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3 1 3
(2)-1
平面向量基本定理及其应用 【方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决.
【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带
来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
【例1】如图所示，在平行四边形
1 2
【解析】(1) 1 a b ( 1 , 1 ) 1， 1 ( 3 ， 1 ).
(2)设B(x,y)，则 AB =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),
2
2 2
2
2
∴(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4). (3)∵(3，-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),
【解析】∵ a OA (2， 0).
x 3 2 x 1 ，解得 . x 3y 5 0 y 2
答案：-1
-2
3.平面向量坐标运算
向量的 若a＝（x1，y1），b x 2，y 2），则a b （x1 x 2，y1 y2） （ _______________ ， 加、减 （x1 x 2 , y1 y2） a b _____________. 法 实数与 向量的 积 向量的 坐标
若a x, y）， R，则a （x，y） （ _________
若起点A（x1，y1），终点B（x 2，y 2），则AB
（x_______
【即时应用】 (1)已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则 a b =_______. (2)已知点A(-1，-5)和向量a=(2,3).若 AB 3a ，则点B的 坐标为__________. (3)设 a (1, 2), b (1, 1), c (3, 2), 且c pa qb, 则实数p、q 的值分别为________、________.
ABCD中，M，N分别为DC，BC的中
点，已知 AM c,AN d, 试用c,d表 示 AB,AD. 【解题指南】直接用c,d表示 AB、 有难度，可换一个角 AD
度，由 AB AD 表示 AN,AM,进而求 AB,AD. ，
【即时应用】
(1)思考：在△ABC中，向量 AB与 BC 的夹角为∠ABC，是否正
确？
提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量
与 BC 的夹角为π-∠ABC. AB
(2)已知A(2，0)，a=(x+3，x-3y-5)，若a= OA ，O为原点， 则x=_______,y=_______.
【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所 求向量为λ a(λ ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ 的方 程，求出λ 的值后代入λ a即可得到所求的向量. (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若
a (x1 , y1 ), b (x 2 , y2 ), 则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题
【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可. (2)①利用 AB 为点B的坐标减去点A的坐标求解. ②利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.
【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
(2)① AB =(5，4)-(2，3)=(3，1).
等问题.
【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于(
)
(A)(7，3)
(C)(1，7)
(B)(7，7)
(D)(1，3)
(2)已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， ①求 AB ；
②若 AB mAC nBC ,求m,n.
∴8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,∴m= 3 .
2
【反思·感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题
的关键.2.若 AB∥ AC ，则A、B、C三点共线，注意这一结
论的应用.
【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误
【典例】(2011·湖南高考)设向量a,b满足 a 2 5,b 2,1 , 且a与b的方向相反，则a的坐标为________. 【解题指南】设a=λb (λ<0),利用 a 2 5 列出关于λ的方 程求解即可.
2 3 2 , ,解得m= . 2 3 m
即 2a 3b (a mb),
方法二：AB 2a 3b =2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
BC a mb =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), ∵A、B、C三点共线，∴ AB ∥ BC ，
∴
m 1 , . 7m 6n 1 n 1
5m 2n 3
【反思·感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，
以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算
和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用
及正确使用运算法则.
平面向量共线的坐标表示
比较方便.
【提醒】1.注意0的方向是任意的.
2.若a、b为非零向量，当a∥b时，a,b的夹角为0°或180°，
求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
【例3】已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线. (2)若 AB 2a 3b,BC a mb 且A、B、C三点共线，求m的值. 【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求 解即可. (2)可引入参数λ使 AB BC 求m，或利用 AB ∥BC 的坐标形 式求m.
方法二:
设 AB a,AD b.
因为M，N分别为CD，BC的中点， 所以 BN 1 b， 1 a， DM
2 2
2 1 a (2d c) cb a 3 2 因而 d a 1 b b 2 (2c d ) 2 3
【即时应用】 判断下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“√”或 “×”). (1)在△ABC中， AB、 可以作为基底. AC
(
) )
(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的. (
(3)零向量不能作为基底.
(
)
【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确；(2)只要是同一平面
②∵ AC =(7，10)-(2，3)=(5，7)，
BC =(7，10)-(5，4)=(2，6)， ∴ mAC nBC =m(5,7)+n(2,6)
=(5m+2n,7m+6n)
∵ AB mAC nBC =(3，1)，
量共线条件的应用是考查重点.
2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答
题为主.
1.平面向量基本定理 不共线向量 前提：e1,e2是同一个平面内的两个____________. 有且只有一对 条件：对于这一平面内的任一向量a, _____________实数 λ 1e1+λ 2e2 λ 1,λ 2满足a=__________. 结论：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.
内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)错误.
答案：(1)√ (2)× (3)√
2.平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角 非零向量 ①定义：如图，两个_________a和b，
作 OA＝a,OB b， 则向量a与b的夹角
θ 或∠AOB 是___________. 0°≤θ ≤180° ②范围：向量a与b的夹角的范围是_______________.
同向 ③当θ ＝0°时,a与b_____.
反向 当θ ＝180°时,a与b_____. 垂直 当θ =90°时,a与b_____.
(2)平面向量的正交分解 互相垂直 向量正交分解是把一个向量分解为两个_________的向量. (3)平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向
【规范解答】方法一:
设 AB a,AD b,
则 a AN NB d ( 1 b) ① 2 1 ② b AM MD c ( a) 2 将②代入①得 a d ( 1［c ( 1 a)］ ) 2 2 ∴ a 4 d 2 c, 代入② 3 3 得 b c ( 1 )( 4 d 2 c) 4 c 2 d. 2 3 3 3 3 ∴ AB 4 d 2 c， 4 c 2 d. AD 3 3 3 3
p q 3 p 1 , . 2p q 2 q 4 答案：(1)( 3 ， 1 ) 2 2
(2)(5，4)
(3)1
4
4.平面向量共线的坐标表示
x1y2-x2y1=0 设 a (x1 , y1 ), b (x 2 , y2 ), 则a∥b⇔____________.
量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一
向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应
(x,y) 的，因此向量a的坐标是______，记作a=(x,y) ，其中a在 y x x轴上的坐标是__，a在y轴上的坐标是__．
(4)规定 相同 相同 ①相等的向量坐标_____，坐标_____的向量是相等的向量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位 置无关，只与其相对位置有关系．
