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大学高等数学ppt课件第六章2矩阵及其运算

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矩阵及其应用ppt课件

矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

线性代数矩阵及其运算ppt课件

线性代数矩阵及其运算ppt课件

篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统

矩阵的运算优秀课件

矩阵的运算优秀课件

(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得

大学数学矩阵ppt课件

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，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。

矩阵PPT课件

矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积

矩阵分析课件-第六章

矩阵分析课件-第六章

cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0

《矩阵及其运算 》课件


幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。

第6讲 矩阵及其运算 方阵.PPT


3、矩阵与矩阵相乘
１) 定义
设 A (aij ) 是一个 m s 矩阵， B (bij ) 是一 个 s 矩n 阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的 乘积 C (cij是) 一个 m n矩阵. 其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
(i 1, 2, m ; j 1, 2, , n),
C (cij )33.
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
第二节 方阵
行数与列数都等于 n的矩阵 ,A称为 阶n 方阵. 可记作 An .
一 几类重要的方阵
1 单位阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.来自全为1不全为0
2
1 0 形如 0 2
0 O 0
0
O0
的方阵,称为对角
2. 某航空公司在 A, B, C, D 四城
B
市之间开辟了若干航线, 如图
所示表示了四城市间的航班图, A
C
如果从 A 到 B 有航班, 则用带
箭头的线连接 A 与 B .
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
其中 表示有航班.

矩阵分析课件精品PPT


典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法

矩阵及其运算PPT课件

第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
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a21x 1a22 x 2 L a2n xn 0 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn 0
这样的方程组一定有解，至少有零解
x1x2Lxn0
根据Crammer法则，当系数行列式D≠0时，齐次线性
方程组只有唯一的零解；否则，当系数行列式 D=0 时，
●矩阵的加法（见P234定义2）
ABaijbij m n
显
注意：只
21313
1 3
成 立
矩阵加法的运算规律： （1）交换律 A+B = B+A
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）
2020/4/4
●矩阵的减法
a11 K
2020/4/4
●行列式的应用——Crammer法则
如果线性方程组
a11x 1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x 1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn bn
aa2111
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 b2
（1） （2）
(1)a22(2)a12 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 1 b 1 a 2 2 b 2 a 1 2
(2)a11(1)a21 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 2 b 2 a 1 1 b 1 a 2 1
性质 AkAl Akl 2020/4/4
Ak l Akl
●线性方程组的矩阵表示法（2）
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1
a21x1 a22x2 ...... a2nxn b2
n
1 1 1 0 0 0 AB 0
（7）
0
0
1
0
0
0
A0或 B0
1110 111 2 00 （8） 00 10 00 1 2 00
ABAC BACA 2020/4/4
B C 矩阵的乘法运算 B C 不满足消去律
●矩阵相乘的运算规律：
（1）ABCABC
一般地：
1 ABBA
2
0
5
2
（6）
2 0
31
2
0
1
1
2
0
5
2
2020/4/4
同型 但不相等。
特殊 AB=BA
（1）一般地，ABBA，即乘法不满足交换律。
小
（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或 称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。
结
特别地，有：AnAnEnEnAn，即
可交换。
A
n与 E
齐次线性方程组有非零解（无穷多个）。
2020/4/4
例2 当k为何值时，下面的方程组只有零解？
x1 kx2 2 kx3 0
k
x1
x2
2kx3
0
x1 2 x2 5 x3 0
解 因为系数方程组的行列式为
1 k 2k Dk 1 2k k26k5(k5)(k1)
12 5
所以当 k≠5且 k≠1时，原方程组只有零解
元素不全为0的方阵。如：
2 1 2
0
1
0
0 0 1
a11 a12 ......a1n
0
a 22
......a 2n
......
0 0 . . . . . . a n n
等……
2020/4/4
●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。
2 0 0
4
1
0
01 0 2 00
（2） 1
1
2
0
11
1 2
1
0
1
11 1 2 1 0
0 0 0
1
2
0
1 2 0
AB与BA不同型
ABBA
2020/4/4
1
（3）
1
2 0 2 1
1 0
2 2
1
1
0
（4）
1
1 1
0
1
2 2
1 1
2
2
（5）
1 0
1 2
1
0
3 2
2020/4/4
例3 当λ、μ为何值时，下面的方程组有非零解？
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1
2
x2
x3
0
解 因为系数方程组的行列式为
11 D 1 1 3(1)
1 2 1
所以当 λ=1 或 μ=0 时，原方程组有非零解
2020/4/4
● 矩阵的引入
用加减消元法求解二元一次方程组
j 第二个下标 称为列标。
简称为mn矩阵，简记作 A(aij )mn
2020/4/4
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1 设有线性方程组 La21Lx1 a22x2 ...... a2nxn b2
am1x1 am2x2 ...... amnxn bm
a11 a12 ......a1n
,kR，则
mn
kA kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
如：313
2 3 4 9
6 12
2 0 0
2
E3
0
2
0
0 0 2
k 0 ...... 0
kE n
0
k
......
......0
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
2020/4/4
●数乘矩阵的运算规律：
2020/4/4
1 0 1
1
例如：
0
2 1
3
2
2 1
2 1
2
0
6 4
7 4
5
2
1 0 1
2
1
2 1
2 0
1
0
2 1
3
2
无意义！
AB存在，BA无意义，ABBA
注意： 左边矩阵 的列数
右边矩阵 的行数
2020/4/4
例题：计算下列各题
0
（1） 1
2
0
1
(1 0 2 1 0 1 ) 2
D4 2
3
1
142 2
31 2 0
所以 x 1 D D 1 1 ,x 2 D D 2 2 ,x 3 D D 3 3 ,x 4 D D 4 1
2020/4/4
小结：Crammer法则的使用有极大的局限性
（1） Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；
（2） Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解；
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。
（3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。
如何解决这些问题呢？留待第七章解决。
2020/4/4
●齐次线性方程组
常数项全为零的线性方程组，称为齐次线性方程组。
a11x 1 a12 x 2 L a1n xn 0
●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，
简记作 E
。如：
n
1
0
0
1
E2
1
0 0
0 1 0
0
0
E3
1
1 0 ...... 0
0
1 ...... 0
......
En
0 0 . . . . . . 1
等……
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●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
设
A
M
O
a m1 L
a1n
M
a mn
AmnAmnO mn
，则称矩阵
a11 K
M
O
a m1 L
a1n
M
为A
的负矩阵，记作
A
。
a m n
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n
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●数乘矩阵（见教材P235定义3）
若
Aaij
（2）ABCACBC, 2 AB0
CABCACB,
A 0或B 0
（3）kA B kA B A kB 3 ABAC
（4）E m A m nA m nE nA m n
（5）0A0, A00
或 BACA BC
若 A 是方阵，则乘积 AA......A有意义，记作 A k
称为 A 的 k 次幂。
11 1 1
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
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5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
8 2
9 3
只有矩阵 A 与矩阵B 同型
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