 50，4 D ． 60， 4[答案 ]Bnp ＝ 151[分析 ]由得p ＝445.np 1－ p ＝ 4n ＝ 602．样本中共有五个个体，其值分别为a 、 0、 1、2、 3.若该样本的均匀值为1，则样本方差为 ()66 A ． 5B ．5C ． 2D ． 2[答案 ] D[分析 ]a ＋ 0＋ 1＋ 2＋ 3 ∵ ＝ 1，∴a ＝－ 1，5故 s2＝ 15[(－ 1－ 1)2＋ (0－ 1)2＋ (1－ 1)2＋ (2－ 1)2＋ (3－ 1)2]＝ 2.3．已知整体的各个体的值由小到大挨次为2、 3、 3、 7、 a 、 b 、12、 13.7、 18.3、20，且整体的中位数为 10.5.若要使该整体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ________．[答案 ] 10.5、 10.5 [分析 ]由题意得a ＋b＝ 10.5，∴a ＋ b ＝21， 22＋ 3＋ 3＋ 7＋21＋ 13.7＋18.3＋ 20＋ 12＝ 10，x ＝10∴s 2＝ 101[(10 － 2)2＋ (10－ 3)2＋ (10－ 3)2＋ (10－ 7)2 ＋ (10－ a)2 ＋ (10－ b) 2＋ (10－ 12)2＋ (10－ 13.7) 2＋ (10－ 18.3)2＋ (10－ 20)2 ]＝ 101[82＋ 72＋ 72＋ 32＋(10－ a)2＋ (10－ b)2＋ 4＋ 3.72 ＋8.32＋ 102]122＝ 10[(10 － a) ＋ (10 －21＋ a) ＋ ]＝ 1[2(a － 10.5)2 ＋ ] 10当 a ＝10.5 时，方差 s 最小， b ＝ 10.5.4．有一批部件共 10 个合格品、 2 个不合格品．安装机器时从这批部件中任选1 个，取到合格品才能安装；若拿出的是不合格品，则不再放回．(1)求最多取 2 次部件就能安装的概率；(2) 求在获得合格品前已经拿出的次品数X 的散布列，并求出X 的均值 E(X)和方差D (X)(方差计算结果保存两个有效数字)．10 51 次部件就取到[分析 ] (1)设安装时所取部件的次数是η，则 P(η＝ 1)＝ 12＝ 6，这是取 了合格品，能够安装；2× 10 51 次取到不合格品，第2 次取到了合格品．P(η＝2) ＝12 11＝33，这是第∴最多取 2 次部件就能安装的概率为56＋ 335＝ 6566.(2)依题意 X 的全部可能取值为0、 1、 2，5P(X ＝0)＝ P(η＝1) ＝6，5P(X ＝1)＝ P(η＝2) ＝33，551P(X ＝2)＝ 1－ 6－ 33＝ 66.故 X 的散布列是X 0 1 2P55 163366于是 E(X)＝ 0×5＋ 1× 5＋2× 1 ＝ 2 ，6 33 66 11 5 ×225 × 9 2 ＋ 1 × 20 2 ≈0.18.D( X)＝11 ＋ 3311 66 116因此 X 的希望值和方差值分别是2 和 0.18.115．设在 15 个同种类的部件中有 2 个是次品，每次任取 1 个，拿出后不再放回，共取 3次．若以 X 表示拿出次品的个数，求X 的均值和方差．[剖析 ]第一求出各样状况的概率，写出概率散布，注意部件取后不放回．312[分析 ] P( X＝C313＝22， P(X＝ 1)＝C2C313＝12，0)＝C1535C1535C22C1311P(X＝2)＝C153＝35，故 X 的散布列为：X012P22121353535 221212则 E(X)＝ 0×35＋ 1×35＋ 2×35＝5，2 222 2 212 2 2152D( X)＝ 0－5×35＋ 1－5×35＋2－5×35＝175.6．某花店每日以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花，而后以每枝10 元的价钱出售．假如当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾办理．(1)若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的收益y(单位：元 ) 对于当天需求量 n(单位：枝， n∈N )的函数分析式；(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量 ( 单位：枝 )，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率．(ⅰ )若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天的收益 (单位：元 )，求 X 的散布列、数学希望及方差；(ⅱ )若花店计划一天购进16 枝或 17枝玫瑰花，你以为应购进16 枝仍是 17 枝？请说明原因．[分析 ] (1)当天需求量 n≥16时，收益 y＝ 80.当天需求量n<16 时，收益y＝ 10n－ 80，因此 y 对于 n 的函数分析式为10n－ 80，n<16 ，y＝(n∈N )．80，n≥ 16，(2)(ⅰ )X 可能的取值为60,70,80，而且P(X＝60)＝ 0.1，P(X＝ 70)＝0.2， P(X＝ 80)＝ 0.7.X的散布列为X607080P0.10.20.7X 的数学希望为E(X)＝ 60× 0.1＋70× 0.2＋ 80× 0.7＝ 76.X 的方差为 D (X)＝ (60－ 76)2× 0.1＋ (70－ 76)2× 0.2＋ (80－ 76)2× 0.7＝ 44.(ⅱ )答案一：花店一天应购进16 枝玫瑰花．原因以下：若花店一天购进17 枝玫瑰花， Y 表示当天的收益(单位：元 )，那么 Y 的散布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学希望为E(Y)＝ 55× 0.1＋ 65× 0.2＋ 75× 0.16＋85× 0.54＝ 76.4.Y的方差为D(Y) ＝ (55 － 76.4)2× 0.1 ＋ (65 － 76.4)2× 0.2＋ (75 － 76.4) 2× 0.16 ＋ (85－ 76.4) 2× 0.54 ＝112.04.由以上的计算结果能够看出，D(X)<D(Y)，即购进16 枝玫瑰花时收益颠簸相对较小．另外，固然E(X)<E(Y)，但二者相差不大．故花店一天应购进16 枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17 枝玫瑰花．原因以下：若花店一天购进17 枝玫瑰花，Y 表示当天的收益(单位：元)，那么Y 的散布列为Y P 55650.10.275850.160.54Y 的数学希望为E(Y)＝ 55× 0.1＋ 65× 0.2＋ 75× 0.16＋85× 0.54＝ 76.4.由以上的计算结果能够看出，EX<EY，即购进17 枝玫瑰花时的均匀收益大于购进16 枝时的均匀收益．故花店一天应购进17 枝玫瑰花．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N (2,2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝( )A ．1B ．2 C.12D ．4【解析】 ∵ξ～N (2,2)，∴D (ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝122D (ξ)＝14×2＝12.【答案】 C2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝12σπe (x －μ)22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －(x －1)24D ．f (x )＝12πe x 22【解析】 对于A ，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ，指数部分缺少一个负号，故D 不正确．【答案】 B3．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图2-4-6所示，下列结论中正确的是( )图2-4-6A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)＞12，故P (Y ≥μ2)＜P (Y ≥μ1)，故A 错； 因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)＞P (X ≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P (X ≥t )＜P (Y ≥t )，故C 错； 对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选 D .【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X ～N (8.0,0.022 5)，单位：mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A ．上、下午生产情况均为正常B ．上、下午生产情况均为异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 B二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】 画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图： 由图可得：①图象关于x ＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④ 三、解答题9．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率； (2)P(X>4)． 【解】(1)由于X ～N(2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图．因为P(0<X ≤2)＝P(2<X ≤4)，所以P(0<X ≤4)＝2P(0<X ≤2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X>4)＝12[1－P(0<X ≤4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】 由于X ～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．[能力提升]1．(2015·湖南高考)图2-4-7在如图2-4-7所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.【解析】由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.【答案】C2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]【解析】由5760＝0.95，符合P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，所以在(100,120]内．故选C.【答案】C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)； ③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)； ④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．【解析】 因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确； 因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确． 【答案】 ②④4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2-4-8(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P (μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。

2．4 正态分布[学习目标]1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题． [知识链接]1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是频率组距，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线．2．正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 中的参数μ，σ有何意义？答 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E (X )＝μ；σ>0表示标准差，D (X )＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e 为常数，x 为自变量，x ∈R . 3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？答 若X ～N (μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x 可知，X 可取(a ，b ]内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． [预习导引] 1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4 .要点一正态曲线例1如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.规律方法利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪演练1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．要点二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1，22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6 (2)∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)] ＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.(3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.规律方法 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （μ－b <X ≤μ＋b ）2.跟踪演练2 若η～N (5，1)，求P (5＜η＜7)．解 ∵η～N (5，1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x ＝5对称，∴P (5＜η＜7)＝12×P (3＜η＜7)＝12×0.954 4＝0.477 2. 要点三 正态分布的实际应用例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解 μ＝110，σ＝20，P (X ≥90)＝P (X －110≥－20)＝P (X －μ≥－σ)， ∵P (X －μ＜－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝2P (X －μ＜－σ)＋0.682 6＝1， ∴P (X －μ＜－σ)＝0.158 7，∴P (X ≥90)＝1－P (X －μ＜－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人． ∵P (X ≥130)＝P (X －110≥20)＝P (X －μ≥σ)， ∴P (X －μ≤－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝0.682 6＋2P (X －μ≥σ)＝1. ∴P (X －μ≥σ)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪演练3 工厂制造的某机械零件的尺寸X 服从正态分布N (4，19)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N(4，19)，∴μ＝4，σ＝13，∴不属于区间(3，5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个.1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案 D2．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案 D3．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定答案 A解析根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．4．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率．解依题意μ＝104，σ＝400.∴P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)故2P(X>10 800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，∴P(X>10 800)＝1－0.954 42＝0.022 8，故使用时间超过10 800小时的概率为0.022 8.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，则P(X<μ－b)＝1－P（μ－b<X<μ＋b）2.一、基础达标1．设某长度变量X～N(4，16)，则下列结论正确的是()A．E(X)＝D(X)＝D（X）B．D(X)＝D（X）C．E(X)＝D（X）D．E(X)＝D(X)答案 C2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)等于() A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84答案 A解析P(ξ≤4)＝0.84，故P(ξ>4)＝0.16.P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.16.3．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝1 6πe－x2－4x＋46，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ 3 D．μ＝3，σ＝ 3 答案 C解析由φ(x)＝12π×3e－（x－2）22（3）2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C.4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2πD.2π答案 C解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π.5．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝________. 答案 2解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.6．对于标准正态分布N (0，1)的概率密度函数f (x )＝12π·e －x 22，下列说法正确的有________． ①f (x )为偶函数； ②f (x )的最大值是12π； ③f (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数； ④f (x )关于x ＝1对称． 答案 ①②③7．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比．解 (1)∵正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.二、能力提升8．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90，110] B．(95，125]C．(100，120] D．(105，115]答案 C解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，60×0.997 4≈60(人)．9．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于()A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案 C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.11．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．解依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布密度函数为f (x )＝106π·e －50（x －10）23. 12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例．解 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70，102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在80～90内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为13.59%.三、探究与创新13．(2013·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900)＝12＋12P (700＜X ≤900)＝0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2400y在y轴上截距z2 400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

课时作业18 正态分布知识点一正态分布的有关概念1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案 A解析根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.2．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小答案 D解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲＜σ乙＜σ丙．故选D.知识点二 正态分布的性质3.已知X ～N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 答案 A解析 因为P (X ＞2)＋P (0≤X ≤2)＋P (－2≤X ≤0)＋P (X ＜－2)＝1，P (X ＞2)＝P (X ＜－2)，P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)，所以P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.1.4．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 等于( )A ．4B ．2 C.12 D ．1答案 D解析 因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.知识点三 正态分布的应用5.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]内B ．(95,125]内C ．(100,120]内D ．(105,115]内答案 C 解析5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．6．某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在70～90分的约有________人．答案 33解析 依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P (70<ξ<90)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826， 所以48×0.6826≈33(人)．即该班约有33人的成绩在70～90分．一、选择题1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不确定 答案 C解析 均值即为其对称轴，∴μ＝0.2．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案 D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe－x22在x＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于( ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84答案 A解析由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案 C解析ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.5．一批电阻的电阻值X (Ω)服从正态分布N (1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为( )A ．甲、乙两箱电阻均可出厂B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案 C解析 ∵X ～N (1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 二、填空题6．设ξ～N (1,4)，那么P (3＜ξ＜5)＝________. 答案 0.1359解析 因为ξ～N (1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，则P (3＜ξ＜5)＝12[P (－3＜ξ＜5)－P (－1≤ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2≤ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359. 7．若随机变量ξ～N (10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a ，a ∈(0,0.5)，则ξ在(－∞，15)上的概率等于______．答案 12＋a解析 P (10<ξ<15)＝a ，故P (－∞<ξ≤5)＝12(1－2a )＝12－a ，所以ξ在(－∞，15)的概率等于12－a ＋a ＋a ＝12＋a .8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．答案 38解析 由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N (1000,502)， 则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－12×12＝34，故该部件使用寿命超过1000小时的概率为34×12＝38.三、解答题9．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？解 ∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9544，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826，所以考试成绩X 位于区间(80,100]内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X (mm)～N (0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)解 由题意X ～N (0,22)求得P (|X |≤4)＝P (－4≤x ≤4)＝0.9544 设Y 表示5件产品中合格品个数， 则Y ～B (5,0.9544)， 所以P (Y ≥5×0.8)＝P (Y ≥4)＝C 45·(0.9544)4×0.0456＋C 55·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981. 故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.。

第二章§正态分布一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为()A．1 B．－1C．0 D．不确定解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.答案：C2．[2014·深圳高二检测]正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－＝，则P(|ξ|<＝()A. 0.025B.C. D.解析：ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<＝1－P(ξ≤－，从而P(|ξ|<＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.答案：C4．某厂生产的零件直径ξ～N(10,，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为()A．上午生产情况未见异常现象，下午生产情况出现了异常现象B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常C．上、下午生产情况均是正常D．上、下午生产情况均出现了异常现象解析：3σ原则：(10－3×,10＋3×，即,，∈,，∉,，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．答案：A二、填空题5．已知正态分布落在区间，＋∞)上的概率为，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间，＋∞)上的概率为，得μ＝. 答案：6．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态曲线的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为.答案：7．若随机变量ξ～N (10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a ，a ∈(0,，则ξ在(－∞，15)上的概率等于________．解析：P (10<ξ<15)＝a ，故P (－∞<ξ≤5)＝12(1－2a )＝12－a ，所以ξ在(－∞，15)的概率等于12－a ＋a ＋a ＝12＋a . 答案：12＋a 三、解答题8．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如右图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ＝15002πe －(x －8000)22×5002，x ∈(－∞，＋∞)． (2)∵P (7500<ξ≤8500)＝P (8000－500<ξ≤8000＋500)＝.∴P(8000<ξ≤8500)＝12P(7500<ξ≤8500)＝.即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的%.9．在某次数学测试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90,100)．(1)求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]内的考生约有多少人？解：(1)∵ξ～N(90,102)，∴μ＝90，σ＝10，所以(1)P(70<ξ≤110)＝P(90－20<ξ≤90＋20)＝.(2)P(80<ξ≤100)＝P(90－10<ξ≤90＋10)＝，所以考试成绩在(80,100]内的考生约有2000×≈1365人．。

选修2-3 第二章 2.1 2.1.2 第1课时
1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
则a ＝( A ．1
B ．1±22
C ．1＋22
D ．1－22 [答案] D
[解析] 由分布列的性质，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ≥0，
12＋(1－2a )＋a 2＝1，
解得a ＝1－22. 2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km ，则按每超出1km ，加收2元计费(超出不足1km 的部分按1km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费也可以是一个随机变量．(ξ为整数)租车费η关于行车路程ξ的关系式为________；
已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多______________分钟．
[答案] η＝2ξ＋2 15
[解析] 由题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2，由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.。

选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974 [答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化． 二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D. [点评] 解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N (μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N (1,42)，若η＝4－3ξ，则E (η)＝__________________. [答案] 1[解析] 由条件知E (ξ)＝1，E (η)＝4－3E (ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N (25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体N (25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20， 所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.E(ξ)＝30×。

2.4正态分布自主预习·探新知情景引入高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？新知导学1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在x＝μ处达到峰值__12πσ__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．甲 乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝__0.6826__； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝__0.9544__； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝__0.9974__． 4．3σ原则通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．预习自测1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7[解析] 由题意可得P (2≤ξ<4)＝1－0.15×22＝0.35，故选B ．2．(2020·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布N (100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68)( D )A ．60%B ．68%C ．76%D ．84%[解析] ∵X 服从正态分布N (100,100)，∴P (90≤X ＜100)＝12P (90≤X ≤110)＝12×0.68＝0.34， P (X ≥100)＝0.5，∴P (X ≥90)＝0.34＋0.5＝0.84． 故选D ．3．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<2)＝0.6，则P (0<ξ<1)＝__0.1__． [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)， ∴曲线关于直线x ＝1对称， ∵P (ξ<2)＝0.6，∴P (0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1， 故答案为0.1．4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．[解析] 由ξ～N (100,102)知，μ＝100，σ＝10， 又P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (ξ>110)＝P (ξ<90)＝1－P (90≤ξ≤110)2＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝1－2×0.32＝0.2．∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N (10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是多少？[解析] 因为大米的质量服从正态分布N (10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N (10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg 的概率为P (10－2×0.1<X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶正态曲线及其性质典例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．[解析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.所以正态分布密度函数的解析式是f(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．『规律总结』求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为12πσ．(2)待定系数法：求出μ，σ即可．┃┃跟踪练习1__■(1)(2020·青岛高二检测)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102π·e－(x－80)2200(x∈R)，则下列命题不正确的是(B)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．命题方向❷利用正态分布求概率典例2已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.682 6，则σ＝__2__，P(|ξ－2|<4)＝__0.84__．[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.682 6，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知⎩⎪⎨⎪⎧μ＋σ＝6，μ－σ＝2，∴σ＝2．∴P (|ξ－2|<4)＝P (－2<ξ<6) ＝P (－2<ξ<2)＋P (2<ξ<6)＝12[P (－2<ξ<10)－P (2<ξ<6)]＋P (2<ξ<6) ＝12P (－2<ξ<10)＋12P (2<ξ<6) ＝12[P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.997 4＋0.682 6)＝0.84． 『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )； P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )． ┃┃跟踪练习2__■(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2<ξ<2)＝( C ) A ．0.477 B ．0.625 C ．0.954D ．0.977(2)设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ>c )＝a ，则P (ξ>4－c )等于( B ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a[解析] (1)P (－2<ξ<2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954． (2)对称轴x ＝2，∴P (ξ>4－c )＝1－P (ξ>c )＝1－a ． 命题方向❸正态分布的应用典例3 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X ～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析]由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．『规律总结』在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．┃┃跟踪练习3__■某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？[解析](1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10．分数在60～80之间的学生的比为：P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比为12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%．(2)成绩在80～90内的学生的比为12[P(70－2×10<x≤70＋2×10)－0.682 6]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．即成绩在80～90间的学生占13.59%．学科核心素养假设检验的思想(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．典例4某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？[思路分析]由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682 6，在区间(96,104]内的概率为0.954 4，在区间(94,106]内的概率为0.997 4，所以据此可以判断结论．[解析]由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997 4，而在这个区间外的概率仅为0.002 6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．『规律总结』假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．┃┃跟踪练习4__■假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2 400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．(1)(400,600]；(2)(300,700]．[解析](1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2 400×0.682 6≈1 638(人)．(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2 400×0.954 4≈2 291(人)．易混易错警示因对正态曲线的对称性认识不够而致错典例5已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝__－2__．[辨析]对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X<a)＋P(X≥a)＝1这一结论．[正解]因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．[误区警示]错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．课堂达标·固基础1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝16πe－x2＋4x－46，则(C)A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝3D．μ＝3，σ＝ 3[解析]由φ(x)＝12π×3e－(x－2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C．2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4．由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C．3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的__①__、__②__、__③__．[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？[解析] 设学生的数学成绩为X ，共有n 人参加数学考试， ∵X ～N (60,100)，∴μ＝60，σ＝10．∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝12×(1－0.997 4)＝0.001 3．又P (X >90)＝13n ，∴13n ＝0.001 3，∴n ＝10 000，即此次参加数学考试的学生共有10 000人．。

第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布A 级　基础巩固一、选择题1．设随机变量X ～N (1，22)，则D ＝( ) (12X )A ．4B ．2 C. D ．1 12解析：因为X ～N (1，22)，所以D (X )＝4.所以D ＝D (X )＝1. (12X )14答案：D2．设两个正态分布N (μ1，σ)(σ1＞0)和N (μ2，σ)(σ2＞0)的密度212函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.答案：A3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.135 9＝13.59%.0.954 4－0.682 62答案：B4．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝·e －，X 在区间(－12πx 222，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p 1，p 2则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.答案：C5．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218， 由P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B.答案：B二、填空题6．设X ～N ，则P (－1＜X ＜1)的值为________． (0，14)解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝12P (－1＜X ＜1)＝0.954 4.答案：0.954 47．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x ＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x ＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.答案：18．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．解析：因为P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1 000×(1－0.997 4)＝2.6≈3(个)．答案：3三、解答题9．设X ～N (1，22)，试求：(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)．解：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 6.(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，所以P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)]＝P (1－4＜1212X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)]＝P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤112＋2)]＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)]＝(0.954 4－12120.682 6)＝0.135 9.10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：(1)ξ在(0，2]内取值的概率；(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.(2)又因正态分布图象的对称轴为x ＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.(3) ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.B 级　能力提升1．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．ΦD ．2Φ(μ＋σ) (1－μσ)解析：设η＝，则P (|ξ－μ|＜σ)＝P (|η|＜1)＝P (－1＜η＜1)|ξ－μ|σ＝Φ(1)－Φ(－1)．答案：B2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝(112－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．答案：2293．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X ，且X ～N (110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．解：因为X ～N (110，202)，所以μ＝110，σ＝20.P (110－20＜X ≤110＋20)＝0.682 6.所以X ＞130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7. 12所以X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.所以及格的人数为54×0.841 3≈45 (人)，130分以上的人数为54×0.158 7＝9 (人)．。

2．4 正态分布[目标] 1.会分析正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．[重点] 正态曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题．[难点] 求随机变量在某一区间内的概率．知识点一 正态曲线与正态分布[填一填]1．正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布：(1)如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X ～N (μ，σ2)．[答一答]1．正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24 ，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是多少？提示：μ＝－3，σ＝ 2.3．正态分布是自然界中常见的一种分布，你能列举出一些实例吗？提示：正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．知识点二正态分布的性质[填一填]1．正态分布的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682_6；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954_4；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997_4.[答一答]4．正态曲线的对称轴是什么？提示：直线x＝μ.5．正态分布中P(μ≤x≤μ＋a)与P(μ－a≤x≤μ)(a>0)有什么关系？提示：μ≤x≤μ＋a与μ－a≤x≤μ关于x＝μ对称，所以P(μ≤x≤μ＋a)＝P(μ－a≤x≤μ)．6．为什么正态分布中，通常认为X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的值？提示：正态分布中变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，故在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ]之内的值，简称“3σ”原则．1．对正态曲线的理解(1)解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数，其中π是圆周率，e是自然对数的底数，即自然常数．(2)解析式中含有两个参数：μ和σ.其中μ可取任意实数；σ>0.在不同的正态分布中μ，σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．(3)解析式中前面有一个系数12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x－μ)22σ2，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性．2．对正态分布性质的理解性质(1)说明函数的值域为正实数集的子集且以x轴为渐近线；性质(2)说明曲线关于直线x＝μ对称；性质(3)说明当x＝μ时函数取得最大值；性质(4)说明正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为1；性质(5)说明当标准差一定时，μ变化时，总体分布的变化情况；性质(6)说明当均值一定时，σ变化时，总体分布的集中、离散程度．应结合正态曲线的特点理解、记忆上述性质．3．对3σ原则的理解正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这也是统计中常用的假设检验的基本思想．类型一正态曲线的图象与性质【例1】如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【分析】由题目可获取以下主要信息：①总体服从正态分布且正态曲线已给出；②求其解析式及总体随机变量的期望与方差．解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φu，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2可知μ及σ的值．【解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝12π·e－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用图象求正态密度函数的图象，应抓住图象实质性的两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值12πσ.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(A)A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.故选A.类型二正态分布的概率计算【例2】设X～N(1,22)，求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．【分析】要求随机变量X在某一范围内的概率，只须借助于正态密度曲线的图象性质及三个特殊区间内取值的概率．【解】∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)]＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.已知X～N(1.4,0.052)，求X落在区间(1.35,1.45]内的概率．解：因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X落在区间(1.35，1.45]中的概率为P(1.4－0.05<X≤1.4＋0.05)＝0.682 6.类型三正态分布的简单应用【例3】在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.【分析】(1)由题意首先确定正态分布中μ，σ的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；(2)利用(1)的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数．【解】(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10，则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.955)＝0.022 5，16÷0.022 5≈711(人)．因此，此次参赛学生的总数约为711.(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12×[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.683)＝0.158 5，得711×0.158 5≈113(人)．因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为(A) A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产悄况均正常D．上午、下午生产情况均异常解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，9.9∈I,9.3∉I，故选A.正态分布的实际应用【例4】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？【思路分析】正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．【解】∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．【解后反思】解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？解：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.1 2π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－(x－80)2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸ξ位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.1．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－(x－1)28，x∈R，则其标准差为(B)A．1 B．2C．4 D．8解析：由正态分布密度函数知，2σ2＝8，故σ＝2.2．如图是当σ分别取值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：当σ取σ2时最大值为12π，∴σ2＝1，再根据三个图象的集中程度知D成立．3．在f (x )＝12πe －(x ＋3)24 中当变量x ＝－3时，f (x )取到最大值12π. 4．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (ξ<0)＝12.解析：因为ξ～N (0,1)，从而正态密度曲线关于直线x ＝0对称，∴P (x <0)＝12.5．已知随机变量ξ～N (2,4)，试计算正态总体ξ落在下列区间的值．(1)(2－2,2＋2]；(2)(2－2×2,2＋2×2]；(3)(－4,8]．解：∵ξ～N (2,4)，∴μ＝2，σ＝2，(1)P (2－2<ξ≤2＋2)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6；(2)P (2－2×2<ξ≤2＋2×2)＝P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4；(3)P (－4<ξ≤8)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2.4 正态分布练习一、选择题1．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()．A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 53．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()．A．13,4 B．13,8 C．7,8 D．7,164．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞C＋1)＝P(X＜C－1)，则C＝()．A．1 B．3 C．2 D．55．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为()．A．0.682 6 B．0.997 4 C．0.317 4 D．0.954 4二、填空题6．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝__________时达到最高点．7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为__________．8．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2.(1)求X在(0,4)内取值的概率；(2)求P(X＞4)．10．商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10 kg～10.2 kg的概率是多少？参考答案1答案：A 解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.2答案：B 解析：P (X ＞4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 3答案：D 解析：由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16.4答案：C 解析：∵X ～N (2,9)，∴P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜3－C )．又P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜C －1)，∴3－C ＝C －1.∴C ＝2.5答案：D 解析：∵X ～N (50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P (30＜X ≤70)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.6答案：0.2 解析：∵P (X ＞0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，即直线x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时，φμ，σ(x )达到最高点．7答案：Y ～N (2,62) 解析：由已知E (X )＝1，D (X )＝4，∴E (Y )＝3E (X )－1＝2，D (Y )＝9×4＝36＝62.∴Y ～N (2,62)．8答案：10 解析：考试的成绩ξ服从正态分布N (100,102)，∴考试的成绩ξ关于ξ＝100对称．∵P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (100≤ξ≤110)＝0.3.∴P (ξ＞110)＝0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.9解：(1)由X ～N (2，σ2)，知对称轴x ＝2，画出示意图：∵P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)，∴P (0＜X ＜4)＝2P (0＜X ＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X ＞4)＝12[1－P (0＜X ＜4)]＝12×(1－0.4)＝0.3. 10解：∵X ～N (10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P (9.8＜X ≤10.2)＝P (10－2×0.1＜X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4.又正态曲线关于直线x ＝μ＝10对称，∴P(10＜X≤10.2)＝12P(9.8＜X≤10.2)＝0.477 2.∴质量在10 kg～10.2 kg的概率为0.477 2.。

课后导练基础达标1.如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N （μ，σ2）,当随机抽取其一个值a 时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立( )A.a ∈(μ-3σ,μ+3σ)B.a ∉(μ-3σ,μ+3σ)C.a ∈(μ-2σ,μ+2σ)D.a ∉(μ-2σ,μ+2σ) 答案：B2.设随机变量ξ服从正态分布N(10,22)，且P(|ξ-10|＜a)=0.9,则a=___________(a 取整数). 答案：a=3.3.正态总体的概率密度函数f(x)=2)5.2(22--x e π(x ∈R )，则正态总体在区间(1,4)内取值的概率________________.答案：0.9974.ξ服从标准正态分布.试求:(1)P(ξ＜1.8); (2)P(-1＜ξ＜1.5);(3)P(ξ＞1.5); (4)P(|ξ|＜2).解析：标准正态曲线关于y 轴对称，且有P （x ＜x 0）=Φ(x 0),Φ(-x 0)=1-Φ(x 0)，关于Φ（x ）的计算可查标准正态分布表，可得（1）P （ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0.964 1;(2)P(-1＜ξ＜1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1)=0.933 2-1+Φ(1)=0.774 5;(3)P(ξ＞1.5)=1-Φ(1.5)=1-0.933 2=0.066 8;(4)P(|ξ|＜2)=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.5.在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N(80,100)(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）.解析：因为ξ—N(80,100)，由条件知P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ(108092-)=1-Φ(1.2)=1-0.884 9=0.115 1. 这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51%. 因此考生总数大致为1151.020≈174名， 故前50名考生在全体考生中占的比例为0.287 4.设第50名考生的成绩为x ，则P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ(1080-x )=0.287 4. Φ(1080-x )=0.712 6,1080-x =0.56,解得x=85.6.所以录取分数线约为86分. 综合运用6.总体密度曲线是函数f(x)=222)(21σμπσ--x e ,x ∈R 的图象的正态总体有以下命题：(1)正态曲线关于直线x=μ对称；(2)正态曲线关于直线x=σ对称；（3）正态曲线与x 轴一定不相交；（4）正态曲线与x 轴一定相交，其中正确的命题是( )A.(2)(4)B.(1)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)答案：C7.假设总体服从正态分布N(3,41)时，如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a 应落在区间____________内.答案：a ∈(-∞,49］∪［415,+∞). 8.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，而且已知P （ξ＜0.5）=0.079 3,P(ξ＞1.5)=0.761 1,求μ与σ. 解析：因为ξ—N(μ,σ2)，所以P （ξ＜0.5）=Φ(σμ-5.0)=0.079 3,即1-Φ(σμ5.0-)=0.079 3, 所以Φ(σμ5.0-)=0.920 7，查表得σμ5.0-=1.41,易得σμ5.0-=0.71.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-71.05.141.15.0σμσμ,得⎩⎨⎧==43.1515.2σμ. 9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N(70,102)，已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？解析：由题意可知：P(ξ≥60)=1-P(ξ＜60)=1-Φ(107060-)=1-Φ(-1)=0.841 3.这说明数学成绩在60分和60分以上的考生（共100名）在全体考生中占84.13%，因此考生总数大致为8413.0100≈119名，故前20名考生在全体考生中的比率大约为：11920≈0.168 1.设t 为第20名考生的成绩，则有P(ξ≥t)=1-Φ(1070-t )≈0.168 1.从而Φ(1070-t )≈0.831 9,经查表，得1070-t ≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分. 拓展探究10.一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服从正态分布N （8，32）和N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？解析：对第一个方案，有x —N(8,32),于是P （x ＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(385-)=1-Φ(-1)=1-［1-Φ(1)］=Φ(1)=0.841 3.对第二个方案，有x —N(6，22),于是P （x ＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(265-)= 1-Φ(-0.5)=Φ(0.5)=0.691 5.相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.备选习题11.设随机变量ξ—N(μ,σ2)，且P （ξ≤C ）=P(ξ＞C),则C 等于( )A.0B.σC.-μD.μ解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得答案为D.答案：D12.某厂生产的零件外直径ξ—N （8.0,0.152）(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常、下午生产情况异常D.上午生产情况异常、下午生产情况正常 解析：根据3 σ原则，在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15=7.55(mm)之外时为异常. 答案：C13.随机变量ξ服从正态分布N （0,1）,如果P （ξ＜1）=0.841 3,求P （-1＜ξ＜0）. 解析：∵ξ—N(0,1),∴P(-1＜ξ＜0)=P(0＜ξ＜1)=Φ(1)-Φ(0)=0.841 3-0.5=0.341 3.14.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ(单位：℃)是一个随机变量，且ξ—N(d,0.52).(1)若d=90°,求ξ＜89的概率；（2）若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少是多少？（其中若η—N(0,1),则Φ（2）=P （η＜2）=0.977 2，Φ(-2.327)=P(η＜-2.327)=0.01）.解析：(1)要求P （ξ＜89）=F(89)，∴ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值.P(ξ＜89)=F(89)=Φ(5.09089-)=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. (2)由已知d 满足0.99≤P(ξ≥80),即1-P(ξ＜80)≥1-0.01,∴P(ξ＜80)≤0.01.∴Φ(5.080d -)≤0.01=Φ(-2.327). ∴5.080d -≤-2.327. d≥81.163 5.故d 至少为81.163 5.15.已知测量误差ξ—N(2,100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm 的频率大于0.9?解析：设η表示n 次测量中绝对误差不超过8 cm 的次数，则η—B(n,p).其中P=P （|ξ|＜8）=Φ(1028-)-Φ(1028--)=Φ(0.6)-1+Φ(1)=0.725 8-1+0.841 3=0.567 1. 由题意，∵P(η≥1)＞0.9,n 应满足P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)n ＞0.9,∴n ＞75.24329.0lg 1)5671.01lg()9.01lg(=-=--. 因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8 cm 的概率大于0.9.16.某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人，报考的人数是1 675人，考试满分是400分，考试后得知，考试平均成绩μ=166分，360分以上的高分考生有31人，某考生甲得256分，问他能否录取？能否被聘为正式工？（参考数据：标准正态分布表（部分））Φ（x 0）=p(x ＜x 0)x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … … … … … … … … … … … 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8213 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 … … … … … … … … … … …2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.98080 .981 0.9817 解析：分二步解答.第一步，预测最低分线，设最低分数线为x 1,考生的成绩为ξ,则对一次成功的考试来说，ξ服从正态分布.由题意知：ξ—N(166,σ),∴η=σξ166-—N(0,1).∵高于360分考生占全体考生165731,∴P(ξ＞360)=P(η＞σ166360-)=165731, ∴P(η≤σ166360-)=1-165731≈0.981,由题后附表可知σ166360-=2.08,即σ=93,∴ξ—N(166,93).∵最低分数线的确定应该使录取考生的概率等于1657300.即P(η＜931661-x )=1657300,∴P(η≤931661-x )=1-1657300≈0.819,查附表得931661-x =0.91. ∴x 1≈251，即最低分数线为251分.第二步，预测考生甲的考试名次，确定他是否能被录取，在ξ=256时，由题后附表知：P(η≤93166-ξ)=P(η≤93166256-)=P(η≤0.968)≈0.831 5. ∴P(η＞93166256-)≈1-0.831 5=0.168 5. 这说明，考试成绩高于256分的概率是0.168 5，也就是成绩高于考生甲的人数大约占考生总数的16.85%，∴名次排在考生甲之前的考生人数大约有1 657×16.85%≈280名.即考生甲大约排名在281名.由于一共招收300名.故考生甲可以被录取.但正式工只招280名，而281＞280，所以考生甲不能聘为正式工，但被录取为临时工的可能性很大.。