向量的几何表示(1)

平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。

三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

向量的四种写法
向量是数学中一个非常重要的概念，它可以用来描述很多物理和几何问题。

在数学中，向量有四种常见的写法，它们分别是：
1.坐标表示法
在坐标表示法中，向量被表示成一组有序数对，也就是 n 元有序组。

这些数对表示了向量在每个坐标轴上的分量。

例如，向量 a = (4, 3) 表示这个向量在 x 轴上有 4 的分量，在 y 轴上有 3 的分量。

2.分量表示法
在分量表示法中，向量被写成一个有序数组，这个数组的每个元素都表示向量在相应坐标轴上的分量。

例如，向量 b = [5, 2] 表示这个向量在 x 轴上有 5 的分量，在 y 轴上有 2 的分量。

3.矩阵表示法
在矩阵表示法中，向量被认为是一个矩阵的一行或一列。

如果我们把一个向量 a = (4, 3) 写成一个行向量，那么它可以表示为 a = [4, 3]。

如果我们把它写成一个列向量，那么它可以表示为 a = [[4], [3]]
4.几何向量表示法
在几何向量表示法中，向量被认为是一个带有箭头的对象。

这个箭头表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

例如，向量 c 可以表示成一条从原点出发的箭头，其长度为 5，方向为 30 度。

以上就是向量的四种常见表示法。

每种表示法都有其独特的优点和用处，在不同的数学问题中，我们可能会用到不同的表示法。

各种表示
法之间可以进行转换，这些转换的公式可以在数学中找到。

对于学习
和掌握向量概念非常重要的同学们，希望这篇文章能起到帮助的作用。

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

向量源自物理中“力”的概念，是同时具有大小与方向的量。

本章介绍向量这个重要的数学工具，利用向量或其坐标表示，可以将任意向量分解成线性组合。

引进向量的内积后，可以处理角度，将直线看成沿着某向量的运动，可得直线的参数式。

最后我们介绍行列式，并讨论其代数与几何的意义。

3平面向量3-1平面向量的表示法●向量的几何表示法●向量的坐标表示法●向量的线性组合●分点公式3-2平面向量的内积●向量的夹角与内积●内积的性质●柯西不等式●正射影●内积在几何上的应用3-3平面上的直线●直线的参数式●两直线的交角●点到直线的距离3-4面积与二阶行列式●面积公式与二阶行列式●行列式的性质●两直线几何关系的代数判定、克拉玛公式3-1平面向量的表示法日常生活中，有一些量需要用大小和方向才能完整描述其特性，例如：力、位移、速度等，这种同时具有大小与方向的量称为向量。

在本节里，我们将探讨平面向量的表示方法及简单的运算。

1向量的几何表示法向量的几何表示如图1 所示，撞球选手将球台上位于A点的母球沿直线方向撞击位于B点的子球。

我们要如何描述这两颗球的位置关系呢？我们用线段将A，B两点连接起来，并在B点画上箭号，就形成一个带有方向的线段，我们称它是从A点到B点的有向线段，以AB表示，其中A点称为有向线段AB的始点，B点称为有向线段AB的终点。

线段AB的长度则称为有向线段AB的长度，以∣AB∣表示。

图1在数学上，我们把同时具有大小与方向的量称为 向量。

通常我们用有向线段来表示向量，有向线段的 方向与长度分别表示向量的方向与大小。

而且只要两个有向线段的大小（长度）相等，方向相同，就表示 这两个有向线段是相同的向量。

例如：图 2 中的 AB 与 CD 就是两个相同的向量，记为 AB CD 。

向量只考虑大小与方向，不计较其所在位置，所以，也可以不标示出始点与终点，只以简单的文字表示向量，例如：a ，b ，u ，v 等。

当一个向量的始点与终点重合时，这个向量称为零向量，记为 0 ，例如：AA ，PP 均为零向量，其大小为 0，而方向可视为任意方向。

向量的表示方法有坐标表示和用有向线段表示,和用复数表示.
向量的坐标表示：起点在坐标原点,那么如果终点是A,可以用终点A来表示.
向量的复数表示：向量的起点在原点,而如果它的终点坐标是(a,b),那么它的复数表示方法是Z=a+bi,a是实部,bi是虚部.
向量的有向线段表示: 有向线段的长度就是向量的模长,有向线段的方向是向量的方向.如果向量的起点是A,终点是B,那么可以用AB个向量,A前B后,表示方向是从A到B,AB的长度就是这个向量的模.
向量的表示方法有三种：1、几何表示：用有向线段表示，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小；2、符号表示：用带箭头的小写字母或有向线段的起点和终点的大写字母表示；3、用坐标表示。

在数学中我们把具有大小和方向的量称之为向量。

同时向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。

平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

物理学中又叫做矢量。

2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。

3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。

4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。

零向量的方向是任意的。

5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。

6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

规定：零向量与任意向量平行。

7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。

（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。

（3）运算性质：交换律；结合律。

2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。

（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。

3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。

（2）运算律：结合律；分配律，。

三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。

2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。

数学向量的知识点总结一、向量的定义和表示1. 向量的定义在几何学中，向量通常表示为具有大小和方向的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在代数学中，向量可以用有序数对表示，例如 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 向量的表示向量通常用一个字母加上一个有向线段或者一个箭头表示，比如AB→ 或者a→，其中 AB表示向量的起点和终点，箭头表示向量的方向和大小。

在数学中，向量通常用粗体字母来表示，比如a或者a。

3. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，通常用两点间的距离来表示。

向量的方向表示向量指向的方向，通常用夹角或者方向余弦来表示。

例如，向量 a 的模表示为 |a|，向量 a 的方向表示为θ。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于连接它们的两条边的和。

向量的加法可以表示为 c = a + b，其中 c 表示两个向量的和，a 和 b 分别表示加数。

2. 向量的减法向量的减法可以看成是向量加法的逆运算，即 c = a - b 等价于 c + b = a。

向量的减法也满足三角形法则，即两个向量的差等于连接它们的两个端点的线段。

3. 向量的数量积向量的数量积又叫作点积或者内积，表示为 a·b，定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b|分别表示向量的模，θ 表示两个向量的夹角。

向量的数量积是一个标量，表示向量的大小和方向之间的关系。

4. 向量的向量积向量的向量积又叫作叉积或者外积，表示为 a×b，定义为|a×b| = |a| |b| sinθ n，其中 |a×b| 表示向量的模，n 表示两个向量所在平面的法向量。

向量的向量积是一个向量，表示向量的方向和大小之间的关系。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合给定一组向量a₁, a₂, ..., aa 和一组标量k₁, k₂, ..., ka，它们的线性组合定义为k₁a₁ + k₂a₂ + ... + k aaa。

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念1．向量及其几何表示 (1)向量的定义一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，如长度、面积等．(2)向量的表示①有向线段：具有方向的线段．②向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度，记作|AB →|，向量也可以用加粗的斜体小写字母a ，b ，c ，…表示，书写时，写为a →，b →，c →，…也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB →，CD →.③同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量． 2．向量的有关概念 (1)零向量与非零向量始点和终点相同的向量称为零向量．印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，可写为0→.模不为0的向量称为非零向量．(2)单位向量模等于1的向量称为单位向量，如果e 为单位向量，则|e |＝1. (3)相等向量一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a 和b 相等，记作a ＝b .(4)平行向量(共线向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)．向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定零向量与任意向量平行．1．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量．A ．0B ．1C ．2D ．3B [只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]2．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0 B ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若|a |＝|b |，则a 与b 是平行向量D ．若a ∥b ，则a ＝bA [|a |＝0，则a 是零向量，故A 项正确．]3．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量C [由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．]4．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．(1)AB →，DC →(2)6 [(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →， ∴ED →＝DC →.(2)由(1)知ED →＝DC →，∴E ，D ，C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.]【例1】 (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的，因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________．③ [①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．如|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]【例2】 向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求AD →的模．[思路探究] 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[解] (1)向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线．又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，|AD →|＝|BC →|＝200 km.[1．向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，向量a 与c 是否共线？[提示] 向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．[思路探究] 抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断． [解] (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. (4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量需注意的四个问题(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)． (4)三点A ，B ，C 共线⇔AB →，AC →共线．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与AB →共线的有________； (2)图中所标出的向量与AB →相等的有________； (3)图中所标出的向量与AB →模相等的有________； (4)图中所标出的向量与EC →相等的有________．[答案] (1)BE →，CD → (2)BE → (3)BC →，CD →，DA →，BE → (4)BD →(教师独具)1．本节课的重点是向量的有关概念，难点是共线向量与相等向量的应用． 2．本节课要掌握的问题(1)判断一个量是否为向量，向量的大小与方向． (2)向量的表示方法．(3)共线向量、相等向量的判断．3．本节课的易错点是向量平行中，零向量的特殊性易出错．1．思考辨析(1)有向线段就是向量．( ) (2)两个向量的模能比较大小．( ) (3)有向线段可以用来表示向量．( ) (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .( )(5)若a ∥b ，则a 与b 的方向一定相同或相反．( ) (6)若非零向量AB →∥CD →，那么AB ∥CD .( ) (7)单位向量的模都相等．( )[详细分析] (5)0与任何向量共线，但0方向任意，故(5)错误． (6)AB →∥CD →，A ，B ，C ，D 可能共线，故(6)错误． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆B [因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线； ⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[解] (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标11 纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．。

向量知识点总结归纳一、向量的定义和性质1. 向量的定义:在数学中，向量是指具有大小和方向的量。

它是空间中的一个几何量，由其大小和方向确定。

向量通常用有向线段表示，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

2. 向量的性质:(1) 向量的大小: 向量的大小是指向量的长度，通常用|AB|表示，其中A和B分别为向量的起点和终点。

向量的大小可以通过勾股定理计算，即|AB| = √(x2-x1)² + (y2-y1)²。

(2) 向量的方向: 向量的方向是指向量的指向，通常用箭头表示，箭头指向的方向即为向量的方向。

(3) 向量的零向量: 零向量是指大小为0的向量，用0表示，它的起点和终点重合。

(4) 向量的相等: 两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。

(5) 向量的加法: 向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，其大小为两个向量的大小之和，方向为两个向量的方向之和。

(6) 向量的数乘: 向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量，其大小为原向量的大小乘以常数，方向不变。

二、向量的表示1. 坐标表示: 在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别为向量在x轴和y轴上的分量。

2. 分解表示: 一个向量可以分解为与坐标轴平行的两个向量相加的形式，即V = Vx + Vy，其中Vx和Vy分别为向量在x轴和y轴上的分量。

3. 模长和方向角表示: 一个向量可以表示为它的大小和方向角的形式，即V = |V|∠θ，其中|V|为向量的大小，θ为向量与x轴的夹角。

三、向量的运算1. 加法运算: 两个向量A和B的加法运算定义为A + B = (Ax + Bx, Ay + By)，即对应分量相加得到一个新的向量。

2. 减法运算: 两个向量A和B的减法运算定义为A - B = (Ax - Bx, Ay - By)，即对应分量相减得到一个新的向量。

平面向量知识要点1.向量的概念（1)向量的基本要素:大小和方向.(2）向量的表示:几何表示法AB；字母表示:a；（3)向量的长度:即向量的大小，记作｜a｜。

（4）特殊的向量：零向量：零向量的方向是任意的。

但我们规定:零向量的方向与任一向量平行。

零向量的方向不确定，但模的大小确定。

a＝O⇔｜a｜＝O.单位向量：单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

a O为单位向量⇔｜a O｜＝1。

（5）相等向量：大小相等,方向相同（6) 相反向量:长度相等且方向相反的两个向量。

a=-b⇔b=-a⇔a+b=0(7）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的向量，称为平行向量。

记作a∥b。

平行向量也称为共线向量.2.两个向量的关系⑴平行(共线)：平行向量（也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

⑵重合、相交附：三角形的五个“心”;重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点。

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:三角形三边上的高相交于一点。

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.3.向量的运算：三角形法则、平行四边形法则4.向量的线性组合：5.分向量EMN C ABDGE DABC向量训练1。

下列命题中是假命题的是( ）(A ） 若,a b b c ==，则a c =. （B) ()222a b a b -=- （C ） 若12a b =-，则a b ∥.（D) 若a b =,则a b =2．如果向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12，那么向量a 用单位向量e 表示为（ ） （A ）12a e =； （B ）2a e =;（C ）12a e =-； （D)2a e =-． 3.下列命题正确是（ ）A ．长度相等的两个非零向量相等B ．平行向量一定在同一直线上C ．与零向量相等的向量必定是零向量D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点4。

向量内积,叉积,投影几何表示
向量内积、叉积和投影在几何学中扮演着重要的角色。

它们是描述向量之间关系的数学工具，通过它们可以研究向量的长度、方向和相对位置。

我们来讨论向量内积。

向量内积是两个向量之间的乘积，其结果是一个标量。

它的计算公式是将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。

内积可以用来判断两个向量之间的夹角以及它们是否正交（垂直）。

如果内积为零，则表示两个向量垂直；如果内积大于零，则表示两个向量夹角小于90度；如果内积小于零，则表示两个向量夹角大于90度。

接下来，我们来讨论向量叉积。

向量叉积是两个向量之间的乘积，其结果是一个新的向量。

叉积的计算公式是将两个向量的对应分量进行运算，并将结果进行向量叉积的运算规则。

叉积的结果是一个垂直于原来两个向量的向量，并且它的长度等于原来两个向量之间夹角的正弦值乘以两个向量的长度。

叉积可以用来计算面积、判断向量的方向以及确定平面的法向量。

我们来讨论向量的投影。

向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度。

投影的计算公式是将一个向量与另一个向量的单位向量的内积乘以另一个向量的长度。

投影可以用来计算向量在某个方向上的分量，以及判断两个向量之间的关系。

通过向量内积、叉积和投影，我们可以更好地理解和描述向量之间的关系。

它们在几何学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学等领域。

它们不仅仅是一些抽象的数学概念，而是具有实际意义的工具，可以帮助我们解决实际问题。

因此，学习和理解向量内积、叉积和投影是非常重要的。