高等数学(乙)

书后部分习题解答2P36页8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(312--+x ax ，求常数a .知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：132231lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23-=a 或132]1)1()1[(211lim 1cos 1)1(lim 3123222203120=-=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化）P42页3（4） 关于间断点：xx x f 1sin 1)(= 0=x 为第二类间断点 说明：xx x 1sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）P43页7（1）证明方程042=-x x 在)21,0(内必有一实根。

知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]21,0[上连续； （注:设函数，闭区间） 01)0(>=f ，022)21(<-=f ， 故由根的存在定理，至少在)21,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ， 即方程042=-x x 在)21,0(内必有一实根.P61页3.设)(0x f '存在，求：（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000 （2）hh x f h x f h )()(lim 000--+→ （3）t x f t x f t )()3(lim 000-+→分析：因)(0x f '存在，则极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式解：（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆ （2）h h x f h x f h )()(lim 000--+→hx f h x f x f h x f h )()()()(lim 00000+---+=→ )1)(()())(()()(lim 00000----+--+=→h x f h x f h x f h x f h )(2)()(000x f x f x f '='+'=（3）t x f t x f t )()3(lim 000-+→)(333)()3(lim 0000x f tx f t x f t '=⋅-+=→8.用导数的定义求⎩⎨⎧≥+<=0,)1ln(0,)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000； 2）点0x 处的左右导数的定义与记号： 左导数xx f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000 右导数x x f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000 3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。

高等数学乙教材高等数学乙教材是一本系统介绍高等数学知识的教材，旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、原理和应用。

本教材共分为八个单元，包括微积分、常微分方程、多重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、傅里叶级数与傅里叶变换、线性代数、向量代数与空间解析几何。

下面将逐个单元进行简要介绍。

第一单元：微积分本单元主要介绍微积分的基本概念和方法。

学生将了解极限、导数和微分的概念，并学习如何利用导数求函数的极值、函数的连续性和导数在应用中的具体运用。

第二单元：常微分方程本单元介绍常微分方程的基本理论和解法。

学生将学习一阶和二阶常微分方程的求解方法，并应用到各种实际问题中，如生物学、物理学和经济学等领域。

第三单元：多重积分本单元介绍多重积分的概念和计算方法。

学生将学习重积分的定义、性质和计算步骤，并掌握在三维空间中计算物体体积和质量等相关问题的技巧。

第四单元：曲线积分与曲面积分本单元介绍曲线积分和曲面积分的基本概念和计算方法。

学生将学习曲线积分和曲面积分的定义、性质和计算步骤，并应用到物理学中的电磁场和流体力学等问题中。

第五单元：无穷级数本单元介绍无穷级数的基本理论和求和方法。

学生将学习级数的概念、性质和判别法，并了解常见级数的求和结果。

第六单元：傅里叶级数与傅里叶变换本单元介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本理论和应用。

学生将学习傅里叶级数展开的方法和傅里叶变换的定义和性质，并能应用到信号处理和图像处理等领域中。

第七单元：线性代数本单元介绍线性代数的基本概念和方法。

学生将学习向量空间、线性方程组、矩阵的运算和特征值特征向量等相关内容，并应用到解析几何和线性回归等问题中。

第八单元：向量代数与空间解析几何本单元介绍向量代数和空间解析几何的基本概念和性质。

学生将学习向量的基本运算、点线面的位置关系和几何变换等相关内容，并能解决与三维空间中点、直线和平面相关的几何问题。

通过学习高等数学乙教材，学生将对高等数学的基本原理和方法有更深入的理解，能够应用数学知识解决实际问题，提高数学建模和分析能力。

高等数学乙种本教材答案高等数学是大学数学的重要组成部分，也是各个理工科专业的基础课程之一。

随着高等数学的学习深入，许多学生常常遇到问题，就是无法准确地找到乙种本教材的答案。

本文将为大家提供一些解答问题的方法和答案，以帮助大家更好地学习和理解高等数学乙种本教材。

第一章微分学1. 求函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数。

解答: 首先，我们需要使用链式法则来求解该题目。

根据链式法则，我们有：$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$将$f(x)$和$g(x)$代入上述公式，我们有：$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$$对于$e^x$和$\ln x$分别求导，我们有：$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$将上述结果代入原公式，我们得到：$$\frac{d}{dx}[e^x + \ln x] = e^x \cdot \frac{1}{x}$$因此，函数$f(x) = e^x + \ln x$在点$x = 1$处的导数为$\frac{e}{1} = e$。

2. 求函数$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$的导数。

解答: 根据三角恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，我们可以将该函数简化为常数函数$f(x) = 1$。

因此，该函数的导数为零。

第二章积分学1. 求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积。

解答: 要求曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积，我们可以使用定积分来求解。

根据定积分的定义，我们有：$$\int_{0}^{1} y \, dx$$将$y = x^2$代入上述公式，我们得到：$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$对上述定积分进行积分运算，我们有：$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$因此，曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的图形在区间$[0, 1]$上的面积为$\frac{1}{3}$。

高等数学乙考试大纲一、考试目的与要求本考试旨在测试学生对高等数学基础知识的掌握程度以及运用这些知识解决实际问题的能力。

考试要求学生能够熟练掌握高等数学的基本理论、概念、性质和计算方法，能够运用数学工具进行逻辑推理和证明，以及解决工程和科学问题。

二、考试内容1. 函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和运算法则- 无穷小量的比较- 函数的连续性及其判断2. 导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数和参数方程的导数- 微分的概念和运算3. 微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何上的应用：切线、法线、弧长等- 导数在物理上的应用：速度、加速度等4. 不定积分- 不定积分的概念和性质- 基本积分公式- 换元积分法和分部积分法- 有理函数和三角函数的积分5. 定积分- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理- 定积分的计算方法：数值积分法、换元法和分部积分法 - 定积分在几何和物理上的应用：面积、体积、功等6. 多元函数微分学- 多元函数的概念和极限- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开7. 重积分- 二重积分和三重积分的概念- 重积分的性质和计算方法- 重积分在几何和物理上的应用8. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的概念和计算方法- 曲面积分的概念和计算方法- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式9. 无穷级数- 级数的概念和性质- 正项级数的收敛性判别- 幂级数、泰勒级数和傅里叶级数- 级数在函数逼近中的应用10. 常微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的解法：常数变易法、降阶法等- 线性微分方程组的解法- 微分方程在物理和工程上的应用三、考试形式与题型本考试采用闭卷形式，题型包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。

中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（乙）考试大纲考试性质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（乙）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。

它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业的考生。

二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。

要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试方式和考试时间高等数学（乙）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

掌握判断函数这些性质的方法。

3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

会求给定函数的复合函数和反函数。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。

高等数学（乙）考研资料资料包含：1.数乙2000-2009年真题缺2003，含其中2000-2002年有答案。

2.数甲2001，2006-2008年真题3.高等数学B:2000-2005年，2008。

其中2003，2004有答案4.中科大高等数学2003-2010年真题含官方答案名校考研之家整理中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、填空题 (本题满分30分，每个空格6分。

请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。

) 1. 220arctan lim sin 2(3)x x x x x →⋅+=（ ）。

2. 设是由所确定的函数，()y y x =210y x t x e dt +−−∫=(0)1y =，则0x dy dx ==（ ）。

3. 设(,,)u v w ϕ有一阶连续偏导数，(,)z z x y =是由(,,)bz cy cx az ay bx 0ϕ−−−=确定的函数，则z z a b x y ∂∂+∂∂=（ ）。

4. 已知()f x 在点的某个邻域内可展成泰勒级数，且0x =211f n n⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，，则（ ）。

1,2,n =L (0)f ′′=5. 微分方程的通解是（ ）。

23tan (1)sec 0x x e ydx e ydy +−=二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。

请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

)1. 设，2,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩,0()3,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩，()()f x g x +在(,)−∞+∞内连续，则a , b 的值为 。

高等数学（乙）练习册答案第1章 函数、极限与连续一、填空：1. ln 1x -；2. 1；3. 1；4. 0；5. 1,0y x == 二、选择题：1.D ，2.D ，3. B ，4. A ，5. D三、计算题：1.225923+==-；2. =2；3. 1lim(1)0x x →-=+=；4. lim 0x →-==；5. 0sin 5555lim sin 44*44x xx x x→== 6. 6621lim((1))e 2x x x→∞=+=。

7. 0lim 1x xx -→-==-。

8. 22171171lim,lim ()0,(45)4454x x x x x x x x →∞→∞--=---=--故有渐近线14y x =-； 25417lim ,45x x x →-=∞-故有垂直渐近线54y = 四、证明题1。

证明 设()sin 1f x x x =+-，则()f x 在期间[,0]2π-上连续，()022f ππ-=-<，(0)10f =>，所以存在(,0)2πξ∈-，使()sin 10f ξξξ=+-=。

2.证明 因为22002sin ()1cos 2lim lim 1()22x x xx x x →→-==，所以当0x →使，21cos ~2x x -。

3. 证明 令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，(0)(0)0F f =≥，(1)(1)10F f =-≤。

如果(0)0f =或(1)1f =，则命题得证；如果(0)0f >且(1)1f <，则有闭区间上连续函数的性质，存在(0,1)ξ∈，使得()()0,F f ξξξ=-=即()f ξξ=。

五、综合题1. 解 由于()f x 在1x =处连续，所以1lim ()(1)x f x f →=，2111lim ()lim(32lim ())32(1)x x x f x x x f x f →→→=+=+，即(1)32(1)f f =+，所以有(1)3f =-。

外国文学作选读Selected Reading of Foreign Literature现代企业管理概论Introduction to Modern Enterprise Managerment电力电子技术课设计Power Electronics Technology Design计算机动画设计3D Animation Design中国革命史China’s Revolutionary History中国社会主义建设China Socialist Construction集散控制DCS Distributed Control计算机控制实现技术Computer Control Realization Technology计算机网络与通讯Computer Network and CommunicationERP/WEB应用开发Application ＆ Development of ERP/WEB数据仓库与挖掘Data Warehouse and Data Mining物流及供应链管理Substance and Supply Chain Management成功心理与潜能开发Success Psychology & Potential Development信息安全技术Technology of Information Security图像通信Image Communication金属材料及热加工Engineering Materials & Thermo-processing机械原理课程设计Course Design for Principles of Machine机械设计课程设计Course Design for Mechanical Design机电系统课程设计Course Design for Mechanical and Electrical System 创新成果Creative Achievements课外教育Extracurricular education。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的种证法及推广２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的６种证法及推广Һ贾方正㊀（安徽省颍上第一中学，安徽㊀阜阳㊀２３６２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ对高考试题的研究既有利于教师明确考试重点和命题方向，也有利于学生总结解题技巧与方法，对高考备考具有非常积极的影响．２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题 解析几何综合题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及其运算，具有很好的区分度．笔者对其进行了深入探究，给出该题的６种证明方法，并对试题进行推广，希望借此帮助相关教师总结教法，帮助学生提高解题效率．ʌ关键词ɔ２０２３年高考；全国乙卷；解析几何；推广试题承担着对较高水平考生的鉴别任务，通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才．２０２３年高考试题对考生的能力要求较高，呈现出 反刷题 的现象，要求考生从 机械刷题 和 题海战术 中跳出来．其中的全国乙卷理科第２０题，以高等几何中的极点与极线为命题背景，注重对数学本质及其应用性的考查，具有很好的选拔功能．一㊁真题再现２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题如下：已知椭圆Ｃ：ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率是５３，点Ａ（－２，０）在Ｃ上．（１）求Ｃ的方程；（２）过点（－２，３）的直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴的交点分别为Ｍ，Ｎ，证明：ＭＮ的中点为定点．二㊁证法探究（１）由题意得ｂ＝２，ａ２－ｂ２ａ＝５３，解得ａ２＝９．所以Ｃ的方程为ｙ２９＋ｘ２４＝１．下面重点探究第（２）问．证法１㊀如图所示，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），则直线ＡＰ：ｙ＝ｙ１ｘ１＋２（ｘ＋２），ｙＭ＝２ｙ１ｘ１＋２．设Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），同理可得ｙＮ＝２ｙ２ｘ２＋２．设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ＭＮ的中点Ｄ（０，ｙＤ），则ｙＤ＝ｙＭ＋ｙＮ２＝ｋ（ｘ１＋２）＋３ｘ１＋２＋ｋ（ｘ２＋２）＋３ｘ２＋２＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）．由ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）㊃（ｘ＋２）２＋１２（２ｋ－３）（ｘ＋２）＋３６＝０，所以（ｘ１＋２）＋（ｘ２＋２）＝１２（３－２ｋ）４ｋ２＋９，（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３６４ｋ２＋９，所以ｙＤ＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法２㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），显然ｋ存在，故设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．由ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）ｘ２＋（１６ｋ２＋２４ｋ）ｘ＋１６ｋ２＋４８ｋ＝０．因为Δ＝－１７２８ｋ＞０，所以ｋ＜０．不妨令ｘ１＞ｘ２，故ｘ１＝－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９，ｘ２＝－８ｋ２－１２ｋ－１２－３ｋ４ｋ２＋９．㊀㊀㊀㊀㊀所以ｙ１＝－８ｋ３－１２ｋ２＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９＋２ｋ＋３＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９，同理ｙ２＝１８ｋ＋２７－１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９．于是直线ＡＰ：ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９＋２（ｘ＋２），化简，得ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ（ｘ＋２）．令ｘ＝０，则点Ｍ的纵坐标为３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ．同理得点Ｎ的纵坐标为３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ．所以３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ＋３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ＝２ˑ（３６ｋ＋５４）（１８－１２ｋ）＋６ˑ２８８ｋ２（１８－１２ｋ）２＋４３２ｋ＝６（４ｋ２＋９）４ｋ２＋９＝６．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法３㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），直线ＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），直线ＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），显然ｋ１，ｋ２存在且ｋ１ʂｋ２，则ｙＭ＝２ｋ１，ｙＮ＝２ｋ２．由ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｙ２９＋ｘ２４＝１，ìîíïïï得（４ｋ２１＋９）ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－３６＝０．故－２ｘ１＝１６ｋ２１－３６４ｋ２１＋９，ｘ１＝１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９，ｙ１＝３６ｋ１４ｋ２１＋９．同理ｘ２＝１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９，ｙ２＝３６ｋ２４ｋ２２＋９．因为直线ＰＱ过点（－２，３），所以（ｙ１－３）（ｘ２＋２）＝（ｙ２－３）（ｘ１＋２）．所以３６ｋ１４ｋ２１＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９＋２æèçöø÷＝３６ｋ２４ｋ２２＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９＋２æèçöø÷，化简，得［３－（ｋ１＋ｋ２）］（ｋ１－ｋ２）＝０，即ｋ１＋ｋ２＝３．故２ｋ１＋２ｋ２２＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法４㊀（同构方法）设Ｔ（－２，３），ｌＡＭ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＮ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．联立ｙ＝ｍ（ｘ＋２）与ｙ２９＋ｘ２４＝１，得Ｐ１８－８ｍ２４ｍ２＋９，３６ｍ４ｍ２＋９æèçöø÷．同理得Ｑ１８－８ｎ２４ｎ２＋９，３６ｎ４ｎ２＋９æèçöø÷，ʑＴＰң＝３６４ｍ２＋９，３（１２ｍ－４ｍ２－９）４ｍ２＋９æèçöø÷．同理ＴＱң＝３６４ｎ２＋９，３（１２ｎ－４ｎ２－９）４ｎ２＋９æèçöø÷．由Ｔ，Ｐ，Ｑ三点共线，得到１２ｍ－４ｍ２－９＝１２ｎ－４ｎ２－９，即（ｍ－ｎ）（ｍ＋ｎ－３）＝０，又ｍʂｎ，所以ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：上述证法用了同构的思想，看起来过程比较多，实际上只算了点Ｐ和ＴＰң，而点Ｑ与ＴＱң都是类比得到的．同时可知，ＭＮ的中点为定点等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ为定值．证法５㊀（曲线系方法）设ｌＡＰ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．经过Ａ，Ｐ，Ｑ三点的二次曲线方程为［ｙ－ｍ（ｘ＋２）］［ｙ－ｎ（ｘ＋２）］＝０，即ｙ２－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０．椭圆方程ｙ２９＋ｘ２４＝１可化为ｙ２＝９４（２＋ｘ）（２－ｘ），消去ｙ２，得９４（ｘ＋２）（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０，再消去一个（ｘ＋２），得９４（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）ｙ＋ｍｎ㊃（ｘ＋２）＝０，这就是直线ＰＱ的方程，又直线ＰＱ经过（－２，３），所以９－３（ｍ＋ｎ）＝０，即ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：该题的本质是证明直线ＡＰ，ＡＱ的斜率之和为定值，而二次曲线系是证明两直线的斜率之和为定值的 利器 ．证法６㊀（齐次化方法）易知直线ＡＰ，ＡＱ的斜率存在，分别设为ｋ１，ｋ２，则ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），令ｙ＝０得Ｍ（０，２ｋ１），Ｎ（０，２ｋ２），所以线段ＭＮ的㊀㊀㊀㊀㊀㊀中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２）．下面证明ｋ１＋ｋ２为定值．设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｌＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．ｙ２９＋ｘ２４＝１⇒９（ｘ＋２－２）２＋４ｙ２＝３６⇒９（ｘ＋２）２－３６（ｘ＋２）＋４ｙ２＝０．将其与ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３联立，得９（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）［ｙ－ｋ（ｘ＋２）］＋４ｙ２＝０，即（９＋１２ｋ）（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）ｙ＋４ｙ２＝０，即４ｙｘ＋２æèçöø÷２－１２ｙｘ＋２æèçöø÷＋（９＋１２ｋ）＝０，由韦达定理得ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２＝３．又因为ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以ｋ１＋ｋ２＝３，即线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．点评：由于线段ＭＮ的中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２），所以解题的关键是证明ｋ１＋ｋ２是定值．而ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以考虑将ｘ＋２作为整体，构造齐次方程，然后利用韦达定理求解，这样可以简化运算，提高解题效率．三㊁试题推广推广１㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ａ（－ａ，０），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（０，ｂ）．类似可得：推广２㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ｂ（０，ｂ），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＢＰ，ＢＱ与ｘ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（－ａ，０）．设Ｔ（－ａ，ｂ），Ａ（－ａ，０），Ｂ（０，ｂ），则ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，即ＡＢ是切点弦．而ＭＮ的中点为定点（０，ｂ）等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝２ｋＡＢ．于是可将问题再推广如下：推广３㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），顶点Ａ（－ａ，０）．点Ｔ是直线ｘ＝－ａ上任意一点，过点Ｔ作椭圆的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，过点Ｔ作直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．证明㊀设Ｔ（－ａ，ｔ），则ＡＢ是Ｔ的切点弦所在的直线，方程为－ａｘａ２＋ｔｙｂ２＝１，故ｋ＝ｂ２ｔａ．设ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），{可得（ｂ２＋ａ２ｋ２１）ｘ２＋２ａ３ｋ２１ｘ＋ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２＝０．由ｘＡ㊃ｘＰ＝ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２ｂ２＋ａ２ｋ２１及ｘＡ＝－ａ，得ｘＰ＝ａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，故Ｐａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，２ａｂ２ｋ１ｂ２＋ａ２ｋ２１æèçöø÷．设ｌＰＱ：ｙ＝ｍ（ｘ＋ａ）＋ｔ，将点Ｐ代入，化简，得ａ２ｔｋ２１－２ａｂ２ｋ１＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，同理得ａ２ｔｋ２２－２ａｂ２ｋ２＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，所以ｋ１和ｋ２是方程ａ２ｔｘ２－２ａｂ２ｘ＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０的两个根，所以ｋ１＋ｋ２＝２ａｂ２ａ２ｔ＝２ｂ２ａｔ．因此，ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．四㊁试题再推广把试题进行进一步推广可得到如下更一般的情形，其证明留给读者完成．设Ｔ是椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）外一定点，ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，其中Ａ，Ｂ是切点．过Ｔ的直线与椭圆Ｃ交于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．结㊀语试题的解决过程也是考生经历猜想和假设㊁转化和化归㊁实验和论证等问题研究的过程．教师通过对高考试题进行深度研究，可促进自身的专业发展，从而更好地服务于教学．该题虽然证明的是线段的中点为定点，但实质是证明直线的斜率之和为定值．对于定值问题，解决的方法主要有常规方法㊁同构方法㊁曲线系方法㊁齐次化方法等．有兴趣的读者还可以对该题的高等数学背景进行深度探究，然后基于高等数学背景对该题进行推广，还可以对该题进行改编，甚至基于极点与极线命制出高质量的原创题．ʌ参考文献ɔ［１］罗文军．多视角切入，巧方法运用 ２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的探究［Ｊ］．广东教育（高中版），２０２３（９）：２０－２３．［２］李歆．数学问题：因变化而精彩 对一道经典三角题的变式探究［Ｊ］．中学数学，２０１３（１１）：２１－２３．［３］田甜，曹文栋，李誉．高考试题中数学表征转换水平比较研究 以新高考Ⅰ卷㊁全国乙卷及北京卷为例［Ｊ］．内江师范学院学报，２０２３，３８（８）：６－１２．［４］佟俊姬．夯实基础知识，落实立德树人２０２３年高考数学全国乙卷评析［Ｊ］．数学之友，２０２３，３７（１３）：８９－９１．。

338 生物化学：《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）601 高等数学（甲）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。

602 高等数学（乙）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。

603 高等数学（丙）[1]《高等数学》第六版（上、下册），同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。

[2]《线性代数》第五版，同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。

612 生物化学与分子生物学《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）808 电动力学郭硕鸿著，《电动力学》，高等教育出版社，北京，1997年第二版。

614 科学技术史雷·斯潘根贝格和黛安娜·莫泽，《科学的旅程》，郭奕玲、陈蓉霞、沈慧君译，北京：北京大学出版社，2008年。

611 生物化学（甲）《生物化学》上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社（2002年第三版）610 分子生物学《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤李毅著，高等教育出版社，2002 《Molecular Biology》(第三版)，Robert Weaver著，McGraw-Hill出版社，2005（809）固体物理：黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》高等教育出版社，1988年10月（811）量子力学：《量子力学教程》曾谨言著（科学出版社2003年第1版）。

（819）无机化学：《无机化学》第三版，武汉大学、吉林大学等校编，高等教育出版社。

高等数学（乙）1期末练习2012.12（参考答案）一． 填空题1．当0→x ，函数)tan (sin x x x -⋅是关于)1ln(x x -的 高阶 无穷小 (注：用洛必达法则求极限)1ln()tan (sin lim0x x x x x x --→为0，分母可先用等价无穷小替换)2．极限11lim1--→x x x 的值是 不存在 （注：因左右极限不相等） 3. 极限221)1sin(lim xx x ++∞→= 0 （注：用无穷小与有界函数的积仍为无穷小的性质） 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<--=0,3sin ln ln 0,sin tan )(x x x x x x xx x f ，则0=x 为)(x f 的 第一类（跳跃） 间断点.（注：用洛必达法则求0=x 处的左极限为2，右极限31ln 3sin lnlim 0=+→x x x ） 5. 极限xdt t x x 21limsin 030⎰+→=21. （注：用洛必达法则求极限，熟记求导公式：)())(()())(()()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd x u x v '-'=⎰） 6.⎰xdx 2cos =C x x ++2s i n 4121 . （注：任意常数不要漏） 7．若)(x f 的导数为x sin ，则)(x f 的所有原函数是 21s i nC x C x ++- . 8．定积分⎰--222cos 1cos ππdx x x的值为 1 （注：对称区间，偶函数的积分）9．设x xxx ey x2sec tan arccos ++⋅=-，则微分 dy =dx x x x xx x xx e x]2tan 2sec 2tan sec )11(arccos [222+-+-+--. （注：微分dx 不要漏）10．某商品的需求函数为275p q -=，则4=p 的边际需求为 8- ，需求弹性为 593211．设曲线⎩⎨⎧+==t t y tx 2cos sin ，则曲线在0=t 处的切线方程为 1+=x y .法线方程为1+-=x y（注：（1）参数方程确定的函数求导（分子、分母不要弄错）；（2）求切线斜率（将参数或切点代入，此时斜率为一常数），再求法线斜率：切线斜率的负倒数）12. 曲线1223+=x x y 的斜渐近线方程为x y 2= .（注：斜渐近线的斜率xx f k x )(lim∞→=，])([lim kx x f b x -=∞→）13. 函数xx f 3)(=在点0x x =处的n 阶泰勒公式为)10()()!1(3ln 3)(!33ln )(101)(00000<<-++-⋅=++-+=∑θθn n x x x knk x k x x n x x k x f .14.设⎰+=221sin )(x xdt tt x F ，则=')(x F2421sin 21)sin(xx x xx +-⋅+（注：用求导公式)())(()())(()()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd x u x v '-'=⎰） 15.设)(x f 连续，则⎰-x dt t x tf dxd 022)(= )(2x xf （注：（1）先换元22t x u -=，一定要上限换上限，下限换下限；（2）再求导上题的公式） 16. 设)(x f 有一个原函数x x sin ，则⎰'ππ2)(dx x f x =14-π （注：用分部积分和原函数的定义：（1）C x x dx x f +=⎰sin )(；（2）2sin cos )sin ()(xxx x x x x f -='=） 二．试解下列各题1．设)(arcsin x f y =，求dx dy ，22dx yd .参考答案：dx dy=211)(arcsin xx f -⋅'22dx y d =2221)1()(arcsin 11)(arcsin xx x f x x f --'+-⋅''2．求极限)tan sec lim x x x -→（π.(注：先通分，再用洛必达法则，答案0) 3. )]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→ （书后习题） (注：先通分，再用洛必达法则，答案22a )4. xxx ex 110))1((lim +→ （书后习题） (注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案21-e )5. xx x arc ln 1)cot (lim +∞→(注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案1-e ) 6. )112cot()1(lim 21xxx x x +---→(注：∞⋅0型求极限，化0型，分母可用等价无穷小代换，再化简，答案4) 三．试解下列各题1．设函数)(x y y =由方程y x xy ln )1ln(1)cos(-+=-确定，求dxdy，)1,0(dy ,)0(y ''， 并求此曲线)(x y y =在点)1,0(处的法线方程.注：（1）方程两边对x 求导： dxdyy x dx dy x y xy 111))(sin(-+=⋅+- （*） 得dx dy =)]sin(1)[1()sin()1(2xy xy x xy x y y -+++又0=x ，1=y 时，1)1,0(=dxdy ；所以dx dy =)1,0(（2）求二阶导数时，用（*）式两边对对x 求导：y y dxdy y x y x y y xy dx dy x y xy ''-++-=''⋅+'+'-⋅+-1)(1)1(1))(sin())(cos(2222 代入0=x ，1=y ，1)1,0(=dxdy，得1)0(=''y（3）法线斜率1-，法线方程：x y -=-12．求函数32-=x x y 的单调区间与极值，曲线32-=x x y 的凹凸区间与拐点坐标. 注：（1）求一阶导数，求驻点与导数不存在点，考察导数的符号，可得单调区间与极值 在)23,(-∞上单调减少，在),23(+∞上单调增加，极小值3232123-==x y （2）求二阶导数，考察二阶导数的符号在)2,(-∞，),3(+∞上曲线是凹的，在)3,2(上曲线是凸的，拐点坐标)3,3(,)0,2( 3．求不定积分时，任意常数不要漏。

中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、 选择题 (本题满分50分，每小题5分。

请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

)（1）设sin 2,0() =,0x e x x f x ax b x ⎧≤⎨+>⎩ 处处连续，处处可导。

则,a b 取值为（ ）。

（A ）2,0a b == （B ）1,0a b == （C ）2,1a b == （D ）0,0a b ==（2） 下列一元函数积分公式中，错误的是（ ）。

（A ）2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰ （B ）2200(sin ,cos )d (cos ,sin )d f x x x f x x x ππ=⎰⎰ （C ）200(sin )d 2(sin )d f x x f x x ππ=⎰⎰ （D ）200(cos )d 2(cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰ （3）10⎰（ ）。

（A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π （4）下列级数不收敛的是（ ）。

（A ）1121543n n n n -+∞=+∑ （B）1n ∞=∑ （C ）1231n n n ∞=+∑ （D ）1cos (||1)n n q nx q ∞=<∑科目名称：高等数学（乙）第1页 共4页（5）下列说法完全正确的是（ ）。

（A ）令1(1), 0() 1 , 0x x x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩ ，则0为()f x 的第二类间断点。

（B ）令2()lim ,1nxnxn x x e f x x R e →+∞+=∈+，则()f x 为连续函数。

2023高考数学乙卷第7题
2023年高考数学乙卷第7题是一道关于概率的题目。

题目给出了一个袋子，里面有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色各3个，总共9个球。

每次从袋子里随机取出一个球，取到红球得1分，黄球得0分，蓝球得-1分。

题目要求计算在4次连续取球中，得2分的概率。

首先，我们需要明确每种颜色球被取到的概率都是1/3。

然后，我们需要考虑所有可能的情况，即4次连续取球的所有组合。

最后，我们需要计算每种情况下得2分的概率，并求和。

由于这是一个组合问题，我们可以用组合公式来计算。

具体来说，我们可以考虑以下几种情况：
1. 4次取球中，有2次取到红球，1次取到黄球，1次取到蓝球。

这种情况
的概率为：C(4,2) × (1/3)^2 × (1/3) × (1/3) × (-1/3)。

2. 4次取球中，有1次取到红球，2次取到黄球，1次取到蓝球。

这种情况的概率为：C(4,1) × (1/3) × (1/3)^2 × (1/3) × (-1/3)。

3. 4次取球中，有1次取到红球，1次取到黄球，2次取到蓝球。

这种情况的概率为：C(4,1) × (1/3) × (1/3) × (1/3)× (-1/3)^2。

将这三种情况的概率相加，即可得到最终答案。