2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试33一元二次不等式及其解法

考点测试36 合情推理与演绎推理(高|考 )概览(高|考 )在本考点的常考题型为选择题、填空题分值5分中等难度考纲研读,能进行简单的归纳推理和类比推理 ,体会合情推理在数学发现中的作用2．了解演绎推理的含义 ,掌握演绎推理的 "三段论〞 ,并能运用 "三段论〞进行一些简单推理3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、根底小题1．用三段论推理： "任何实数的绝||对值大于0 ,因为a是实数 ,所以a的绝||对值大于0” ,你认为这个推理( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的答案 A解析大前提是任何实数的绝||对值大于0 ,显然是不正确的．应选A.2．一个蜂巢里有1只蜜蜂 ,第|一天 ,它飞出去带回了5个伙伴；第二天 ,6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴；…… ,如果这个过程继续下去 ,那么第6天所有蜜蜂归巢后 ,蜂巢中共有蜜蜂( )A.6(66－1)6－1只 B．66只C．63只 D．62只答案 B解析根据题意可知 ,第|一天共有蜜蜂1＋5＝6只；第二天共有蜜蜂6＋6×5＝62只；第三天共有蜜蜂62＋62×5＝63只；……；故第6天所有蜜蜂归巢后 ,蜂巢中共有蜜蜂65＋65×5＝66只．应选B.3．数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2),而a1＝1 ,通过计算a2,a3,a4,猜想a n＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1答案 B解析 由a 1＝1 ,可得a 1＋a 2＝4a 2 ,即a 2＝13 ,同理可得a 3＝16 ,a 4＝110 ,应选B.4．(1)a 是三角形一边的长 ,h 是该边上的高 ,那么三角形的面积是12ah ,如果把扇形的弧长l ,半径r 分别看成三角形的底边长和高 ,可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12 ,1＋3＝22 ,1＋3＋5＝32,可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2.那么(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理 答案 A解析 (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处 ,此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般 ,此种推理为归纳推理 ,应选A.5．观察以下各式：a ＋b ＝1 ,a 2＋b 2＝3 ,a 3＋b 3＝4 ,a 4＋b 4＝7 ,a 5＋b 5＝11 ,… ,那么a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 记a n ＋b n＝f (n ) ,那么f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋ff (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *,n ≥3) ,那么f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋fa 10＋b 10＝123.6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班 ,1班有51人 ,2班有53人 ,3班有52人 ,由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质 ,推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分 ,菱形是平行四边形 ,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中 ,a 1＝1 ,a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1 ,由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析 A ,D 是归纳推理；B 是类比推理；C 运用了 "三段论〞是演绎推理．7．下面图形由小正方形组成 ,请观察图①至||图④的规律 ,并依此规律 ,写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)答案 C解析 由题图知第1个图形的小正方形个数为1 ,第2个图形的小正方形个数为1＋2 ,第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3 ,第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4 ,… ,那么第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.8．法国数学家费马观察到221＋1＝5 ,222＋1＝17 ,223＋1＝257 ,224＋1＝65537都是质数 ,于是他提出猜想：任何形如22n ＋1(n ∈N *)的数都是质数 ,这就是著名的费马猜想．半个世纪之后 ,善于发现的欧拉发现第5个费马数225＋1＝4294967297＝641×6700417不是质数 ,从而推翻了费马猜想 ,这一案例说明( )A ．归纳推理的结果一定不正确B ．归纳推理的结果不一定正确C ．类比推理的结果一定不正确D ．类比推理的结果不一定正确 答案 B解析 法国数学家费马观察到221＋1＝5 ,222＋1＝17 ,223＋1＝257 ,224＋1＝65537都是质数 ,于是他提出猜想：任何形如22n ＋1(n ∈N *)的数都是质数 ,这是由特殊到一般的推理过程 ,所以属于归纳推理 ,由于得出结论的过程没有给出推理证明 ,所以结果不一定正确．9．甲、乙、丙三人中 ,一人是教师、一人是记者、一人是医生 ,：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况 ,以下判断正确的选项是( )A ．甲是教师 ,乙是医生 ,丙是记者B ．甲是医生 ,乙是记者 ,丙是教师C ．甲是医生 ,乙是教师 ,丙是记者D ．甲是记者 ,乙是医生 ,丙是教师 答案 C解析 由于 "甲的年龄和记者不同〞 ,那么甲不是记者 ,又 "记者的年龄比乙小〞 ,那么乙也不是记者 ,从而丙是记者 ,而 "丙(记者)的年龄比医生大〞 ,且 "记者的年龄比乙小〞 ,所以乙不是医生 ,而是教师 ,从而甲是医生 ,应选C.10．结论： "在正△ABC 中 ,假设D 是边BC 的中点 ,G 是△ABC 的重心 ,那么AGGD＝2”．假设把该结论推广到空间 ,那么有结论： "在棱长都相等的四面体A －BCD 中 ,假设△BCD 的中|心为M ,四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等〞 ,那么AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析如图设正四面体的棱长为1 ,那么易知其高AM ＝63,此时易知点O 即为正四面体内切球的球心 ,设其半径为r ,利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63 ,r ＝612 ,故AO ＝AM －MO＝63－612＝64 ,故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 11．如图 ,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规那么标上数字标签：原点处标0 ,点(1 ,0)处标1 ,点(1 ,－1)处标2 ,点(0 ,－1)处标3 ,点(－1 ,－1)处标4 ,点(－1 ,0)处标5 ,点(－1 ,1)处标6 ,点(0 ,1)处标7 ,依此类推 ,那么标签为312的格点的坐标为________．答案 (16 ,15)解析 因为点(1 ,0)处标1＝12,点(2 ,1)处标9＝32,点(3 ,2)处标25＝52,点(4 ,3)处标49＝72,依此类推得点(16 ,15)处标312.12．对于命题：如果O 是线段AB 上一点 ,那么|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0；将它类比到平面的情形是：假设O 是△ABC 内一点 ,有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体A －BCD 内一点 ,那么有________．答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0解析 由线段到平面 ,线段的长类比为面积 ,由平面到空间 ,面积可以类比为体积 ,由此可以类比得一命题为：O 是四面体A －BCD 内一点 ,那么有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 二、 (高|考 )小题13．(2021·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀 ,2位良好 ,我现在给甲看乙、丙的成绩 ,给乙看丙的成绩 ,给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息 ,那么( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D解析 由题意可知 , "甲看乙、丙的成绩后 ,不知道自己的成绩〞 ,说明乙、丙两人中一个优秀一个良好 ,那么乙看了丙的成绩 ,可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩 ,也可以知道自己的成绩．应选D.14．(2021·北京 (高|考 ))袋中装有偶数个球 ,其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球 ,将其中一个球放入甲盒 ,如果这个球是红球 ,就将另一个球放入乙盒 ,否那么就放入丙盒．重复上述过程 ,直到袋中所有球都被放入盒中 ,那么( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B解析 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球 ,第|一次取出后 ,假设将红球放入了甲盒 ,那么乙盒中有一个黑球 ,丙盒中无球 ,A 错误；假设将黑球放入了甲盒 ,那么乙盒中无球 ,丙盒中有一个红球 ,D 错误；同样 ,假设袋中有两个红球和两个黑球 ,第|一次取出两个红球 ,那么乙盒中有一个红球 ,第二次必然拿出两个黑球 ,那么丙盒中有一个黑球 ,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球 ,C 错误．应选B.解法二：设袋中共有2n 个球 ,最||终放入甲盒中k 个红球 ,放入乙盒中s 个红球．依题意知 ,甲盒中有(n －k )个黑球 ,乙盒中共有k 个球 ,其中红球有s 个 ,黑球有(k －s )个 ,丙盒中共有(n －k )个球 ,其中红球有(n －k －s )个 ,黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．应选B.15．(2021·全国卷Ⅱ)有三张卡片 ,分别写有1和2 ,1和3 , ,乙 ,丙三人各取走一张卡片 ,甲看了乙的卡片后说： "我与乙的卡片上相同的数字不是 2.〞乙看了丙的卡片后说： "我与丙的卡片上相同的数字不是1.〞丙说： "我的卡片上的数字之和不是5.〞那么甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.假设丙的卡片上的数字是1和2 ,那么乙的卡片上的数字是2和3 ,甲的卡片上的数字是1和3 ,满足题意；假设丙的卡片上的数字是1和3 ,那么乙的卡片上的数字是2和3 ,此时 ,甲的卡片上的数字只能是1和2 ,不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.16．(2021·北京 (高|考 ))三名工人加工同一种零件 ,他们在一天中的工作情况如下列图 ,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数 ,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数 ,i ＝1 ,2 ,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数 ,那么Q 1 ,Q 2 ,Q 3中最||大的是________；(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 ,那么p 1 ,p 2 ,p 3中最||大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设线段A i B i 的中点为C i (x i ,y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ,i ＝1 ,2 ,3 ,由题图知y 1最||大 ,所以Q 1 ,Q 2 ,Q 3中最||大的是Q 1.(2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i,i ＝1 ,2 ,3.y ix i的几何意义为点C i (x i ,y i )与原点O 连线的斜率． 比较OC 1 ,OC 2 ,OC 3的斜率 ,由题图可知OC 2的斜率最||大 ,即p 2最||大． 17．(经典陕西 (高|考 ))观察分析下表中的数据：多面体面数(F )顶点数(V )棱数(E )猜想一般凸多面体中F ,V ,E 所满足的等式是________． 答案 F ＋V －E ＝2解析 因为5＋6－9＝2 ,6＋6－10＝2 ,6＋8－12＝2 ,故可猜想F ＋V －E ＝2. 18．(2021·福建 (高|考 ))一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *) ,其中x k (k ＝1 ,2 ,… ,n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码 ,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1 ,或者由1变为0)．某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0 x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0其中运算⊕定义为：0⊕0＝0 ,0⊕1＝1 ,1⊕0＝1 ,1⊕一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101 ,那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0 ,所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0 ,所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0 ,所以二元码1101101的第5位码元是错的 ,所以k ＝5.三、模拟小题19．(2021·河南郑州二模)平面内凸四边形有2条对角线 ,凸五边形有5条对角线 ,以此类推 ,凸13边形对角线的条数为( )A ．42B ．65C ．143D ．169 答案 B解析 可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线．应选B.20．(2021·山西孝义模拟)我们知道：在平面内 ,点(x 0 ,y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 ,通过类比的方法 ,可求得：在空间中 ,点(2 ,4 ,1)到平面x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217 D ．3 5答案 B解析 类比平面内点到直线的距离公式 ,可得空间中点(x 0 ,y 0 ,z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2 ,那么所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5 ,应选B.21．(2021·福建4月质检)某校有A ,B ,C ,D 四件作品参加航模类作品比赛．这四件作品中恰有两件获奖．在结果揭晓前 ,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说： "A ,B 同时获奖．〞 乙说： "B ,D 不可能同时获奖．〞 丙说： "C 获奖．〞丁说： "A ,C 至||少一件获奖．〞假设以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的 ,那么获奖的作品是( ) A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D 答案 D解析 A 选项 ,假设作品A 与作品B 获奖 ,那么甲、乙、丁的预测正确 ,丙的预测错误 ,不符合题意；B 选项 ,假设作品B 与作品C 获奖 ,那么乙、丙、丁的预测正确 ,甲的预测错误 ,不符合题意；C 选项 ,假设作品C 与作品D 获奖 ,那么乙、丙、丁的预测正确 ,甲的预测错误 ,不符合题意；D 选项 ,假设作品A 与作品D 获奖 ,那么乙、丁的预测正确 ,甲、丙的预测错误 ,符合题意 ,所以选D.22．(2021·河北石家庄二中联考)老||王和小||王父子俩玩一种类似于古代印度的 "梵塔游戏〞；有3个柱子甲、乙、丙 ,在甲柱上现有4个盘子 ,最||上面的两个盘子大小相同 ,从第二个盘子往下大小不等 ,大的在下 ,小的在上(如图) ,把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束 ,在移动过程中每次只能移动一个盘子 ,甲、乙、丙柱都可以利用 ,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下 ,设游戏结束需要移动的最||少次数为n ,那么n ＝( )A ．7B ．8C ．11D ．15 答案 C解析 由题意得 ,根据甲、乙、丙三图可知最||上面的两个是一样大小的 ,所以比三个操作的次数(23－1)要多 ,比四个操作的次数(24－1)要少 ,相当于操作三个的时候 ,最||上面的那个挪动了几次 ,就会增加几次 ,应选C.23．(2021·郑州质检三)将标号为1 ,2 ,… ,20的20张卡片放入以下表格中 ,一个格放入一张卡片．选出每列标号最||小的卡片 ,将这些卡片中标号最||大的数设为a ；选出每行标号最||大的卡片 ,将这些卡片中标号最||小的数设为b .甲同学认为a 有可能比b 大 ,乙同学认为a 和b 有可能相等 ,那么甲、乙两位同学的说法中( )A ．甲对、乙不对B ．乙对、甲不对C ．甲、乙都对D ．甲、乙都不对 答案 B解析 1一定是所有数中最||小的 ,不妨设每一列的最||小值从小到大排列分别为1 ,m 1 ,m 2 ,m 3 ,a ,故1<m 1<m 2<m 3<a ；20一定是所有数中最||大的 ,不妨设每一行的最||大值从小到大排列分别为b ,n 1 ,n 2 ,20 ,故b <n 1<n 2<20.假设a >b ,那么a 一定不在b 所在的行 ,那么a 只能在n 1或n 2或20所在的行 ,又因为a 是它这一列的最||小值 ,所以b 所在的这行对应a 所在这列的数字一定比a 大 ,不妨设其为k ,即k >a ,而b 是这行的最||大值 ,故b >k ,所以b >a ,与a >b 矛盾 ,故a ≤b .故甲不对、乙对 ,应选B.24．(2021·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作?九章算术?有如下问题： "今有人持金出五关 ,前关二而税一 ,次关三而税一 ,次关四而税一 ,次关五而税一 ,次关六而税一．并五关所税 ,适重一斤．问本持金几何 ?〞其意思为 "今有人持金出五关 ,第1关收税金12 ,第2关收税金为剩余的13 ,第3关收税金为剩余的14 ,第4关收税金为剩余的15 ,第5关收税金为剩余的16 ,5关所收税金之和 ,恰好重1斤 ,问原本持金多少 ?〞假设将 "5关所收税金之和 ,恰好重1斤 ,问原本持金多少 ?〞改成 "假设这个人原本持金为x ,按此规律通过第8关〞 ,那么第8关所收税金为________x .答案172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：131－12x ＝x 6＝x2×3；第3关收税金：141－12－16x ＝x 12＝x3×4；…第8关收税金：x 8×9＝x72.25．(2021·山东青岛模拟)如图 ,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形 ,称为第|一次操作；然后 ,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形 ,共得到7个小三角形 ,称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形 ,共得到10个小三角形 ,称为第三次操作……根据以上操作 ,假设要得到100个小三角形 ,那么需要操作的次数是________．答案 33解析 由题意可知 ,第|一次操作后 ,三角形共有4个；第二次操作后 ,三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后 ,三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后 ,三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时 ,解得n ＝33.26．(2021·安徽淮北二模)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B·曼德尔布罗特(Benoit B·Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科 ,它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图 ,那么第10行的空心圆的个数是________．答案 21解析 由题意可知 ,一个实心圆连接下一行的一个实心圆和一个空心圆 ,一个空心圆连接下一行的一个实心圆 ,故第7行为：8实心圆 ,5空心圆；第8行为：13实心圆 ,8空心圆；第9行为：21实心圆 ,13空心圆；第10行为：34实心圆 ,21空心圆．一、 (高|考 )大题本考点在近三年 (高|考 )中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2021·福建质检)某同学在一次研究性学习中发现 ,以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个 ,求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果 ,将该同学的发现推广为三角恒等式 ,并证明你的结论． 解 (1)选择②式 ,计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°·cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.2．(2021·北京海淀模拟)设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表 ,如果某一行(或某一列)各数之和为负数 ,那么改变该行(或该列)中所有数的符号 ,称为一次 "操作〞．(1)数表A 如表1所示 ,假设经过两次 "操作〞 ,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数 ,请写出每次 "操作〞后所得的数表(写出一种方法即可)；表1(2)数表A如表2所示 ,假设必须经过两次 "操作〞 ,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数 ,求整数a的所有可能值．表2解(1)解法一：改变第4列――→改变第2行――→解法二：改变第2行――→改变第4列――→解法三：――→改变第1列――→改变第4列(2)每一列所有数之和分别为2 ,0 ,－2 ,0 ,每一行所有数之和分别为－1 ,1. ①如果首||先操作第三列 ,那么那么第|一行之和为2a －1 ,第二行之和为5－2a , 这两个数中 ,必须有一个为负数 ,另外一个为非负数 , 所以a ≤12或a ≥52.当a ≤12时 ,那么接下来只能操作第|一行 ,那么此时每列之和分别为2－2a ,2－2a 2 ,2－2a ,2a 2, 必有2－2a 2≥0 ,解得a ＝0 ,－1. 当a ≥52时 ,那么接下来操作第二行 ,那么此时第4列和为负 ,不符合题意．②如果首||先操作第|一行 ,那么那么每一列之和分别为2－2a ,2－2a2 ,2a－2 ,2a2 ,当a＝1时 ,每列各数之和已经非负 ,不需要进行第二次操作 ,舍掉；当a≠1时 ,2－2a ,2a－2至||少有一个为负数 ,所以此时必须有2－2a2≥0 ,即－1≤a≤1 ,所以a＝0或a＝－1 ,经检验 ,a＝0或a＝－1符合要求．综上a＝0 ,－1.。

考点测试39 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读1.理解复数的基本概念 2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i ＝( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i 答案 D解析 ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎨⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i ，故选D.2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3 D ．－1，4 答案 A解析 由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ，所以3－2i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等定义，a ＝3，且b ＝－2，故选A.3．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 答案 B解析 z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4，故选B.4．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D 答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. 5．已知复数z ＝1－i ，则z 2z －1＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 答案 A解析 z 2z －1＝(1－i )21－i －1＝2，故选A.6．已知z ＝2＋i－2i ＋1(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2 答案 A解析 因为z ＝2＋i －2i ＋1＝i (1－2i )－2i ＋1＝i ，所以复数z 的实部为0，故选A.7．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 C解析 i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i 1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.8．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12答案 A解析 解法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.解法二：令1＋a i2－i ＝m i(m ≠0)，∴1＋a i ＝(2－i)m i ＝m ＋2m i.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，a ＝2m ，∴a ＝2.9．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 答案 D解析 CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D. 10．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D．若z 是纯虚数，则z 2<0 答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，|a |≥|b |或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实数，所以A 为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z 2<0时，z 一定是虚数，且为纯虚数，故B 为真命题；由于i 2＝－1<0，故C 为假命题，D 为真命题．11．已知z 是复数z 的共轭复数，若z ·z ＝2(z ＋i)，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．1－i 答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z ＝2(z ＋i)，有(a ＋b i)(a －b i)＝2(a －b i ＋i)，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ，故选C.12．在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z ＝________. 答案 1＋2i解析 由复数z 在复平面内的坐标有z ＝1－2i ，所以共轭复数z ＝1＋2i. 二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2解析 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1＋i )2＝1＋i.∴|z |＝12＋12＝ 2.解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，即12＋12·|z |＝2，∴|z |＝ 2. 14．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2答案 C解析 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1，故选C.15．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D解析 ∵1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )25＝－3＋4i 5，∴选D.16．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i 答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，故选D. 17．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 B解析 ∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴21－i的共轭复数为1－i.18．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12i 在复平面内对应的点12，－12在第四象限，故选D.19．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 B解析 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，∴a ＜－1.故选B.20．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 答案 A解析 ∵z ＝a ＋3i ，∴z ＝a －3i.又∵z ·z ＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.21．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 为实数或纯虚数，故错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故正确．故选B.22．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i. 23．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.24．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 解法一：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a 2＝3，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＝2.∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2. 解法二：由解法一知ab ＝2，又|(a ＋b i)2|＝|3＋4i|＝5，∴a 2＋b 2＝5. 三、模拟小题25．(2018·郑州质检一)复数3－ii (i 为虚数单位)的值为( )A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i 答案 A解析 3－i i ＝3i －i 2i2＝－1－3i ，故选A.26．(2018·唐山模拟)复数z ＝3＋i1－i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2－2iD ．－1＋2i答案 B解析 因为z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋2i ，所以z ＝1－2i.27．(2018·沈阳质检一)已知i 为虚数单位，复数1－i1＋2i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B 解析 因为1－i 1＋2i ＝(1－i )(1－2i )5＝－15－35i ，所以其共轭复数为－15＋35i ，在复平面内所对应的点为－15，35，在第二象限，故选B.28．(2018·长春质检二)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2＋z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋3i C ．1－3i D ．1＋2i 答案 B解析 z 2＋z ＝(1＋i)2＋1＋i ＝1＋2i ＋i 2＋1＋i ＝1＋3i.故选B. 29．(2018·湖北八市联考)设复数z ＝21－i(i 为虚数单位)，则下列命题错误的是( ) A ．|z |＝ 2 B.z ＝1－i C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面内对应的点位于第一象限 答案 C解析 依题意，有z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则其虚部为1，故选C.30．(2018·石家庄质检二)已知复数z 满足z i ＝i ＋m (i 为虚数单位，m ∈R )，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋i(a ∈R )，则由z i ＝i ＋m ，得a i －1＝i ＋m ，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝－1，故z ＝1＋i ，在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限，故选A.31．(2018·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z ＝i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i 答案 A解析 由1－z 1＋z ＝i ，整理得(1＋i)z ＝1－i ，z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z 的共轭复数为i.故选A.32．(2018·南昌一模)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e π3i 表示的复数位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 由欧拉公式e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，所以e π3i 表示的复数位于复平面内的第一象限．选A.33．(2018·衡阳三模)若复数z 满足z ＋i ＝2－i1＋2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A ．2B ．2iC ．－2D ．－2i 答案 C解析 由z ＋i ＝2－i1＋2i ，得z ＋i ＝－i ，z ＝－2i ，故复数z 的虚部为－2，故选C.34．(2018·青岛模拟)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点关于虚轴对称，z 1＝1＋2i(i 是虚数单位)，则z 1z 2＝( )A ．5B ．－5C ．－1－4iD ．－1＋4i 答案 B解析 由题意z 2＝－1＋2i ，所以z 1z 2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－1＋4i 2＝－5.故选B.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·成都诊断)已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )．(1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围． 解 (1)设实根为m ，则m 2＋(2＋i)m ＋2xy ＋(x －y )i ＝0， 即(m 2＋2m ＋2xy )＋(m ＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋2xy ＝0 ①，m ＋x －y ＝0 ②，由②得m ＝y －x ，代入①得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 ③.故点(x ，y )的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知点(x ，y )的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r ＝2， 设方程的实根为m ，则直线m ＋x －y ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2有公共点， 所以|1－(－1)＋m |2≤2，即|m ＋2|≤2，即－4≤m ≤0.故方程的实根的取值范围是[－4，0]．2．(2018·九江高二质检)已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 当(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；当(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.。

考点测试二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览考纲研读.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题．不等式(＋－)≥在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案解析由(＋－)≥，得或所以不等式(＋－)≥在平面直角坐标系中表示的区域是项．.已知点(－，－)与点(，－)在直线－－＝的两侧，则实数的取值范围是( ) ．(－，)．(－，)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)答案解析(－＋－)(＋－)＜，所以－＜＜.故选.．若实数，满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )．．．答案解析因为直线－＝－与＋＝互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得(，)，(，)，(，)，故＝，＝，所以其面积为××＝.．若变量，满足约束条件则＋的最大值是( )．．．．答案解析作不等式组的可行域，如图：令＝＋，则＝－＋表示一系列平行于＝－的直线，并且表示该直线的纵截距．显然，把直线＝－平移至点处，最大．由得(，)．所以＝＋＝＋＝.故选.．已知点(，)是平面区域内的任意一点，则－的最小值为( )．－．－．－．答案解析根据题意可知(，)在如图阴影中，设＝－.则＝－，所以－可以理解为＝＋中的纵截距.因而当＝＋过点(，)时，最大为.即－最大为，所以最小为－.．若，满足约束条件则＝＋的取值范围是( )．(－∞，] ．[，]．[，＋∞) ．[，＋∞)答案解析作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线＋＝到点时，取得最小值，由解得点，，所以＝＋＝，无最大值．故选.．在如图所示的平面区域内有(，)，(，)，(，)三点，若使目标函数＝＋(>)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数的值是( )．答案解析由题意知，当＝＋与直线重合时最优解有无穷多个．因为＝－，所以－＝－，即＝.故选.．已知实数，满足约束条件则－的最大值是( )．．．答案解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得(，)，(，)，当直线＝－过点时＝－，过点时＝，则－≤－≤，则－≤.．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )．．．．答案解析由不等式＋<，得<－，且>，>，则当＝时，<<，则＝，，，此时整点有(，)，(，)，(，)；当＝时，<<，则＝，此时整点有(，)；当＝时，无解．故平面区域内的整点个数为.故选.．某蔬菜收购点租用车辆，将吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为辆和辆．若每辆卡车载重吨，运费元，每辆农用车载重吨，运费元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )．元．元．元．元答案解析设租用的卡车和农用车分别为辆和辆，运完全部黄瓜支出的运费为元，则目标函数＝＋，此不等式组表示的可行域是△(其中(，)，(，)，(，))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线：＝＋经过点(，)时，运费最低，且其最低运费＝×＋×＝(元)，选.．设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数＝(>)的图象上的点，则实数的取值范围是( )．(，＋∞) ．(，)．[，＋∞) ．(，]答案解析作不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由解得点(，)．由>，对数函数的图象经过可行域，此时满足≤，解得≥，所以实数的取值范围是[，＋∞)，故选.．已知实数，满足则＝＋－－＋的最小值为．答案解析目标函数＝＋－－＋＝(－)＋(－)，其几何意义是点(，)与可行域内的点的距离的平方．由实数，所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(，)到直线＋－＝的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以＝.二、高考小题．(·天津高考)设变量，满足约束条件则目标函数＝＋的最大值为( )．．．．答案解析由变量，满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线：＋＝，平移直线，当直线经过点(，)时，取最大值，即＝×＋×＝.故选.．(·全国卷Ⅱ)若，满足约束条件则＝＋的最大值为．答案解析不等式组表示的可行域是以(，)，(，)，(，)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数＝＋的最大值在顶点处取得，即当＝，＝时，＝.．(·全国卷Ⅰ)若，满足约束条件则＝＋的最大值为．答案解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由＝＋可得＝－＋，画出直线＝－，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点时，取得最大值，由解得(，)，此时＝×＋＝.．(·全国卷Ⅲ)若变量，满足约束条件则＝＋的最大值是．答案解析作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线－＋＝与＝的交点(，)处取得最大值.．(·浙江高考)若，满足约束条件则＝＋的最小值是，最大值是．答案－解析由约束条件得可行域是以(，)，(，)，(，－)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线＝－＋过点(，－)时，＝＋取得最小值－，过点(，)时，＝＋取得最大值.．(·北京高考)若，满足＋≤≤，则－的最小值是．答案解析由＋≤≤作出可行域，如图中阴影部分所示．设＝－，则＝＋，当直线＝＋过(，)时，取得最小值.三、模拟小题．(·山西太原模拟)已知实数，满足则＝－－的取值范围是( )，．[，]，．－，答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知×－×－≤<×－×(－)－，即的取值范围是－，.．(·南昌一模)设不等式组表示的平面区域为，若直线＝经过区域内的点，则实数的取值范围为( )，，，，答案解析作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由得(，)，由得(，)，平面区域即为图中阴影部分△，直线＝经过区域内的点时，＝，直线＝经过区域内的点时，＝，故≤≤，故选.．(·长沙统考)已知，满足约束条件若＝＋的最大值为，则＝( )．．－．－答案解析作不等式组表示的平面区域如图．当直线：＝－＋经过△区域时，在轴上的最大截距为，则点(，)为最优解，所以＝＝，即＝，故选.．(·太原模拟)已知不等式－≤在平面区域{(，)≤且≤}上恒成立，则动点(，)所形成平面区域的面积为( )．．．．答案解析作平面区域{(，)≤且≤}，如图所示．该平面区域表示正方形内部(含边界)．令＝－，因为－≤恒成立，则函数＝－在该平面区域要求的条件下，＝恒成立．当直线－－＝过点(－，)或(，)或(，－)或(－，－)时，有再作该不等式组表示的可行域，即菱形内部(含边界)．如图所示．其中(－，)，(，)，(，)，(，－)，所以动点(，)所形成平面区域的面积为××＝.故选.．(·湖北八市联考)已知，满足若＝＋有最大值，则实数的值为( )．－．－．－．答案解析可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线＝－＋的纵截距有最大值，则结合图形可知需满足直线－＝过点(，)，从而＝×－＝－，故选.．(·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组(为常数)表示的平面区域的面积为π，若，满足上述约束条件，则＝的最小值为( )．－．－．－答案解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知π＝π，解得＝＝＝＋，易知表示可行域内的点(，)与点(－，)的连线的斜率，由图可知当点(，)与点的连线与圆＋＝相切时斜率最小．设切线方程为－＝(＋)，即－＋＋＝，则有＝，解得＝－或＝(舍)，所以＝－＝－.故选.．(·河北石家庄质检)设变量，满足约束条件则的最大值为．答案解析题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则表示可行域内点(，)与(，－)的连线的斜率，由图知，当位于(，)时，取得最大值＝.．(·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工个工作时，漆工个工作时；生产一张桌子需要木工个工作时，漆工个工作时．生产一把椅子的利润为元，生产一张桌子的利润为元，该厂每个月木工最多完成个工作时，漆工最多完成个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元．答案解析依题意，设每个月生产把椅子、张桌子，那么利润＝＋.其中，满足约束条件可行域如图中阴影部分所示，对于不同的值，＝＋表示一组斜率为－的平行线，且越大，相应的直线位置越高；越小，相应的直线位置越低．依题意，要求的最大值，需把直线＝＋尽量地往上平移，又考虑到，的允许范围，显然当直线通过点时，处在这组平行线的最高位置，此时取最大值．由得点(，)，从而＝×＋×＝(元)，即生产把椅子、张桌子可获得最大利润元．一、高考大题．(·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万) 甲乙已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于分钟，广告的总播放时间不少于分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解()由已知，，满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．()设总收视人次为万，则目标函数为＝＋.考虑＝＋，将它变形为＝－＋，这是斜率为－，随变化的一族平行直线为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值就最大．又因为，满足约束条件，所以由图②可知，当直线＝＋经过可行域上的点时，截距最大，即最大．解方程组得则点的坐标为(，)．所以，电视台每周播出甲连续剧次、乙连续剧次时，才能使总收视人次最多．二、模拟大题．(·广东佛山月考)若，满足约束条件()求目标函数＝－＋的最值；()若目标函数＝＋仅在点(，)处取得最小值，求的取值范围．解()作出可行域如图，可求得(，)，(，)，(，)．平移初始直线－＝，过(，)取最小值－，过(，)取最大值.∴的最大值为，最小值为－.()直线＋＝仅在点(，)处取得最小值，由图象可知－<－<，解得－<<.故所求的取值范围是(－，)．．(·福建泉州质检)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：()指出，的取值范围；()平面区域内有多少个整点？解()不等式－＋≥表示直线－＋＝上及右下方的点的集合．＋≥表示直线＋＝上及右上方的点的集合，≤表示直线＝上及左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得∈，∈[－，]．()由图形及不等式组知当＝时，－≤≤，有个整点；当＝时，－≤≤，有个整点；当＝时，－≤≤，有个整点；当＝时，≤≤，有个整点；当＝－时，≤≤，有个整点；当＝－时，≤≤，有个整点．所以平面区域内的整点共有＋＋＋＋＋＝(个)．。

第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试不等关系与不等式高考概览考纲研读．了解现实世界和日常生活中的不等关系．了解不等式(组)的实际背景．掌握不等式的性质及应用一、基础小题．若＝(＋)(＋)，＝(＋)(＋)，则，的大小关系为( )．< ．＝．> ．不确定答案解析因为(＋)(＋)－(＋)(＋)＝(＋＋)－(＋＋)＝－<，故<．．下列不等式：①－>－；②－>－；③>；④＋>－．其中正确的有( ) ．个．个．个．个答案解析显然①②正确；对③，≤时不成立；对④，≤时不成立．故选．．设，∈，若：<，：<<，则是的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析当<时，<<不一定成立；当<<时，<<成立．综上可得，是的必要不充分条件，故选．．若<<，∈，则下列不等式中正确的是( )．> ．>．> ．<答案解析由<<，得－＝>，故正确；由<<，得<－<，即<，故错误；当>时，由<<，得<，故错误；由<<，得>，即>，故错误．故选．．设，∈[，＋∞)，＝＋，＝，则，的大小关系是( )．≤ ．≥．< ．>答案解析由题意，得－＝－≤，且≥，≥，可得≥．故选．．若＞＞，＜＜，则一定有( )．＞．＜．＜．＞答案解析根据＜＜，有－＞－＞，由于＞＞，故－＞－，＜．故选．．已知<<且＋＋＝，则下列不等式恒成立的是( )．<< ．<．< ．<答案解析因为<<且＋＋＝，所以<，>，的符号不定，对于<，两边同时乘以正数，不等号方向不变．故选．．如果，，满足<<，且<，那么下列选项中不一定成立的是( )．> ．(－)>．< ．(－)<答案解析由题意知<，>，由<和>知一定正确；由<和<知一定正确；由<和<知一定正确；当＝时不正确．．已知，，∈＋，若<<，则，，的大小关系为( )．<< ．<<．<< ．<<答案解析因为，，∈＋，由<，得＋<＋，整理得(－)(＋＋)<，所以<，同理由<，得<，所以<<．．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：)分别为，，，且<<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元)分别为，，，且<<．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )．＋＋．＋＋．＋＋．＋＋答案解析由<<，<<，所以＋＋－(＋＋)＝(－)＋(－)＝(－)(－)>，故＋＋>＋＋；同理，＋＋－(＋＋)＝(－)＋(－)＝(－)(－)<，故＋＋<＋＋．因为＋＋－(＋＋)＝(－)＋(－)＝(－)(－)<，故＋＋<＋＋．故最低费用为＋＋．故选．．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(围三面)，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为，其中的不等关系可用不等式(组)表示为．答案解析满足题中条件有意义有．①若>，>，则<；②若>，则>；③若>，≠，则>；④若<<，<，则<．以上说法正确的是．(请填写所有正确说法的序号)答案②③解析取＞＞，则＜不成立，①不正确；因为＞，所以＞成立，②正确；若＞，≠，则＞，＞成立，③正确；取＝－＜＝－＜，＝－＜＝－，则(－)×(－)＞(－)×(－)，此时＜不成立，④不正确．二、高考小题．(·全国卷Ⅲ)设＝．．，＝．，则( )．＋<< ．<＋<．＋<< ．<<＋答案解析∵＝．．，＝．，∴＝．．，＝．，∴＋＝．．，∴<＋<，即<<，又∵>，<，∴<即<＋<．故选．．(·北京高考)设集合＝{(，)－≥，＋>，－≤}，则( )．对任意实数，()∈．对任意实数，()∉．当且仅当<时，()∉．当且仅当≤时，()∉答案解析若()∈，则有解得>．结合四个选项，只有说法正确．故选．．(·山东高考)若＞＞，且＝，则下列不等式成立的是( )．＋＜＜(＋)．＜(＋)＜＋．＋＜(＋)＜．(＋)＜＋＜答案解析(特殊值法)令＝，＝，可排除，，．故选．．(·北京高考)已知，∈，且>>，则( )．－> ．－>．－< ．＋ >答案解析函数＝在(，＋∞)上为减函数，∴当>>时，<，即－<，故正确；函数＝在(，＋∞)上为减函数，∴由>>⇒<⇒－<，故错误；函数＝在(，＋∞)上不单调，当>>时，不能比较与的大小，故错误；>>> ()> ＋ >，故错误．．(·浙江高考)已知实数，，．( )．若＋＋＋＋＋≤，则＋＋<．若＋＋＋＋－≤，则＋＋<．若＋＋＋＋－≤，则＋＋<．若＋＋＋＋－≤，则＋＋<答案解析利用特殊值法验证．令＝，＝，＝－．，排除；令＝，＝－．，＝，排除；令＝，＝－．，＝，排除；由≥＋＋＋＋－≥＋＋＋得－≤＋＋＋≤，即－≤＋＋＋≤，所以＋≤，－<－－<<－＋<．同理－<<．再由≥＋－≥－－>－－，得<．所以＋＋<＋＋＝<．故选．．(·湖北高考)设∈，[]表示不超过的最大整数．若存在实数，使得[]＝，[]＝，…，[]＝同时成立，则正整数的最大值是( )．．．．答案解析若＝，则即得≤<，即当≤<时，有[]＝，[]＝，[]＝，∴＝符合题意．若＝，则即得≤<，即当≤<时，有[]＝，[]＝，[]＝，[]＝，故＝符合题意．若＝，则即①∵<，∴<，故①式无解，即＝不符合题意，则正整数的最大值为．三、模拟小题．(·河南百校联盟模拟)设，∈，则“(－)≥”是“≥”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析由(－)≥，解得≥，或＝，∈，因为≥，≥，所以(－)≥，故“(－)≥”是“≥”的必要不充分条件．．(·河南六市模拟)若<<，则下列结论不正确的是( )．< ．<．＋< ．＋>＋答案解析∵<<，∴<<，∴>，<，＋<，∴，，均正确．∵<<，∴＋＝＋，故错误．．(·河南三市调研)若，∈，则>的一个充分不必要条件是( )．> ．>．> ．>答案解析由>，>未必能推出>，排除，；由>可推出>，反之，未必成立，而>是>的充要条件，故选．．(·山东烟台模拟)下列四个命题中，为真命题的是( )．若>，则>．若>，>，则－>－．若>，则>．若>，则<答案解析当＝时，不成立；>>－，而－<－(－)，故不成立；＝，＝－时，不成立；由>知>，所以>，故选．．(·安徽淮北一中模拟)若<<，给出下列不等式：①＋>；②－>－；③>>．其中正确的个数是( )．．．．答案解析由于<<，所以>>，>，故＋>，①正确；－>－>，－＋>－＋>，故－>－，②正确；＋<<<，所以>>，③正确，故选．．(·安徽合肥质检)下列三个不等式：①＋≥(≠)；②<(>>>)；③>(，，>且<)，恒成立的个数为( )．．．．答案解析当<时，①不成立；由>>>得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由，，>且<知－>恒成立，故③恒成立，故选．．(·山东德州月考)已知实数，，满足＋＝－＋，－＝－＋，则，，的大小关系为( )．<≤ ．≤<．<< ．<<解析由－＝－＋＝(－)≥，得≤，再由＋＝－＋，－＝－＋，得＝＋，因为＋－＝＋>，所以＝＋>，所以<≤．．(·山西康杰中学月考)设>>，则下列不等式成立的是( )． > ． <．< ．>答案解析观察，两项，实际上是在比较和的大小，引入函数＝，>．则′＝，可见函数＝在(，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．函数＝在(，＋∞)上不单调，所以函数在＝和＝处的函数值无法比较大小．对于，两项，引入函数()＝，>，则′()＝＝>，所以函数()＝在(，＋∞)上单调递增，又因为>>，所以()>()，即>，所以<．故选．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题．(·河北正定中学周测)设>>，试比较与的大小．解解法一(作差法)：－＝＝＝．因为>>，所以＋>，－>>．所以>，所以>．解法二(作商法)：因为>>，所以>，>．所以＝＝＝＋>．．(·四川绵阳检测)设<<，>且≠，比较(－)与(＋)的大小．解解法一：当>时，由<<知，(－)<，(＋)>，∴(－)－(＋)＝－(－)－(＋)＝－(－)，∵<－<，∴(－)<，从而－(－)>，故(－)>(＋)．当<<时，同样可得(－)>(＋)．解法二(平方作差)：(－)－(＋)＝[(－)]－[(＋)]＝(－)·＝(－)·>．∴(－)>(＋)，故(－)>(＋)．。

考点测试35 基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0. 2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案 B解析 ∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤ 3x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立． 3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时等号成立，解得x ＝1或3.又∵x ＞2，∴x＝3，即a 等于3时，函数f (x )在x ＝3 处取得最小值，故选C.4．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2(－x )·1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．5．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( ) A ．2 B.22C. 3D. 2 答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．6．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(0，2) 答案 D解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．7．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A ，C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D错误．故选B.8．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．9．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y 当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.10．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x 2＋9x 2＋5B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋4log x 3 答案 C解析 对于A ，因为x 2＋5≥5，所以y ＝x 2＋5＋4x 2＋5的最小值不是4，所以不满足题意；对于B ，令sin x ＝t ∈(0，1]，则y ＝t ＋4t ，y ′＝1－4t 2＜0，因此函数y ＝t ＋4t在(0，1]上单调递减，所以y ≥5，所以不满足题意；对于C ，y ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝4e－x，即x ＝ln 2时取等号，故满足题意；对于D ，当x ∈(0，1)时，log 3x ，log x 3<0，所以不满足题意．11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案 B解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)．故选B. 12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞)解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．－4716，2B ．－4716，3916C ．[－23，2]D ．－23，3916答案 A解析 ①当x ≤1时，关于x 的不等式f (x )≥x 2＋a 在R 上恒成立等价于－x 2＋x －3≤x2＋a≤x 2－x ＋3在R 上恒成立，即有－x 2＋12x －3≤a ≤x 2－32x ＋3在R 上恒成立．由y ＝－x 2＋12x－3图象的对称轴为x ＝1414＜1，可得在x ＝14处取得最大值－4716；由y ＝x 2－32x ＋3图象的对称轴为x ＝3434＜1，可得在x ＝34处取得最小值3916，则－4716≤a ≤3916.②当x >1时，关于x 的不等式f (x )≥x2＋a 在R 上恒成立等价于－x ＋2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x 在R上恒成立，即有－32x ＋2x ≤a ≤x 2＋2x 在R 上恒成立，由于x >1，所以－32x ＋2x ≤－23x 2·2x＝－23，当且仅当x ＝23时取得最大值－23；因为x >1，所以12x ＋2x ≥212x ·2x＝2，当且仅当x ＝2时取得最小值2，则－23≤a ≤2.由①②可得－4716≤a ≤2.故选A.14．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案14解析 由已知，得2a＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝2－3b时等号成立，由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1，故当a ＝－3，b ＝1时，2a＋18b取得最小值14.15．(2015·重庆高考)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 令t ＝a ＋1＋b ＋3， 则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2 ＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时， 即a ＝72，b ＝32时，等号成立，所以t 的最大值为3 2.16．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 设总费用为y 万元，则y ＝600x ×6＋4x ＝4x ＋900x ≥240，当且仅当x ＝900x，即x＝30时，等号成立．17．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab＝4ab ＋1ab ，由于ab ＞0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4当且仅当4ab ＝1ab时“＝”成立，故当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.三、模拟小题18．(2018·廊坊一模)已知m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n的最小值为( ) A ．4 B ．2 2 C.92 D ．16答案 C解析 ∵m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )·14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 19．(2018·山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 答案 D解析 xx ＋y ＋2y x ＋2y ＝x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y ＝1＋x x ＋y －x x ＋2y ＝1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y ＋2y x，因为xy >0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx ≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2.20．(2018·四川资阳诊断)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 2 B ．8 2 C ．5 D ．9 答案 D解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝bb －2>0，解得b >2，即b －2>0，则a ＋2b ＝bb －2＋2b ＝1＋2b －2＋ 2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2(b －2)＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时等号成立，其最小值为9.21．(2018·江西九校联考)若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，则x ＋12y 的最大值为( )A ．－1＋322 B ．1C ．1＋332 D.322答案 A解析 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，可得(2xy －1)2＝9y 2－(2y ＋2)2，即(2xy －1)2＋(2y ＋2)2＝9y 2，得2x －1y 2＋2＋2y 2＝9，又2x －1y 2＋2＋2y 2≥2x －1y ＋2＋2y22＝2x ＋1y＋222，当且仅当2x －1y＝2＋2y 时等号成立，所以2x ＋1y ＋22≤18，得2x ＋1y ≤32－2，所以x ＋12y ≤32－22，所以x ＋12y 的最大值为－1＋322.故选A.22．(2018·南昌摸底)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 由x >2，知x －2>0，又m >0，则y ＝(x －2)＋mx －2＋2≥2(x －2)mx －2＋2＝2m＋2，取等号的条件为x －2＝mx －2.从而依题意可知2m ＋2＝6，解得m ＝4.23．(2018·邯郸模拟)设x >0，y >0，且x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＋1y 2取得最小值，∵x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2x y，又x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，∴x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，∴x 2＋1y2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下： 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．(2018·保定诊断)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n×1＋n (n －1)2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －(81＋n 2)n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n·n＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．(2018·南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．11 (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎨⎧ 648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4.当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－(x －6)－1＝10－x ＋16a14－x －a＝(14－x )＋16a14－x －a －4≥2(14－x )·16a14－x －a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4，8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4，8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

考点测试38 算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．给出如图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案 C解析求|a－b|的值．2．已知一个算法：①m＝a；②如果b<m，则m＝b，输出m，结束算法；否则执行第3步；③如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是( )A．3 B．6 C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<m＝a ＝3，∴m＝c＝2，即输出m的值为2.故选C.3．阅读下面的程序：INPUT xIF x<0 THENx＝－xEND IFPRINT xEND则程序执行的目的是( )A．求实数x的绝对值 B．求实数x的相反数C．求一个负数的绝对值 D．求一个负数的相反数答案 A解析由程序可知，当输入的x<0时，取其相反数再赋值给x，其他情况x不变，然后输出x，则程序执行的目的是求实数x的绝对值，故选A.4．阅读程序框图，该算法的功能是输出( )A．数列{2n－1}的第4项B．数列{2n－1}的第5项C．数列{2n－1}的前4项和D．数列{2n－1}的前5项和答案 B解析依程序框图，有下表：由于6>5，跳出循环，故输出A＝31，而31＝25－1，选B.5．当m＝5，n＝2时，执行图中所示的程序框图，输出的S值为( )A．20 B．42 C．60 D．180答案 C解析当m＝5，n＝2时，程序框图的运算过程如下表所示：故输出S＝60，故选C.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60.故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中数码2004折合成十进制为( )A ．29B ．254C ．602 C ．2004 答案 B解析 2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x ＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6，6B ．5，6C ．5，5D ．6，5 答案 A解析 由f (x )＝(((a 6x ＋a 5)x ＋a 4)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－9或－3 答案 B解析 本算法框图的本质为求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －8，x ≤0，2－log 3x ，x >0的零点，分情况求此分段函数的零点，易解得x ＝－3或x ＝9，故选B.10．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，其中“Mod(N ，m )＝n ”表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如：Mod(10，3)＝1.执行该程序框图，则输出的i ＝( )A．23 B．38 C．44 D．58答案 A解析检验选项A：i＝23，Mod(23，3)＝2，Mod(23，5)＝3，Mod(23，7)＝2，满足题意，故选A.11．如图是“二分法”解方程的流程图，在①～④处应填写的内容分别是( )A．f(a)f(m)<0；a＝m；是；否B．f(b)f(m)<0；b＝m；是；否C．f(b)f(m)<0；m＝b；是；否D．f(b)f(m)<0；b＝m；否；是答案 B解析因为题图是“二分法”解方程的流程图，所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填f(b)f(m)<0；是，则直接验证精度，否，则先在赋值框中实现b＝m的交换，再验证精度，满足精度则输出结果，结束程序，所以③处填“是”，④处填“否”，在①～④处应填写的内容分别是f(b)f(m)<0；b＝m；是；否．12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000 C ．P ＝M1000 D ．P ＝4M1000答案 D解析 利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S ≈M1000，又由面积公式得S ＝14π×12≈M 1000，解得π≈4M 1000，故选D.二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B.14．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.12B.56C.76D.712 答案 B解析 k ＝1，s ＝1；s ＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k ＝2，2<3；s ＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k ＝3，此时跳出循环，所以输出56.故选B. 15．(2018·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环．故选B.16. (2017·全国卷Ⅰ)右面程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2答案 D解析本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2.故选D.17．(2017·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 D解析要求的是最小值，观察选项，发现选项中最小的为2，不妨将2代入检验．当输入的N为2时，第一次循环，S＝100，M＝－10，t＝2；第二次循环，S＝90，M＝1，t＝3，此时退出循环，输出S＝90，符合题意．故选D.18．(2017·天津高考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8，8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7，7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6，6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N ＝2，2≤3成立，退出循环，输出N的值为2.故选C.19．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0 答案 D解析 第一次输入x ＝7，判断条件，4>7不成立，执行否，判断条件，7÷2＝72，7不能被2整除，执行否，b ＝3，判断条件，9>7成立，执行是，输出a ＝1.第二次输入x ＝9，判断条件，4>9不成立，执行否，判断条件，9÷2＝92，9不能被2整除，执行否，b ＝3，判断条件，9>9不成立，执行否，判断条件，9÷3＝3，9能被3整除，执行是，输出a ＝0.故选D.三、模拟小题20．(2018·衡阳二模)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.虽然该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为( )A ．a 是偶数？ 6B ．a 是偶数？ 8C ．a 是奇数？ 5D ．a 是奇数？ 7 答案 D解析 阅读考拉兹提出的猜想，结合程序框图可得①处应填写的条件是“a 是奇数？”，运行情况为所以输出的结果为i ＝7.故选D.21．(2018·郑州质检一)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 B解析 初始a ＝1，A ＝1，S ＝0，n ＝1，第一次循环：S ＝0＋1＋1＝2，S 小于10，进入下一次循环；第二次循环：n ＝n ＋1＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92，S 小于10，进入下一次循环；第三次循环：n ＝n ＋1＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354，S 小于10，进入下一次循环；第四次循环：n ＝n ＋1＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8≥10，循环结束，此时n ＝4，故选B.22.(2018·合肥质检一)执行如图所示程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13答案 C解析 a ＝2，i ＝1，满足i ≤n ＝10，进入循环体，第一次循环：a ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；满足i ≤n ＝10，第二次循环：a ＝1＋(－3)1－(－3)＝－12，i ＝3；满足i ≤n ＝10，第三次循环：a ＝1＋－121－－12＝13，i ＝4；满足i ≤n ＝10，第四次循环：a ＝1＋131－13＝2，i ＝5；…可看出a 的取值周期性变化，且周期为4.可知当i ＝11时与i ＝3时a 的取值相同，即a ＝－12，此时，不满足i ≤n ＝10，跳出循环体，输出a ＝－12，故选C.23．(2018·贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个求解算法，则输出n 的值为()A ．20B ．25C ．30D ．35 答案 B解析 开始：n ＝20；第一步：m ＝80，S ＝60＋803≠100，n ＝21；第二步：m ＝79，S ＝63＋793≠100，n ＝22；第三步：m ＝78，S ＝66＋783＝92≠100，n ＝23；第四步：m ＝77，S ＝69＋773≠100，n ＝24；第五步：m ＝76，S ＝72＋763≠100，n ＝25；第六步：m ＝75，S ＝75＋753＝100，此时S ＝100退出循环，输出n ＝25.故选B. 24．(2018·南昌摸底)执行如图所示的程序框图，输出n 的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析依据框图，可知n＝1时，f(x)＝(x)′＝1，它是偶函数，满足f(x)＝f(－x)，又方程f(x)＝0无解，则n＝1＋1＝2；此时，f(x)＝(x2)′＝2x，不满足f(x)＝f(－x)，则n＝2＋1＝3；再次循环，f(x)＝(x3)′＝3x2，满足f(x)＝f(－x)，且方程f(x)＝0有解x＝0，跳出循环体，则输出n的值为3，故选C.25．(2018·深圳调研)九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1所示，要将9个圆环全部从框架上解下(或套上)，无论是哪种情形，都需要遵循一定的规则．解下(或套上)全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出的结果为( )A．170 B．256 C．341 D．682答案 C解析由算法框图，可知i，S的变化情况如下：故选C.26．(2018·邯郸摸底)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算该木棍被截取7天后所剩的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )答案 B解析 该程序框图的功能是计算木棍被截取7天后剩余部分的长度，则在程序运行过程中，应该有：第1次循环，s ＝1－12，i ＝4；第2次循环，s ＝1－12－14，i ＝8；第3次循环，s ＝1－12－14－18，i ＝16；…；第7次循环，s ＝1－12－14－…－1128，i ＝256，此时应跳出循环体，据此判断可知在判断框①处填入“i ≤128？”，执行框②处应填入“s ＝s －1i”，③处应填入“i ＝2i ”，故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

考点测试39 数学归纳法高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中等以上难度考纲研读1．了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 边数最少的凸n 边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a ，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析 当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a ．故选B ．3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1．所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1检验不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D ．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项 D ．2k 项 答案 D解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．5．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析 假设n ＝4时该命题成立，由题意可得n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，所以n ＝4时，该命题不成立，而n ＝5，该命题不成立，不能推得n ＝6该命题是否成立，故选C ．6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8．故选B ．7．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k ) 答案 D解析 ①当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．②假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k ∈N *都成立．故选D ．。

考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式2x 2－x －3＞0的解集是( ) A ．－32，1B ．(－∞，－1)∪32，＋∞C ．－1，32D ．－∞，－32∪(1，＋∞)答案 B解析 2x 2－x －3＞0可因式分解为(x ＋1)(2x －3)＞0，解得x ＞32或x ＜－1，∴不等式2x 2－x －3＞0的解集是(－∞，－1)∪32，＋∞．故选B ．2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26 答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28．3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4．故选D ．4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154 D ．152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2＝0的两个根为x 1＝－2a ，x 2＝4a ，得6a ＝15，所以a ＝52．5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D．{k |k ＞1} 答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k (k ＋8)≤0，则0＜k ≤1．综上，0≤k ≤1．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－2,2) 答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2．由②，得x ∈R ．所以解集为(－1,2)．故选A ．7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[2，＋∞) 答案 C解析 ∵二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，∴－2(a －1)2×3≥1，解得a ≤－2．故选C ．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞) 答案 C解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4．又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4．当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1，有－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．10．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题： ①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为－∞，－1a∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0．当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2．当a ≠0时，方程(ax ＋1)·(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2．故①为假命题，②③④为真命题．11．若不等式－3≤x 2－2ax ＋a ≤－2有唯一解，则a 的值是( )A ．2或－1B ．－1±52C ．1±52D ．2答案 A解析 令f (x )＝x 2－2ax ＋a ，即f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，因为－3≤x 2－2ax ＋a ≤－2有唯一解，所以a －a 2＝－2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1．故选A ．12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以m ≤9．二、高考小题13．(经典浙江高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C．6<c ≤9 D．c >9 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9．14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1．15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0． 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ．那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2018·温州九校联考)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A ．x －12＜x ＜－13B ．xx ＞－13或x ＜－12C ．{x |－3＜x ＜2}D ．{x |x ＜－3或x ＞2} 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a ＞0为－6x 2－5x －1＞0，即(3x ＋1)(2x ＋1)＜0，所以解集为x －12＜x ＜－13．故选A ．18．(2018·贵阳一模)已知函数f (x )＝ln (x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞) 答案 D解析 依题意得函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，则函数g (x )的值域取遍一切正实数，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4．故选D ．19．(2018·湖南湘潭一中模拟)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．－∞，－1311D ．－∞，－1311∪(1，＋∞)答案 C解析 ①当m ＝－1时，不等式化为2x －6<0，即x <3，显然不对任意实数x 恒成立．②当m ≠－1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，所以m <－1311．故选C ．20．(2018·河北石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)，故选B ．21．(2018·湖北沙市中学月考)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．若对于任意的x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．－∞，67 B ．(－∞，1)C ．(1,5)D ．(1，＋∞) 答案 A解析 因为f (x )<－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)<6，而x 2－x ＋1>0，所以将不等式变形为m <6x 2－x ＋1，即不等式m <6x 2－x ＋1对于任意x ∈[1,3]恒成立，所以只需求6x 2－x ＋1在[1,3]上的最小值即可．记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝x －122＋34，显然h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．所以g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67．故选A ．22．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A ．－∞，－43∪(2，＋∞)B ．－43，2C ．－∞，43∪(2，＋∞)D ．43，2 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴由f (2x －1)－f (x ＋1)>0得f (2x －1)>f (x ＋1)，∴|2x －1－2|<|x ＋1－2|，∴(2x －3)2<(x －1)2，即3x 2－10x ＋8<0，(x －2)(3x －4)<0，解得43<x <2，故选D ．23．(2018·福建漳州八校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”，给出如下一种解法：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为－2，－13∪12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 答案 －3，－12∪(1,2)解析 由kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为－2，－13∪12，1，且k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c ＜0，即kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0，得－2＜1x ＜－13或12＜1x ＜1，即－3＜x ＜－12或1＜x ＜2，故不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为－3，－12∪(1,2)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·黑龙江虎林一中模拟)已知f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)∵f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b＝－10，c ＝0，f(x)＝2x 2－10x.(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0.设g(x)＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知 g(x)＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g(x)max ＝g(－1)＝10＋t ，∴10＋t≤0，即t≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．2．(2018·湖北宜昌月考)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．3．(2018·辽宁沈阳月考)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式． 解 (1)∵2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，∴4≤f (2)≤4，∴f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (－2)＝0，f (2)＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .∵ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0，∴Δ＝1－4a (2－4a )≤0，即(4a －1)2≤0，得a ＝14，同理f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，也解得a ＝14，∴当a ＝14，满足2x ≤f (x )≤x 2＋42，∴a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x24＋x ＋1.4．(2018·江西八校联考)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a >0时，解关于x 的不等式：ax 2＋n ＋1>(m ＋1)x ＋2ax ； (2)是否存在实数a ∈(0，1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1(x ∈[1，2])的最小值为－5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由不等式mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m >0，由根与系数关系得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m，－1×n ＝－3m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以原不等式化为(x －2)(ax －2)>0.①当0<a <1时，原不等式化为(x －2)x －2a >0且2<2a ，解得x <2或x >2a；②当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2； ③当a >1时，原不等式化为(x －2)x －2a >0且2>2a，解得x <2a或x >2；综上所述，当0<a ≤1时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ；当a >1时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.(2)假设存在满足条件的实数a ，由(1)得m ＝1，f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3，令a x ＝t (a 2≤t ≤a )，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3(a 2≤t ≤a )，对称轴为t ＝3a ＋22，因为a∈(0，1)，所以a 2<a <1，1<3a ＋22<52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]单调递减，5－1 2(负值舍去)．所以当t＝a时，y的最小值为y min＝－2a2－2a－3＝－5，解得a＝。

第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1．了解现实世界和日常生活中的不等关系 2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为( ) A ．A <B B ．A ＝B C ．A >B D ．不确定 答案 A解析 因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0，故A <B ．2．下列不等式：①m －3>m －5；②5－m >3－m ；③5m >3m ；④5＋m >5－m ．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 显然①②正确；对③，m ≤0时不成立；对④，m ≤0时不成立．故选B ． 3．设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a<0时，a <b <0成立．综上可得，p 是q 的必要不充分条件，故选B ．4．若a <b <0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1a >1bB ．1a －b >1aC ．ac >bcD ．a 2<b 2答案 A解析 由a <b <0，得1a －1b ＝b －a ab >0，故A 正确；由a <b <0，得a <a －b <0，即1a －b <1a ，故B 错误；当c >0时，由a <b <0，得ac <bc ，故C 错误；由a <b <0，得|a |>|b |，即a 2>b 2，故D 错误．故选A ．5．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B 答案 B解析 由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ．故选B ． 6．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．ac ＞bd B ．ac ＜bd C ．ad ＜bc D ．ad ＞bc 答案 B解析 根据c ＜d ＜0，有－c ＞－d ＞0，由于a ＞b ＞0，故－ac ＞－bd ，ac ＜bd ．故选B ． 7．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb 答案 D解析 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D ．8．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 由题意知c <0，a >0，由c <b 和a >0知A 一定正确；由b <a 和c <0知B 一定正确；由c <a 和ac <0知D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．9．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a 答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，所以c <a ，同理由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b ．10．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c ．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz 答案 B解析 由x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz ．因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx ．故最低费用为az ＋by ＋cx ．故选B ．11．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(围三面)，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x 15－12x ≥216，0<x ≤18解析 满足题中条件有意义有⎩⎪⎨⎪⎧x 15－12x ≥216，0<x ≤18.12．①若a >b ，c >0，则c a <c b；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，c ≠0，则ac 2>bc 2；④若a <b <0，c <d ，则ac <bd ．以上说法正确的是________．(请填写所有正确说法的序号)答案 ②③解析 取a ＞0＞b ，则c a ＜cb不成立，①不正确；因为ac 2＞bc 2，所以a ＞b 成立，②正确；若a ＞b ，c ≠0，则c 2＞0，ac 2＞bc 2成立，③正确；取a ＝－5＜b ＝－2＜0，c ＝－2＜d ＝－1，则(－5)×(－2)＞(－2)×(－1)，此时ac ＜bd 不成立，④不正确．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，∴1a ＝log 0．30．2，1b ＝log 0．32，∴1a ＋1b＝log 0．30．4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又∵a >0，b <0，∴ab <0即ab <a ＋b <0．故选B ．14．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32．结合四个选项，只有D 说法正确．故选D ．15．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D ．故选B ．16．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A ．1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0 答案 C解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒/xy >1⇒/ln (xy )>0⇒/ln x ＋ln y >0，故D 错误．17．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ．( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11．5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15．5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10．5，c ＝0，排除C ；由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a ＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤a ＋122＋b ＋122≤32，所以a ＋122≤32，－2<－12－62<a <－12＋62<1．同理－2<b <1．再由1≥|a ＋b 2－c |≥|c |－|a |－|b 2|>|c |－2－4，得|c |<7．所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100．故选D ．18．(2015·湖北高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4． 三、模拟小题19．(2019·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b ，或a ＝0，b ∈R ，因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．20．(2018·河南六市模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确．∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．21．(2018·河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2C ．x >yD ．x 3>y 3 答案 C解析 由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A ，B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C ．22．(2018·山东烟台模拟)下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dC ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；2>1,3>－1，而2－3<1－(－1)，故B 不成立；a ＝2，b ＝－1时，D 不成立；由a >|b |知a >0，所以a 2>b 2，故选C ．23．(2018·安徽淮北一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确，故选D ． 24．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb(a >b >c >0)；③a ＋mb ＋m >ab(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m－a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －ab>0恒成立，故③恒成立，故选B ． 25．(2018·山东德州月考)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 A解析 由c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，得b ≤c ，再由b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得2b ＝2＋2a 2，因为1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b ＝1＋a 2>a ，所以a <b ≤c ．26．(2018·山西康杰中学月考)设a >b >1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b<b e aD ．a e b>b e a答案 C解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln xx，x >1．则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln xx在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．函数y ＝ln xx在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x ＝a 和x ＝b 处的函数值无法比较大小．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，x >1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2>0，所以函数f (x )＝exx在(1，＋∞)上单调递增，又因为a >b >1，所以f (a )>f (b )，即e a a >e bb，所以a e b <b e a．故选C ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河北正定中学周测)设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．解 解法一(作差法)：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)．因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0,2ab >0． 所以2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b ． 解法二(作商法)：因为a >b >0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0． 所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1． 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b．2．(2018·四川绵阳检测)设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解 解法一：当a >1时，由0<x <1知， log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)， ∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)<0，从而－log a (1－x 2)>0， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|．当0<a <1时，同样可得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|． 解法二(平方作差)：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )]2－[log a (1＋x )]2＝log a (1－x 2)·log a 1－x 1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x >0．∴|log a (1－x )|2>|log a (1＋x )|2， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|．。

考点测试复数高考概览考纲研读.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题．设＝＋，＝＋，当＋＝时，复数＋＝( )．＋．＋．．－－答案解析∵＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝，∴∴∴＋＝－－，故选.．若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )．，－．，．，－．－，答案解析由于(＋)＋(－)＝－，所以－＝＋(，∈)，由复数相等定义，＝，且＝－，故选. ．若复数满足＋(－)＝，则的虚部是( )．－．．．－答案解析＝－(－)＝－＋，所以的虚部是，故选.．如图，在复平面内，点表示复数，由图中表示的共轭复数的点是( )．．．．答案解析表示复数的点与表示的共轭复数的点关于轴对称，∴点表示.选. ．已知复数＝－，则＝( )．．－．．－答案解析＝＝，故选.．已知＝(是虚数单位)，则复数的实部是( )．．－．．答案解析因为＝＝＝，所以复数的实部为，故选.．复数＝( )．－－．－＋－＋答案解析＝＝＝＝＝－.．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为( )．．－．－答案解析解法一：因为＝＝为纯虚数，所以－＝，＝.解法二：令＝(≠)，∴＋＝(－)＝＋.∴∴＝.．在复平面内，向量对应的复数是＋，向量对应的复数是－－，则向量对应的复数为( )．－．－＋．＋．－－答案解析＝－＝－－－－＝－－，故选.．设是复数，则下列命题中的假命题是( )．若≥，则是实数．若<，则是虚数．若是虚数，则≥ ．若是纯虚数，则<答案解析设＝＋(，∈)，＝－＋，由≥，得即或所以＝时＝，＝时∈.故是实数，所以为真命题；由于实数的平方不小于，所以当<时，一定是虚数，且为纯虚数，故为真命题；由于＝－<，故为假命题，为真命题．．已知是复数的共轭复数，若·＝(＋)，则＝( )．－－．－＋．＋．－答案解析设＝＋(，∈)，由·＝(＋)，有(＋)(－)＝(－＋)，解得＝＝，所以＝＋，故选. ．在复平面内，复数对应的点是(，－)，则复数的共轭复数＝.答案＋解析由复数在复平面内的坐标有＝－，所以共轭复数＝＋.二、高考小题．(·全国卷Ⅲ)设复数满足(＋)＝，则＝( )．答案解析解法一：∵(＋)＝，∴＝＝＝＝＋.∴＝＝.解法二：∵(＋)＝，∴＋·＝，即·＝，∴＝.．(·全国卷Ⅰ)设＝＋，则＝( )．．答案解析因为＝＋＝＋＝＋＝，所以＝＝，故选.．(·全国卷Ⅱ)＝( )．－－．－＋．－－．－＋答案解析∵＝＝，∴选.．(·全国卷Ⅲ)(＋)(－)＝( )．－－．－＋．－．＋答案解析(＋)(－)＝－＋－＝＋，故选.．(·浙江高考)复数(为虚数单位)的共轭复数是( )．＋．－．－＋．－－答案解析∵＝＝＋，∴的共轭复数为－.．(·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析∵＝＝＋，∴其共轭复数为－，又－在复平面内对应的点，－在第四象限，故选.．(·北京高考)若复数(－)(＋)在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是( )．(－∞，) ．(－∞，－)．(，＋∞) ．(－，＋∞)答案解析∵复数(－)(＋)＝＋＋(－)在复平面内对应的点在第二象限，∴∴＜－.故选.．(·山东高考)已知∈，是虚数单位．若＝＋，·＝，则＝( )．或－或－．－答案解析∵＝＋，∴＝－.又∵·＝，∴(＋)(－)＝，∴＋＝，∴＝，∴＝±.故选.．(·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：：若复数满足∈，则∈；：若复数满足∈，则∈；：若复数，满足∈，则＝；：若复数∈，则∈.其中的真命题为( )．，．，．，．，答案解析对于命题，设＝＋(，∈)，由＝＝∈，得＝，则∈成立，故正确；对于命题，设＝＋(，∈)，由＝(－)＋∈，得·＝，则＝或＝，复数为实数或纯虚数，故错误；对于命题，设＝＋(，∈)，＝＋(，∈)，由·＝(－)＋(＋)∈，得＋＝，不一定有＝，故错误；对于命题，设＝＋(，∈)，则由∈，得＝，所以＝∈成立，故正确．故选.．(·天津高考)是虚数单位，复数＝.答案－解析＝＝＝－.．(·天津高考)已知，∈，是虚数单位．若(＋)·(－)＝，则的值为．答案解析由(＋)(－)＝，得＋＋(－)＝，则解得所以＝.．(·浙江高考)已知，∈，(＋)＝＋(是虚数单位)，则＋＝，＝.答案解析解法一：∵(＋)＝－＋，，∈，∴⇒⇒∴＋＝－＝，＝.解法二：由解法一知＝，又(＋)＝＋＝，∴＋＝.三、模拟小题．(·郑州质检一)复数(为虚数单位)的值为( )．－－．－＋．＋．－答案解析＝＝－－，故选.．(·唐山模拟)复数＝的共轭复数为( )．＋．－．－．－＋答案解析因为＝＝＝＋，所以＝－.．(·沈阳质检一)已知为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析因为＝＝－－，所以其共轭复数为－＋，在复平面内所对应的点为－，，在第二象限，故选.．(·长春质检二)已知复数＝＋(是虚数单位)，则＋＝( )．－．＋．－．＋答案解析＋＝(＋)＋＋＝＋＋＋＋＝＋.故选.．(·湖北八市联考)设复数＝(为虚数单位)，则下列命题错误的是( )．＝＝－．的虚部为．在复平面内对应的点位于第一象限答案解析依题意，有＝＝＋，则其虚部为，故选.．(·石家庄质检二)已知复数满足＝＋(为虚数单位，∈)，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析依题意，设＝＋(∈)，则由＝＋，得－＝＋，从而故＝＋，在复平面内对应的点为(，)，在第一象限，故选.．(·太原模拟)设复数满足＝(为虚数单位)，则的共轭复数为( )．．－．．－答案解析由＝，整理得(＋)＝－，＝＝＝－，所以的共轭复数为.故选.．(·南昌一模)欧拉公式＝＋(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面内的( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析由欧拉公式＝＋＝＋，所以表示的复数位于复平面内的第一象限．选.．(·衡阳三模)若复数满足＋＝(为虚数单位)，则复数的虚部为( )．．．－．－答案解析由＋＝，得＋＝－，＝－，故复数的虚部为－，故选.．(·青岛模拟)在复平面内，设复数，对应的点关于虚轴对称，＝＋(是虚数单位)，则＝( )．．－．－－．－＋答案解析由题意＝－＋，所以＝(＋)(－＋)＝－＋＝－.故选.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题．(·成都诊断)已知关于的一元二次方程＋(＋)＋＋(－)＝(，∈)．()当方程有实根时，求点(，)的轨迹方程；()求方程的实根的取值范围．解()设实根为，则＋(＋)＋＋(－)＝，即(＋＋)＋(＋－)＝.根据复数相等的充要条件得由②得＝－，代入①得(－)＋(－)＋＝，即(－)＋(＋)＝③.故点(，)的轨迹方程为(－)＋(＋)＝.()由()知点(，)的轨迹是一个圆，圆心为(，－)，半径＝，设方程的实根为，则直线＋－＝与圆(－)＋(＋)＝有公共点，所以≤，即＋≤，即－≤≤.故方程的实根的取值范围是[－，]．．(·九江高二质检)已知＝{，(－)＋(＋－)}，＝{－，，}，若∪＝，求实数的值．解∵∪＝，∴⊆.即(－)＋(＋－)＝－或(－)＋(＋－)＝.当(－)＋(＋－)＝－时，有解得＝；当(－)＋(＋－)＝时，有解得＝.综上可知＝或＝.。

考点测试35 基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0. 2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案 B解析 ∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤ 3x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立． 3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时等号成立，解得x ＝1或3.又∵x ＞2，∴x ＝3，即a 等于3时，函数f (x )在x ＝3 处取得最小值，故选C.4．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2(－x )·1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．5．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( ) A ．2 B.22C. 3D. 2 答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．6．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(0，2) 答案 D解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．7．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A ，C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误．故选B.8．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．9．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案 D解析 ∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y当且仅当2x ＝2y＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 10．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x 2＋9x 2＋5B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋4log x 3 答案 C解析 对于A ，因为x 2＋5≥5，所以y ＝x 2＋5＋4x 2＋5的最小值不是4，所以不满足题意；对于B ，令sin x ＝t ∈(0，1]，则y ＝t ＋4t ，y ′＝1－4t 2＜0，因此函数y ＝t ＋4t在(0，1]上单调递减，所以y ≥5，所以不满足题意；对于C ，y ≥2e x ·4e －x＝4，当且仅当e x＝4e －x，即x ＝ln 2时取等号，故满足题意；对于D ，当x ∈(0，1)时，log 3x ，log x 3<0，所以不满足题意．11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案 B解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)．故选B. 12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞) 解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．－4716，2B ．－4716，3916C ．[－23，2]D ．－23，3916答案 A解析 ①当x ≤1时，关于x 的不等式f (x )≥x2＋a 在R 上恒成立等价于－x 2＋x －3≤x2＋a ≤x 2－x ＋3在R 上恒成立，即有－x 2＋12x －3≤a ≤x 2－32x ＋3在R 上恒成立．由y ＝－x 2＋12x －3图象的对称轴为x ＝1414＜1，可得在x ＝14处取得最大值－4716；由y ＝x 2－32x ＋3图象的对称轴为x ＝3434＜1，可得在x ＝34处取得最小值3916，则－4716≤a ≤3916.②当x >1时，关于x 的不等式f (x )≥x 2＋a 在R 上恒成立等价于－x ＋2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x在R 上恒成立，即有－32x ＋2x ≤a ≤x 2＋2x 在R 上恒成立，由于x >1，所以－32x ＋2x ≤－23x 2·2x＝－23，当且仅当x ＝23时取得最大值－23；因为x >1，所以12x ＋2x ≥212x ·2x＝2，当且仅当x ＝2时取得最小值2，则－23≤a ≤2.由①②可得－4716≤a ≤2.故选A.14．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由已知，得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1，故当a ＝－3，b ＝1时，2a＋18b 取得最小值14. 15．(2015·重庆高考)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 令t ＝a ＋1＋b ＋3， 则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时， 即a ＝72，b ＝32时，等号成立，所以t 的最大值为3 2.16．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 设总费用为y 万元，则y ＝600x ×6＋4x ＝4x ＋900x ≥240，当且仅当x ＝900x，即x＝30时，等号成立．17．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab ＞0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4当且仅当4ab ＝1ab时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.三、模拟小题18．(2018·廊坊一模)已知m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n的最小值为( ) A ．4 B ．2 2 C.92 D ．16答案 C解析 ∵m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )·14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4mn＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C.19．(2018·山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2 答案 D 解析x x ＋y＋2y x ＋2y ＝x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y ＝1＋x x ＋y －x x ＋2y ＝1＋xy(x ＋y )(x ＋2y )＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y＋2y x，因为xy >0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2. 20．(2018·四川资阳诊断)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 2 B ．8 2 C ．5 D ．9 答案 D解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝b b －2>0，解得b >2，即b －2>0，则a ＋2b ＝bb －2＋2b ＝1＋2b －2＋ 2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2(b －2)＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时等号成立，其最小值为9.21．(2018·江西九校联考)若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，则x ＋12y 的最大值为( )A ．－1＋322 B ．1C ．1＋332 D.322答案 A解析 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，可得(2xy －1)2＝9y 2－(2y ＋2)2，即(2xy －1)2＋(2y ＋2)2＝9y 2，得2x －1y 2＋2＋2y 2＝9，又2x －1y 2＋2＋2y 2≥2x －1y ＋2＋2y 22＝2x ＋1y ＋222，当且仅当2x －1y ＝2＋2y 时等号成立，所以2x ＋1y ＋22≤18，得2x ＋1y ≤32－2，所以x ＋12y≤32－22，所以x ＋12y 的最大值为－1＋322.故选A.22．(2018·南昌摸底)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 由x >2，知x －2>0，又m >0，则y ＝(x －2)＋mx －2＋2≥2(x －2)mx －2＋2＝2m＋2，取等号的条件为x －2＝mx －2.从而依题意可知2m ＋2＝6，解得m ＝4.23．(2018·邯郸模拟)设x >0，y >0，且x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＋1y 2取得最小值，∵x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2x y，又x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，∴x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥24xy·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y＝16，∴x2＋1y 2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下： 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．(2018·保定诊断)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －(81＋n 2)n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n·n＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．(2018·南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度 f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－(x －6)－1＝10－x ＋16a14－x －a＝(14－x )＋16a14－x －a －4≥2(14－x )·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4，8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4，8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

考点测试基本不等式高考概览考纲研读.了解基本不等式的证明过程．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题．“>且>”是“≥”成立的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析>且>⇒≥，但≥>且>，只能推出≥且≥.．已知<<，则(－)取得最大值时的值为( )答案解析∵<<，∴(－)＝(－)≤＝.当且仅当＝－，即＝时等号成立．．若函数()＝＋(>)在＝处取最小值，则等于( ) ．＋．＋．．答案解析∵＞，∴－＞，∴()＝＋＝(－)＋＋≥＋＝＋＝，当且仅当－＝，即(－)＝时等号成立，解得＝或.又∵＞，∴＝，即等于时，函数()在＝处取得最小值，故选.．函数()＝＋(<)的值域为( )．(－∞，) ．(－∞，－]．[，＋∞) ．(－∞，＋∞)答案解析()＝－≤－＝－，当且仅当－＝，即＝－时，等号成立．．设<<，则函数＝的最大值为( )．答案解析∵<<，∴－>，∴＝＝·≤·＝，当且仅当＝－，即＝时取等号．．函数＝(>－)的图象的最低点的坐标是( )．(，) ．(，－) ．(，) ．(，)答案解析＝＝(＋)＋≥，当＝时取最小值．．设<<，则下列不等式中正确的是( )．<<< ．<<<．<<< <<<答案解析∵<<，∴<<，，错误；－＝(－)>，即>，错误．故选.．已知>，>，，的等比中项是，且＝＋，＝＋，则＋的最小值是( )．．．．答案解析由题意知＝，∴＝＋＝，＝＋＝，∴＋＝(＋)≥＝，当且仅当＝＝时取等号．．若＋＝，则＋的取值范围是( )．[，] ．[－，]．[－，＋∞) ．(－∞，－]答案解析∵＝＋≥＝当且仅当＝＝，即＝＝－时等号成立，∴≤，∴＋≤，得＋≤－.．下列函数中，最小值为的是( )．＝．＝＋(＜＜π)．＝＋－．＝＋答案解析对于，因为≥，所以＝＋的最小值不是，所以不满足题意；对于，令＝∈(，]，则＝＋，′＝－＜，因此函数＝＋在(，]上单调递减，所以≥，所以不满足题意；对于，≥＝，当且仅当＝－，即＝时取等号，故满足题意；对于，当∈(，)时，，<，所以不满足题意．．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元．若每批生产件，则平均存储时间为天，且每件产品每天的存储费用为元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )．件．件．件．件答案解析若每批生产件产品，则每件产品的生产准备费用是元，存储费用是元，总的费用＝＋≥ ＝，当且仅当＝时取等号，得＝(件)．故选.．设＝，且＋＋＝，，，∈(，＋∞)，则的取值范围是．答案[，＋∞)解析＝··≥＝，当且仅当＝＝＝时取等号．二、高考小题．(·天津高考)已知函数()＝设∈，若关于的不等式()≥＋在上恒成立，则的取值范围是( )．－，．－，．[－，] ．－，答案解析①当≤时，关于的不等式()≥＋在上恒成立等价于－＋－≤＋≤－＋在上恒成立，即有－＋－≤≤－＋在上恒成立．由＝－＋－图象的对称轴为＝＜，可得在＝处取得最大值－；由＝－＋图象的对称轴为＝＜，可得在＝处取得最小值，则－≤≤.②当>时，关于的不等式()≥＋在上恒成立等价于－＋≤＋≤＋在上恒成立，即有－＋≤≤＋在上恒成立，由于>，所以－＋≤－＝－，当且仅当＝时取得最大值－；因为>，所以＋≥＝，当且仅当＝时取得最小值，则－≤≤.由①②可得－≤≤.故选.．(·天津高考)已知，∈，且－＋＝，则＋的最小值为．答案解析由已知，得＋＝＋－≥＝＝＝，当且仅当＝－时等号成立，由＝－，－＋＝，得＝－，＝，故当＝－，＝时，＋取得最小值.．(·重庆高考)设，>，＋＝，则＋的最大值为．答案解析令＝＋，则＝(＋)＝＋＋＋＋·≤＋＋＋＋＝，当且仅当＋＝＋时，即＝，＝时，等号成立，所以的最大值为.．(·江苏高考)某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是．答案解析设总费用为万元，则＝×＋＝＋≥，当且仅当＝，即＝时，等号成立．．(·天津高考)若，∈，>，则的最小值为．答案解析∵＋≥·＝(当且仅当＝时“＝”成立)，∴≥＝＋，由于＞，∴＋≥＝当且仅当＝时“＝”成立，故当且仅当时，的最小值为.三、模拟小题．(·廊坊一模)已知>，>，＋＝，则＋的最小值为( )．．．答案解析∵>，>，＋＝，则＋＝(＋)·＋＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，＝时取等号．故选.．(·山东日照模拟)若实数，满足>，则＋的最大值为( )．－．＋．＋．－答案解析＋＝＋＝＋－＝＋＝＋＝＋，因为>，所以>，>.由基本不等式可知＋≥，当且仅当＝时等号成立，所以＋≤＋＝－.．(·四川资阳诊断)已知>，>，且＋＝，则＋的最小值为( )．＋．．．答案解析∵>，>，且＋＝，∴＝>，解得>，即－>，则＋＝＋＝＋＋(－)＋≥＋＝，当且仅当＝，＝时等号成立，其最小值为.．(·江西九校联考)若正实数，满足(－)＝(＋)·(－)，则＋的最大值为( )．－＋．．＋答案解析由(－)＝(＋)·(－)，可得(－)＝－(＋)，即(－)＋(＋)＝，得－＋＋＝，又－＋＋≥＝，当且仅当－＝＋时等号成立，所以＋＋≤，得＋≤－，所以＋≤，所以＋的最大值为－＋.故选.．(·南昌摸底)已知函数＝＋(>)的最小值为，则正数的值为．答案解析由>，知－>，又>，则＝(－)＋＋≥＋＝＋，取等号的条件为－＝.从而依题意可知＋＝，解得＝.．(·邯郸模拟)设>，>，且－＝，则当＋取最小值时，＋＝.答案解析∵>，>，∴当＋取最小值时，＋取得最小值，∵＋＝＋＋，又－＝，∴＋＝＋，∴＋＝＋≥＝，∴＋≥，当且仅当＝，即＝时取等号，∴当＋取最小值时，＝，＋＋＝，∴＋＋＝，∴＋＝－＝.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题．(·河北唐山模拟)已知，∈(，＋∞)，＋＝＋.()求＋的最小值；()是否存在，满足(＋)(＋)＝？并说明理由．解()因为＋＝＝≥＝，当且仅当＝＝时，等号成立，所以＋的最小值为.()不存在．理由如下：因为＋≥，所以(＋)≤(＋)＝(＋)．又，∈(，＋∞)，所以＋≤.从而有(＋)(＋)≤≤，因此不存在，满足(＋)(＋)＝.．(·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为万元，铺设距离为的相邻两增压站之间的输油管道的费用为＋万元．设余下工程的总费用为万元．()试将表示成的函数；()需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？解()设需要修建个增压站，则(＋)＝，即＝－.所以＝＋(＋)(＋)＝＋＝＋－.因为表示相邻两增压站之间的距离，则<<.故与的函数关系是＝＋－(<<)．()＝＋－≥－＝×－＝，当且仅当＝，即＝时等号成立，此时＝－＝－＝.故需要修建个增压站才能使最小，其最小值为万元．．(·保定诊断)某商人投资万元建一间工作室，第一年装修费为万元，以后每年增加万元，把工作室出租，每年收入租金万元．()若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？()若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解()设第年获取利润为万元．年付出的装修费构成一个首项为，公差为的等差数列，年付出的装修费之和为×＋×＝，又投资万元，年共收入租金万元，∴利润＝－－(∈*)．令>，即－－>，∴－＋<，解得<<(∈*)，∴从第年开始获取纯利润．()方案①：年平均利润＝＝－－＝－≤－＝(当且仅当＝，即＝时取等号)，∴年平均利润最大时，以万元出售该工作室共获利润×＋＝(万元)．方案②：纯利润总和＝－－＝－(－)＋(∈*)，当＝时，纯利润总和最大，为万元，∴纯利润总和最大时，以万元出售该工作室共获利润＋＝(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.．(·南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中释放的浓度(单位：毫克立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于(毫克立方米)时，它才能起到净化空气的作用．()若一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间可达几天？()若第一次喷洒个单位的净化剂，天后再喷洒(≤≤)个单位的药剂，要使接下来的天中能够持续有效净化，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．解()因为一次喷洒个单位的净化剂，所以浓度()＝＝则当≤≤时，由－≥，解得≥，所以此时≤≤.当<≤时，由－≥，解得≤，所以此时<≤.综合得≤≤，若一次喷洒个单位的净化剂，则有效净化时间可达天．()设从第一次喷洒起，经(≤≤)天，浓度()＝＋＝－＋－＝(－)＋－－≥－－＝－－.因为－∈[，]，而≤≤，所以∈[，]，故当且仅当－＝时，有最小值为－－.令－－≥，解得－≤≤，所以的最小值为－≈.。

Earlybird考点测试35基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题a＋b1．“a>0且b>0”是“≥ab”成立的()2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 Aa＋b a＋b⇒解析a>0且b>0⇒≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.ab ab2 2/2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()1 1 3 2A. B. C. D.3 24 3答案 B解析∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤x＋1－x3 13 2＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．2 4 213．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()x－2A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4答案 C1 1 1解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋x－2＋2≥2x－2·＋x－2 x－212＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3.又∵x＞2，∴x－2x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3 处取得最小值，故选C.14．函数f(x)＝x＋(x<0)的值域为()xA．(－∞，0) B．(－∞，－2] C．[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)Earlybird答案 B1 1 1(－x－x)≤－2 －x·＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，解析f(x)＝－－x－x等号成立．5．设0<x<2，则函数y＝x4－2x的最大值为()2A．2 B. C. 3 D. 22答案 Dx＋2－x 解析∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·＝2，2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．x2＋2x＋26．函数y＝(x>－1)的图象的最低点的坐标是()x＋1A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2)答案 Dx＋12＋1 1解析y＝＝(x＋1)＋≥2，当x＝0时取最小值．x＋1 x＋17．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()a＋b a＋bA．a<b< ab< B．a< ab< <b2 2a＋b a＋bC．a< ab<b< D. ab<a< <b2 2答案 Ba＋b解析∵0<a<b，∴a< <b，A，C错误；ab－a＝a( b－a)>0，即ab>a，D2错误．故选B.1 18．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是a b()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B1 1解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，a b当且仅当a＝b＝1时取等号．9．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是() A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案D1解析 ∵1＝2x ＋2y ≥2 2x ·2y ＝2 2x ＋y 当且仅当 2x ＝2y ＝ ，即 x ＝y ＝－1时等号成211 立，∴ 2x ＋y ≤ ，∴2x ＋y ≤ ，得 x ＋y ≤－2.2410．下列函数中，最小值为 4的是( )A ．y ＝ x 2＋9x 2＋54 B ．y ＝sin x ＋ (0＜x ＜π) sin x C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋4log x 3答案 C4解析 对于 A ，因为 x 2＋5≥ 5，所以 y ＝ x 2＋5＋的最小值不是 4，所以不x 2＋5444满足题意；对于 B ，令 sin x ＝t ∈(0，1]，则 y ＝t ＋ ，y ′＝1－ ＜0，因此函数 y ＝t ＋t t 2t在(0，1]上单调递减，所以 y ≥5，所以不满足题意；对于 C ，y ≥2 e x ·4e －x ＝4，当且仅当 e x ＝4e－x ，即 x ＝ln 2 时取等号，故满足题意；对于 D ，当 x ∈(0，1)时，log 3x ，log x 3<0，所以不满足题意．11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元．若每批生产 x 件，则平 x均存储时间为 天，且每件产品每天的存储费用为 1元．为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案 B 800x解析 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是 元，存储费用是 元，总x8800 x800 x 800 x的费用 y ＝ ＋ ≥2 · ＝20，当且仅当 ＝ 时取等号，得 x ＝80(件)．故选 B. x 8x 8 x 811112．设 M ＝(－1 )(－1 )(－1 )，且 a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则 M 的取值abc范围是________．答案 [8，＋∞)b ＋c a ＋c a ＋b 2 bc ·2 ac ·2 ab1解析 M ＝ ··≥＝8，当且仅当 a ＝b ＝c ＝ 时取等a b c abc 3二、高考小题x 13．(2017·天津高考)已知函数f(x)＝Error!设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥＋a2在R上恒成立，则a的取值范围是()47 47 39A．－，2 B．－，16 16 1639C．[－2 3，2] D．－2 3，16答案 Ax x 解析①当x≤1时，关于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等价于－x2＋x－3≤＋2 21 3a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋x－3≤a≤x2－x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋2 21 11 1 47 3x－3图象的对称轴为x＝＜1，可得在x＝处取得最大值－；由y＝x2－x＋3图象的2 44 4 16 233 3 39 47 39对称轴为x＝＜1，可得在x＝处取得最小值，则－≤a≤.44 4 16 16 16x 2 x 2②当x>1时，关于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等价于－x＋≤＋a≤x＋在2 x 2 x3 2 x 2 3 2 3x 2R上恒成立，即有－x＋≤a≤＋在R上恒成立，由于x>1，所以－x＋≤－2 ·＝－2 x 2 x 2 x 2 x2 1 2 1 22 3，当且仅当x＝时取得最大值－2 3；因为x>1，所以x＋≥2x·＝2，当且3 2 x 2 x仅当x＝2时取得最小值2，则－2 3≤a≤2.47 由①②可得－≤a≤2.故选A.161 14．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为8b________．1答案41 1解析由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝2 2a－3b＝2 2－6＝，当且仅当2a8b 4＝2－3b时等号成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故当a＝－3，b＝1时，1 12a＋取得最小值.8b 415．(2015·重庆高考)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝( a＋1＋b＋3)2Earlybird＝a＋1＋b＋3＋2 a＋1·b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，7 3即a＝，b＝时，等号成立，2 2所以t的最大值为3 2.16．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30600 900 900 解析设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4x＋≥240，当且仅当x＝，即xx x x＝30时，等号成立．a4＋4b4＋117．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．ab答案 4a4＋4b4＋1 解析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，∴≥ab4a2b2＋1 1 1 1 1 ＝4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥24ab·＝4当且仅当4ab＝时“＝”成ab ab ab ab aba4＋4b4＋1 立，故当且仅当Error!时，的最小值为4.ab三、模拟小题1 218．(2018·廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则＋的最小值为()4m n9A．4 B．2 2 C. D．162答案 C1 2 1 2 5 n4m 5解析∵m>0，n>0，2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)·＋＝＋＋≥＋24m n4m n 2 4m n 2 n 4m ·4m n 9 2 1＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.2 3 6x2y19．(2018·山东日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为()x＋y x＋2yA．2－ 2 B．2＋ 2C．4＋2 2 D．4－2 2 答案DEarlybirdx2y x x＋2y－x x x xy 解析＋＝＋＝1＋－＝1＋＝1＋x＋2y x＋y x＋y x＋2yx＋y x＋2y x＋y x＋2y xy1 x y x2y＝1＋，因为xy>0，所以>0，>0.由基本不等式可知＋≥22，x2＋3xy＋2y2 x2y y x y x3＋＋y x1 1当且仅当x＝2y时等号成立，所以1＋≤1＋＝4－2 2.x2y3＋＋y x3＋2 220．(2018·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为() A．5＋2 2 B．8 2C．5 D．9答案 Db b解析∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，则a＋2b＝b－2 b－2 2＋2b＝1＋＋b－222(b－2)＋4≥5＋2 ·2b－2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值b－2为9.1 21．(2018·江西九校联考)若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋2y 的最大值为()3 2A．－1＋B．123 3 3 2C．1＋ D.2 2答案 A解析由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)21 2 12x－ 2＋2＋2x＋＋221 2 1 2 y y y＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－2＋2＋2＝9，又2x－2＋2＋2≥＝，当y y y y 2 21 2 1 1 1且仅当2x－＝2＋时等号成立，所以2x＋＋22≤18，得2x＋≤32－2，所以x＋≤y y y y2y 3 2－2 1 3 2，所以x＋的最大值为－1＋.故选A.2 2y 2m22．(2018·南昌摸底)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为x－2________．答案4Earlybirdm m解析 由 x >2，知 x －2>0，又 m >0，则 y ＝(x －2)＋ ＋2≥2＋2＝2x － 2x －2x －2mm＋2，取等号的条件为 x －2＝ .从而依题意可知 2 m ＋2＝6，解得 m ＝4. x －21 16y1123．(2018·邯郸模拟)设 x >0，y >0，且 x － 2＝，则当 x ＋ 取最小值时，x 2＋ ＝y x y y 2________.答案 12 1111 2x解析 ∵x >0，y >0，∴当 x ＋ 取最小值时，x ＋ 2取得最小值，∵x ＋ 2＝x 2＋ ＋ ，yyy y 2 y1 16y 1 2x 16y1 4x 16y4x 16y1又 x － 2＝，∴x 2＋ ＝ ＋，∴x ＋ 2＝ ＋≥2· ＝16，∴x ＋ ≥4，当y x y 2 y x y yx y xy4x 16y11 2x且仅当 ＝ ，即 x ＝2y 时取等号，∴当 x ＋ 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋ ＋ ＝16，∴x 2y x y y 2 y1 2 × 2y 1＋ ＋ ＝16，∴x 2＋ ＝16－4＝12.y 2 y y 2一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河北唐山模拟)已知 x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . 1 1(1)求 ＋ 的最小值； x y(2)是否存在 x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由． 1 1 x ＋y x 2＋y 2 2xy1解 (1)因为 ＋ ＝＝≥＝2，当且仅当 x ＝y ＝1时，等号成立，所以 ＋x y xy xy xy x1的最小值为 2. y(2)不存在．理由如下： 因为 x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又 x ，y ∈(0，＋∞)，所以 x ＋y ≤2.x ＋1＋y ＋1从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，2因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管Earlybird道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为 400万元，铺设距离 为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为 x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为 y 万 元．(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建 k 个增压站， 240 则(k ＋1)x ＝240，即 k ＝ －1.x 所以 y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )240240＝400(－1)＋(x 2＋x )x x96000 ＝ ＋240x －160.x因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0<x <240. 故 y 与 x 的函数关系是96000 y ＝ ＋240x －160(0<x <240)．x 9600096000(2)y ＝＋240x －160≥2·240x －160x x＝2×4800－160＝9440，96000当且仅当 ＝240x ，即 x ＝20时等号成立，x 240240此时 k ＝－1＝－1＝11.x20故需要修建 11个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9440万元．3．(2018·保定诊断)某商人投资 81万元建一间工作室，第一年装修费为 1万元，以后 每年增加 2万元，把工作室出租，每年收入租金 30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最 大时，以 46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以 10万元出售该工作室．问该商人 会选择哪种方案？解 (1)设第 n 年获取利润为 y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为 1，公差为 2的等差数列，n 年付出的装修费之和为 n n －1n ×1＋×2＝n 2，又投资 81万元，n 年共收入租金 30n 万元，2∴利润 y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得 3<n <27(n ∈N *)，∴从第 4年开始获取纯利润． 30n －81＋n 2(2)方案①：年平均利润 t ＝ n8181n( ＋n )n＝30－ －n ＝30－≤30－281 ·n n81＝12(当且仅当 ＝n ，即 n ＝9时取等号)，n∴年平均利润最大时，以 46万元出售该工作室共获利润 12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和 y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当 n ＝15时，纯利润总和最大，为 144万元，∴纯利润总和最大时，以 10万元出售该工作室共获利润 144＋10＝154(万元)，两种方 案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．(2018·南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷 洒 1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y (单位：毫克/立方米)随着时间 x (单位：天)变化 的函数关系式近似为 y ＝Error!若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的 净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立 方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒 4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2个单位的净化剂，6天后再喷洒 a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接 下来的 4天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据： 2取 1.4)．解 (1)因为一次喷洒 4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝Error!则当 0≤x ≤4 时，64由 －4≥4，解得 x ≥0，所以此时 0≤x ≤4. 8－x 当 4<x ≤10 时，由 20－2x ≥4，解得 x ≤8，所以此时 4<x ≤8.综合得 0≤x ≤8，若一次喷洒 4个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8天． (2)设从第一次喷洒起，经 x (6≤x ≤10)天，浓度 1 16g (x )＝2(5－ x )＋a[－1]28－x －616a＝10－x ＋－a14－x16a16a＝(14－x )＋14－x －a －4≥2 14－x· －a －414－x＝8 a －a －4.因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4 a∈[4，8]，故当且仅当14－x＝4 a时，y有最小值为8 a－a－4. 令8 a－a－4≥4，解得24－16 2≤a≤4，所以a的最小值为24－16 2≈1.6.。

考点测试40 算法初步高考概览考纲研读1．了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．给出如图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值 B．求b－a的值C．求|a－b|的值 D．以上都不对答案 C解析求|a－b|的值．2．已知一个算法：①m＝a；②如果b<m，则m＝b，输出m，结束算法；否则执行第3步；③如果c<m，则m＝c，输出m．如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是( )A．3 B．6 C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<m＝a＝3，∴m＝c＝2，即输出m的值为2．故选C．3．阅读下面的程序：INPUT xIF x<0 THENx＝－xEND IFPRINT xEND则程序执行的目的是( )A．求实数x的绝对值B．求实数x的相反数C．求一个负数的绝对值D．求一个负数的相反数答案 A解析由程序可知，当输入的x<0时，取其相反数再赋值给x，其他情况x不变，然后输出x，则程序执行的目的是求实数x的绝对值，故选A．4．阅读程序框图，该算法的功能是输出( )A．数列{2n－1}的第4项B．数列{2n－1}的第5项C．数列{2n－1}的前4项和D．数列{2n－1}的前5项和答案 B解析依程序框图，有下表：A 1 3 7 15 31i 2 3 4 5 6由于6>5，跳出循环，故输出A＝31，而31＝25－1，选B．5．当m＝5，n＝2时，执行图中所示的程序框图，输出的S值为( )A．20 B．42 C．60 D．180答案 C解析当m＝5，n＝2时，程序框图的运算过程如下表所示：k 5 4 3 2S 1 5 20 60故输出S＝60，故选C．6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60．故选C．7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中数码2004折合成十进制为( )A．29 B．254 C．602 C．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B．8．当x＝0．2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A．9．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为( )A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－9或－3答案 B解析本算法框图的本质为求函数y＝的零点，分情况求此分段函数的零点，易解得x＝－3或x＝9，故选B．10．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，其中“Mod(N，m)＝n”表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如：Mod(10，3)＝1．执行该程序框图，则输出的i＝( )A．23 B．38 C．44 D．58答案 A解析检验选项A：i＝23，Mod(23，3)＝2，Mod(23，5)＝3，Mod(23，7)＝2，满足题意，故选A．11．如图是“二分法”解方程的流程图，在①～④处应填写的内容分别是( )A．f(a)f(m)<0；a＝m；是；否B．f(b)f(m)<0；b＝m；是；否C．f(b)f(m)<0；m＝b；是；否D．f(b)f(m)<0；b＝m；否；是答案 B解析因为题图是“二分法”解方程的流程图，所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填f(b)f(m)<0；是，则直接验证精度，否，则先在赋值框中实现b＝m的交换，再验证精度，满足精度则输出结果，结束程序，所以③处填“是”，④处填“否”，在①～④处应填写的内容分别是f(b)f(m)<0；b＝m；是；否．12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P＝ B．P＝C．P＝ D．P＝答案 D解析利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S≈，又由面积公式得S＝π×12≈，解得π≈，故选D．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋4答案 B解析由S＝1－＋－＋…＋－，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋2，选B．14．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A． B． C． D．答案 B解析k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝1－＝，k＝2，2<3；s＝＋(－1)2×＝＋＝，k＝3，此时跳出循环，所以输出．故选B．15．(2018·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环．故选B．16．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2答案 D解析本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2．故选D．17．(2017·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 D解析要求的是最小值，观察选项，发现选项中最小的为2，不妨将2代入检验．当输入的N为2时，第一次循环，S＝100，M＝－10，t＝2；第二次循环，S＝90，M＝1，t＝3，此时退出循环，输出S＝90，符合题意．故选D．18．(2017·天津高考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8，8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7，7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6，6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N＝2，2≤3成立，退出循环，输出N的值为2．故选C．19．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0答案 D解析第一次输入x＝7，判断条件，4>7不成立，执行否，判断条件，7÷2＝，7不能被2整除，执行否，b＝3，判断条件，9>7成立，执行是，输出a＝1．第二次输入x＝9，判断条件，4>9不成立，执行否，判断条件，9÷2＝，9不能被2整除，执行否，b＝3，判断条件，9>9不成立，执行否，判断条件，9÷3＝3，9能被3整除，执行是，输出a＝0．故选D．三、模拟小题20．(2018·衡阳二模)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．虽然该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为( )A．a是偶数？ 6 B．a是偶数？8C．a是奇数？ 5 D．a是奇数？7答案 D解析阅读考拉兹提出的猜想，结合程序框图可得①处应填写的条件是“a是奇数？”，运行情况为a 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7所以输出的结果为i＝7．故选D．21．(2018·郑州质检一)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析初始a＝1，A＝1，S＝0，n＝1，第一次循环：S＝0＋1＋1＝2，S小于10，进入下一次循环；第二次循环：n＝n＋1＝2，a＝，A＝2，S＝2＋＋2＝，S小于10，进入下一次循环；第三次循环：n＝n＋1＝3，a＝，A＝4，S＝＋＋4＝，S小于10，进入下一次循环；第四次循环：n＝n＋1＝4，a＝，A＝8，S＝＋＋8≥10，循环结束，此时n＝4，故选B．22．(2018·合肥质检一)执行如图所示程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是( )A．2 B．－3 C．－ D．答案 C解析a＝2，i＝1，满足i≤n＝10，进入循环体，第一次循环：a＝＝－3，i＝2；满足i ≤n＝10，第二次循环：a＝＝－，i＝3；满足i≤n＝10，第三次循环：a＝＝，i＝4；满足i ≤n＝10，第四次循环：a＝＝2，i＝5；…可看出a的取值周期性变化，且周期为4．可知当i ＝11时与i＝3时a的取值相同，即a＝－，此时，不满足i≤n＝10，跳出循环体，输出a＝－，故选C．23．(2018·贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个求解算法，则输出n的值为( )A．20 B．25 C．30 D．35答案 B解析开始：n＝20；第一步：m＝80，S＝60＋≠100，n＝21；第二步：m＝79，S＝63＋≠100，n＝22；第三步：m＝78，S＝66＋＝92≠100，n＝23；第四步：m＝77，S＝69＋≠100，n ＝24；第五步：m＝76，S＝72＋≠100，n＝25；第六步：m＝75，S＝75＋＝100，此时S＝100退出循环，输出n＝25．故选B．24．(2018·南昌摸底)执行如图所示的程序框图，输出n的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析依据框图，可知n＝1时，f(x)＝(x)′＝1，它是偶函数，满足f(x)＝f(－x)，又方程f(x)＝0无解，则n＝1＋1＝2；此时，f(x)＝(x2)′＝2x，不满足f(x)＝f(－x)，则n＝2＋1＝3；再次循环，f(x)＝(x3)′＝3x2，满足f(x)＝f(－x)，且方程f(x)＝0有解x＝0，跳出循环体，则输出n的值为3，故选C．25．(2018·深圳调研)九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1所示，要将9个圆环全部从框架上解下(或套上)，无论是哪种情形，都需要遵循一定的规则．解下(或套上)全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出的结果为( )A．170 B．256 C．341 D．682答案 C解析由算法框图，可知i，S的变化情况如下：i 2 3 4 5 6 7 8 9S 2 5 10 21 42 85 170 341故选C．26．(2018·邯郸摸底)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算该木棍被截取7天后所剩的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )①②③A i≤7？s＝s－i＝i＋1B i≤128？s＝s－i＝2iC i≤7？s＝s－i＝i＋1D i≤128？s＝s－i＝2i答案 B解析该程序框图的功能是计算木棍被截取7天后剩余部分的长度，则在程序运行过程中，应该有：第1次循环，s＝1－，i＝4；第2次循环，s＝1－－，i＝8；第3次循环，s＝1－－－，i＝16；…；第7次循环，s＝1－－－…－，i＝256，此时应跳出循环体，据此判断可知在判断框①处填入“i≤128？”，执行框②处应填入“s＝s－”，③处应填入“i＝2i”，故选B．本考点在近三年高考中未涉及此题型．考点测试41 复数高考概览考纲研读1．理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi＝( )A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i答案 D解析∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴∴∴a＋bi＝－2－i，故选D．2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( ) A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4答案 A解析由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i，所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等定义，a ＝3，且b＝－2，故选A．3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )A．－2 B．4 C．3 D．－4答案 B解析z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4，故选B．4．如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D答案 B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示．选B．5．已知复数z＝1－i，则＝( )A．2 B．－2 C．2i D．－2i答案 A解析＝＝2，故选A．6．已知z＝(i是虚数单位)，则复数z的实部是( )A．0 B．－1 C．1 D．2答案 A解析因为z＝＝＝i，所以复数z的实部为0，故选A．7．复数＝( )A．－－i B．－＋iC．－i D．＋i答案 C解析＝＝＝＝＝－i．8．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )A．2 B．－2 C．－ D．答案 A解析解法一：因为＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2．解法二：令＝mi(m≠0)，∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi．∴∴a＝2．9．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i答案 D解析＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D．10．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0答案 C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R．故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，且为纯虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．11．已知是复数z的共轭复数，若z·＝2(＋i)，则z＝( )A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i答案 C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·＝2(＋i)，有(a＋bi)(a－bi)＝2(a－bi＋i)，解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故选C．12．在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝________．答案1＋2i解析由复数z在复平面内的坐标有z＝1－2i，所以共轭复数＝1＋2i．二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A． B． C． D．2答案 C解析解法一：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝＝＝1＋i．∴|z|＝＝．解法二：∵(1＋i)z＝2i，∴|1＋i|·|z|＝|2i|，即·|z|＝2，∴|z|＝．14．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )A．0 B． C．1 D．答案 C解析因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故选C．15．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )A．－－i B．－＋iC．－－i D．－＋i答案 D解析∵＝＝，∴选D．16．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案 D解析(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，故选D．17．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案 B解析∵＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i．18．(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析∵＝＝＋i，∴其共轭复数为－i，又－i在复平面内对应的点，－在第四象限，故选D．19．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案 B解析∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴∴a＜－1．故选B．20．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝( ) A．1或－1 B．或－C．－ D．答案 A解析∵z＝a＋i，∴＝a－i．又∵z·＝4，∴(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1．故选A．21．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4答案 B解析对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，则z∈R成立，故正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，则a＝0或b ＝0，复数z为实数或纯虚数，故错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝2，故错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故正确．故选B．22．(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________．答案4－i解析＝＝＝4－i．23．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为________．答案 2解析由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋(1－b)i＝a，则解得所以＝2．24．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．答案 5 2解析解法一：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，∴??∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab＝2．解法二：由解法一知ab＝2，又|(a＋bi)2|＝|3＋4i|＝5，∴a2＋b2＝5．三、模拟小题25．(2018·郑州质检一)复数(i为虚数单位)的值为( )A．－1－3i B．－1＋3iC．1＋3i D．1－3i答案 A解析＝＝－1－3i，故选A．26．(2018·唐山模拟)复数z＝的共轭复数为( )A．1＋2i B．1－2i C．2－2i D．－1＋2i答案 B解析因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i．27．(2018·沈阳质检一)已知i为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析因为＝＝－－i，所以其共轭复数为－＋i，在复平面内所对应的点为－，，在第二象限，故选B．28．(2018·长春质检二)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋z＝( )A．1－2i B．1＋3i C．1－3i D．1＋2i答案 B解析z2＋z＝(1＋i)2＋1＋i＝1＋2i＋i2＋1＋i＝1＋3i．故选B．29．(2018·湖北八市联考)设复数z＝(i为虚数单位)，则下列命题错误的是( )A．|z|＝B．＝1－iC．z的虚部为iD．z在复平面内对应的点位于第一象限答案 C解析依题意，有z＝＝1＋i，则其虚部为1，故选C．30．(2018·石家庄质检二)已知复数z满足zi＝i＋m(i为虚数单位，m∈R)，若z的虚部为1，则复数z在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析依题意，设z＝a＋i(a∈R)，则由zi＝i＋m，得ai－1＝i＋m，从而故z＝1＋i，在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限，故选A．31．(2018·太原模拟)设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )A．i B．－i C．2i D．－2i答案 A解析由＝i，整理得(1＋i)z＝1－i，z＝＝＝－i，所以z的共轭复数为i．故选A．32．(2018·南昌一模)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面内的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析由欧拉公式ei＝cos＋isin＝＋i，所以ei表示的复数位于复平面内的第一象限．选A．33．(2018·衡阳三模)若复数z满足z＋i＝(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( ) A．2 B．2i C．－2 D．－2i答案 C解析由z＋i＝，得z＋i＝－i，z＝－2i，故复数z的虚部为－2，故选C．34．(2018·青岛模拟)在复平面内，设复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i(i 是虚数单位)，则z1z2＝( )A．5 B．－5 C．－1－4i D．－1＋4i答案 B解析由题意z2＝－1＋2i，所以z1z2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－1＋4i2＝－5．故选B．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·成都诊断)已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求方程的实根的取值范围．解(1)设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．根据复数相等的充要条件得由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝，设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，所以≤，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0．故方程的实根的取值范围是[－4，0]．2．(2018·九江高二质检)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M ∪P＝P，求实数m的值．解∵M∪P＝P，∴M?P．即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i．当(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1时，有解得m＝1；当(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i时，有解得m＝2．综上可知m＝1或m＝2．。