04高等数学乙

2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x 2．复数ii 31)31(2++-的值是（ ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ）A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+- 4．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P=QD ．P Q=11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312∈++=t t y ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k 则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ③A ⊄B ⇔AB④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱 CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）. 19．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值. 20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围. 2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题AC A 1C 1参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1， 于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF. 连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF.∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分 （II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ， 设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42，∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0）， A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）（1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影. ∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.20应用能力，满分12分. 解：（Ⅰ）将直整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得： 整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由 （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a ab 得令 （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥= 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn。

-第 1 页 共 6 页-2004年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题（课程代码 0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．函数f(x)=xx1x 37-+-的定义域是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-37,B ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞37,0)0,(C ．)37,0()0,( -∞D ．)37,(-∞2．设是，则数列}a {1n 2n1a n n +-=（ ） A ．单调减而下有界 B ．单调减而下无界 C ．单调增而下有界 D ．单调增而下无界3．极限=---→21x )1x ()1x cos(1lim （ ） A ．21- B ．0 C ．1D ．21 4．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x1，在x=0处（ ）A ．左连续B ．右连续C ．连续D ．前三个均不成立5．设函数f(x)在x 0处可导，则极限=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ） A ．)x (f 20' B ．)x (f 210'C ．)x (f 0'D ．06．设函数=''+-=⎰)(,11)(x f xxx 则（ ） A ．3)x 1(4+B ．2)x 1(4+--第 2 页 共 6 页-C ．3)x 1(x 2+- D ．3)x 1(x 2+7．下列结论正确的是（ ） A ．函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B ．x=0是曲线y=x 3的拐点C ．直线y=0是曲线y=|x|在点（0，0）处的切线D ．.x=0是函数y=x 3的驻点8．不定积分⎰=-dx x311（ ） A ．C x 31+-- B ．C x 31+- C ．C x 3123+--D ．C x 3132+--9．定积分⎰=+10dx x11（ ） A ．2+22lnB ．2lnC ．2-ln 4D ．1-ln 210．曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．23π 11．在下列方程中其图形是圆柱面的方程是（ ） A ．x 2+y 2-3=0 B ．x 2+y 2+z 2-3=0 C ．x 2+y 2-z 2-3=0 D ．x 2+y 2-z-3=0 12．与平面3x-4y-5z=0平行的平面方程为（ ） A ．6x-8y+10z-9=0 B ．3x+4y-5z-8=0 C ．6x-8y-10z-7=0 D ．3x-4y+5z-10=0 13．设z=f(x,y)在（x 0,y 0）处的偏导数存在，则=∂∂)y ,x (00xz（ ）A ．x)y ,x (f )y y ,x x (f lim00000x ∆-∆+∆+→∆B ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 000x ∆-∆+→∆C ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 0x ∆-∆+→∆D ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 00000x ∆-∆+→∆14．函数z=(6x-x 2)(4y-y 2)的驻点个数为（ ）-第 3 页 共 6 页-A ．2B ．3C ．4D ．515．设积分区域B 是连结三点（1,1）,（4,1），（4,2）的线段所围成的三角形，则⎰⎰=σBd 4（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1216．设G 是由坐标面和平面x+y+z=1所围成的区域，则三重积分⎰⎰⎰Gdv 化为累积分为（ ） A ．⎰⎰⎰11010dz dy dxB ．⎰⎰⎰--yx 101010dz dxdy C ．⎰⎰⎰---yx 10x 101dz dydxD ．⎰⎰⎰---xy 10z 1010dz dxdy17．微分方程是x sin xydx dy =+（ ） A ．可分离变量的微分方程 B ．齐次微分方程 C ．一阶线性齐次微分方程 D ．一阶线性非齐次微分方程 18．下列函数中，是微分方程0y 3y =-'的通解的是（ ） A ．y=e -3x+CB ．y=Ce 3xC ．y=Ce -3xD ．y=Ce x+319．设a 是非零常数，则当|q|<1时，级数∑∞=-0n n naq )1(收敛于（ ） A ．q 11- B ．q 11+ C ．q1a +D ．q1a - 20．幂级数∑∞=-1n nn )1x (的收敛区间是（ ）A ．（-1,1）B ．[)2,0C ．[)1,1-D ．(0,2)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

高等数学乙教材高等数学乙教材是一本系统介绍高等数学知识的教材，旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、原理和应用。

本教材共分为八个单元，包括微积分、常微分方程、多重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数、向量代数与空间解析几何。

下面将逐个单元进行简要介绍。

第一单元：微积分本单元主要介绍微积分的基本概念和方法。

学生将了解极限、导数和微分的概念，并学习如何利用导数求函数的极值、函数的连续性和导数在应用中的具体运用。

第二单元：常微分方程本单元介绍常微分方程的基本理论和解法。

学生将学习一阶和二阶常微分方程的求解方法，并应用到各种实际问题中，如生物学、物理学和经济学等领域。

第三单元：多重积分本单元介绍多重积分的概念和计算方法。

学生将学习重积分的定义、性质和计算步骤，并掌握在三维空间中计算物体体积和质量等相关问题的技巧。

第四单元：曲线积分与曲面积分本单元介绍曲线积分和曲面积分的基本概念和计算方法。

学生将学习曲线积分和曲面积分的定义、性质和计算步骤，并应用到物理学中的电磁场和流体力学等问题中。

第五单元：无穷级数本单元介绍无穷级数的基本理论和求和方法。

学生将学习级数的概念、性质和判别法，并了解常见级数的求和结果。

第六单元：傅里叶级数与傅里叶变换本单元介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本理论和应用。

学生将学习傅里叶级数展开的方法和傅里叶变换的定义和性质，并能应用到信号处理和图像处理等领域中。

第七单元：线性代数本单元介绍线性代数的基本概念和方法。

学生将学习向量空间、线性方程组、矩阵的运算和特征值特征向量等相关内容，并应用到解析几何和线性回归等问题中。

第八单元：向量代数与空间解析几何本单元介绍向量代数和空间解析几何的基本概念和性质。

学生将学习向量的基本运算、点线面的位置关系和几何变换等相关内容，并能解决与三维空间中点、直线和平面相关的几何问题。

通过学习高等数学乙教材，学生将对高等数学的基本原理和方法有更深入的理解，能够应用数学知识解决实际问题，提高数学建模和分析能力。

高考数学乙卷基础知识点高考数学是每个学生都需要面对的一场考试，而数学乙卷无疑是其中较为复杂和困难的一部分。

在备考过程中，掌握基础知识点是非常重要的，它是解题的基础，也是提高得分的关键。

本文将对高考数学乙卷中的一些基础知识点进行探讨。

一、函数与方程函数与方程是高考数学乙卷中的基础内容，也是其他数学知识的基础。

在函数与方程的学习中，要掌握函数的定义、性质和图像的特点，能够求解一元一次方程和一元二次方程。

此外，还需要熟悉一元一次不等式和一元二次不等式的求解方法。

二、数列与数列的通项公式数列是数学中一个重要的概念，也是高考数学乙卷的考查内容。

数列的概念、性质以及数列的通项公式都是需要掌握的基础知识点。

在学习数列与数列的通项公式时，要能够判断数列的等差与等比性质，掌握等差数列与等比数列的求和公式，还要能够利用数列的通项公式进行问题的解答。

三、平面坐标系与图形的性质平面坐标系是几何学中的重要内容，也是高考数学乙卷的考点之一。

掌握平面直角坐标系的建立与使用，能够正确理解点、线、面的概念，并能够运用坐标系求解问题。

此外，要熟悉几何图形的基本特征和性质，能够根据既定条件求解图形的各种要素。

四、函数的导数与导数的应用函数的导数是高考数学乙卷中的重要内容，也是微积分的基本部分。

对函数的导数的掌握，能够理解导数的定义、性质和运算法则，能够求解一元函数的极值、最值以及函数图像的变化规律。

在导数的应用中，要能够利用导数求解函数的增减性、凹凸性还有求函数的最值等。

五、三角函数与三角恒等式三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学乙卷中占据一定的比重。

要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质和图像特点，能够运用三角函数求解相关几何问题。

此外，还需熟悉三角函数的运算公式和三角恒等式，能够正确使用这些公式进行题目的解答。

六、概率与统计概率与统计是数学乙卷的最后一部分，也是数学中的一门重要学科。

在概率与统计的学习中，要掌握事件、概率、条件概率、独立事件等基本概念，能够根据事件的概率和条件概率进行计算和推理。

高考数学全国卷乙高考数学全国卷乙是中国高考中的一部分，涉及到数学知识的各个方面。

这里将列出一些相关参考内容，帮助考生备考和复习。

一、数与代数1. 数与数的运算：整数的四则运算、分数的运算、小数的运算等，需要掌握基本的加减乘除运算规则。

2. 代数与函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本函数的性质和图像特征，代数方程与不等式的解法、根与系数的关系。

二、几何1. 空间几何与向量：空间中的点、线、面的性质与关系，向量的基本运算与运算法则，平面几何的相关内容如相似三角形、三角形的面积等。

2. 平面几何：平面上的点、线、角的性质与关系，平面图形的性质与判定，圆的性质与计算等。

三、概率与统计1. 概率的计算与应用：事件与概率的关系，概率的加法定理与乘法定理，条件概率与相互独立事件等。

2. 统计的基本概念与应用：样本与总体、频率分布表与频率直方图的制作与分析，均值、中位数、众数等统计量的计算与比较。

四、数学思维与方法1. 数学证明与推理：数学定理的证明方法，数学问题的推理与解决思路。

2. 计算与估算：对一些复杂的计算问题进行适当的估算与近似处理。

五、解题策略与技巧1. 题型分析与解题方法：对不同题型进行分类与分析，熟悉解题方法与技巧，如待定系数法、分类讨论法等。

2. 剖析经典题目：通过分析历年高考真题中的经典题目，总结出解题思路和关键点，进行备考和复习。

六、题目解析与练习1. 高考数学全国卷乙的相关题目解析：通过解析历年高考数学全国卷乙的题目，帮助考生理解题目的出题思路和解题方法。

2. 大量练习题与真题：通过做大量的练习题和历年高考真题，巩固和提高数学应试技能。

以上是关于高考数学全国卷乙的相关参考内容的简要介绍。

考生可以根据自身情况，有针对性地进行备考和复习，提高数学成绩。

2004年高考试题湖南卷数学试题（理工类）数学（理工农医类）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的。

（1）复数41(1)t+的值是（A ）4t （B ）4t - （C ）4 （D ）4-（2）如果双曲线2211312x y -=上点PP 到右准线的距离是（A ）135 （B ）13 （C ）5 （D ）513（3）设1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --++=，则()f a b -的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2log 3（4）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的度数为（A ）90（B ）60（C ）45（D ）30（5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。

则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（A ）分层抽样法，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简单随机抽样法，分层抽样法（6） 设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩… 若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （7）设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立的是（A ）11()()4a b a b++… （B ）3322a b ab +… （C ）22222a b a b +++… （D（8）数列{}n a 中，*11116,,N 55n n n a a a n ++=+=∈，则120lim()n n a a a →++⋅⋅⋅+=（A ）25 （B ）27 （C ）14 （D ）425（9）设集合{(,)|R,y R}U x y x =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)B x y x y n =+-0}…，那么点(2,3)()U P A C B ∈ 的充要条件是（A ）1,5m n >-< （B ） 1,5m n <-< (C ）1,5m n >-> （D ）1,5m n <->（10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）56 （B ）52 （C ）48 （D ）40（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。

高考数学乙卷知识点总结在高中三年的学习生涯中，数学课程一直是学生们最为关注的科目之一。

尤其是在高三这一关键时期，学生们进一步加强了对数学知识的学习与理解，以备战即将到来的高考。

而数学乙卷作为高考数学的一种考试类型，其考察的知识点较之数学甲卷有所不同。

下面，我将对高考数学乙卷的知识点进行一些总结与归纳。

一、函数与方程函数与方程作为数学乙卷的核心知识点，是整个数学乙卷考试的基础。

其中，函数的性质和图像如何研究、函数之间的关系如何表达、函数的应用题如何解决等都是重要的考点。

此外，方程的解的存在条件、解的性质、解的应用等也是考试经常出现的问题。

学生们需要熟练掌握函数与方程的相关知识，灵活运用于解决问题。

二、数列与数列极限数列与数列极限作为数学乙卷的重要考点，考察了学生对数列的概念、性质与运算法则的理解与掌握程度。

特别是数列极限的计算与性质分析，更是需要学生们深入思考与探索。

熟练掌握数列与数列极限的相关知识有助于解决数学乙卷中的各类题目。

三、平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高考数学乙卷中的一道难关，也是被学生们普遍认为难以掌握的知识点。

在学习平面向量时，需要关注向量的基本概念、性质及运算法则。

而在解析几何方面，需要学生了解直线的方程、平面的方程与性质，以及相关几何问题的求解方法。

只有通过大量的练习和理解，才能在乙卷考试中得心应手。

四、概率统计概率统计是高考数学乙卷的另一个重要考点。

学生们需要熟练掌握基本的概率计算方法，了解概率的性质与规律，掌握事件的相互独立性与相关性的判定依据。

在统计学方面，学生需要了解样本与总体、频率与概率、抽样与推断等概念，学会通过样本推断总体的性质与规律。

掌握概率统计的相关知识将对解决乙卷中的概率统计题目起到决定性的作用。

五、微积分初步微积分初步也是高考数学乙卷的重点考察内容之一。

学生们需要了解函数的导数与导数性质，掌握求函数的极值、最值、图像与变化趋势等的方法。

另外，学生还需要理解积分的概念与性质，掌握计算积分与解决相关应用题的方法。

高考乙卷数学知识点归纳随着全国高考的临近，对于考生来说，数学是其中一门非常重要的科目。

数学作为一门理科，涉及到的知识点众多，包括代数、几何、概率统计等等。

在这篇文章中，我将对高考乙卷数学知识点进行归纳，希望对广大考生有所帮助。

首先，我们来讨论代数部分的知识点。

代数是数学中一门非常重要的分支，涉及到方程、函数、序列等等内容。

在高考乙卷中，常见的代数知识点包括一元二次方程、指数、对数、等差数列等。

一元二次方程是高中代数中的重点内容，考察的形式主要包括解方程、韦达定理、根与系数的关系等。

指数和对数也是不可忽视的知识点，其中涉及到指数运算、对数运算的性质以及对数方程的解法等等。

此外，等差数列也是高考乙卷中常考的内容，主要考察其通项公式、求和公式、公差等相关概念。

接下来，我们来看几何部分的知识点。

几何是数学中一个重要的分支，通常与代数相结合，涉及到平面几何和空间几何两个方面。

在高考乙卷中，常见的几何知识点包括三角形、圆、向量等。

三角形是几何中的基础知识点，主要考察的内容包括三角形的性质、面积公式、正弦定理、余弦定理等。

圆也是一个重要的几何概念，与三角形有密切联系，主要涉及到圆的性质、圆的方程、切线、弦等。

此外，向量作为几何分析的基础，也是高考乙卷中的重点内容，主要考察向量的运算、向量的共线、平行、垂直等相关概念。

概率统计是数学的另一个重要分支，在高考乙卷中也占有不可忽视的地位。

概率统计涉及到概率、随机变量、抽样调查等内容。

在高考乙卷中，常见的概率统计知识点包括概率的基本概念与性质、条件概率、独立事件、随机变量的概念与分布、抽样调查等。

概率的基本概念与性质包括样本空间、事件概率、概率的计算方法等；条件概率则涉及到事件在给定条件下的概率；独立事件是概率统计中一个重要概念，涉及到事件之间的独立性；随机变量与分布则是概率统计的核心内容，主要考察的是随机变量的定义、分布律、数学期望、方差等概念；抽样调查则是统计中的一个重要工具，主要考察的是样本与总体之间的关系以及调查的设计与方法。

2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x2．复数ii 31)31(2++-的值是 （ ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ）A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-4．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件; B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件; D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得 （ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ） A ．P Q B ．Q P C ．P=Q D ．P Q= 11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：A CA 1C 1A BC近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312∈++=t t y ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ ③A ⊄B ⇔A B ④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得, 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km 处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.19．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在， 求出k 的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；AC A 1C 1（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b nn 对都成立，求a 的取值范围. 2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+22222222222sin cos cos sin tan 1tan sin cos sin ).cos sin cos sin 1tan 1tan αααααααααααααααα--=+-==++++代入上式得将32tan -=α22222()1()633sin(2).223131()1()33πα---+=-+=-++-+-解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠26tan tan 20.(3tan 2)(2tan 1)0.2(,),tan 0.tan .23.ααααπαπαα+-=+-=∈∴<∴=-即又下同解法一18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1，于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF.连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF. ∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点.∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分 （II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ， 设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.BP在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42，∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π.故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）FAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB D x AF AB E D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴ （1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.1111133(1,1,1),(,,0),441133(,,1),(,,0).444431cos 3||||9C H HC HA HA HC AHC HA HC ==---⋅∴∠===-⋅.31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC 19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AB AC AB -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一222222()11cos .22AP AQ AP AC AB AQ AB AC a AP AC AB AP a AP AB AC a PQ BC a PQ BC a a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=-+⋅=-+⋅=-+ .0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x CQ y c x BP y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设22cos .cos .||||cos 1,0(),,0.PQ BC cx by cx by a BP CQ a PQ BC PQ BC BC CQ θθθθ⋅-==∴-=∴⋅⋅==⋅故当即与方向相同时最大其最大值为 20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即 整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n nn n n n n n（III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令113|)|.1,.22231,||1,2,.22n n a a a a b n ∴≤≤≥≥≤=解得现证明当时对都成立（i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a aa a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立. 故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn。

高等数学乙种本教材答案高等数学是大学数学的重要组成部分，也是各个理工科专业的基础课程之一。

随着高等数学的学习深入，许多学生常常遇到问题，就是无法准确地找到乙种本教材的答案。

本文将为大家提供一些解答问题的方法和答案，以帮助大家更好地学习和理解高等数学乙种本教材。

第一章微分学1. 求函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数。

解答: 首先，我们需要使用链式法则来求解该题目。

根据链式法则，我们有：$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$将$f(x)$和$g(x)$代入上述公式，我们有：$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$$对于$e^x$和$\ln x$分别求导，我们有：$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$将上述结果代入原公式，我们得到：$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = e^x \cdot \frac{1}{x}$$因此，函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数为$\frac{e}{1} = e$。

2. 求函数$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$的导数。

解答: 根据三角恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，我们可以将该函数简化为常数函数$f(x) = 1$。

因此，该函数的导数为零。

第二章积分学1. 求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积。

解答: 要求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积，我们可以使用定积分来求解。

根据定积分的定义，我们有：$$\int_{0}^{1} y \, dx$$将$y = x^2$代入上述公式，我们得到：$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$对上述定积分进行积分运算，我们有：$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$因此，曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积为$\frac{1}{3}$。

高等数学乙考试大纲一、考试目的与要求本考试旨在测试学生对高等数学基础知识的掌握程度以及运用这些知识解决实际问题的能力。

考试要求学生能够熟练掌握高等数学的基本理论、概念、性质和计算方法，能够运用数学工具进行逻辑推理和证明，以及解决工程和科学问题。

二、考试内容1. 函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和运算法则- 无穷小量的比较- 函数的连续性及其判断2. 导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数和参数方程的导数- 微分的概念和运算3. 微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何上的应用：切线、法线、弧长等- 导数在物理上的应用：速度、加速度等4. 不定积分- 不定积分的概念和性质- 基本积分公式- 换元积分法和分部积分法- 有理函数和三角函数的积分5. 定积分- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理- 定积分的计算方法：数值积分法、换元法和分部积分法 - 定积分在几何和物理上的应用：面积、体积、功等6. 多元函数微分学- 多元函数的概念和极限- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开7. 重积分- 二重积分和三重积分的概念- 重积分的性质和计算方法- 重积分在几何和物理上的应用8. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的概念和计算方法- 曲面积分的概念和计算方法- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式9. 无穷级数- 级数的概念和性质- 正项级数的收敛性判别- 幂级数、泰勒级数和傅里叶级数- 级数在函数逼近中的应用10. 常微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的解法：常数变易法、降阶法等- 线性微分方程组的解法- 微分方程在物理和工程上的应用三、考试形式与题型本考试采用闭卷形式，题型包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。

中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（乙）考试大纲考试性质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（乙）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。

它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业的考生。

二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。

要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试方式和考试时间高等数学（乙）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

掌握判断函数这些性质的方法。

3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

会求给定函数的复合函数和反函数。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。

高等数学（乙）考研资料资料包含：1.数乙2000-2009年真题缺2003，含其中2000-2002年有答案。

2.数甲2001，2006-2008年真题3.高等数学B:2000-2005年，2008。

其中2003，2004有答案4.中科大高等数学2003-2010年真题含官方答案名校考研之家整理中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、填空题 (本题满分30分，每个空格6分。

请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。

) 1. 220arctan lim sin 2(3)x x x x x →⋅+=（ ）。

2. 设是由所确定的函数，()y y x =210y x t x e dt +−−∫=(0)1y =，则0x dy dx ==（ ）。

3. 设(,,)u v w ϕ有一阶连续偏导数，(,)z z x y =是由(,,)bz cy cx az ay bx 0ϕ−−−=确定的函数，则z z a b x y ∂∂+∂∂=（ ）。

4. 已知()f x 在点的某个邻域内可展成泰勒级数，且0x =211f n n⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，，则（ ）。

1,2,n =L (0)f ′′=5. 微分方程的通解是（ ）。

23tan (1)sec 0x x e ydx e ydy +−=二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。

请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

)1. 设，2,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩,0()3,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩，()()f x g x +在(,)−∞+∞内连续，则a , b 的值为 。

高等数学（乙）1复习要点第一篇：高等数学(乙)1复习要点高等数学（乙）1 复习要点（2012.12）第一章函数与极限1．数列与函数极限（左右极限）、两个重要极限、（*极限存在准则）2.函数在点连续性的讨论、间断点的分类3.无穷小阶的比较、性质、等价无穷小4*．连续函数在闭区间上的性质第二章导数与微分1.导数的定义2.熟记求导法则（如函数的积、商、复合、反函数等等）和求导公式（常用函数等）3.由方程确定的隐函数求一阶、二阶导数4.参数方程确定的函数求导、（*二阶导数）5.函数的微分6.曲线的切线方程与法线方程的求法（曲线可能为y f(x)或隐函数方程确定或参数方程确定）7.常用函数的n阶导数第三章微分中值定理及应用1*.三大微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）2.函数的单调区间与极值求法3.利用单调性证明不等式、如何证明函数为常数（恒等式的证明）4*.泰勒公式5.函数图形的凹凸区间与拐点求法、渐近线的求法6.如何求未定式的极限（洛必达法则）（各种类型的未定式的极限）7.函数的最大值、最小值求法（含应用题）8*.导数在经济中的应用(如边际、弹性等)第四章不定积分1.原函数、不定积分的概念与性质2.熟记基本的不定积分公式3.计算不定积分方法：凑微分法、变量代换法、分部积分法（掌握变量代换法、分部积分法的被积函数的特点）第五章定积分及其应用1．定积分的性质（了解）2．微积分基本定理（积分上限函数求导公式等、牛顿-莱布尼茨公式）3.会用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分（如分段函数、绝对值函数等等）4.定积分的换元法与分部积分法5.会求平面图形的面积、平面图形绕x轴、y轴旋转一周的立体体积6.反常积分注：打*号为难点内容第二篇：高等数学复习要点高等数学复习要点第一章：1.“抓大头”法求函数极限的公式，P15公式(1-3)2.无穷大量、无穷小量的概念；无穷小量的比较(高阶、低阶、等价无穷小的区分)；利用等价无穷小的式子求极限(P23第二行四个表达式);无穷小量乘以有界变量仍是无穷小(P21例1.34)3.利用两类重要极限求极限4.会判断分段函数在分界点处是否有极限(P12例1.20及相应课后习题)5.会求函数的连续区间(类型P31 T6 T7)6.闭区间上连续函数的性质(P29 定理1.8；推论1.3；例1.47)第二章：1.会用基本导数公式求导数2.会求函数在某点的导数(先求导函数再带入点,求该点导数值)3.导数的几何意义(会求曲线的切线法线方程)4.复合函数求导5.利用微分定义求函数的微分(先求导再乘以dx)6.会求高阶导数(例如函数的四阶导数，注意高阶导数的符号表示y(n)n≥4)7.可导与连续的关系(函数在某点可导一定连续，反之连续不一定可导；函数连续是函数函数可导的必要条件)第三章：1.会用洛必达法则求极限(特别∞-∞型，Ｐ82例3.8及习题3-2Ｔ15 T16)2.会用导数判断函数单调性，求极值点、极值(三步走)3.注意函数的极值点与驻点的关系(P85 定理3.8及其下面一段的文字说明)4.利用导数求闭区间上函数的最大最小值(例如P87 例3.16的类型)5.求函数的凹凸区间及拐点(三步走)6.会求曲线的垂直渐近线第四章：1.熟记不定积分的基本公式2.导数与不定积分互为逆运算(P96 第三行至第八行)3.直接积分法(P98)3.凑微分法求函数积分(两类：1:复合函数凑内层函数 2:凑公式)十个解答题考察类型：1.求极限（∞-∞）2求四阶导3.求不定积分（凑微分法）4.求曲线的凹凸与拐点.4.利用第二个重要极限求极限(或者讨论函数的极限是否存在，若存在，极限值是多少.)5.函数的极值.6.证明方程在某区间内至少有一个实根.7.求曲线在某点处的切线方程和法线方程.(曲线在何处的切线平行于已知直线)9.求函数的微分.10.求不定积分（直接积分法）第三篇：高等数学复习要点总结高等数学复习要点总结★高等数学复习要点总结希望有参考作用★ 张宇下面是我给一个朋友写的，大概是今年4月份写的，发给同学们做个参考：我把高数的东西整理了一下，按照这个复习，保证可以串起来，同时别忘了把基本功打好！高等数学1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。

中国科学院长春光机所2004年高等数学（乙）一、（本题共5小题，每小题5分，共25分。

每小题的答案直接写在答卷纸上并标明题号，不需计算过程）。

1、求)211(23lim x x x X x --+++∞→.2、求⎰-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11111dx e dx d x. 3、设x x f 2sin )(=,求)()(x f n .4、求曲面0)1ln(23=+--z ye x z 在点（1,2,0）处的法线方程.5、设⎰+=xdt t tx f 11ln )(,求)1()(xf x f +. 二、（本题共4小题，每小题5分，共20分。

每小题有(A)、(B)、(C)、(D)四个答案代号，只有一个是正确的，将所选你认为是正确的答案代号写在答卷纸上，并标明题号）。

1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f在点(0,0)处为(A) 连续，且偏导数存在； (B) 连续，但偏导数不存在； (C)不连续，但偏导数存在； (D)不连续且偏导数不存在。

2、xxx cos 1lim-→的值为(A)0； (B)1； (C)2； (D) 不存在.3、设Ω为一长方体：0≤x ≤a ，0≤y ≤b ，0≤z ≤c ，则积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )(3222的值为(A)333c b a ++； (B))(c b a abc ++； (C))(222c b a abc ++； (D))(333c b a abc ++. 4、设f(x)在[0,1]上二次可微 且f(0)=0，)0(f ''>0，则函数xx f x F )()(=在[0,1]上为(A)单调增加； (B)单调减少； (C)有极值； (D) 常数. 三、（本题共3小题，每小题9分，共27分）1、设,sin ,sin cos ,cos cos θϕθϕθ===z y x 求xz ∂∂与yz ∂∂.2、计算曲线积分：⎰+++AByy dy x e x dx xe )()12(2其中AB 为由点A （1,0）到B(2,0)的某一曲线弧，已知它与直线段AB 所包围的面积等于5。

中国科学院研究生院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：高等数学（乙）卷考生须知：1．本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效；试题纸随答题纸一起交回。

______________一、（本题满分50分，每小题5分）1． 求极限：22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎞+++⎜⎟++++++⎝⎠L . 2． 求不定积分：2ln (1)x dx x −∫.3． 设(0,0x a b a b x y a )b x a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⋅⋅>>⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠y b ，求′.4． 求过点，既与直线0(2,2,1)M 011:4851x y z L −+−==平行、又与平面0:π10x y z +++=垂直的平面方程。

5． 求方程tan y y y x x ′=+的通解。

6． 判断级数1!(0n n n a n a n∞=>∑)的敛散性。

7． 已知函数f (x )和g (x )在点x =0的某邻域内连续，且当x →0时，f (x )与g (x )是两个等价的无穷小，求极限000()sin lim ()x xx f t t d t g t dt →∫∫t 。

8． 求u = f (x 2+ y 2 + z 2)的二阶偏导数222u u x y z ∂∂∂∂∂和。

9． 计算二重积分(||)Dx y dxdy +∫∫，其中D: |x | + |y | ≤1.10. 将f (x ) = ln(1+ x + x 2 + x 3 + x 4)展开为幂级数。

科目名称：高等数学（乙） 第1页 共2页二、（本题满分10分）设2ln(1)x x +是f (x )的一个原函数，21()0,f kx k d k≠∫求x 。

三、（本题满分10分）计算∫+−=c yx xdy ydx I 22，其中c 为： (1) 的逆时针方向；22(1)(1)x y −+−=1(2) 正方形边界1x y +=的逆时针方向。

中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.txt我这人从不记仇，一般有仇当场我就报了。

没什么事不要找我，有事更不用找我！就算是believe中间也藏了一个lie！我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币，怎么能让人人都喜欢我？中科院考研高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。

它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。

二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。

要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。

四、试卷分类及适用专业根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将高等数学试卷分为高等数学（甲）、高等数学（乙）。

每种试卷适用的招生专业如下：高等数学（甲）适用的招生专业：理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业。

高等数学（乙）适用的招生专业：大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。

全国乙卷数学引言全国乙卷数学是中国高中数学课程的一部分，是高中数学的核心内容之一。

全国乙卷数学试卷旨在考察学生对数学基本概念、定理和方法的理解与运用能力，在高考中占据重要的比重。

本文将对全国乙卷数学的考试内容、命题特点以及备考策略进行介绍。

考试内容全国乙卷数学的考试内容包括数列与数学归纳法、函数与方程、平面几何、解析几何、概率与统计等几个模块。

每个模块都有相应的知识点和解题方法。

数列与数学归纳法数列与数学归纳法是数学中常见的重要内容。

数列指的是按一定规律排列的一串数，数学归纳法则是证明数学命题成立的一种常用方法。

函数与方程函数与方程也是全国乙卷数学中的重要内容。

函数是一种数学对象，描述了输入与输出之间的关系；方程则是描述未知数与已知数关系的表达式。

平面几何平面几何是研究平面上的图形性质与关系的一个分支。

全国乙卷数学中的平面几何部分主要涉及直线、多边形、圆等图形的性质和计算。

解析几何解析几何是运用代数方法研究几何问题的一门学科。

全国乙卷数学中的解析几何部分主要涉及直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等的方程、性质和计算。

概率与统计概率与统计是数学中重要的应用分支，涉及到随机事件的概率和大量数据的处理与分析。

命题特点全国乙卷数学的命题特点主要包括难度适中、注重基础知识、注重实际应用和综合运用能力。

难度适中全国乙卷数学试卷的难度一般偏向于中等水平，旨在考察学生对基本概念和定理的掌握程度。

试题难度分布较为均匀，既有简单的计算题，也有较为复杂的推理证明题。

注重基础知识全国乙卷数学试题注重考察学生对基础知识的理解与掌握。

试题切入点基本都是基本概念和基本定理，要求学生熟练掌握并能够灵活运用。

注重实际应用全国乙卷数学试题注重与实际生活和其他学科的结合。

试题往往通过实际问题引导学生学会运用数学知识解决实际问题。

综合运用能力全国乙卷数学试题注重考察学生的综合运用能力。

试题往往需要学生将不同的知识点及解题方法进行整合，解决较为复杂的问题。