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商不变的规律ppt

商不变的规律ppt
的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关 ，例如在计算两个数相除的结果 时，可以利用商不变的规律简化 计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计 算，例如在计算两个分数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化 计算。
与其他物理知识的结合
力学
商不变的规律可以应用于物理 力学中的某些问题，例如在计 算两个力相除的结果时，可以 利用商不变的规律简化计算。
对学习数学的意义和价值的再思考
学习数学不仅是为了应对考试和提高成绩，更重要的是 培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。通过对商不变 规律的学习和研究，我们可以更好地理解数学中的一些 基本概念和原理，提高自己的数学素养和思维能力。
数学在我们的日常生活中无处不在，学习数学可以帮助 我们更好地理解和解决实际问题。商不变规律在商业计 算、工程技术和科学研究中都有着广泛的应用，学习这 个规律可以帮助我们在这些领域中更好地应对实际问题 。
热学
在热学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个温度相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
电学
在电学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个电阻相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
与其他工程知识的结合
01
计算机科学
在计算机科学中，商不变的规律可以应用于某些算法和数据结构的计
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以简化运算过程，减少计算量，提高计算效率。例如，可以将复杂的除法运算转化为 简单的乘法运算，从而快速得到结果。
在解方程中的应用

《商不变的规律》ppt

《商不变的规律》ppt

同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们接下来再举几 个例子，看被除数和除数同时乘或 除以相同的数，商变不变？
（80×100）÷（20×100）＝4
小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
小刚
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
（80×0）÷（20×0）＝4
讨论：看看小红说 的这个算式是等于 4吗？
从上往下 看，这三 组算式你 发现了什 么？
6 ÷ 3＝ 2 60÷30＝ 2
600÷300＝ 2
从下往上 看，这三 组算式你 又发现了 什么？
被除数和除数同时乘相同的数，
商不变。
被除数和除数同时除以相同的数， 商不变。
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
被除数和除数同时乘或除以 相同的数，商不变。
下面是淘气计算“400÷25”的过 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？ 400÷25 =（400 × 4）÷（25 × 4） =1600 ÷100 =16
你能用这个方法计 算下面各题吗？ 150÷25 =(150 ×4 )÷(25 ×4) =600 ÷100 =6
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
执教：项秋云探索与发现 Nhomakorabea 悟空戏八戒
太 少 了 ！
那我就给 你140块饼, 平均分20天 吃完。 我给你14块饼， 平均分2天吃完， 怎么样？
太好了！太 好了！这回每 天我可以多吃 些了！
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60 第三次：600 3 30 300

《商不变的性质》ppt

《商不变的性质》ppt
商业计算
在商业计算中，商不变的性质可 以用于简化计算过程，提高计算 效率和准确性，如计算利息、折
扣等。
时间管理
在时间管理中，商不变的性质可以 用于合理分配时间，提高工作效率， 如制定时间表、规划工作流程等。
日常理财
在日常生活中，商不变的性质可以 用于理财规划，帮助我们合理分配 资产，实现财富增值。
在科学中的应用
与等式性质的对比
商不变的性质是等式性质的一种表现，它告诉我们等式两边 可以同时除以同一个非零数，而不改变等式的成立。
对商不变的性质的进一步研究
深入理解其证明过程
商不变的性质可以通过数学证明来证明其正确性，进一步研究证明过程可以帮助我们更好地理解该性 质。
探索其在数学其他领域的应用
商不变的性质不仅在算术中有广泛应用，还可以应用于代数、几何等领域，进一步研究其应用可以帮 助我们发现更多数学之美。
与其他数学知识的关联
与分数运算的关联
商不变的性质是分数运算的基础，通过该性质可以简化分数运算，例如约分和通 分。
与小数和百分数运算的关联
商不变的性质可以应用于小数和百分数运算，帮助我们更方便地进行数值计算。
与其他数学定理的对比
与乘法交换律、结合律的对比
商不变的性质与乘法交换律、结合律有相似之处，都是数学 中的基本性质，但它们的应用范围和表现形式有所不同。
05
总结与展望
对商不变的性质的总结
商不变的性质是数学中的一个基本性质， 它表明在一定条件下，两个数的商的值 不会改变。这个性质在数学中有着广泛 的应用，尤其在简化计算和证明定理方
面。
商不变的性质可以通过多种方式进行证 商不变的性质不仅适用于整数，还适用 明，如代数证明、几何证明等。这些证 于有理数、实数和复数等更广泛的数域。 明方法不仅有助于理解商不变的性质， 在不同的数域中，商不变的性质的表现

《商不变的规律》PPT课件

《商不变的规律》PPT课件

探究新知
交流：计算并观察下面的题。你发现了什么规律？
6 ÷ 3=
2
60 ÷ 30 = 2
600 ÷ 300 = 2
6000 ÷ 3000 = 2
探究新知
从上往下进行观察：
×10 6 ×100 60
÷ ÷
330==××10100
2 2
×1000 600 ÷ 300 = ×1000 2
商 不 变
6000 ÷ 3000 =
任何数乘以0都得0。 0不可以做除数。 所以，同乘或同除以的这个数不能是0。
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
除数不变，被除数乘几(除几)，商也乘几(除几)。
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
被除数不变，除数除以几(乘几)，商反而乘几(除以几)。
课堂练习 下面（ A ）里哪个算式的结果与32÷16的商相等。
A.（32÷4）÷（16÷4） B.（32×5）÷（ 16÷5） C.（32×3）÷（ 16÷3） D.（32÷4）÷（ 16÷3）
课堂练习 填写下表。
被除数和除数依次同时乘2
被除数 56 112 224 672 1344
除数
4
8 16 48 96
40
5
探究新知 从上往下进行观察：
（1） ×10 ×20 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
不变
×10 ×20 ×2
除数不变，被除数乘几，商也乘几。
探究新知
从下往上进行观察：
（1） ÷10 ÷20 ÷2

《商不变的规律》ppt

《商不变的规律》ppt
的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质

01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。

商不变规律ppt

商不变规律ppt

商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。

商不变的规律ppt

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03
商不变规律在数学中的表现形式
分数的形式
分子分母同时乘以同一个数，分数的值不变
分母分子同时除以同一个数，分数的值不变
方程式
两边同时乘以同一个数，方程的解不变 两边同时除以同一个数，方程的解不变
三角函数
角度变，函数名不变，结果按照一定的比例变化 长度变，函数名不变，结果按照一定的比例变化
04
05
商不变规律在经济学中的使用

供需平衡
供需平衡是经济学中的基本概念，指市场上的供给和需求相 等，达到平衡状态。
商不变规律可以用来分析供需平衡，通过计算不同市场条件 下供给和需求的商数，判断市场是否达到均衡状态。
市场均衡价格
市场均衡价格是指市场上的供求力量相互作用，使价格达 到稳定状态。
商不变规律可以用来计算不同市场条件下的均衡价格，通 过比较不同市场条件下的均衡价格，可以分析市场价格的 波动和变化趋势。
逐渐发展成为现代数学的基础。
商不变规律是数学中一个重要的概念和思想，贯穿于代数学、
03
三角学、分数学等多个领域。
02
商不变规律的应用
数学领域
简化计算
商不变规律可以用来简化计算， 例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个数，商 不变，这样可以简化计算过程， 提高计算效率。
解决方程
在解一元线性方程时，使用商不 变规律可以化简方程，使方程更 容易求解。
商不变规律在工程中的应用
控制工程变量
保持工程变量不变
在工程设计、施工和验收过程中，应尽量保持各项工程变量不变，以确保工程质 量和效果。
合理安排工程进度
在施工过程中，应合理安排人力、物力和财力，控制工程进度，以确保工程按期 完成并节约成本。

《商不变的规律》课件

《商不变的规律》课件

03
商不变规律是数学中一个重要的基本性质，它在很多数 学问题中都有应用。
商不变规律的数学表达
如果被除数a和除数b 同时扩大m倍，则商 的表达式为 a/b=ma/mb。
通过数学表达，我们 可以更清晰地理解商 不变规律的内涵和运 用方式。
如果被除数和除数同 时缩小n倍，则商的 表达式仍为 a/b=(a/n)/(b/n)。
步骤二
利用代数表达式表示被除数和除数，并设 定一个非零数用于变换。
B
C
步骤三
根据代数运算法则，将被除数和除数同时乘 以或除以该非零数，得到新的被除数和除数 。
步骤四
计算新的商，发现商与原来的商相等，证明 商不变的规律。
D
证明中的注意事项
注意事项一
确保非零数的选择是合理 的，不能导致除数为零的 情况。
03 商不变规律的证明
证明方法的概述
证明方法
通过数学推导和演绎推理，利用 已知的数学定理和性质，证明商 在某些条件下保持不变的规律。
证明思路
首先明确商不变的条件，然后通 过代数变换和等价变换，逐步推 导出商不变的结论。
具体的证明步骤
A
步骤一
明确商不变的条件，即被除数和除数同时乘以 或除以同一个非零数，商保持不变。
如速度、加速度等。
化学
在化学中，商不变规律可以用于 计算化学反应中各物质之间的比 例关系，如反应速率、化学平衡
常数等。
经济学
在经济学中，商不变规律可以用 于研究市场供需关系、商品价格 变化等问题，帮助我们更好地理
解经济现象。
05 总结与展望
商不变规律的总结
01
商不变规律的定义
在除法中，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。

《商不变》课件

《商不变》课件

商不变的性质
商不变的性质是数学中的一个基本性 质，它在除法运算中具有普遍适用性 。
商不变的性质可以用于简化计算，例 如在除法运算中，可以通过将被除数 和除数同时扩大或缩小相同的倍数来 简化计算过程。
商不变的应用
商不变的性质在数学、科学和工程等 领域都有广泛的应用。
在数学教育中，商不变的性质是学生 学习除法运算的基础之一，对于培养 学生的逻辑思维和数学素养具有重要 意义。
在解决实际问题时，如计算大数的除 法、分数和小数的除法等，可以利用 商不变的性质来简化计算过程，提高 计算效率。
Байду номын сангаас2
商不变的证明
证明方法一：数学归纳法
总结词
严谨、通用
详细描述
数学归纳法是一种通过基础步骤和归纳步骤证明命题的方法。在证明商不变的 命题时，首先证明基础步骤，然后假设某个值成立，证明相应的等式也成立， 最后得出结论。
《商不变》ppt课件
目 录
• 商不变的概念 • 商不变的证明 • 商不变的实例 • 商不变的拓展 • 商不变的练习题
01
商不变的概念
商不变的定义
01
商不变是指在除法运算中，被除 数和除数同时扩大或缩小相同的 倍数，商保持不变。
02
例如：10÷2=5，如果被除数10 扩大3倍变为30，除数2扩大3倍 变为6，则新的商为30÷6=5，商 仍然保持不变。
总结词
分数中的商不变是指当两个分数相除时，如果被除数和除数 同时扩大或缩小相同的倍数，商保持不变。
详细描述
例如，当(2/3)除以(1/3)得到商为2，如果被除数(2/3)扩大两 倍变为(4/6)，除数(1/3)扩大两倍变为(2/6)，则(4/6)除以 (2/6)仍然得到商为2，证明了分数中的商不变。

商的变化规律和商不变的规律ppt课件

商的变化规律和商不变的规律ppt课件

被除数和除数同时乘
或除以一个相同的数(0除 外），商不变。
即时练：根据第一题的商ຫໍສະໝຸດ 写出下面两题的商72÷9= 8 720÷90=8 7200÷900=8
80÷4= 20 800÷40=20 8000÷400=20
我会变魔术：
1200÷200 =（1200÷100）÷ （200÷100） =12÷2 =6
变化？商呢？你发现了什么规律？

3.试举例验证你的规律。
从上往下观察：
6 ÷ 3=2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 60 ÷ 30 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 600 ÷ 300 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 6000 ÷ 3000 = 2
被除数和除数都乘 一个相同的数，商 不变。
从下往上观察：
360÷30=（360÷10）÷（30÷10）√ （ ）
说一说
通过本节课的学习，你有 什么收获？
6 ÷ 3 =2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 60 ÷ 30 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 600 ÷ 300 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 6000 ÷ 3000 = 2
被除数和除数都除以 一个相同的数，商不
这个规律也同样适用吗？

80 ÷ 20 =
4

（80×0）÷ （20×0）= ？
试探的说“大王，再多给点行不行啊？”
悟空一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子
“那就把6000个桃子平均分给3000只
猴子，你们总该满意了吧？”小猴子们
笑了，孙悟空也笑了。
自探提示：
自学课本87页的第三题，思考解决下面问 题：

1.从上往下观察：被除数和除数怎样
变化？商呢？你发现了什么规律？
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16÷8＝2 （16÷ 2 ）÷（8○÷2）＝2 （16○×3）÷（8× 3 ）＝2 （16÷ ）÷（8÷ ）＝2
3、抢答。
⑴在一道除法算式里，如果被除数除以5， 除数也除以5，商（不变）。
⑵在一道除法算式里，如果被除数乘10，要 使商不变，除数（也乘10）。
⑶在一道除法算式里，如果除数除以100， 要使商不变，被除数（也除以100）。
4、已知48÷12＝4，判断下列各式是否正确。如 果不对，怎样改一下就对了。
⑴（48×5）÷（12×5） ＝4 ⑵（48×3）÷（12×4） ＝4 ⑶（48÷6）÷（12×6） ＝4 ⑷（48÷4）÷（12÷4） ＝4
（√ ） （×） （×）
（√ ）
先按要求算一算，填一填。
被除数 除数 除法算式 商
商不变的规律.ppt
先按要求算一算，填一填。
被除数 除数 除法算式 商
（1）100 20 100÷20 5
（2）100×2 20×2 200÷40 5 （3）100×4 20×4 400÷80 5 （4）100÷2 20÷2 50÷10 5 （5）100÷4 20÷4 25÷5 5
被除数和除数同时(
（1）100 20 100÷20 5 （2）100×2 20×2 200÷40 5 （3）100×4 20×4 400÷80 5 （4）100÷2 20÷2 50÷10 5 （5）100÷4 20÷4 25÷5 5
结束语
谢谢大家聆听！ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ！
14
根据第1题的商写出下面两题的商：
72÷9= 720÷90= 7200÷900=
36÷3= 360÷30= 3600÷300=
1、填数。
20÷5＝4 （ 20 ×6 ）÷（ 5 × 6 ）＝4 （ 20 ÷ 5 ）÷（ 5 ÷5 ）＝4 （ 20 × 8 ）÷（ 5×8 ）＝4
2、在下面等式中的○里填上运算符号， 在□里填上适当的数。
),商( )。
被除数和除数同时乘或除以相 同的数，商不变。
（100×0）÷（20×0）＝？
被除数和除数同时乘或除以相 同的数（0除外），商不变。
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。