16第二章 从位移、速度、力到向量

§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力 1.2 向量的概念思考1：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 2．向量及其表示 (1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量． (2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模). (4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →…来表示． 思考2：0的模长是多少？0有方向吗？单位向量的模长是多少？ [提示] 0的模长为0，方向任意． 单位向量的模长为1个单位长度． 1．下列各量中不是向量的是( ) A.浮力 B ．速度 C.温度D ．加速度C [向量是既有大小又有方向的量．]2．如图所示，四边形RSPQ 是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是( ) A.SP →和QR →B ．SR →和PQ → C.SR →和QR →D ．SR →和SP → B [由图可知向量SR →与PQ →是相等向量，满足条件．] 3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量C [OB →、OC →、AO →的模均为圆的半径，故相等．]4．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________，与AB →共线的向量有________．AB →，DC → BA →，ED →，DE →，CD →，DC →，EC →，CE →[在平行四边形ABCD 和ABDE 中，因为AB →＝ED →，AB →＝DC →，所以与ED →相等的向量为AB →，DC →；由图知与向量AB →共线的向量有BA →，ED →，DE →，CD →，DC →，EC →，CE →.]向量的有关概念【例1】 判断下列各命题的真假： (1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数是( ) A.2 B ．3 C.4 D ．5C [(1)真命题．(2)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的． (3)真命题．(4)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． (5)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(6)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．故选C.]1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的定义．2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．1．给出下列几种说法：①温度、速度、位移这些物理量都是向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量． 其中说法正确的是________．(填序号) ④ [①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．]向量的表示【例2】 一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C 岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D 岛．(1)试作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．[解] (1)建立如图所示的直角坐标系，向量AB →，BC →，CD →即为所求． (2)根据题意，向量AB →与CD →方向相反，故向量AB →∥CD →.又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝400(海里).1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆． 2.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量． [解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．相等向量与共线向量 [探究问题]1．如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？ [提示] 方向相同或相反．2．表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？ [提示] 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．3．如果非零向量AB →与CD →是共线向量，那么点A ，B ，C ，D 是否一定共线？ [提示] 不一定共线．4．与向量a 共线的单位向量有几个？[提示] 当a ≠0时，有两个；当a ＝0时，有无数个．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . (1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？[思路探究] 由题目可获得以下主要信息： ①六边形ABCDEF 是正六边形； ②OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ； ③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题． [解] (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m ，n ，l ，m ∥n ，n ∥l ，则m ∥l ；若向量a ，b ，c ，a ∥b ，b ∥c ，而a ，c 不一定平行．1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以向量不能比较大小．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小． ( ) (2)向量AB →与向量BA →是相等向量．( ) (3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行． ( ) (4)向量就是有向线段．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列说法错误的是( ) A.若a ＝0，则|a |＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的．] 3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．一条直线 两个点 [因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．]4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.。

§1 从位移、速度、力到向量学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理 向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量统称为向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模是多少？0有方向吗？ 答案 0的模为0，方向任意. 思考3 单位向量的模是多少？ 答案 单位向量的模为1个单位长度. 梳理 (1)向量的表示①具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.②向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模).箭头所指的方向表示向量的方向.③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →，b →，c →，…来表示. (2)长度为零的向量称为零向量，记作0或0→；与向量a 同方向，且长度为单位1的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 答案 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合. 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 答案 不一定.因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量.梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.①记法：a 与b 平行或共线，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.1.向量就是有向线段.( × )提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段. 2.若两个向量共线，则其方向必定相同或相反( × ) 3.若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同.( √ )提示 若a ＝b ，则a 与b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A.向量AB →与向量BA →的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等 考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 A解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B ，C ，D 都错误，A 正确.故选A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有 .(填序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →是平行向量. 考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 ③解析 ①错误.|a |＝|b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系.②错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上，因此点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上. ③正确.向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量. 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点.(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量. 考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量解 (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.反思与感悟 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？ 考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个.(3)由(2)知，BC ∥AO ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个. 类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.考点 向量的表示及应用 题点 向量的表示及应用解 (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示.(2)由题意知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？考点向量的表示及应用题点向量的表示及应用解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，5为半径的圆(作图略).1.下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A.0B.1C.2D.3考点向量的概念题点向量的概念答案 B解析①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.2.下列说法错误的是()A.若a＝0，则|a|＝0B.|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关C.零向量与任一向量都不平行D.零向量的方向是任意的考点向量的概念题点 向量的概念 答案 B3.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B.|AB →|＝|DC →|C.AB →>DC →D.AB →<DC →考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量. 考点 共线向量与相等向量 题点 相等向量解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、选择题1.(2017·北师大附中一模)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有( ) A.2个 B.3个 C.4个D.5个考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 C解析 ②③④⑤是向量.2.下列说法中正确的个数是( )①一个向量方向不确定当且仅当模为0；②共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；③单位向量的模都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量 答案 D4.如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量 答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ，BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 5.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是( )A.与AB →相等的向量只有1个(不含AB →)B.与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →的模的3倍 D.CB →与DA →不共线考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量 答案 D解析 由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，因此选项A 正确；而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项B 正确；而在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB→与DA →是共线的，故选D.6.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A.|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线 C.BD →与EH →共线 D.CD →＝FG →考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量 答案 C7.下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →表示AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B.长度相等的向量叫作相等向量 C.零向量的长度等于0D.共线向量是在一条直线上的向量 考点 向量的概念 题点 向量的概念 答案 C解析 AB →∥DC →表示AB →所在的直线平行于DC →所在的直线，或AB →所在的直线与DC →所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A ，B ，D 均错误，故选C. 二、填空题8.在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为 . 考点 向量的应用题点 向量在平面几何中的应用 答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形. 9.给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是 .(填序号) 考点 共线向量与相等向量 题点 共线向量与相等向量 答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④能使a ∥b .10.以下命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③单位向量都是共线向量.其中，正确说法的个数为 .考点 共线向量与相等向量题点 共线向量与相等向量答案 111.某人向正东方向行进100 m 后，再向正南方向行进100 3 m ，则此人位移的方向是 .考点 向量的表示方法题点 向量的几何意义及其应用答案 南偏东30°解析 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝BC BA ＝1003100＝3， ∵∠BAC 是三角形的内角，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是南偏东30°.三、解答题12.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值.考点 向量的表示与应用题点 向量的表示与应用解 (1)画出所有的向量AC →，如图所示.(2)由(1)所画的图知，①当点C 位于点C 1或C 2时，|BC →|取得最小值为12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时，|BC →|取得最大值为42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.13.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，四边形BCGF 是平行四边形，试分别写出与FE→共线的向量及相等的向量.考点 相等向量与共线向量题点 相等向量与共线向量解 (1)与FE →共线的向量有FG →，EG →，GF →，GE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →，EF →.(2)与FE →相等的向量有EG →，BD →，DC →.四、探究与拓展14.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有 ；(2)图中与AB →相等的向量有 ；(3)图中与AB →的模相等的向量有 ；(4)图中与EC →相等的向量有 .考点 共线向量与相等向量题点 共线向量与相等向量答案 (1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →(4)BD →15.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量.考点 向量在生活中的应用题点 向量在生活中的应用解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示.(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”.。

2.1 从位移、速度、力到向量教材解读一、平面向量的基本概念1．向量既有大小、又有方向的量叫做向量．注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可．2．向量的表示①用一个小写字母表示向量，如a，b等．②用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面．3．向量的模向量AB的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB．注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．4．零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．00；②零向量的方向是任意的．注：①=5．单位向量长度等于１个单位的向量，叫做单位向量．6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a，b平行，记作∥a b．注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有a0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a b=．注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平=⇒=；反之不成立．行移动的；④a b a b8．相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a-．注：①a与a00；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，-互为相反向量；②-=相反向量是方向相反的向量，反之不成立．。