2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十九)回归分析-含解析

2019最新高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升（九）二项式系数的性质及应用-含解析一、填空题1．已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．2．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．3．若展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．5．若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________．二、解答题6．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，则的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝Cx5＝7x5.答案：7x52．解析：令x＝1，2n＝64⇒n＝6.由Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－r2＝(－1)rC36－rx3－r，令3－r＝0⇒r＝3.所以常数项为－C33＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10.答案：104．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C22(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，。

课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 2．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 3．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．5．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12r ， 令r ＋1＝4，得r ＝3， 则第四项为T 4＝C 38x 5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5. 答案：7x 52．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2 ＝(－1)r C r 636－r x 3－r ，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． 7．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．证明：∵32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋1＋C 1n ＋1·8＋C 2n ＋1·82＋C 3n ＋1·83＋…＋C n n ＋1·8n ＋C n ＋1n ＋1·8n ＋1－8n －9＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。

课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________． 2．若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．5．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 答案：7x 52．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3.所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r (－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． 7．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋n＋1－8n－9C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9 ＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。

3.2 回归分析1、已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关。

下列结论中正确的是( ) A.x 与y 负相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z 负相关D.x 与y 负相关,x 与z 正相关2、在一组样本数据11(,)x y ,22(,)x y ,…(),n n x y ,(2n ≥,12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等)的散点图中,若所有样本点(,)i i x y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =+上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) A. 1-B.0C. 12D. 13、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元4、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3, 2.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.0.4.3ˆ2yx =+ B.2 2.4ˆy x =- C.9ˆ2.5y x =-+ D.0.3 4.4ˆyx =-+ 5、下表是某厂1到4月份用水量情况(单位:百吨)的一组数据用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系,其线性回归方程为0.7y x a ∧=-+,则a 的值为( ) A.5.25 B.5 C.2.5 D.3.56、对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<7、已知x 与y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为+ˆa ˆˆybx =,若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为y b x a ='+',则以下结论正确的是( )A.',ˆˆ'bb a a >> B.',ˆˆ'bb a a >< C.',ˆˆ'bb a a << D.',ˆˆ'bb a a <> 8、登山族为了了解某山高y (km )与气温x (℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表: 气温x (℃)18 13 101-y (km ) 2434 38 64由表中数据,得到线性回归方程ˆˆ2()ˆyx a a R =-+∈,由此估计山高为72km 处气温的度数为( )A.-10℃B.-8℃C.-4℃D.-6℃9、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程$y bx a =+,其中0.76,b a y bx ==-，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元10、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为$6090y x =+,下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1000元时,工资为50元B.劳动生产率提高1000元时,工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时.工资提高90元D.劳动生产率为1000元时,工资为90元11、调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程:0.25402ˆ.31yx =+,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加__________万元.12、对具有线性相关关系的变量x 和y ,由测得的数据已求得回归直线的斜率为6.5,且恒过点(2,3),则回归直线的方程为 .13、为预测某种产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系,现取了8组观察值.计算知: 881152,228ii i i xy ====∑∑,88211478,1849ii i i i x x y ====∑∑则y 对x 的线性回归方程是__________.14、为考虑广告费用 x 与销售额y 之间的关系.抽取了5家餐厅,得到如下数据:现要使销售额达到6万元,则需广告费用为__________万元.(精确到0.1)15、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ20b =-,ˆˆa y bx =-; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由回归直线方程定义知,x 与y 负相关。

课下能力提升(八) 二项式定理一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________．2．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．3．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 4．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________． 5.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？7．若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数答案1．解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45. 答案：452．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15.答案：153．解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r ，令15－5r ＝0，∴r ＝3.故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－102 4．解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ，又∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·26n （n －1）＝3，解得n ＝11. 答案：11 5．解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：76．解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9， ∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280.7．解：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是 T r ＋1＝C r 6x 6－r()－a r x －2r ＝C r 6x 6－3r ()－a r. 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4. 8．解：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x nr ＝3. C 38＝56.。

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课下能力提升（八) 二项式定理一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．2．（四川高考改编）在x（1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．3．二项式错误!错误!的展开式中的常数项为________．4．若（x＋1）n＝x n＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1,那么n＝________．5。

错误!错误!的展开式中有理项共有________项．（用数作答)二、解答题6．求错误!错误!的第4项,指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么?7．若错误!错误!展开式的常数项为60,则常数a的值．8．已知错误!错误!的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．答案1．解析：第3项的二项式系数为C210＝错误!＝45。

答案：452．解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C错误!＝15。

答案:153．解析:∵T r＋1＝C错误!(－1)r x15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.故展开式中的常数项为C错误!（－1)3＝－10。

答案：－104．解析:a＝C错误!，b＝C错误!，又∵a∶b＝3∶1,∴错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝3,解得n＝11。

回归分析教学目标：知识与技能：通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想，方法及初步应用．过程与方法：培养学生的应用意识和解决实际问题的能力． 情感、态度与价值观：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学重点：线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学难点：相关性检验及回归分析。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学过程：学生探究过程： 问题情景：对一作直线运动的质点的运动过程观测了８次，得到如下表所示的数据，试估计当示．从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置预测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归系数公式，可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当x=9时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =问题：在时刻x=９时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？学生活动：由学生思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确的反映x 与y 之间的关系，x 与y 之间具有的是相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 数学应用例１．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我线性回归方程为527.59114.453y x =+ 由于2004对应的x=55,代入线性回归方程可得1322.506y =（百万），即2004年的人口为13.23亿.对于例1,可按下面的过程进行检验：（１）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（２）由0.05与n-2＝９在附录１中查得0.050.602r =；（３）根据公式得相关系数r=0.998（４）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为527.59114.453y x =+例２．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，因为25.159=x ，161=y5.59)(88122=-∑=i ix x116)(88122=-∑=i iy y ，80881=-∑=i i i y x y x ；所以963.01165.5980≈⨯=r ．由检验水平０.０５及n-2=6，在附录１中查得707.005.0=r ，因为0.963>0.707,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系.线性回归方程为x y 345.1191.53+-=. 例3．下表是随机抽取的10个家庭的年可支配收入x 与年家庭消费y 的数据,试根解：所给数据的散点图如图所示, 该图表明,这些点在一条直线附近． 相关系数r=0.9826．由检验水平0.05及n-2=8,在附录1中查得632.005.0=r ,因为0.9826>0.632,所以可以认为家庭消费支出与可支配收入之间有较强的线性相关关系;4845.0,53.380≈≈b a,故线性回归方程为x y 4845.053.380+=巩固练习：1．某种产品表面进行腐蚀性刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 间相应的一(3)试预测腐蚀时间分别为100s 及150s 时的腐蚀深度.r ≈0.9820; x y 3043.03461.5+=35.78 50.99r ≈0.991 x y 93.22578.0+=（３）求回归直线方程；（４）当播放天数为１１天时，估计累计人次为多少？r ≈0.984 x y 9.468.30+=547人教学反思：建构数学：1．线性回归模型：我们将y a bx ε=++称为线性回归模型．ε称为随机误差． 2．线性回归模型应考虑的问题：I 模型是否合理；II 在合理的情况下，如何求a,b3．线性回归方程：4．相关系数r ：()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑５．相关系数的性质：（１）r ≤１；（２）r 越接近１，x,y 的线性相关程度越强； （３）r 越接近于０，x,y 的线性相关程度越弱． ６．对相关系数进行显著性检验的步骤：（１）提出统计假设0H ：变量x,y 不具有线性相关关系；（２）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1-0.95=0.05与n-2在附录１中查出一个r 的临界值0.05r （其中1-0.95=0.05称为检验水平）； （３）计算样本相关系数r ；（４）作出统计推断：若0.05r r ，则否定0H ，表明有９５％的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若r ≤0.05r ，则没有理由拒绝原来的假设0H ，即就目前的数据而言，没有充分的理由认为y 与x 之间有线性相关关系．。

3.2 回归分析1．线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 称为数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程，其中a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值，其中：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .预习交流1线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 与一次函数y ＝a ＋kx 有何区别？提示：一次函数y ＝a ＋kx 是y 与x 的确定关系，给x 一个值，y 有唯一确定的值与之对应，而线性回归直线方程是y 与x 的相关关系的近似反映，两个数据x ，y 组成的点(x ，y )可能适合线性回归直线方程，也可能不适合．2．相关系数对于x ，y 随机取到的n 对数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )样本，相关系数r 的计算公式为：r ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n (y i －y)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n x 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，r 具有如下性质：(1)|r |≤1；(2)|r |越接近于1，x ，y 的线性程度越高；(3)|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．预习交流2如何利用r 的临界值判断两个变量的线性相关关系？提示：(1)提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在相关性检验的临界值表中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r ；(4)作出统计推断：若|r |＞r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．1．线性回归方程的求法(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程． 思路分析：求回归直线方程必须先对两个变量进行相关性判断，若两个变量存在较大的相关性，则可利用公式求回归直线方程的系数；若两个变量不具备相关关系，则求回归直线方程将变得毫无意义．解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，y 与x 呈相关关系，设回归直线方程为：y ^＝b ^x ＋a ^. 经计算，得x ＝6，y ＝210.4，∑5i ＝1x 2i ＝220，∑5i ＝1x i y i ＝7 790. ∴b ^＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝36.95， a ^＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴回归直线方程为y ^＝36.95x －11.3.某地植被面积x ((1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，则下降的气温大约是多少℃？解：(1)x ＝20＋40＋50＋60＋805＝50，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.∑i ＝15x i y i ＝20×3＋40×4＋50×4＋60×4＋80×5＝1 060，∑i ＝15x 2i ＝202＋402＋502＋602＋802＝14 500. 所以b ^＝1 060－5×50×414 500－5×502＝0.03，a ^＝4－0.03×50＝2.5.故y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.03x ＋2.5.(2)由(1)得：当x ＝200时，y ^＝0.03×200＋2.5＝8.5. 所以植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5 ℃.先作出散点图可直观地判断两个变量的相关关系，线性回归直线方程一定过样本中心(x ，y )．2．相关系数及相关性检验现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x )与入学后的第一次考试中的思路分析：先利用相关系数计算公式r ＝∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n x 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)计算出r ，当|r |越接近于1时，两个变量越具有很强的线性关系．解：由题意得：x ＝110×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y ＝110×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑i ＝110x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ∑i ＝110y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， ∑i ＝1nx i y i ＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，∴r ＝73 796－10×107.8×68(116 584－10×107.82)·(47 384－10×682)≈0.750 6.∵0.750 6接近于1，∴两次数学考试成绩有显著性线性相关关系．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？于是r ＝∑i ＝1x i y i －10x y(∑10i ＝1x 2i －10x 2)(∑10i ＝1y 2i －10y 2)≈0.990 6. ∵0.990 6非常接近于1，∴y 与x 具有显著的线性相关关系．(2)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^的值使Q ＝∑10i ＝1(y i －b ^x i －a ^)2的值最小． b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.267，a ^＝y －b ^x ≈－30.47，即所求的线性回归方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47≈172，即大约冶炼172 min.如果两个变量不具备线性相关关系或者线性相关关系不显著，即使求出线性回归方程也无意义，用于估计和测量的结果也是不可信的．1．已知x ，y则y 与x 的回归直线方程y ＝b x ＋a 必过定点__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 解析：x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝32.y ＝14×(1＋3＋5－a ＋7＋a )＝4，而y ^＝b ^x ＋a ^过(x ，y )． 2．已知x ，y从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝__________. 答案：2.6解析：x ＝14×(0＋1＋3＋4)＝2，y ＝14×(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5.4．5＝0.95×2＋a ^，∴a ^＝2.6.3根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__________．答案：65.5万元解析：x ＝3.5，y ＝4.2，∵4.2＝9.4×3.5＋a ^，∴a ^＝9.1.∴y ^＝9.4x ＋9.1.当x ＝6时，y ^＝65.5(万元)．4．如下表中给出五组数据(x ，y )，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组(－5，－3)答案：三解析：应去掉第三组；画散点图可以发现．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)现需生产20件此零件，预测需用多长时间？解：(1)x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝2＋3＋5＋84＝4.5，b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝(2＋6＋15＋32)－4×2.5×4.5(1＋4＋9＋16)－4×2.5×2.5＝2， a ^＝y －b ^x ＝4.5－2×2.5＝－0.5，所以y ^＝2x －0.5.(2)因为y ^＝2×20－0.5＝39.5(小时)，所以生产20件此零件，预测需用39.5小时．。

课时跟踪训练(十九)　回归分析(本卷共两页)一、填空题1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．2．已知x，y的取值如下表：X0134Y 2.2 4.3 4.8 6.7y∧a∧a∧从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝________.3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是____________．(填序号)5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954b∧a∧b∧根据上表可得线性回归方程y＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．二、解答题6．下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：施肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据为12345价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y1210753已知i y i ＝62，＝16.6.5∑i ＝1x 5∑i ＝1x2i (1)画出散点图；(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩：数学(x )888311792108100112物理(y )949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．答 案1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C ＝2πR ，是一种确定性的函数关系．答案：③④⑤2．解析：∵＝2，＝4.5.又回归直线恒过定点(，)，代入得＝2.6.x － y － x － y －a∧ 答案：2.63．解析：＝0.849×172－85.712＝60.316.y∧ 答案：60.316 kg4．解析：由相关关系定义分析．答案：①③④5．解析：样本中心点是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，a ∧ y － b ∧ x－ 所以线性回归方程是＝9.4x ＋9.1，y∧ 把x ＝6代入得＝65.5.y∧ 答案：65.56．解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．7．解：(1)散点图如下图所示：(2)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，x 15y 15i y i ＝62，＝16.6，5∑i ＝1x5∑i ＝1x2i 所以＝＝＝－11.5.b∧ 5∑i ＝1xiyi －5x － y－5∑i ＝1x 2i －5(x － )262－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－ ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.a ∧ y － b ∧ x－ 故y 对x 的线性回归方程为＝11.5x ＋28.1y∧(3)＝28.1－11.5×1.9＝6.25 t.y∧ 8．解：(1)∵＝100＋＝100；x－－12－17＋17－8＋8＋127＝100＋＝100；y－－6－9＋8－4＋4＋1＋67∴σ＝＝142，σ＝，2数学99472物理2507从而σ>σ，∴物理成绩更稳定．2数学2物理(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，因为x i y i ＝70 497，x ＝70 994，∑7 i ＝1∑7i ＝12i 所以根据回归系数公式得到＝＝＝0.5，b ∧ ∑7 i ＝1xiyi －7x － y －∑7 i ＝1x 2i －7x －2497994＝－ ＝100－0.5×100＝50，a ∧ y － b ∧ x－∴回归直线方程为＝0.5x ＋50.y∧ 当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．。

课下能力提升(十九)回归分析(本卷共两页)一、填空题1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．2．已知x，y从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y∧＝0.95x＋a∧，则a∧＝________．3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是____________．(填序号)56万元时销售额为________万元．二、解答题6(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？7(t)之间的一组数据为已知∑5,i＝1x i y i＝62，∑5,i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．答案1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C ＝2πR ，是一种确定性的函数关系．答案：③④⑤2．解析：∵x －＝2，y －＝4.5.又回归直线恒过定点(x －，y －)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.63．解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg4．解析：由相关关系定义分析． 答案：①③④解析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.56．解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．7.解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，8．解：(1)∵x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴σ2数学＝9947＝142，σ2物理＝2507， 从而σ2数学>σ2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，因为∑7x i y i ＝70 497，∑7x 2i ＝70 994， 所以根据回归系数公式得到当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.。