高数乙1期末练习参考答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

书后部分习题解答2P36页8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(312--+x ax ，求常数a .知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：132231lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23-=a 或132]1)1()1[(211lim 1cos 1)1(lim 3123222203120=-=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化）P42页3（4） 关于间断点：xx x f 1sin 1)(= 0=x 为第二类间断点 说明：xx x 1sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）P43页7（1）证明方程042=-x x 在)21,0(内必有一实根。

知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]21,0[上连续； （注:设函数，闭区间） 01)0(>=f ，022)21(<-=f ， 故由根的存在定理，至少在)21,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ， 即方程042=-x x 在)21,0(内必有一实根.P61页3.设)(0x f '存在，求：（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000 （2）hh x f h x f h )()(lim 000--+→ （3）t x f t x f t )()3(lim 000-+→分析：因)(0x f '存在，则极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式解：（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆ （2）h h x f h x f h )()(lim 000--+→hx f h x f x f h x f h )()()()(lim 00000+---+=→ )1)(()())(()()(lim 00000----+--+=→h x f h x f h x f h x f h )(2)()(000x f x f x f '='+'=（3）t x f t x f t )()3(lim 000-+→)(333)()3(lim 0000x f tx f t x f t '=⋅-+=→8.用导数的定义求⎩⎨⎧≥+<=0,)1ln(0,)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000； 2）点0x 处的左右导数的定义与记号： 左导数xx f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000 右导数x x f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000 3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。

高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。

答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。

答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。

答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。

答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。

答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。

答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。

2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。

切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。

答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限2lim()xxx x 的结果是（C ）（A ）0（B ）（C ）12（D ）不存在2、方程3310xx 在区间(0,1)内（B）（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根3、)(x f 是连续函数, 则dx x f )(是)(x f 的（C）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D)全体导函数；4、由曲线)0(sin xx y和直线0y所围的面积是（C ）（A ）2/1 (B) 1(C)2 (D)5、微分方程2x y满足初始条件2|0xy 的特解是 ( D)（A ）3x（B ）331x（C ）23x （D ）2313x6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ）(A))1(ln x x (B))0(1lnxx(C) cos (0)x x(D))2(422xxx 7、极限011lim(sinsin )xx x xx的结果是（C）（A ）0（B ）1（C ）1（D ）不存在8、函数arctan xy ex 在区间1,1上（ A）（A ）单调增加（B ）单调减小（C ）无最大值（D ）无最小值9、不定积分dx xx 12= （D）(A)2arctan xC (B)2ln(1)xC (C)1arctan 2x C (D)21ln(1)2xC10、由曲线)10(xe yx 和直线0y 所围的面积是（ A）（A ）1e(B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dy xy dx的通解为（ B ）（A ）2xy Ce（B ）212x y Ce（C ）Cxy e（D ）2xy Ce12、下列函数中哪一个是微分方程032x y 的解( D )（A ）2xy （B ）3xy（C ）23xy（D ）3xy 13、函数1cos sin xx y 是（ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数；(C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当0x 时，下列是无穷小量的是（ B）（A ）1x e(B))1ln(x (C) )1sin(x (D)1x15、当x时，下列函数中有极限的是（ A）（A ）211x x(B)cosx (C)1xe(D)arctan x16、方程310(0)x px p的实根个数是（B ）（A ）零个（B ）一个（C ）二个（D ）三个17、21()1dxx（ B ）（A ）211x（B ）211Cx（C ）arctan x （D ）arctan x c18、定积分()baf x dx 是（ C）（A ）一个函数族（B ）()f x 的的一个原函数（C ）一个常数（D ）一个非负常数19、函数2ln 1y x x是（ A）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数f x 在区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且0fx ，则( B ) (A)00f (B)10f f (C) 10f (D)1f f 21、设曲线221xye，则下列选项成立的是（C）(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近线22、(cos sin )x x dx( D )（A ）sin cos x x C （B ）sin cos x x C（C ）sin cos xxC（D ）sin cos x x C23、数列})1({nnn的极限为（ A）（A ）1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C ）两无穷大量的和仍为无穷大量（D ）两无穷大量的差为零25、若()()f x g x ，则下列式子一定成立的有（ C）(A)()()f x g x (B)()()df x dg x (C)(())(())df x dg x (D)()()1f xg x 26、下列曲线有斜渐近线的是( C )(A)sin y x x (B)2sin yxx(C)1sinyx x(D)21sinyxx二、填空题1、21cos lim x x x122、若2)(2xex f ，则)0('f 23、131(cos 51)x x x dx 2 4、dxe tte xC5、微分方程0y y满足初始条件|2xy 的特解为2xy e6、224lim 3x xx 07、极限42lim222xxxx 438、设sin 1,y x x 则()2f 19、11(cos 1)x x dx210、231dx x3arctan x C11、微分方程ydyxdx 的通解为22yxC12、1415x dx 213、sin2limxxx x114、设2cos y x ，则dy22sin x x dx15、设cos 3,y x x则()f -116、不定积分xxdee Cx2e 2117、微分方程2xye的通解为212xyeC22222222222111120,201122xxxxx xxdy y y e y edy e dx dx ydy e dxe C yy x yCe ye y代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x yln 的通解是xyeC19、xxx3)21(lim ＝6e20、,xyx y设函数则(ln 1)xx x 21、)21(lim 222nn nnn的值是1222、3(1)(2)lim23xx x x xx1223、,xyx dy设函数则(ln 1)xx x dx24、2231lim4xx x x1425、若2()sin6xf x e，则)0('f 226、25(1sin )a ax dx2().a 为任意实数27、设ln(1)xye ，则微分dy______1xx e dx e__________.28、3222(cos )d 1xxxx2三、解答题1、（本题满分9分）求函数162yx x 的定义域。

高数一期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. x*e^x + C答案：A4. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点？A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 求定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是______。

答案：1/36. 函数y=x^3-3x+2的拐点是x=______。

答案：07. 函数f(x)=ln(x)在x=1处的切线斜率是______。

答案：18. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是______。

答案：0三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：单调增区间为(3, +∞)和(-∞, 1)；单调减区间为(1, 3)。

10. 求函数f(x)=x^2-4x+3的极值。

答案：当x=2时，函数取得极小值f(2)=-1。

11. 求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的切线方程。

答案：切线方程为y=5x-2。

12. 求定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx的值。

答案：413. 求函数f(x)=e^x-x-1的零点。

答案：函数f(x)=e^x-x-1的零点为x=0。

14. 求函数f(x)=ln(x)+x^2在x=1处的切线方程。

答案：切线方程为y=2x-1。

四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：函数f(x)=x^3+3x^2-2x+1在(-∞, -2)上是单调递减的。

答案：首先求导f'(x)=3x^2+6x-2，令f'(x)<0，解得x<-2，因此函数在(-∞, -2)上单调递减。

高数一期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解是：A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = x^2 \)答案：B4. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是：B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( 2x - 4 \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( x\ln(x) - x + C \)3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( (0,0) \) 和 \( (2,4) \)4. 函数 \( y = e^{3x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案：\( 9e^{3x} \)三、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。

\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值。

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

高等数学b1期末考试试题和答案高等数学B1期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x-12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x-1)的值是（）。

A. -1B. 1C. 0D. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. xe^x + CD. xe^x - C4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。

A. 1/x^2B. 1/xC. -1/xD. -1/x^26. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数y=x^3-3x^2+2x+1的极值点是（）。

A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=08. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 89. 函数y=x^2+2x+1的值域是（）。

A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (-1, +∞)D. [1, +∞)10. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=2处的切线方程是（）。

A. y=x-1B. y=2x-1C. y=3x-2D. y=4x-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^3的导数是_________。

12. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。

13. 函数y=e^x的二阶导数是_________。

14. 曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线斜率是_________。

15. 函数y=ln(x)的值域是_________。

三、计算题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。

17. 求函数y=x^3-3x^2+2x+1的不定积分。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每题 4 分,共 16分)1. 设 f ( x )cos x ( x sin x ), 则 在 x0处 有() .（ A ） f (0)2（B ）f(0)1（ C ） f (0)（D ）f ( x )不行导 .2. 设 ( x)1 x， ( x ) 3 33 x ，则当 x 1时（） 1 x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无量小，但不是等价无量小； （B ） ( x)与 (x)是等价无量小；（C ） ( x)是比(x)高阶的无量小；（D ）( x)是比(x)高阶的无量小 .F ( x ) x ( 2t x ) f ( t ) dt3. 0， 此中 f ( x) 在 区 间 上 ( 1,1) 二阶可导且若f ( x ) 0 ，则（） .（A ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极大值；（B ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极小值；（C ）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 yF ( x) 的拐点；（D ）函数F ( x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。

设 f ( x )是 连续 函 数， 且 f ( x )x21)4. f ( t )dt , 则 f ( x ) (x 2x 22（A ） 2（B ）2（D ） x 2.（C ）x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每题25.lim ( 13 x ) sin xx06. 已知cos x是 f ( x ) 的一个原函数 ,x.4 分，共 16 分）.则 f ( x )cos xd xxlim(cos 2 cos 2 2L cos 2 n 1 )7.nnnnn12x 2 arcsin x 1dx－ 11 x28..2三、解答题（本大题有 5 小题，每题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy )1确立，求y ( x )以及1 x 710.求x(1 x 7 ) dx ..y (0) .设 f ( x )xex，x求 1 f ( x )dx ．2 xx 2， 0 x1311.1lim f ( x)f (x)g( x )f ( xt ) dtA12.设函数 连续，，且xx， 为常数. 求Ag (x)并议论g ( x)在 x处的连续性 .y(1)113. 求微分方程xy2 y x ln x 知足 9的解.四、 解答题（本大题10 分），过点(01,)，且曲线上任一点14. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x 0) M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线x x所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线yln x及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每题 4 分，共 8 分）16. 设函 数 f ( x ) 在 0,1上 连 续 且单 调 递减 ，证 明对 随意 的 q [ 0,1] ，q1 f ( x ) d xq f ( x)dx.17. 设函数f ( x )在0,f ( x ) d xf ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0 .证明：在 0, 内起码存在两个不一样的点1 ,2，使f ( 1 ) f ( 2 ) 0.（提x F ( x )f ( x )dx示：设）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每题 4 分, 共 16分)1、 D2、 A3、 C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每题 4 分，共 16 分）5. e 61 ( cos x )2 c 3..6. 2 x .7.2. 8. 三、解答题（本大题有5 小题，每题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x y (1 y ) cos( xy )( xyy) 0y ( x )e x yy cos(xy )exy x cos(xy )x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 7 7 x 6 dx du原式1 (1 u ) du 1 ( 12 )du 7 u(1 u) 7 u u 112ln | u 1|)c(ln | u |71ln | x 7|2ln |1 x 7 | C771f ( x )dxxe1 2x x 2dx11. 解：xdx33xd ( e x)12dx1 ( x 1)3xexex0 0cos2d (令 x1 sin )324 2e 3 112. 解：由f (0)0 ，知 g(0)0。

高等数学（乙）1期末练习2012.12（参考答案）一． 填空题1．当0→x ，函数)tan (sin x x x -⋅是关于)1ln(x x -的 高阶 无穷小 (注：用洛必达法则求极限)1ln()tan (sin lim0x x x x x x --→为0，分母可先用等价无穷小替换)2．极限11lim1--→x x x 的值是 不存在 （注：因左右极限不相等） 3. 极限221)1sin(lim xx x ++∞→= 0 （注：用无穷小与有界函数的积仍为无穷小的性质） 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<--=0,3sin ln ln 0,sin tan )(x x x x x x xx x f ，则0=x 为)(x f 的 第一类（跳跃） 间断点.（注：用洛必达法则求0=x 处的左极限为2，右极限31ln 3sin lnlim 0=+→x x x ） 5. 极限xdt t x x 21limsin 030⎰+→=21. （注：用洛必达法则求极限，熟记求导公式：)())(()())(()()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd x u x v '-'=⎰） 6.⎰xdx 2cos =C x x ++2s i n 4121 . （注：任意常数不要漏） 7．若)(x f 的导数为x sin ，则)(x f 的所有原函数是 21s i nC x C x ++- . 8．定积分⎰--222cos 1cos ππdx x x的值为 1 （注：对称区间，偶函数的积分）9．设x xxx ey x2sec tan arccos ++⋅=-，则微分 dy =dx x x x xx x xx e x]2tan 2sec 2tan sec )11(arccos [222+-+-+--. （注：微分dx 不要漏）10．某商品的需求函数为275p q -=，则4=p 的边际需求为 8- ，需求弹性为 593211．设曲线⎩⎨⎧+==t t y tx 2cos sin ，则曲线在0=t 处的切线方程为 1+=x y .法线方程为1+-=x y（注：（1）参数方程确定的函数求导（分子、分母不要弄错）；（2）求切线斜率（将参数或切点代入，此时斜率为一常数），再求法线斜率：切线斜率的负倒数）12. 曲线1223+=x x y 的斜渐近线方程为x y 2= .（注：斜渐近线的斜率xx f k x )(lim∞→=，])([lim kx x f b x -=∞→）13. 函数xx f 3)(=在点0x x =处的n 阶泰勒公式为)10()()!1(3ln 3)(!33ln )(101)(00000<<-++-⋅=++-+=∑θθn n x x x knk x k x x n x x k x f .14.设⎰+=221sin )(x xdt tt x F ，则=')(x F2421sin 21)sin(xx x xx +-⋅+（注：用求导公式)())(()())(()()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd x u x v '-'=⎰） 15.设)(x f 连续，则⎰-x dt t x tf dxd 022)(= )(2x xf （注：（1）先换元22t x u -=，一定要上限换上限，下限换下限；（2）再求导上题的公式） 16. 设)(x f 有一个原函数x x sin ，则⎰'ππ2)(dx x f x =14-π （注：用分部积分和原函数的定义：（1）C x x dx x f +=⎰sin )(；（2）2sin cos )sin ()(xxx x x x x f -='=） 二．试解下列各题1．设)(arcsin x f y =，求dx dy ，22dx yd .参考答案：dx dy=211)(arcsin xx f -⋅'22dx y d =2221)1()(arcsin 11)(arcsin xx x f x x f --'+-⋅''2．求极限)tan sec lim x x x -→（π.(注：先通分，再用洛必达法则，答案0) 3. )]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→ （书后习题） (注：先通分，再用洛必达法则，答案22a )4. xxx ex 110))1((lim +→ （书后习题） (注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案21-e )5. xx x arc ln 1)cot (lim +∞→(注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案1-e ) 6. )112cot()1(lim 21xxx x x +---→(注：∞⋅0型求极限，化0型，分母可用等价无穷小代换，再化简，答案4) 三．试解下列各题1．设函数)(x y y =由方程y x xy ln )1ln(1)cos(-+=-确定，求dxdy，)1,0(dy ,)0(y ''， 并求此曲线)(x y y =在点)1,0(处的法线方程.注：（1）方程两边对x 求导： dxdyy x dx dy x y xy 111))(sin(-+=⋅+- （*） 得dx dy =)]sin(1)[1()sin()1(2xy xy x xy x y y -+++又0=x ，1=y 时，1)1,0(=dxdy ；所以dx dy =)1,0(（2）求二阶导数时，用（*）式两边对对x 求导：y y dxdy y x y x y y xy dx dy x y xy ''-++-=''⋅+'+'-⋅+-1)(1)1(1))(sin())(cos(2222 代入0=x ，1=y ，1)1,0(=dxdy，得1)0(=''y（3）法线斜率1-，法线方程：x y -=-12．求函数32-=x x y 的单调区间与极值，曲线32-=x x y 的凹凸区间与拐点坐标. 注：（1）求一阶导数，求驻点与导数不存在点，考察导数的符号，可得单调区间与极值 在)23,(-∞上单调减少，在),23(+∞上单调增加，极小值3232123-==x y （2）求二阶导数，考察二阶导数的符号在)2,(-∞，),3(+∞上曲线是凹的，在)3,2(上曲线是凸的，拐点坐标)3,3(,)0,2( 3．求不定积分时，任意常数不要漏。

1. （8分）交换二次积分的次序2121310122(,)(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx -++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.解 1、画出二重积分的积分区域------绘制每个小区域各1分，合计--------- 3分 2、交换二次积分12(,)(,)x Df x y dxdy dx f x y dy +==⎰⎰⎰原式------------------------------------------------------------8分评分说明没有绘图直接写答案至多只能给5分；第2步，交换二次积分，4个上下限，酌情给分2. （6分）求曲面22z x y =+被平面2z =所截部分的面积.解 1、所截部分在坐标面xOy的投影是一个圆盘：222x y +=；------------------------------------------------------------ 1分2、面积元：dS =；------------------------------------------------------------ 3分3、写出面积公式，并计算二重积分()()32202222200114812114268312133DS d rdrd r r d d ππππθθθθπ===+=+==⎰⎰⎰⎰------------------------------------------------------------ 6分3. （6分）求二重积分Drd σ⎰⎰，其中D 是心脏线(1cos )r a θ=+与圆周r a =()0a >所围的不包含原点的区域.解 1、画图；------------------------------------------------------------ 1分 2、确定极坐标下的积分区域(),,(1cos )22D r a r a ππθθθ⎧⎫=-≤≤≤≤+⎨⎬⎩⎭；------------------------------------------------------------ 2分3、计算d rdrd σθ=(1cos )22a aDrd d r rdr πθπσθ+-=⋅⎰⎰⎰⎰------------------------------------------------------------ 3分()()(1cos )3(1cos )(1cos )322222223332322223232031133(1cos )13cos 3cos cos 3323cos 3cos cos 32123131322322+92a a a a aDard d r rdr rd r d a ad d a d a θπππθθππππππππσθθθθθθθθθθθθθππ+++-----=⋅==⎡⎤=+-=++⎣⎦=++⎛⎫=⋅+⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭⎛=⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3a ⎫ ⎪⎭------------------------------------------------------------ 6分评分说明1、二次积分，前面的容易（1分），后面的复杂（2分）2、第二个定积分的计算，对称性、递推公式2cos n d πθθ⎰，都是给分点4. （10分）设Γ为柱面222x y y += 与平面y z =的交线，从z 轴正向看为顺时针，计算2I y dx xydy xzdz Γ=++⎰.解（方法一） 1、曲线的参数方程：cos 1sin ,:201sin x y z θθθπθ=⎧⎪=+→⎨⎪=+⎩---------xyz θ各1分-----------------------------4分2、将第二型曲线积分化为定积分计算()()()2022221sin sin cos 1sin cos 1sin I y dx xydy xzdzd πθθθθθθθΓ=++⎡⎤=-+++++⎣⎦⎰⎰--------------------------------------6分()()()()()()()()222022022022202220221sin sin 2cos 1sin 1sin 1sin sin 2cos 1sin 2sin 3sin 2sin 4sin3sin 2sin 4sin 3sin 44sin d d d d d d ππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθ⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦=+-++=--++=--++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------------------------------8分220416sin 1416022d ππθθππ=-+=-+⋅⋅=⎰---------------------10分解（方法二） 圆柱体与平面的截面是一个椭圆，该椭圆记为S ，并取椭圆的下侧，法方向方向余弦为 ---------------------1分())cos ,cos ,cos 0,1,1αβγ=-。

第一学期高等数学期末考试试卷答案第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35 分，共有 5 道小题，每道小题7 分），1 cos x x2x1．求极限 lim．sin 3xx 0解：1 cosxx1 c o xs x2 x111 cosx x2x22limlimlimsin 3 xx 3x 3x 0x 0x 0x ln 1 cosxln 1 cosxx ln2xln21 cos x1 c oxslimex31 lime11 lim2lim2x 0x 0cosxx 0x3x 0x2x ln2lim1 s i nx 1 ．x 0 c o sx 2x4与 x 23x2．设 x0 时， f x 是等价无穷小，f t dt 与 Ax k 等价无穷小，求常数k 与 A ．2 0解：3x3xf t dt由于当 x0 时，f t dt 与 Ax k 等价无穷小，所以limk 1 ．而x 0 Ax3x21x3 1f t dtf3x22f3x2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0lim3 3 x 2limlim limAxkk 12Akxk 1 6Akx k 1 6Akxk 1 x 0xAkxx 0x 0 x 0 x 32所以， lim11．因此， k1,A1．x6 Akx k 163．如果不定积分x 2 ax bdx 中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．x1 2 1 x 2解：x2ax b化为部分分式，有将2x2x11x2ax b A B2Cx D ，2x 1x 1 1 x 2x 1 1 x2因此不定积分x2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 21 x2A C0．即x2 ax b B D B 1 x 2 D x 1 2 x 1 2 1x2x 1 2 1 x2x 1 2．1 x 2所以，有 x2ax b B 1x 2 D x 1 2B D x22Dx B D ．比较上式两端的系数，有1B D ,a2D,b B D ．所以，得b1．525．计算定积分min 1,x2dx ．解：m i n1,x2x2x21 1x211x12x1x2 x22x ．3 1x351252213所以， min1,x2dx1dx 2 x dx x 2 dx．00128 5．设曲线C的极坐标方程为r a sin 3，求曲线 C 的全长．3解：曲线 r a sin3一周的定义域为03，即 03．因此曲线 C 的全长为3322333s r r d26a2422 a ．a s i n s i n c o s d a s i n d00333032二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题9 分），6．求出函数 fxlimsin x的所有间断点，并指出这些间断点的类型．2 nn1 2 x解：sin x 1 x1 21sin xxf xlim2 2．n1 2n1 12 x2x21x2因此 x 11 与 x 21 是函数 fx 的间断点．22l i m f xl i m0 0， limf xlim sin x1 ，因此 x1是函数 f x 的第一类可x1 x1 x1 x 122222去型间断点．lim f xlim s i n x1 ， lim f xlim 0 0 ，因此 x1 是函数 f x 的第一类可去型x111x122xx22 2间断点．7．设 是函数 fx arcsinx 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日） 中值定理中的 “中值 ”，求极限 lim．b 0b解：f xa r c sixn 在区间 0,b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinb arcsin01 ．b 01 2b2所以，2 1 ．因此，arcsinbb 22122arcsinbblimlima r c sib nb 2lim2b b 2 a rc s bin2t 22t 22l i m 2si n ts i n tl i m 22l i m4b 0bt 0t s i nt t 0tlim 2tsin 2t2 2 cos2t11 c o s2t12s i n2t 14t 3lim12t 2l i mt 2l i m3tt 06 t6 t 02t所以， limb1 ． b 031 x18．设 f xe y 2 ydy ，求f x dx ．0 0 解：11 1f x dxxfxxf x dx1 x在方程 f xe y 2ydy 中，令 x 1 ，得11f 1e y 2ydye y 2 y dy 0 ．1 xx 2再在方程 f xe y2ydy 两端对 x 求导，得 f xe 1，111因此，f x dxxfx1xf x dxxf x dx 0111 1 x 2dx e xex 2xedx ee21x 21e 1 ．29．研究方程 e x a x 2a 0 在区间,内实根的个数．解：设函数 f x ax 2 e x 1， f x 2axe xax 2e xax 2 x e x ．令 f x0，得函数 f x 的驻点 x 10, x 22 ．由于 a0 ，所以lim f xlim ax 2e xxxlim f xlim ax2e xxx1 ，1 a limx 21 a lim2x1 a lim2xxx 1 1 ．xexexe因此，得函数 f x 的性态x,000,222,f x00f x14ae 211⑴若 4ae210，即 a e2f x2x1在,0、0,2、2,内时，函数ax e4各有一个零点，即方程e x a x2在,内有 3 个实根．⑵若 4ae210，即 a e2x2x1在,0、0,内各有一个零时，函数 f ax e4点，即方程 e x a x2在,内有 2 个实根．⑶若 4ae210 ，即 a e2时，函数f x ax2e x1在, 0 有一个零点，即方程4e x a x 2在,内有 1 个实根．10．设函数 f x 可导，且满足f x x f x 1 ， f 00 ．试求函数 f x 的极值．解：在方程 f x x f x 1 中令 t x ，得 f t t f t 1 ，即f x x f x 1 ．f x xf x x中消去 f x，得在方程组xf x f x xf x x x 2．1x2积分，注意 f00，得x t t2．即f x f 001t 2dtx21ln 1f xt t 2 dtxx 2arctanx．1t2由 f xx x 2 得函数 f x 的驻点 x 1 0, x 21．而 f x1 2x x2 ．所以，1 x 21 x2 2f 01 0 ， f11 0 ．21所以， f0 0 是函数 f x 极小值； f11是函数 f x 极大值．ln 22 4三．应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），11．求曲线y x 的一条切线，使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小．解：1 设切点坐标为 t, t ，由 y，可知曲线 yx 在 t,t 处的切线方程为2 tyt1 ，或 y1 x t ．x t2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 28 2x tx dx4 2t2 t4 3t所以，dV8 2 0 ．得驻点 t 2 ，舍去 t2 ．由于 dt 43t 233d 2V160 ，因而函数 V 在 t2处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切dt 22 4 3t 2 t 3233线方程为 y3 1．x2412．设函数 fx 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1 内可导，且2e f xarctan xdx1， f 10 ．2证明：至少存在一点0， 1 ，使得 f1．12 arctan解：因为 f x 在闭区间0, 1 上连续，所以由积分中值定理，知存在2 0,，使得2e f x arctan xdx 2 e f arctan．02由于 e f x arctan xdx 1，所以，2e f arctan1．再由 f 10 ，得022e f arctan e f 1arctan 1．4作函数 g x e f x arctan x ，则函数在区间, 1 0, 1 上连续，在区间, 1 内可导．所以由Rolle 中值定理，存在,10, 1 ，使得 g0 ．而g x e f xe f x2．f x a r c t ax nx1所以存在,10, 1，使得e f f a r c t a n ef2 0．1由于 e f0 ，所以 f arctan120，即 f11．12 arctan。