专题16 几何体的几何特征与点线面关系【解析版】

几何形的点线和平面关系在几何学中，点、线和平面是最基本的几何概念，它们相互之间存在着密切的关系。

本文将探讨几何形的点线和平面之间的关系，从而进一步理解几何学的基本原理。

一、点和线的关系点是几何形的最简单元素，可以看成是没有长度、宽度和高度的，仅有位置而无大小的几何实体。

线是由无数个点按照一定的规律连在一起形成的，它具有长度但没有宽度和高度。

点与线之间的关系主要体现在以下几个方面。

1. 线上的任意两点确定一条唯一的直线。

这是几何学中的著名定理，也是点和线之间最基本的关系之一。

通过两个点可以描绘一条直线，而且这条直线是唯一确定的。

2. 点可以在线上任意移动，但不会改变线的性质。

无论点在线的哪个位置，线依然是直线，具有一维的性质。

点的位置可以改变，但并不会影响线本身。

3. 线段是由两个端点围成的部分。

线段是线上的一小段，它的两个端点是线上的两个点。

线段是线的一种特殊情况，有着特定的长度。

二、点、线与平面的关系点和线是平面上的基本构成要素，通过它们可以形成更复杂的几何形状。

点、线与平面之间的关系可以从以下几个方面来理解。

1. 平面可以通过点和线来确定。

在平面上任取三个不共线的点，这三个点就可以确定一个平面。

另外，通过一条直线和一点外的另一条直线，可以确定一个平面。

2. 平面可以包含无数个点和线。

在平面上，可以找到无数个点和线，并且这些点和线都在这个平面上。

平面是一个二维的几何对象，可以容纳无数个点和线。

3. 点在平面上可以自由移动，但不会改变平面的性质。

无论点在平面的任何位置，平面仍然是二维的，具有无限大的面积。

点的位置可以改变，但并不会影响平面本身。

4. 线可以在平面上自由延伸和移动。

平面上的线可以无限延伸，可以增加或减小它的长度，但不会离开平面。

线可以在平面上自由移动，但始终保持在平面内部。

5. 平面可以与平面相交，形成新的几何形状。

两个平面可以相交，相交的区域形成一条线，或者是一个点。

通过不同的相交关系，我们可以得到不同的几何形状。

空间几何的基本概念点线与面的关系空间几何的基本概念：点、线与面的关系空间几何是研究三维空间中点、线和面之间的关系的数学分支。

点、线和面是空间几何中最基本的概念，它们之间的关系是建立在欧几里得几何基础上的。

本文将介绍空间几何中点、线和面的定义及其之间的关系。

一、点点是空间几何中最基本的对象，它是没有长度、宽度和高度的，仅有一个位置。

点通常用字母标记，如A、B、C等。

在空间中，任意两点可以确定一条线段，而三个非共线的点可以确定一个平面。

二、线线是空间几何中由无数个点组成的集合，它只有长度没有宽度和高度。

线通常用字母表示，如l、m、n等。

线可以分为直线和曲线两种。

直线是在空间中两点之间连续延伸的路径，它有无限个点。

而曲线则是非直线的线，它的形状可以是弯曲或蜿蜒的。

三、面面是空间几何中由无数个直线组成的集合，它有长度和宽度，没有高度。

面通常用字母表示，如α、β、γ等。

面可以分为平面和曲面两种。

平面是由无数个共面的点和一条穿过其中的直线组成的，它没有弯曲的部分。

而曲面则不是平的，它可以弯曲或扭曲。

点、线和面的关系是空间几何中重要的内容。

在空间中，点是构成线和面的基础。

在两个点之间，可以画一条直线，它是连接两个点的最短路径。

多个点可以连成一条折线，折线也是一种线。

线可以在平面内运动、延伸或相交，形成不同的几何形状，而面是由无数条线构成的，它们共面并围成了一个封闭的区域。

点线面之间的关系可以通过以下几个方面进行描述：1. 点与线的关系：一条直线上的任意两点可以确定一条线段，反之，一条线段也可以看作是两个端点之间的直线。

点也可以在一条直线上移动，形成线段的延伸或缩短。

两条相交的直线可以在交点处确定一个新的点。

2. 点与面的关系：一个点可以在平面内，平面也可以通过一个点来确定。

在一个平面上，可以找到无数个点。

3. 线与面的关系：一条线可以在平面内或平面上延伸，两条相交的直线可以确定平面上的一条直线。

一个平面上可以有多条直线，它们可以平行、相交或重合。

初一下册几何点线面体,讲解点、线、面、体是几何学中的基本概念，它们之间的关系可以用来描述空间中的形状和结构。

●点：点是几何学中最基本的元素之一。

它没有大小，也没有方向。

在空间中，点的位置由其坐标确定。

通过在二维空间中放置一个点，可以形成一个有序数对，其中第一个数表示该点在x轴上的位置，第二个数表示该点在y轴上的位置。

在三维空间中，需要三个数来确定点的位置，即x、y和z坐标。

●线：线是由无数个点组成的集合。

在二维空间中，线是由所有有序数对组成的集合，其中第一个数是x坐标，第二个数是y坐标。

线有起点和终点，并且可以无限延伸。

在三维空间中，线是所有有序数对组成的集合，其中除了x和y坐标外，还有一个z坐标。

●面：面是由无数条线组成的集合。

在二维空间中，面是由所有有序数对组成的集合，其中第一个数是x坐标，第二个数是y坐标。

面有边界，并且可以无限延伸。

在三维空间中，面是由所有有序数对组成的集合，其中除了x和y坐标外，还有一个z坐标。

●体：体是由无数个面组成的集合。

在三维空间中，体是由所有有序数对组成的集合，其中除了x、y和z坐标外，还有一个表示高度的参数。

体有边界和内部空间。

●点、线、面、体的关系可以通过几何图形来演示。

例如，一个正方形可以由一个点、四条线和四个面组成。

通过将点移动到不同的位置，可以形成不同的几何图形。

总之，点、线、面、体是几何学中的基本概念，它们之间的关系可以用来描述空间中的形状和结构。

通过学习和理解这些概念和关系，我们可以更好地理解和掌握几何学的基础知识。

点线面的关系在几何学中，点、线和面构成了基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。

点是最基本的元素，它是没有长度、宽度和高度的，只有位置。

线是由一系列相邻点组成的，它具有长度但没有宽度和高度。

面由若干条线段相交形成的封闭区域，它具有长度和宽度但没有高度。

点、线和面之间的关系可以通过以下几个方面来描述。

1. 点与线的关系点与线之间的关系比较简单。

一条线段由两个端点组成，而一个点可以是一条线段的一个端点。

点可以在线上或者线的延长线上，也可以不在线上。

点的位置相对于线的位置有多种可能：在线的中间、在线的一端或者在线的外部。

点和线之间的关系可以通过点是否在线上来判断。

2. 点与面的关系点和面之间的关系也比较简单。

点可以在面上、在面的边界上或者在面的外部。

如果一个点在面上，则称该点在该面内。

点和面之间的关系可以通过点是否在面上来判断。

3. 线与线的关系线与线之间的关系有多种情况。

两条线可以相交，也可以平行或重合。

线与线之间的关系可以通过它们的位置关系来描述：如果两条线没有任何交点，则它们平行；如果两条线有且仅有一个交点，则它们相交；如果两条线的所有点都重合，则它们重合。

4. 线与面的关系线和面之间的关系也有多种情况。

线可以位于面内、跨越面或者位于面的边界上。

当一条线既在面内又与面相交时，它被称为切线。

线和面之间的关系可以通过它们的位置关系来判断。

5. 面与面的关系面与面之间的关系也有多种情况。

两个面可以平行，也可以相交。

两个相交的面可以有共线的边，也可以没有共线的边。

两个面之间的关系可以通过它们的位置关系来描述。

综上所述，点、线和面之间存在着丰富的关系。

它们相互作用和相互影响，形成了几何学中复杂而有趣的结构。

通过研究点、线和面之间的关系，我们可以深入理解几何学的基本原理，并将其应用于实际问题的解决中。

几何学作为数学的一部分，对于我们认识和探索世界具有重要的意义。

因此，我们应该充分理解和运用点、线和面之间的关系，以拓宽我们的视野和思维方式。

点线与面的几何关系点、线和面是几何学中基本的几何要素，它们之间存在着密切的几何关系。

在本文中，我们将探讨点、线和面之间的几何关系，以及它们在三维空间中的特殊性质和应用。

一、点与线的关系点是几何学中最基本的要素，它是没有任何维度的，只有位置信息。

而线则是由无数个点组成的，它具有一维的性质，可以看作是一维的延伸。

点和线之间的几何关系主要包括以下几个方面：1.1 点在直线上当一个点处于一条直线上时，我们可以说该点在直线上。

直线是由无数个点组成的，其中的任意一个点都可以被称为直线上的点。

1.2 点与线的相对位置一个点相对于一条直线可以有三种位置关系：点在直线上、点在直线的左侧或点在直线的右侧。

这是由点与直线的几何关系所决定的。

1.3 点的投影通过将垂直于直线的线段与直线相交，我们可以找到点在直线上的垂直投影。

这个投影点是点与直线之间的最短距离所在的点。

1.4 点到直线的距离点到直线的距离是指点到直线的最短距离。

我们可以通过求解该点到直线的垂直投影来计算得到。

二、点与面的关系面是由无数个点和线组成的，它具有二维的性质。

点、线与面之间的几何关系如下所示：2.1 点在平面上当一个点处于一个平面上时，我们可以说该点在平面上。

平面是由无数个点组成的，其中的任意一个点都可以被称为平面上的点。

2.2 点与平面的相对位置一个点相对于一个平面可以有四种位置关系：点在平面上、点在平面的上方、点在平面的下方或点在平面的内部。

这是由点与平面的几何关系所决定的。

2.3 点到平面的距离点到平面的距离是指点到平面的最短距离。

我们可以通过求解该点到平面的垂直投影来计算得到。

三、线与面的关系线是由无数个点组成的，面是由无数个点和线组成的，因此线与面之间的几何关系也是十分重要的。

线与面的关系如下所示：3.1 线在平面上当一条线处于一个平面上时，我们可以说该线在平面上。

这条线可以与平面内的任意一条线相交或平行。

3.2 线与平面的相对位置一条线相对于一个平面可以有三种位置关系：线在平面内、线与平面平行或线与平面相交。

点线面与体点线面与体的基本概念与特征点线面与体是几何学中的基本概念，它们是描述和构建几何图形和空间的基本要素。

本文将介绍点线面与体的基本概念与特征，并讨论它们在几何学中的重要性。

一、点的概念与特征点是几何学中最基本的概念之一，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

点可以表示为一个具体的坐标或一种抽象的符号，如(x, y, z)或A。

无论如何表示，点都是几何空间中的一个具体位置。

点有以下几个特征：1. 点是零维的，没有尺寸和形状。

2. 点没有方向，可以在空间中移动，但它的位置始终不变。

3. 两个不同点之间可以通过直线连接。

二、线的概念与特征线是由一系列点连接而成的几何对象，它有长度但没有宽度和高度。

线是由无数个点构成的，可以通过这些点的连续性来描述一个曲线或直线。

线有以下几个特征：1. 线是一维的，有长度但没有宽度和高度。

2. 线无论怎样延长都没有尽头，可以无限延伸。

3. 线可以是直线或曲线，直线是两个点之间的最短路径，而曲线则不是。

三、面的概念与特征面是由一系列线连接而成的几何对象，它有长度和宽度但没有高度。

面可以看作由无数个点和线组成的一个平坦的二维区域。

面有以下几个特征：1. 面是二维的，有长度和宽度但没有高度。

2. 面可以是平面或曲面，平面可以由至少三个相互连接的点所确定，而曲面则不是。

3. 面可以被划分为许多小区域，每个小区域都可以表示为一个点、线或面。

四、体的概念与特征体是由一系列面连接而成的几何对象，它有长度、宽度和高度。

体是空间中的一个三维区域，可以看作由无数个点、线和面组成的一个立体物体。

体有以下几个特征：1. 体是三维的，在长度、宽度和高度上都有尺寸。

2. 体是由至少四个面连接而成的，每个面都可以表示为一个点、线或面。

3. 体可以是正体或曲体，正体的面都是平面，而曲体则不是。

点线面与体在几何学中起着重要的作用。

它们是描述和构建几何图形和空间的基本要素，为我们研究和应用几何学提供了基础。

点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。

②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。

④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

n m a m 1n 1m 2n 2m 1n 1
m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。

②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。

③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。

④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一个平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。

(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

点线面的关系和投影的特点及其在几何学中的应用几何学是关于点、线和面等几何元素之间相互关系的研究。

而点线面之间的关系以及它们在投影中的特点，是几何学中重要的概念。

本文将探讨点线面之间的关系，并着重介绍投影的特点以及它们在几何学中的应用。

一、点线面之间的关系在几何学中，点线面是最基本的几何元素。

点是几何学的最小单位，没有长度、面积和体积。

线由无数个无限接近的点组成，具有长度但没有宽度和高度。

面由无数个无限接近的线组成，具有长度和宽度但没有厚度。

点、线和面之间存在着紧密的关系。

首先，一条线可以由无数个点组成。

例如，直线AB可以由A点到B点的无数个点组成。

其次，一个面可以由无数个线组成。

例如，平面P可以由无数条线上的点组成。

最后，一个面可以包含无数个点。

例如，平面P可以包含A、B、C等无数个点。

通过点线面的关系，我们可以更好地理解几何学中的各种概念和定理。

例如，在证明平行线之间的性质时，我们可以利用线与线之间的交点关系来推导出结论。

同时，点线面的关系也为解决几何学问题提供了基础。

在解决平面几何问题时，我们可以通过线与线之间的交点来确定点在平面上的位置。

二、投影的特点投影是一个重要的几何工具，它在几何学中具有广泛的应用。

投影是指将一个物体在另一个平面上的投射，使得原物体的形状、大小和位置在投影中得到保持。

在投影过程中，我们常常遇到以下几个特点：1. 平行投影：平行投影是指当物体与平面平行时，其投影在投影面上的大小和形状与原物体完全相同。

例如，一根竖直的杆子在垂直投影面上的投影仍然是一根竖直的线段。

2. 正交投影：正交投影是指当物体与投影面垂直时，其投影在投影面上的大小和形状发生改变，但仍然保持垂直关系。

例如，一个立方体在平面上的投影是一个正方形，虽然大小和形状发生变化，但其边与投影面垂直。

3. 等距投影：等距投影是指当物体与投影面成一定角度时，其投影与原物体形状相似但大小发生变化。

例如，一个立方体在斜投影面上的投影是一个倾斜的正方形，与原立方体相似但稍微变形。

专题16图形的初步认识【考查题型】【知识要点】知识点一几何图形几何图形的概念:我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形。

立体图形的概念：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。

【常见的立体图形的种类】棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

平面图形的概念：图形所表示的各个部分在同一平面内的图形，如三角形、正方形。

【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等。

立体图形和平面的区别:1）所含平面数量不同：①平面图形是各个部分存在于一个平面上的图形；②立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

①根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的；②而立体图形是由不同的平面图形构成的，由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

①平面图形只能从一个角度观察；②立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

①平面图形只有长宽属性，没有高度；①而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图立体图形的三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

【考查类型】1）会判断简单立体图形（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

3）正方体展开图（共计11种）：口诀：1）“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,2）“三个二”成阶梯,3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

4）体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

【扩展】多面体的顶点数V、棱数E、面数F 之间存在关系式：2V F E +-=．考查题型一立体图形题型1．（2022·河北·中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D 【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．题型1-1．（2022·北京·中考真题）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱锥，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．题型1-2．（2022·山东威海·如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是()A．B．C．D．【答案】B【分析】三视图分为主视图，左视图和俯视图，俯视图是从上往下看，进而得出答案．【详解】解：俯视图从上往下看如下：故选：B.【点睛】本题主要考查了三视图，熟练地掌握主视图，左视图和俯视图是解决本题的关键．题型1-3．（2021·贵州安顺·中考真题）下列几何体中，圆柱体是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A.是圆锥，不符合题意；B.是圆台，不符合题意；C.是圆柱，符合题意；D.是棱台，不符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关键．考查题型二几何体展开图的认识题型2．（2022·四川广元·中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．题型2-1．（2022·广东广州·中考真题）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】A【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：A．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．题型2-2．（2022·江苏常州·中考真题）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．题型2-3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥【答案】B【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．题型2-4．（2021·浙江·中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D【答案】A【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．考查题型三正方体展开图的识别题型3．（2022·江苏宿迁·中考真题）下列展开图中，是正方体展开图的是（）A．B．C．D．题型3-1．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．故选：D．【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．题型3-2．（2021·广东·中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正方体的展开图．故选：C．【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．题型3-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】根据正方体展开图分析即可求解．【详解】根据正方体展开图分析，①的对面是⑤，不能裁掉①故选A【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．考查题型四正方体展开图上相对两个面上字/图案题型4．（2022·河南·中考真题）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人【答案】D【分析】根据正方体的展开图进行判断即可；【详解】解：由正方体的展开图可知“地”字所在面相对的面上的汉字是“人”；故选：D．【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．题型4-1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．题型4-2．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答．【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意；B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意；C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意；D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意；故选∶C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．题型4-3．（2021·河北·中考真题）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【答案】A【分析】根据正方体展开图的对面，逐项判断即可．【详解】解：由正方体展开图可知，A的对面点数是1；B的对面点数是2；C的对面点数是4；∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表，故选：A．【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪两个面相对．题型4-4．（2022·湖南常德·中考真题）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．【答案】月【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．故答案为：月．【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．考查题型五用七巧板拼图案题型5．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意，B不是轴对称图形，不符合题意，C不是轴对称图形，不符合题意，D是轴对称图形，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．题型5-1．（2021·山东枣庄·中考真题）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配②C．搭配③D．搭配④【答案】D【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．【详解】解：搭配①、②、③两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配④不能，故选：D．【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．题型5-2．（2022·江西·中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．方形的特点确定长方形的长与宽．知识点二直线、射线、线段【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量，射线BA和射线AB是不同的射线。

点线面的关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何要素，它们之间有着密切的联系和关系。

点是几何学的基础，线由连接两个点而成，而面则是由多条线所围成的平面区域。

点、线和面的关系无处不在，它们相互作用、相互依存，在几何学以及其他学科中都有着重要的意义。

一、点与线的关系1. 线由点组成线是由两个或更多个点连接而成的。

在几何学中，我们通常用直线和曲线两个概念来描述线的形态。

直线是由无数个点连成的，而曲线则是由多个点相连接而成的线条。

无论是直线还是曲线，都需要点作为基本要素。

2. 点划定线除了构成线的要素外，点还可以划定线的特征。

在平面几何中，两点确定一条直线，通过连接两个点可以得到一条唯一的直线。

同样，在空间几何中，三维坐标系中的两点也可以唯一确定一条直线。

3. 线分割点线可以将空间分割成不同的部分，这些分割点的存在和位置是由线的性质决定的。

在线上的任意一点可以将线划分为两段，这些点被称为分割点。

二、点与面的关系1. 面由点组成面是由许多线相交或平行而形成的平面区域。

每一条线都可以看作是由无数个点连接而成的，因此，面也是由无数个点构成的。

这些点通过线的交叉或平行关系来形成不同的面。

2. 点确定面的特征在平面几何中，三个不共线的点可以确定一个平面。

这意味着，通过连接三个不在同一条直线上的点，可以得到一个唯一的平面。

同样，在空间几何中，通过连接不共线的四个点也可以唯一确定一个平面。

3. 面分割点面可以将三维空间分割成不同的区域。

这些区域的边界由线所组成，线的端点就是面的分割点。

这些分割点将面分割成不同的区域，使得每个区域都具有特定的性质。

三、线与面的关系1. 线与面相交线可以与面相交于一点或多点。

当一条线与平面相交时，它们的交点即是线与面的关系点。

这个交点可以是线在平面上的一个点，也可以是线与平面相交于一条线段。

2. 面与线的包围关系面可以包围线，也可以被线所包围。

当一条线完全位于一个平面内时，该线被称为完全位于平面内。

点线面的关系及其在几何学中的应用几何学是研究点、线、面等几何对象之间的关系和性质的学科。

在几何学中，点、线、面是最基本的概念，它们之间存在着密切的关系，并且在几何学中扮演着重要的角色。

本文将介绍点线面的关系以及它们在几何学中的应用。

一、点线面的关系1. 点与线的关系点是几何学中最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

而线则是由无数个点组成的集合，是一维的几何对象。

点与线之间存在着以下几种关系：（1）点在线上：当一个点与一条线上的点完全重合时，我们可以说这个点在这条线上。

（2）点在线上的垂直投影：一个点在一条线上的垂直投影是指从该点向垂直于线的方向下落，与线交于一点。

这个交点就是点在线上的垂直投影点。

（3）点在线的延长线上：当一个点不在一条线上，但点的连线与线的延长线相交时，我们可以说这个点在线的延长线上。

2. 点与面的关系面是由无数个点和线组成的集合，是二维的几何对象。

点与面之间存在着以下几种关系：（1）点在面上：当一个点与一个面上的点完全重合时，我们可以说这个点在这个面上。

（2）点在面的投影上：一个点在一个面上的投影是指从该点向面垂直方向投影，与面交于一点。

这个交点就是点在面上的投影点。

（3）点在面的上方或下方：当一个点不在面上，但点与面的连线与面平行时，我们可以根据点与面的位置关系，称这个点在面的上方或下方。

3. 线与面的关系线是由无数个点组成的集合，面是由无数个点和线组成的集合，线与面之间存在着以下几种关系：（1）线在面上：当一条线上的所有点都在一个面上时，我们可以说这条线在这个面上。

（2）线与面的交点：当一条线与一个面相交时，这个交点就是线与面的交点。

二、点线面在几何学中的应用1. 平面几何平面几何是几何学中的一个重要分支，与点线面的关系密切相关。

在平面几何中，我们研究平面上的点、直线和封闭曲线等几何对象之间的关系和性质，并应用它们来解决问题。

例如，通过研究点在线上的投影，我们可以得到很多有关垂直关系的定理；通过研究直线与平面的交点，我们可以得到很多有关平行关系的定理。

空间几何中的点线面的关系空间几何是研究空间中的几何形体及其性质的学科。

在空间几何中，点、线和面是最基本的几何元素，它们之间有着复杂而紧密的关系。

下面将讨论点、线和面之间的关系，并探讨它们在实际生活中的应用。

一、点与线的关系在空间几何中，点与线之间存在着密切的联系。

点没有长度、宽度和厚度，只有位置坐标，是空间的基本单位。

而线则是由无数个点连成的，它具有长度但没有宽度和厚度。

点与线的关系主要有以下几个方面：1. 点在线上：点可以在一个线上，这意味着该点与线上的其他点在同一直线上。

这种关系可以用于确定线段的中点、垂直平分线等概念。

2. 线段的两个端点：线段由两个点确定，这两个点称为线段的端点。

线段的长度可以通过计算两个端点在空间中的距离来得到。

3. 直线与平面的交点：一条直线可以与平面相交于一点或多个点。

这种关系在解决平面几何问题中非常常见，如判断直线是否与平面垂直、判断直线是否与平面平行等。

二、点与面的关系点与面是空间几何中另一种重要的关系。

点是零维的，而面是二维的，它们之间的关系可通过以下几个方面来描述：1. 点在平面上：点可以在一个平面上，这意味着该点与平面上的任意一点在同一平面上。

这种关系可以用于计算点到平面的距离，或者确定点在空间中的位置。

2. 点在平面内部或外部：点与平面之间还有一个重要的关系就是点在平面的内部或外部。

点在平面内部，表示该点与平面上的所有点在同一侧；点在平面外部，表示该点与平面上的所有点在不同侧。

这种关系常用于解决判断点与平面的相对位置的问题。

3. 线段与平面的交点：一条线段可以与平面相交于一点或多个点。

这种关系常用于计算线段与平面的交点坐标、线段与平面的交点个数等问题。

三、线与面的关系线与面之间也存在着紧密的联系。

线是一维的，而面是二维的，它们之间的关系主要有以下几个方面：1. 直线在平面内部或外部：一条直线可以在一个平面的内部或外部。

直线在平面内部，表示该直线与平面上的所有点都在同一平面内；直线在平面外部，表示该直线与平面上的所有点都不在同一平面内。

平面几何基础点线面的定义与性质解析几何学是一门研究空间、形体、数量以及它们之间关系的学科。

其中，平面几何是研究二维空间内的点、线、面及其性质和相互关系的分支学科。

在平面几何中，点、线、面是基本的概念，它们的定义和性质对于理解和应用几何学知识至关重要。

一、点的定义与性质点是平面上最基本的几何对象，它是没有长度、面积和体积的，只有位置信息的几何对象。

在平面几何中，点可以表示为大写字母，如A、B、C等。

1. 点的定义：点可以定义为平面上的一个位置，它不占据任何空间，没有大小和形状。

2. 点的性质：a) 点与点之间没有长度，它们之间的距离为零。

b) 任意两点可以确定一条直线。

c) 点可以在平面上自由移动，保持其位置不变。

二、线的定义与性质线是由连续的无限多个点组成的，它是平面几何中的基本要素之一。

在平面几何中，线可以表示为小写字母，如a、b、c等。

1. 线的定义：线是由不计个数的点连结而成的集合，它在平面上没有宽度和高度。

2. 线的性质：a) 线可以看作是点的集合，它们与点一起构成平面几何的基础。

b) 线可以延伸到无穷远，没有起点和终点。

c) 线可以与其他线相交，形成交点。

三、面的定义与性质面是由无限多条线段组成的，它是平面几何中的另一个基本要素。

在平面几何中，面可以表示为大写字母或者一个闭合的曲线。

1. 面的定义：面是由无穷多个共面的点和一些在这些点之间的线段所组成的。

2. 面的性质：a) 面是一个有限或无限的平面区域，它没有厚度，但有宽度和长度。

b) 面可以看作是线的集合，它们构成了平面几何的重要组成部分。

c) 面可以是凸面或凹面，具有不同的形状和特征。

综上所述，点、线、面是平面几何中最基本、不可分割的要素。

它们之间的定义和性质相互关联，共同构成了平面几何的基础。

深入理解和掌握点、线、面的定义与性质，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。

通过对点、线、面的分析解析，我们可以更好地理解几何学的基本原理，进而运用于数学、物理、工程等领域的问题求解中。

点线面的几何关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何要素，它们之间存在着密切的关系。

点被认为是最简单的几何概念，它可以被看作是不具有大小和形状的位置。

线是由一系列无限个点组成的，它具有长度但没有宽度。

面是由无限个线组成的，具有长度和宽度但没有厚度。

点、线和面之间的关系可以通过以下几个方面来理解和描述。

1. 点与线的关系：在几何上，一个点可以存在于一条线上、不在任何一条线上、或者在多条线上。

如果一个点正好在一条线上，则称该点在线上。

如果一个点不在任何一条线上，则称该点不在线上。

如果一个点在多条线上，则称该点在线上。

2. 点与面的关系：一个点可以存在于一个面上、不在任何一个面上，或者在多个面上。

如果一个点正好在一个面上，则称该点在面上。

如果一个点不在任何一个面上，则称该点不在面上。

如果一个点在多个面上，则称该点在面上。

3. 线与面的关系：一条线可以与一个面相交、平行或不相交。

如果一条线与一个面相交，则两者必有一个或多个公共点。

如果一条线与一个面平行，则该线与面没有公共点。

如果一条线与一个面不相交，则两者之间没有任何公共点。

这些点、线和面的关系在几何学中起着重要的作用。

通过研究它们之间的相互关系，可以推导出许多重要的几何定理和性质。

例如，欧氏几何中的平行公理就是通过线与面的关系来定义的。

在实际应用中，点、线和面的几何关系也有着广泛的应用。

在建筑设计中，设计师需要考虑点、线和面的相互位置和关系，以确保建筑结构的稳定性和美观性。

在计算机图形学中，点、线和面的几何关系被用来描述和渲染三维物体的形状和结构。

综上所述，点、线和面是几何学中最基本的要素，它们之间存在着密切的几何关系。

通过研究它们之间的关系，可以推导出许多重要的几何定理和应用。

在实际应用中，点、线和面的几何关系也发挥着重要的作用，对于建筑设计、计算机图形学等领域都具有重要的意义。

第四章立体几何专题16 几何体的几何特征与点线面关系【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住.立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多见.一.折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理.二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.三.几何体的切接、截面问题：(1)求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具．四.角的计算问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1. （2019·安徽高三月考（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．14【答案】D 【解析】长方体中，11BC CC ==，1BC =11AD BC =13AD B π∠=，知AB =，又∵11BC AD P ，∴11B AD ∠是1AB 与1BC 所成的角.∴在11AB D ∆中，111AB B D ==11cos 14B AD ∠==.选D.例2. （2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2B.3C.12D.13【答案】A 【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==例3.（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B 【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.-为正四面体，P为VA中点，易得方法3：（特殊位置）取V ABCα=⇒α=β=γ=，故选B.cos sin sin33例4. (浙江省诸暨市2018届5月适应)如图，矩形中，，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，过作，在中，由，可得．由等积法可得，则∵平面平面，且，可得平面，则．过作，垂足为，连接，则为平面与平面所成的锐角．∵到的距离即．故选：A．例5.（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（一））如图, 在正方体中, , 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，连接交于，取中点，连接、、和，易得，，；，为平面截该正方体所得截面，且；，，，；，即平面截该正方体所得截面的面积为.故选D.例6.（2018年理新课标I卷）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.例7. (黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（二）)在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________. 【答案】9【解析】例8.（2017·全国高考真题（理））a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC |＝1，|AB|=斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1， 直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′（cos θ，sin θ，0）， 其中θ为B ′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =（cos θ，sin θ，﹣1），|'AB|=设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则cos α()()10102'cos sin a AB θθ--⋅==⋅，，，，|sin θ， ∴α∈[4π，2π]，∴③正确，④错误． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]，cos β()()'1100''AB b cos sin AB bbAB θθ⋅-⋅===⋅⋅，，，，θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β2=|cos θ|12=，∵β∈[0，2π]，∴β3π=，此时'AB 与b 的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③．【压轴训练】1．（2018届湖南省郴州市二中第六次月考）已知三棱锥的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的大小为（）A．45° B．90° C．60° D．30°【答案】C【解析】∵⊥平面，，∴三棱锥的体积，∴=4，∴，．设的中点为，连接，，如图，则，，，∴△是正三角形，∴∠=60°．∵是的中点，则∥，∴∠是异面直线与所成的角，即异面直线与所成角的大小为60°．故选：C2.（2019·湖北高三月考）如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60︒C ．0︒D ．120︒【答案】B 【解析】如图所示：取AC 中点G ，连接,EG FG ，因为E 、F 分别是棱AP 、BC 的中点，且G 为AC 中点，所以GE PC 且152GE PC ==，所以GF AB ∥且132GF AB ==；所以异面直线AB 与PC 所成的角即为EGF ∠或其补角，则2225371cos 2352EGF +-∠==-⨯⨯，所以120EGF ∠=︒，所以异面直线AB 与PC 所成的角即为EGF ∠的补角：60︒. 故选：B.3．（2019·广东广雅中学高三开学考试（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O，下列说法正确的是（ ）A ．11//AO D CB ．1A O BC ⊥ C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D【答案】C 【解析】如下图所示，设1111A C B D M =I ，则M 为11A C 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC A C ∴. 易知点O 、M 分别为AC 、11A C 的中点，1//A M OC ∴，则四边形1A MCO 为平行四边形，则1//AO CM ，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A 选项中的命题错误；1//A O CM Q ，1AO ⊄平面11B CD ，CM ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ，C 选项中的命题正确； 易知BM CM =，则BCM ∆为等腰三角形，且BC 为底，所以，BC 与CM 不垂直，由于1//AO CM ，则1A O 与BC 不垂直，B 选项中的命题错误；四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，111B D CC ∴⊥，1111AC CC C =Q I ，11B D ∴⊥平面11A CC ，1A C ∴⊂平面11A CC ，111AC B D ∴⊥，同理可证11A C AB ⊥，且1111AB B D B =I ， 1A C ∴⊥平面11AB D ，则1A O 与平面11AB D 不垂直，D 选项中的命题错误.故选：C.4．（2019·安徽高三开学考试（理））如图，在正方体111ABCD A B C D-中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．． 【答案】C 【解析】对于A 选项，//AD BC ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂Q 平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin dFCθ=，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 5.（河北省衡水中学2019届高三第一次摸底）如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.6.（福建省莆田第九中学2018届高考模拟）过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，因为,所以.同理,所以,因为过正方体的顶点的平面与直线垂直，所以，,所以直线与直线所成角就是所成的角，因为△是等边三角形，所以所成的角为，所以直线与直线所成角就是,故答案为：C.7.（浙江省余姚中学2018届模拟卷（二）如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，同理为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则，设，整理可得：在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆平面平面，，为二面角的平面角，当与圆相切时，最大，取得最小值此时故选.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过A 点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，有下面三个结论：①点H 是1A BD ∆的中心；②AH 垂直于平面11CB D ；③直线1AC 与直线1B C 所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.【答案】①②③ 【解析】对于①，因为AH ⊥平面1A BD ，1AB AD AA ==， 所以1Rt Rt Rt ∆≅∆≅∆ABH ADH AA H ， 所以1HB HD HA ==，所以H 是1A BD ∆的外心；又因为1A BD ∆是等边三角形，所以点H 是△1A BD 的中心.故①正确； 对于②，因为1111//,=A B AB A B AB ，//,=CD AB CD AB ，所以11//A B CD ，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D . 又因为1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD . 同理可证11//B D 平面1A BD .又因为1111B C B D B ⋂=，所以平面11//CB D 平面1A BD ；又因为AH 垂直于平面1A BD ，所以AH 垂直于平面11CB D .故②正确； 对于③，连接111,,AC BC AD .因为四边形11BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥.因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1B C AB ⊥. 又因为1BC AB B =，所以1B C ⊥平面11ABC D .又因为1AC ⊂平面11ABC D ，所以11AC B C ⊥， 所以直线1AC 与1B C 所成的角是90°.故答案为①②③9．（2019·全国高三月考（文））《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪.在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 为邪田，两畔CD AB ，分别为1，3，正广AD 为，PD ⊥ 平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为_______；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为________. 【答案】4 6π【解析】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，延长AD BC ，，使得ADBC F =（如图）.由题意可得2CE BE ==，则4BC ==由题意知,//AB AD CD AB ⊥，所以13DF CD AF AB ==，所以DF =.因为PD ⊥ 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ⊥ 平面PAD ，则AFB ∠ 是直线BC 与平面PAD 所成角的平面角，tan3AB AFB AF ∠===，所以6AFB π∠= 故答案为： 46π10.(湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研)在四面体中，，则四面体体积最大时，它的外接球半径_________．【答案】【解析】 【分析】设AB=2x （0＜x ＜1），则CE=DE=，11.（河北省衡水金卷2018年调研卷（二））如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.【答案】【解析】不妨设正方形的边长为，作，垂足为，由，得平面，故，又，得平面，故直线在平面内的射影为，易知，则与平面所成的角为与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为（当与重合时，与所成角为的），所以直线与所成角的取值范闱为，故答案为.12.（江苏省南通市2018届最后一卷）已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为__________．【答案】.【解析】设的高为，的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.13.（2016浙江）如图，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12【解析】试题分析： ABC 中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠=∠=. 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅ 2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以AC =设AD x =，则0x <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅ 22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故BD =在PBD ∆中， PD AD x ==， 2PB BA ==.由余弦定理可得()22222224cos 2222x x PD PB BD BPD PD PB x +--++-∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=. 由此可得，将ABD 沿BD 翻折后可与PBD 重合，无论点D 在任何位置，只要点D 的位置确定，当平面PBD ⊥平面BDC 时，四面体PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =，则11sin 22PBDS BD d PD PB BPD =⨯=⋅∠，12sin302d x =⋅，解得d =.而 BCD的面积()()111sin 2sin30222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 当平面PBD⊥平面BDC 时：四面体PBCD的体积()111332BCDV Sd x =⨯=⨯x x=.观察上式，易得()x x ≤，当且仅当x x ，即x 时取等号，同时我们可以发现当x x PBCD的体积最大，为1 . 214.（河南省郑州外国语学校2018届高三调研）在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】四边形是菱形，，是等边三角形，过球心O作平面，则为等边的中心，的中点为E，，得，，，在中，由，可得.在中，，即，设三棱锥的外接球的半径为R，即，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.15.（北京市2019届一轮复习）如图，在矩形中，，，为边的中点．将△沿翻折，得到四棱锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：① 总有平面；② 三棱锥体积的最大值为；③ 存在某个位置，使与所成的角为．其中正确的命题是____．（写出所有．．正确命题的序号）【答案】①②【解析】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为：①②16.（湖南省张家界市2018届三模）知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】将三棱锥P —ABC 补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为，设球的半径为R ，PA=2x ，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即O =x ，连接C ，则C=4，，在三角形ABC 中，取AB 的中点为E ，连接D ，E ，则在直角三角形OD 中，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，球的表面积为故答案为：100 .17.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，32π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________.【答案】10【解析】 如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:r =1=,则2AD =,又由343233R ππ=,得球的半径R 2=,所以AP ===取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又PC ==PE ===所以cosCPE ∠=10=.直线PC 与平面PAB . 18.（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ， 则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.∵5DH ==，∴tan AD AHD DH ∠==。

押第16题 空间几何体空间几何体是高考全国卷每年必考知识点,作为客观题考查的空间几何体试题主要涉及三视图、几何体的表面积与体积、截面等内容,难度有容易题也有难度较大的题，求解本类问题的关键是空间想象能力及运算能力，预测2021年依然会有2道立体几何客观题.依然会遵循前几年的命题风格.1.空间几何的结构特征(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．2.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．3.用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．(2)注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧ 平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变4.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．5.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】22π. 【详解】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111DB C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BBB C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，则1DE EP ⊥， 因为球的半径为5，13D E =，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=， 所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E 的距离为2，因为||||2EF EG ==，所以侧面11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2222FG ππ=⨯=. 2．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 3．（2020年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【详解】 AB AC ⊥，3AB =1AC =， 由勾股定理得222BC AB AC =+=， 同理得6BD 6BF BD ∴==在ACE 中，1AC =，3AE AD =30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．2 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM =-=，故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 设内切圆半径为r ，则： ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()1332222r =⨯++⨯=， 解得：22r ，其体积：34233V r ππ==. 6．（2020年江苏省高考数学试卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】32π【详解】 正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π-1．（2021·山东德州市·高三一模）已知三棱锥P ABC -中，AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为______．【答案】3π【详解】 由题可知：AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23如图：所以()222326PC PB BC ====()224232AM AF ==-=， 所以3tan tan 323APF APM ∠=∠==，则6APF APM π∠=∠= 所以12EPF CPM π∠=∠=，则4123EF MN ππ==⨯=44,2332NE MF ππππ=⨯==⨯= 所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为42333ππππ⨯++= 2．（2021·山东烟台市·高三一模）已知正三棱锥 P ABC -的底面边长为2,13面,PAB PBC 分别切于点,M N ，则MN 的长度为___________.【答案】56【详解】如图，设正三棱锥内切球的半径为R ，M 为内切球与侧面PAB 的切点，Q 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r ， ABC 为等边三角形，223CD BC BD ∴=-=, 2233CH CD ==,133DH CD ==, 22121051393PH PC CH =-=-=, POM PDH △△, OM PO DH PD ∴=, .3PH R PD -= 13123PB PD ==-=1053323R -=，解得105R = 35sin sin PH OMQ PDH PD ∠=∠==, 35cos sin sin r MQ R OMQ R PMQ R PDH R ∴==∠=∠=∠=由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故120QMN ∠=︒,由余弦定理可得22222355252cos12033362136MN r r r r =+-︒==⨯⨯=， 所以56MN = 3．（2021·山东济宁市·高三一模）在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，14A D A A ==，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，当三角形1BB P 的面积最小时，三棱锥1A BB P -的外接球的体积是______．【答案】125π6【详解】补全截面EFG 为截面1EFGHQR 如图，设BR AC ⊥，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面1EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面1EFGHQR ，P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB 的面积最小，由等面积法得1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即2211343422BR ⨯+=⨯⨯，125BP ∴=， 1B B AP ⊥，BP AP ⊥，AP ∴⊥平面1B BP ，则1AP B P ⊥，又1AB B B ⊥，1AB ∴为三棱锥1A BB P -的外接球的直径，长度为22345+=．∴三棱锥1A BB P -的外接球的半径为52，体积为35125π2643V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=⨯． 故答案为：125π6．4．（2020·山东高三其他模拟）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 【答案】(882)π+ 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为22，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径22r =，母线长4l， 则其表面积为()2882r rl πππ+=+.5．（2020·山东高三专题练习）已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以22为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.【答案】3π【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，所以11111224A C AB BC ππ===⨯⨯= ， 则所有弧长和为3π（限时：30分钟）1．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正切值是________．【答案】26 【详解】 分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥， ∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '； 同理可得：DF ⊥平面C NE '，又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ， BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ， ∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动．当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A ACC ''⋂平面11MFNE AC =，11AC 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N ''≌，11MA NC ∴=，又11//AC ME ，11//MA EC ，∴四边形11MACE 为平行四边形， ∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，1124MA NC ∴==， 则11A A C C ''==126216-=，62216162A F C E ''∴==+=， 将二面角A EF C ''--单独画出如图．过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1C F CF '==， 222122cos 24222A F EF A E A FE A F EF ''+-'∴∠==='⋅⨯， 则1cos 4FP A F A FE ''=∠=，117216A P '∴=-= 同理14EQ =，7C Q '=1141314FP FQ ==-， 过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接A G '，则GP EF ⊥，∴A PG '∠即为二面角A EF C ''--的平面角，则13FG PG FC QC ==''，∴7PG=，13 FG=，又2A F A C'''==，1C F'=，则A FC''为等腰直角三角形，∴2cos A FC''∠=，2211212102cos45229232A F FG A F FGA G''=+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯='∴，在A PG'中，22277103051614436144cos72777224A P PG A GA PGA P PG+-''+-'∠===='⋅⨯⨯，26tan A PG'∴∠=．2．如图，二面角A BD C--的平面角的大小为120︒，120BDA∠=︒，150BDC=∠︒，2AD BD==，3CD=，则四面体ABCD的外接球表面积为________．【答案】116π【详解】在BDA中，120BDA∠=︒，2AD BD==，所以222+cos23ADAB AD BD DBD B A-⋅∠=⋅设BDA的外接圆的半径为1r，则124sinABrBDA==∠，所以12r=，在BDC中，150BDC=∠︒，2BD=，3CD=222+cos13CDBC CD BD DBD B C-⋅∠=⋅，设BDC的外接圆的半径为2r，则22213sinBCrBDC==∠113r=又作12,OG BD O G BD⊥⊥，所以12O GO∠为二面角A BD C--的平面角，即12120OGO∠=，所以2211132O G r BD⎛⎫=-=⎪⎝⎭22221232O G r BD⎛⎫=-=⎪⎝⎭()()221223233+23cos12021O O -⨯==⨯，设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，球半径为R ，则121227sin O O OG O MO ==∠， 所以2229R OG GD =+=，所以四面体ABCD 的外接球表面积为24429116R πππ=⨯=， 故答案为：116π.3．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，如图所示.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．现已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为___________2cm .【答案】7003π 【详解】由已知得ABD △，CBD 均为等边三角形.如图所示，设球心为O ，BCD △的中心为O '，取BD 的中点F ，连接,,,,AF CF OO OB O B ''，则AF BD ⊥，CF BD ⊥，得BD ⊥平面AFC ， 且可求得53cm AF CF ==， 而15cm AC =，所以120AFC ∠=︒.在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，由BD ⊥平面AFC ，得BD AE ⊥，故AE ⊥平面BCD ，过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形，则()2103sin 60cm 3O B BC ︒'=⨯=，()153cm 2O F O B ''==， ()15sin 60cm 2AE AF =︒=，53sin 30EF AF =︒=． 设球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+，得221003x R +=，2225353152x R ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得5cm x =，2175cm 3R = 故三棱锥A BCD -外接球的表面积()227004cm 3S R ππ== 4．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点C 在平面α上，若A 1B 和A 1D 与平面α都成60°角，则A 1C 与平面α所成角的余弦值为______.【答案】13【详解】设直线l 过点A 1且垂直于α，则A 1B 与A 1D 都与直线l 夹角为30°，连结BD ，由题意得△A 1BD 是等边三角形，取BD 中点E ，由题意得A 1E 可以承担直线l 的角色，但同时与直线A 1B 、A 1D 夹角为相等的直线，最小也要30°，∴此时直线l 是唯一的，由题意知A 1C 与直线l （直线A 1E ）的余弦值恰为A 1C 与平面α所成角的正弦，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1C ＝222222++＝23，CE ＝221222+＝2，A 1E ＝22(22)(2)-＝6， ∴设A 1C 与平面α所成角为θ，则sin θ＝22211112AC A E CE AC A E +-⨯⨯＝2236⨯⨯＝223， ∴A 1C 与平面α所成角的余弦值为：cos θ＝2221()3-＝13. 故答案为：13.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若B 1P //平面A 1BM ，则C 1P 长度的取值范围是____．【答案】30[,2) 【详解】 取BC 中点N ，连结B 1D，B 1N ，DN ，作CO ⊥DN ，连结C 1O ，因为平面B 1DN ∥平面A 1BM ，所以点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P 在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，2211152,1()2C D DN C N ===+=， 所以12215262()()222C DN S =⨯⨯-=， 过C 1O ⊥DN ，则当P 与O 重合时，C 1P 长度取最小值，所以C 1P 长度的最小值为1630415C O ==⨯， 当P 与D 重合时，C 1P 长度取最大值，∴C 1P 长度的最大值为C 1D ＝2，∵P 与D 不重合，∴C 1P 长度的取值范围是30[,2)． 故答案为：30[,2) .6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．【答案】41π【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为14136412⨯++=， ∴该球形容器体积的最小值为：4241()412ππ⨯=. 7．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为6-，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】8π【详解】如图，设BC 的中点为E ，过点E 作平面ABC 的法线EO ，过BCD △的重心F 作平面DBC 的法线FO ，EO 与FO 交于点O ，则O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心.又133EF DE==，6cosDEA∠=-，所以3cos FEO∠=.又3cosEFFEOOE∠==，所以1OE=，故外接球的半径为2，所以球的表面积为8π.8．已知球O的半径为10，以球心O为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________．【答案】182【详解】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为210612⎛⎫-=⎪⎝⎭，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高332AE EF a==，体高63=AF a，在Rt AEF和R t AGO中，13OG EFAO AE==，612366a=-，∴6a=，∴23136261823V===9．已知菱形ABCD的边长为4，对角线4BD=，将ABD△沿着BD折叠，使得二面角A BD C--为120︒，则三棱锥A BCD-的外接球的表面积为___________.【答案】1123π【详解】如图所示：将ABD △沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；ABD △与BCD △是边长为4的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ， 则1233EG EA ==1233EF EC ==；即EF EG =； 因为ABD △与BCD △都是边长为4的等边三角形，所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ， 所以OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒， 所以43OE = 因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AECE E =，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ， 所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径22221OB OE BE =+=， 所以外接球表面积为1123π. 10．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.【答案】53π 【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，其中1AB BC CD BD AC =====，AD a =.取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知AE BC ⊥，DE BC ⊥，且AEDE E =， ∴BC ⊥平面AED ，∴平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时162214AD a AE ===-=设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，由球体的对称性知， 球心O 在线段EF 上，∴OA OC R ==， 又2222366244EF AE AF ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设6OF x OE x ==-，， 在三角形AOF 中：2222216R ()x 2AD OF =+=+⎝⎭, 在三角形OEC 中：22222161R ()x 22OE BC ⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ∴22222661442R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得6x =. ∴球的半径R 满足222665R 41212⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴三棱锥外接球的表面积为25544123R πππ=⨯=. 11．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，23AD =，则该四面体的外接球表面积为__________．【答案】12π【详解】由题意90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，23AD =，则22AC BD ==， 所以222AB BD AD +=，AB BD ⊥，同理AC CD ⊥，取AD 中点O ，则O 到,,,A B C D 四点的距离相等，O 即为ABCD 外接球的球心， 所以球半径为32AD r ==，球表面积为2412ππ==S r ． 故答案为：12π．12．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，,E F 为1,AA AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为______．【答案】2 【详解】如图所示，11A B 的中点H ，1BB 的中点G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF .可得四边形11EGC D 是平行四边形，∴11//C G D E ，又1C G ⊄平面1CD E ，1D E ⊂平面1CD E ，可得1//C G 平面1CDE .同理可得1//C H CF ，1//C H 平面1CD E ，又111C H CG C =，∴平面1//C GH 平面1CD E . ∵M 点是正方形11ABB A 内的动点，1//C M 平面1CD E ，∴点M 在线段GH 上． ∴M 点的轨迹长度为22112GH =+=.故答案为：2.132ABCD A B C D ''''-中，点E ､F ､G 分别是棱A B ''､B C '､CD 的中点，则由点E ､F ､G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________.【答案】33 【详解】分别取AD 中点P ，1CC 中点M ，1AA 中点N ，可得出过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截而为正六边形EFMGPN ， 则正六边形的边长2211122MG CG CM =+=+=， 故截面多边形的面积等于233361S =⨯⨯=. 故答案为：33.14．球O 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球，平面11AC B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为________．【答案】6π【详解】设内切球半径为R ，则正方体棱长为2R ，如图，平面11AC B 截球O 所得圆为正11AC B △的内切圆，而截面圆半径为1， 在正11AC B △中122A B R =，3221R =，6R = 故内切球的表面积为264(6ππ⋅⋅=． 故答案为：6π 15．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.【答案】11π【详解】由题意该圆台的表面积为2221(21)211S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

专题16 立体几何中范围和最值问题专题16 立体几何中范围和最值问题立体几何中的最值与范围类问题，涉及几何体的结构特征以及空间线面关系，题目综合性强.解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，化动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.名师解读《普通高中数学课程标准》（2020年修订版）课标要求： 立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展.发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养.空间角的范围与最值问题【例1】（2021·全国·统考高考真题）1．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE⊥；（2）当1B D为何值时，面【点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，以开拓学生的思维.空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，应的目标函数，运用函数性质解决空间角的范围与最值问题质分析何时取得最大值.空间距离的范围最值问题【例1】（2018·全国·高考真题）A．217B．25【点评】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果【变3】7．如图所示，正四面体ABCD中，的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是求表面积与体积的范围与最值A．4π3B．8本题求体积的最值时，由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意新元的取值范围求截面周长与面积的范围与最值AD⊥平面α，∠AHD＝θ＝，△ABC在过其底边BC之间的关系：＝.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F ABC -的体积．【点评】首先判断出三角形AFC 的面积最小时距离，从而求得三棱锥F ABC -的体积11DC D P ⊥①；②平面11D A P ⊥平面1A AP ；1APD ∠③的最大值为90︒；1AP PD +④的最小值为23+ACD；A．直线1B D⊥平面1ACD；B．1A P∥平面1AD所成角的范围是C．异面直线1A P与1-的体积不变D．三棱锥1D APCA．圆锥SO的侧面积为22π.-体积的最大值为B．三棱锥S ABC（2017·全国·高考真题）24．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形(1)若点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；(2)求该八面体表面积S的取值范围．（2020·海南·统考高考真题）26．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l参考答案：过E 作AB 的平行线分别与因为E ，F 分别为AC 和1CC 易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则又因为1190BBN BNB ∠+∠=()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==-所以()012BF DE a ⋅=⨯-+[方法三]：因为1BF A B ⊥作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =由111113C S C G SA A D ==得1C G =又1111B D BT C G C T=，即1(23t t -设()()4,0,04M a a ≤≤，()(12,4,0,N D ()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-设平面1D MN 的一个法向量为(,,n x y z =1240024400x x y az n MN x y z n D N y ⎧=⎪⎧-+-=⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⋅=⎪⎩⎩⎪=⎪⎩令8z =，82,4x a y a =-=+，则(8n =【点睛】本题考查线段在平面上的射影的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系以及等腰三角形的性质和线面垂直和判定定理，力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题由三角形两边和大于第三边得到，当点所以14BE =，设AE a =，则AB 在ABE 中，23π∠=BAE 由余弦定理得：224cos 2a a BAE a +∠=⨯⨯则该正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以223R =即3R =故2412S R ππ==，故答案为：12π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =【详解】如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，截面面积为：1sin2ABDS AB AD BAD=⋅⋅∠，由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，=224124AC BC+=+=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，过点F作FH⊥BD1交BD1于因为长方体对面平行，所以截面BFD1E为平行四边形，则当h取最小值时四边形BFD易知h的最小值为直线CC1易知当F为CC1的中点时，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则34[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，3BE ∴=连接EFADB CDB AF CF∆≅∆∴=在11D A A △中，11135D A A ∠=2211112AD A A A D A =+-⋅【详解】连接BD ，根据正方体的性质，又∵BD AC ⊥，且1BD BB ⋂的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA 1111A B A D A = ，∴1AD ⊥面1A如图：()1min SE CE S C +=.因为122S B BC ==,1S BC ∠=∴2221112S C S B BC S B =+-⨯⨯ABC 为等边三角形，∴∠心．设F 是AMN 的外心，作外接球的球心，且OF DE =222134R AF OF =+=，解得：的体积最大时，到平面1,+∞故答案为：()24．②③【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为|AC|＝1，|AB|2=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； 图1由对称性，不妨设'AA x =则1AG x =-，2AO AG =2222AE DE AO OE ==+= 图2则()2221222AD AH x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭()2222122EH AE AH x x =-=-所以()2221144ADE S AD EH =⋅= ()()21因为1PD AD ==，设(0,0,0),(0,1,0),D C 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),DC DQ = 设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD在平面PQC 中，设PB QC E = ．在平面PAD 中，过P 点作PF QD ⊥因为PD ⊥平面,ABCD DC ⊂平面又由,,DC AD AD PD D PD ⊥=⊂ PF ⊂平面PAD ，所以DC PF ⊥．又由QDC ，所以PF ⊥平面QDC ，从而答案第31页，共31页。