初中数学鲁教版七年级上册第三章3勾股定理的应用举例练习题-普通用卷

章节测试题1.【答题】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知b=12，c=13，则a＝（）A. 1B. 5C. 10D. 25【答案】B【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，已知下列条件：①∠B=∠C-∠A；②a2＝（b+c）（b-c）；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：4：3；⑤a2：b2：c2=1：2：3．其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【分析】【解答】3.【答题】如图，网格中小正方形的边长为1，点A，B为网格线的交点，则AB的长为（）A. 3B. 5C. 7D. 12【分析】【解答】4.【答题】如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，其中满足S1＝S2+S3的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】【解答】5.【答题】如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm、高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A. 3cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm【分析】【解答】6.【答题】我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深几尺，葭长几尺．根据题意，可设水深OB=x尺，则葭长OA′＝（x+1）尺．下列方程正确的是（）A. x2+52＝（x+1）2B. x2+52＝（x-1）2C. x2+（x+1）2=102D. x2+（x-1）2＝52【答案】A【分析】【解答】7.【答题】底边长为10cm、底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为（）A. 12cmB. 13cmC. 8cmD. 9cm【答案】B【分析】8.【答题】已知a，b，c是三角形的三边长，如果a，b，c满足（a-b）2+（b-8）2+|c-10|=0，那么三角形的形状是（）A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【分析】【解答】9.【答题】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．如果设AC=x，则可列方程为______．【答案】x2+32=（10-x）2【分析】10.【答题】小明将四个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证明过程中用两种方法表示五边形的面积，分别记为S1＝______，S2＝______．【答案】c2+ab,【分析】【解答】11.【答题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为______km2．【答案】7.5【分析】【解答】12.【答题】已知一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是______．【答案】120【分析】【解答】13.【题文】（10分）为整治城市街道汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行流动测速．如图，一辆小汽车在该城市街道上向西直行，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正北方向60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处．已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【答案】【分析】【解答】超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m，AB=100m．由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=1002-602=802．∴BC=80m，∴汽车速度为80÷4=20m/s=72km/h．∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．14.【题文】（12分）在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN 分别是5km，3km，且MN为6km．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．【答案】【分析】【解答】如图，延长AM到A'，使MA'=AM，连接A'B交l于P，过A'作A'C垂直于BN的延长线于点C．∴AM⊥l，∴PA=PA'．∵A'M⊥l，CN⊥l，A'C⊥BC，∴四边形MA'CN是长方形，∴CN=A'M=5km，A'C=MN=6km．∴BC=3+5=8（km）．∵A'C2+BC2=A'B2．∴A'B=10．∴AP+BP=A'P+PB=A'B=10km．答：水管长度最少为10km．15.【题文】（12分）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】【分析】【解答】根据题意得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．16.【题文】（14分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，HB=1.8km．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【答案】【分析】【解答】（1）是．理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9．BC2=9．∴CH2+BH2=BC2．∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路．（2）设AC=x km．在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4．由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-1.8）2+（2.4）2．解这个方程，得x=2.5，答：原来的路线AC的长为2.5 km．17.【答题】下列四组数中不是勾股数的一组是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b＝5，c=7【答案】D【分析】【解答】18.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点D落在点E 处，且CE与AB交于F，那么△ACF的面积为（）A. 12B. 15C. 6D. 10【答案】D【分析】【解答】19.【答题】已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2＝a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【分析】【解答】20.【答题】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】【解答】。

单元评价检测第三章（45分钟 100分）一、选择题(每小题4分，共28分)1.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)92.下列各组数是勾股数的为( )(A)2，4，5 (B)8，15，17 (C)11，13，15 (D)4，5，63.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，则△ABC是( )(A)以a为斜边的直角三角形(B)以b为斜边的直角三角形(C)以c为斜边的直角三角形(D)不是直角三角形4.下列说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c(a>b=c)，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④5.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为( )(A)14 (B)14或4 (C)8 (D)4或86.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )(A)角的平分线上的点到角的两边的距离相等(B)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半(C)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(D)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形7.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么(a+b)2的值是( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)25二、填空题(每小题5分，共25分)8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是________.9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为________mm.10.如图(1)所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC →CD →DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，那么△ABC 的面积是________.11.已知：如图，在四边形中ABCD 中，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积为________.12.如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________cm2.三、解答题(共47分)13.(10分)“道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/h)14. (12分)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积.15.(12分)如图，已知长方体的长AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？16.(13分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，腰AB，AC的长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间.答案解析1.【解析】选 C.因为斜边AB=2，所以AB2=BC2+AC2=4，所以AB2+BC2+AC2=4+4=8.2.【解析】选B.A中22+42=20≠52，故不是；B中82+152=289=172，故是勾股数；C中112+132=290≠152，故不是；D中42+52=41≠62，故不是.3.【解析】选A.因为(a-17)2≥0，|b-15|≥0，(c-8)2≥0.又因为(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，所以a-17=0，b-15=0，c-8=0，所以a=17，b=15，c=8.又因为172=152+82，所以△ABC是以a为斜边的直角三角形.4.【解析】选C.①正确，因为a2+b2=c2，所以(4a)2+(4b)2=(4c)2；②错误，直角三角形两边为3，4，则斜边可能是4或5；③错误，因为122+212≠252，所以不是直角三角形；④正确，因为b=c，c2+b2=2b2=a2，所以a2∶b2∶c2=2∶1∶1.5.【解析】选B.当高AD在△ABC内部时得：CD2=152-122=81，所以CD=9，又BD2=132-122=25，所以BD=5，所以BC=14；当AD在△ABC外部时，易得BC=9-5=4.所以BC的长为14或4.6.【解析】选C.如图，由第一步得△ADE≌△CDE，由全等性质得AD=DC，由第二步得△BDF≌△CDF，由全等的性质得BD=DC，故AD=DC=BD，即DC为直角三角形斜边上的中线，且长度为斜边的一半.7.【解析】选D.每个直角三角形的面积是：(13-1)÷4=3，即12ab=3，则ab=6.又因(a-b)2=1，所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4×6=25.8.【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，因为BC=3，AC=4，所以AB 2=BC 2+AC 2=25=52，则AB 的长是5.答案：59.【解析】如图构造直角△ABC ，因为AC=150-60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)，所以AB 2=AC 2+BC 2=902+1202=1502.故AB=150mm.答案：15010.【解析】由图(2)可知，矩形的宽BC=4，长CD=9-4=5，所以△ABC 的面积为12×5×4=10. 答案：1011.【解析】连接AC ，因为AB ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形，所以AC 2=AB 2+BC 2=12+(34)2 =(54)2，所以AC=54.S △ABC =12AB ·BC=12×1×34=38. 因为在△ACD 中，AC 2+AD 2=(54)2+32=(134)2=CD 2，所以△ACD 是直角三角形.所以S △ACD =12AC ·AD=12×54×3=158.所以四边形ABCD 的面积为S △ABC +S △ACD =38+158=94. 答案：9412.【解析】设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，因为周长为36cm ，则AB+BC+AC=36cm ，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以S △PBQ =12BP ·BQ=12×6×6=18(cm 2). 答案：1813.【解析】在Rt △ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；据勾股定理可得：BC 2=AB 2-AC 2=502-302=402，所以BC=40(m)，所以小汽车的速度为v=40÷2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h).因为72km/h>70km/h ，所以这辆小汽车超速了.14.【解析】由折叠可知△ADE 和△AFE 关于AE 成轴对称，故AF=AD ，EF=DE=DC-CE=8-3=5(cm)，所以CF=4cm.设BF=xcm ，则AF=AD=BC=(x+4)cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得82+x 2=(x+4)2.解得x=6，故BC=10cm. 所以阴影部分的面积为：10×8-2S △ADE =80-50=30cm 2.15.【解析】根据题意，如图所示，可能最短路径有三种情况：(1)沿AA ′，A ′C ′，C ′B ′，B ′B ，BC ，CA 剪开，得图(1)AB ′2=AB 2+BB ′2=(2+1)2+42=25；(2)沿AC ，CC ′，C ′B ′，B ′D ′，D ′A ′，A ′A 剪开，得图(2)AB ′2=AC 2+B ′C 2=22+(4+1)2=4+25=29；(3)沿AD ，DD ′，B ′D ′，C ′B ′，C ′A ′，AA ′剪开，得图(3)AB ′2=AD 2+B ′D 2=12+(4+2)2=1+36=37；综上所述，最短路径应为图(1)所示，且最短路程为5cm.16.【解析】如图，当点P 运动到PA 与腰AC垂直时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD=4.在Rt △ABD 中，易知AD=3cm ，设PD=xcm ，在Rt △APD 中，PA 2=x 2+9，在Rt △PAC 中，PC 2=x 2+9+25，PC=x+4，所以x=94，所以BP=BD-PD=4-94=74(cm)，所以740.25=7(s).所以此时点P 运动的时间为7秒.当P 点运动到PA 与腰AB 垂直时，同理可得BP=254cm ，此时点P 运动的时间为25s.故当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7s或25s.。

章节测试题1.【答题】如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔中心A和B之间的距离为______mm．【答案】40【分析】【解答】2.【答题】如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6，则∠ACD=______．【答案】45°【分析】【解答】3.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．【答案】【分析】【解答】4.【答题】如图，在Rt△ABC中，CD是AB边上的高，则x=______，y=______．【答案】8 17【分析】【解答】5.【题文】蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬行到B点，再由B点爬行到C点（图中小方格的边长为1个单位），蚂蚁爬行的路线成一个直角，你相信吗?请说明理由．【答案】【分析】【解答】如图，连接AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC2=32+42=25．在Rt△BEC与Rt△ABF中，由勾股定理得BC2=12+22=5，AB2=22+42=20，所以AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90°，即蚂蚁爬行的路线成一个直角．6.【题文】如图，从塔吊的顶部A处与其横臂上B，C两处拉两条钢丝线．已知AD长为4m，BD长为3m，BC长为10.5m，则两根拉线的长度各是多少米?【答案】5m，8.5m.【分析】【解答】7.【题文】一家商场为做广告，需要制作一条幅，一端挂在楼顶C处，另一端系在与地面垂直高度为3m的栏杆顶端A处．已知楼高19m，栏杆的底部B离楼的底部D的距离为12m，你能算出这一条幅至少长多少米吗?【答案】20m.【分析】【解答】8.【题文】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P 从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）t为______时，△PBQ是等边三角形；（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形?说明理由．【答案】【分析】【解答】（1）12；（2）由题意得AP=2t，BQ=t，则PB=36-2t．当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴2BQ=BP，即36-2t=2t，解得t=9．当∠QPB=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，即t=2（36-2t），解得．综上，当t=9或时，△PBQ是直角三角形．9.【答题】Rt△ABC中，若∠C＝90°，三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A. a+b=cB. a+b＞cC. a+b＜cD. a2+b2=c2【答案】D【分析】【解答】10.【答题】下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3，0.4，0.5B. 1.5，2，2.5C. 6，8，10D. 5，6，7【答案】C【分析】【解答】11.【答题】在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【分析】【解答】12.【答题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A. 26B. 18C. 20D. 21【答案】C【分析】【解答】13.【答题】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【分析】【解答】14.【答题】如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 8B. 10C. 64D. 136【答案】C【分析】【解答】15.【答题】一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】D【分析】【解答】16.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】【解答】17.【答题】如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 114B. 110C. 100D. 122【答案】A【分析】【解答】18.【答题】如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A. 15B. 11C. 10D. 22【答案】A【分析】【解答】19.【答题】木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面______．（填“合格”或“不合格”）．【答案】合格【分析】【解答】20.【答题】如图，台风过后，希望小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部______米处断裂．【答案】6【分析】【解答】。

第三章勾股定理练习题一、选择题1、在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A、a=a2，b=42，c=52B、a=11、b=12、c=13C、a=9，b=40，c=41D、a:b:c=1：1：22、下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）A、a2-c2=b2B、(a-b)(a+b)+c2=0C、∠A=∠B=∠CD、∠A=2∠B=2∠C3、直角三角形的三边分别加1后，所得到的图形是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法判断4、在直角三角形中，一条边长为3cm，另一条边长为4cm，则第三条边为（）A、5cmB、7cmC、25cmD、5cm或其平方为7cm25、若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（）A、14B、4C、14或4D、以上都不对6、如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A、25B、12.5C、9D、8.57、从长度为5，9，12，13，15，16，20的七条线段中取出三条线段，其中能构成直角三角形的取法有（）A、2种B、3种C、4种D、5种8、如图，直线l上有三个正方形，a、b、c若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A、4B、6C、16D、559、如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形的镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x>y），则以下关系式中不正确的是（）A、x2+y2=49B、x-y=2C、2xy+4=49D、x+y=13二、填空题10、如果三角形是直角三角形，且两条直角边分别为5，12，则此三角形的周长为，面积为。

11、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则高AD为，S△ABC。

12、一个直角三角形的三边长是三个连续偶数，则它的面积为。

13、在△ABC中，AB=AC=2，BC2=8，则△ABC是三角形。

14、小明先向西走8m，又向南走15m后，他距出发点m.。

章节测试题1.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E.则AD的长度为______.【答案】8.2【分析】由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：连接BD，如图所示：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，设AD=BD=x，则CD=AC﹣AD=10﹣x，在Rt△BCD中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2=x2，解得：x=8.2；故答案为：8.2.2.【答题】如图，已知圆柱底面的周长为24cm，高为5cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长______cm.【答案】26【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据"两点之间线段最短"得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为24cm，圆柱高为5cm，∴AB=5cm，BC=BC′=12cm，∴AC2=52+122=169，∴AC=13cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26cm.故答案为：26.3.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为______．【答案】10【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB-BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8-x，在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB-FB=8-3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为10．4.【答题】如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=______．【答案】6【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．【解答】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8-3=5；在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x-4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x-4）2=x2，解得x=10，故BF=x-4=6．5.【答题】直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长为______cm．【答案】25【分析】设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【解答】解：设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，∵直角三角形的一条直角边长是7cm，∴72+（49-x）2=x2，解得x=25cm．故答案为：25．6.【答题】在直角三角形中，斜边比一条直角边长1厘米，另一条直角边长为7厘米，则这个三角形的斜边长是______厘米．【答案】25【分析】设该三角形的斜边是xcm，则其中一条直角边是（x-1）cm，根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设该三角形的斜边是xcm．根据勾股定理，得x2=（x-1）2+49，x=25．则该三角形的斜边是25cm．7.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．【答案】4.8【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8；故答案为：4.8．8.【答题】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______尺．【答案】25【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．9.【答题】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm．【答案】20【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==20（cm）．故答案为：20．【点评】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．10.【答题】如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．【答案】1.3【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==1.3（m）．故答案为：1.3．11.【答题】如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______cm．【答案】13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．12.【答题】如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为______cm．【答案】15π【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；又∵圆柱高为9πcm，∴小长方形的一条边长是3πcm；根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案为：15π．13.【题文】某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方?【答案】10【分析】设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2=BE2+BC2，进而可得出结论．【解答】设AE=x千米，则BE=(25-x)千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2∵CE=DE∴DA2+AE2=BE2+BC2∴152+x2=102+(25-x)2解得x=10答：基地应建在离A站10千米地方.14.【答题】如图，在底面周长为12、高为8的圆柱体上有A，B两点，则A，B两点之间外表面的最短距离是（）A. 10B. 8C. 5D. 4【答案】A【分析】【解答】15.【答题】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A. 6B. 8C. 10D. 14【答案】C【分析】【解答】16.【答题】如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【分析】【解答】17.【答题】一个三角形的三边长分别为15，20，25，则此三角形最长边上的高为（）A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【分析】【解答】18.【题文】例1 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为多少？【答案】见解答【分析】本题是最短路径问题，解答此类问题要先根据题意把立体图形展开成平面图形，然后确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将立体图形展开，再由勾股定理，根据两点之间线段最短进行解答．【解答】三级台阶的平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，则由勾股定理得x2＝202+[（2+3）×3]2=252，解得x＝25．19.【题文】例2 如图，在高为3m、斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯．（1）至少需要地毯多少米？（2）若楼梯宽2m，地毯每平方米30元，那么这块地毯需要花多少元？【答案】见解答.【分析】此题考查勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题．（1）利用勾股定理求出AC的长度，利用平移的知识可得出地毯的长度．（2）求出所需地毯的面积，继而可得出答案．【解答】（1）如图，∠C=90°，AB=5m，BC=3m．在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=16，∴AC=4m．故可得地毯的长度为AC+BC=7m．（2）7×2×30=420（元）．答：这块地毯需要花费420元．20.【答题】如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A. 5cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm 【答案】D【分析】【解答】。

鲁教版七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测卷(附带答案)一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．已知12x y x=-，则232x xy y y xy x --=--（ ） A ．13- B ．-7 C ．73- D ．-52．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（ ）A ．36048060x x =+ B ．36048060x x =- C ．36048060x x =- D ．36048060x x=+ 3．如果把分式232x y x y +-中的x ，y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小12 D ．扩大4倍4．下列由三条线段a 、b 和c 构成的三角形：①1a =，3b =和10c =；①3a k =，4b k =和5(0)c k k =>；①::1:3:2a b c =；①21a m =+，21b m =-和2c m =（m 为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①5．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ） A ．3和4，5 B ．32，42，52 C ．13和14，15 D ．12，15，96．如图，已知点D 是等边三角形ABC 中BC 的中点，BC ＝2，点E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的和最小值为（ ）A ．5B ．7C ．3D ．31+7．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又向东北方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（）9．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S210．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是（）A．13B．14C．15D．1611．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（）A．16米B．15米C．24米D．21米12．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{1x，2x}＝3x－1的解为（）A．1B．2C．1或2D．1或－2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，B船位于A船正东方向5 km处．现在A船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时B船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了h．14．一个长方体的盒子长为4cm，宽为3cm，高为12cm，在里面放一根木条，那么木条最长可以是cm．15．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为米．2且ABC的面积等于2三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．先化简，再求值：22441(1)1-+÷---x xx x x；其中2x=．22．阳光小区计划对面积为21200m的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为2400m区域的改造时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；（2）若甲队每天改造费用是1.2万元，乙队每天改造费用为0.5万元，社区要使这次改造的总费用不超过13万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？23．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？24．（1）112 326a ba b ab++-．（2）111aa-++．（3）2224411121x x xx x x x-++⋅+---．25．请用两种方法证明；①ABC中，若①C＝90°，则a2+b2＝c2．参考答案：。

初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理测试题一、选择题1. 已知三角形三边的长分别为3、2、√5，则该三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A. 5，11，12B. 3，4，5C. 4，6，8D. 6，12，133. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A. a =7，b =24，c =25B. a =√41，b =4，c =5C. a =54，b =1，c =34D. a =40，b =50，c =60；4. 如图，已知圆柱的底面直径BC =6π，高AB =3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为( )A. 3√2B. 3√5C. 6√5D. 6√25. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，46. 下列各组数据不是勾股数的是( )A. 2，3，4B. 3，4，5C. 5，12，13D. 6，8，107. 如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是( )A. 9B. 3√2+6C. 2√10D. 128. 如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A 到点C′所经过的最短路线长为( )A. √85B. √73C. √61D. 以上都不对9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A. 50.5寸B. 52C. 101寸D. 104寸10.如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD()A. 小于2米B. 等于2米C. 大于2米D. 以上都不对11.一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是()A. 5<ℎ≤6B. 6<ℎ≤7C. 5≤ℎ≤6D. 5≤ℎ≤612.如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是()kmA. 4B. 5C. 6D. √2013.如图所示，已知圆柱的底面周长为12，高AB=3，P点位于圆周顶面1处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬3回C点，则小虫爬行的最短路程为()A. 6√2B. 10C. 5+√13D. 5+√7314.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是()cm．A. 35B. 40C. 50D. 45二、填空题15.如图，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1，S2，S3，且S1=25，S2=16，当S3=______时，∠ACB=90°．16.与5、13组成勾股数的第三个数有______个．17.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米．一只小虫在长方体表面从A爬到B的最短路程是______．18.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为______cm．19.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为______尺．三、计算题20.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22−132−142−152−1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示；(2)猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．21.如图所示，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道a上确定点D，使CD⊥a，测得CD=42米，在a上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=45°．(1)求AB的长(结果保留根号)；(2)已知本路段对汽车限速为60千米/小时，若测得某汽车从A到B用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．(参考数据：√3=1.73)22.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．四、解答题23.如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．(1)求OB的长度；(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？24.如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千5m的B处保护(即BD=5m)．(1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了1m，于是他就算出了秋千绳索的长度，你知道他是怎么算的吗？请你试一试．(2)为了保证表演的安全性，要求秋千最大幅度的张角不能超过45°(张角指的是秋千绳索和铅垂方向的夹角)，在(1)小题绳索长度不变的情况下，那么圆柱形场地的底面直径至少应该是多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵22+(√5)2=32， ∴该三角形是直角三角形， 故选：B ．两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形． 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2.【答案】B【解析】 【分析】此题考查勾股定理逆定理的运用，属于基础题．根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 【解答】解：A 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B 、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； C 、因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形； D 、因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选B ．3.【答案】D【解析】解：A 、∵72+242=252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；B 、∵42+52=(√41)2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；C 、∵(34)2+12=(54)2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；D、∵402+502≠602，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；故选：D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4.【答案】D【解析】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3√2，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6√2，故选：D．要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了平面展开−最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．5.【答案】B【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是√1×√42=√42，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是√2×√32=√62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是√2×√22=√42，∵√62>√42，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．6.【答案】A【解析】解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；B、32+42=52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；D、62+82=102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；故选：A．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2= c2，则△ABC是直角三角形．7.【答案】C【解析】解：如图，AB=√(2+4)2+22=2√10，故选：C．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【解答】解：如图所示，路径一：AC′=√92+22=√85；路径二：AC′=√62+52=√61；路径三：AC′=√32+82=√73；∵61<73<85，∴√61为最短路径．故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r，CD=1，AE=r−1，则AB=2r，DE=10，OE=12在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r−1)2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101(寸)，∴AB=101寸，故选：C．10.【答案】A【解析】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA=4米，AB=5米，∴OB=√AB2−OA2=3米，在Rt△COD中，OC=2米，CD=5米，∴OD=√CD2−OC2=√21米，∴BD=OD−OB=(√21−3)≈1.58(米)．故选：A．要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO 的长即可．本题考查了勾股定理的应用，注意此题中竹竿的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于牙刷斜边长度是：x=√122+52=13，∴ℎ的取值范围是：18−13≤ℎ≤18−12，即5≤ℎ≤6．故选：C．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．12.【答案】C【解析】解：设BE=x，则AE=(10−x)km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=42+(10−x)2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=62+x2，由题意可知：DE=CE，所以：62+x2=42+(10−x)2，解得：x=4km．所以，EB的长是4km．所以，EA=10−4=6(km)．故选：C．根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．13.【答案】C【解析】解：如图，小虫爬行的最短路程=AP+PC=√32+42+√22+32=5+√13，故选：C．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．14.【答案】D【解析】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=ℎ，AC=ℎ+30，BC=60，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(ℎ+30)2=ℎ2+602，解得：ℎ=45．故选：D．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15.【答案】9【解析】解：当∠ACB=90°时，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，可得：S3+S2=S1，∴S3=25−16=9，故答案为：9根据勾股定理的逆定理解答即可．本题主要考查了等腰直角三角形及勾股定理，解题的关键是求出S1，S2，S3式子．16.【答案】1【解析】解：当5，13为两条直角边时，则斜边为：√52+132=√194，∵√194不是整数，故5，13，√194不是勾股数；当13为斜边时，则另一条直角边是：√132−52=12，故5，12，13是勾股数，故答案为：1．根据勾股定理和勾股数的定义，可以得到第三个数，然后即可得到与5、13组成勾股数的第三个数有几个．本题考查勾股数，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．17.【答案】25厘米【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√AD2+BD2=√152+202=25cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√AD2+BD2=√102+252=5√29cm；只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴AC=CD+AD=20+10=30cm，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37cm；∵25<5√29<5√37，∴自A至B在长方体表面的连线距离最短是25cm．故答案为：25厘米求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．18.【答案】10AB=4cm，CD=3cm；【解析】解：Rt△ACD中，AC=12根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm；同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm；故拉长后橡皮筋的长度为10cm．故答案为：10．根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为橡皮筋拉长后的距离．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．19.【答案】4.2【解析】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=(10−x)2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故答案为：4.2．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．20.【答案】解：(1)由图表可以得出：∵n=2时，a=22−1，b=4，c=22+1，n=3时，a=32−1，b=2×3，c=32+1，n=4时，a=42−1，b=2×4，c=42+1，…∴a=n2−1，b=2n，c=n2+1．(2)a、b、c为边的三角形时：∵a2+b2=(n2−1)2+4n2=n4+2n2+1，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【解析】(1)利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；(2)利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)在Rt△ACD中，CD=42米，∠CAD=30°，∴AD=CDcot∠CAD=42√3米，在在Rt△BCD中，CD=42米，∠CBD=45°，∴AD=CDcot∠CBD=42米，∴AB=AD−BD=42(√3−1)米；(2)汽车行驶车速=42(√3−1)2=21(√3−1)m/s≈55.19km/ℎ，∵55.19<60，∴这辆车没有超速．【解析】(1)在Rt△ACD中求出AD，在Rt△BCD中求出BD，继而可得出AB的长度；(2)根据速度=路程÷时间，求出速度，继而比较可判断是否超速．本题考查了勾股定理的应用及直角三角形的应用，解答本题的关键是仔细审题，熟练掌握锐角三角函数的定义．22.【答案】解：由题意知，AB=130米，AC=50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=BC2+AC2，可以求得：BC=120米=0.12千米，且6秒=63600时，所以速度为0.1263600=72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．【解析】由题意知，△ABC为直角三角形，且AB是斜边，已知AB，AC根据勾股定理可以求BC，根据BC的长度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度，若速度大于70千米/时，则小汽车超速；若速度小于70千米/时，则小汽车没有超速．本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中准确的求出BC的长度，并计算小汽车的行驶速度是解题的关键．23.【答案】解：(1)在Rt△AOB中，OB=√AB2−AO2=√(52)2−(125)2=0.7(m)； (2)设梯子的A 端下滑到D ，如图，∵OC =0.7+0.8=1.5，∴在Rt △OCD 中，OD =√CD 2−OC 2=√(52)2−(32)2=2(m)， ∴AD =OA −OD =125−2=0.4，∴梯子顶端A 下移0.4m ．【解析】(1)根据勾股定理即可得到结论；(2)设梯子的A 端下滑到D ，如图，求得OC =0.7+0.8=1.5，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．24.【答案】解：(1)如图，连接AB.设OA =OB =xm ．在Rt △ODB 中，∵OB 2=OD 2+BD 2，∴x 2=(x −1)2+52，∴x =13，答：秋千绳索的长度为13m ．(2)由题意，在Rt △OBD 中，∠ODB =90°，OB =13，∠DOB =45°，∴∠DOB =∠DBO =45°，∴BD =OD =OB√2=13√22(m)， ∵OC =OB ，OD ⊥AB ，∴CD =DB ，∴BC =13√2(m)，答：圆柱形场地的底面直径至少应该是13√2m.【解析】(1)如图，连接AB.设OA =OB =xm.在Rt △ODB 中，根据OB 2=OD 2+BD 2，构建方程即可解决问题．(2)由题意，△ODB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，求出BD 即可解决问题．本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

勾股定理的应用举例一、选择题1. 现有两根木棒，长度分别为44cm和55cm，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）cmA. 55B. 44C. 33D.222. 如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A. 45mB. 40mC. 50mD. 56m.3. 如图，已知雕塑底座的AB边长160cm ,AD为120cm,要使AB垂直于AD,BD 的长应为（）A. 180cmB. 200cmC. 220cmD. 240cm4. 如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（）A. 14mB. 13mC.12mD.10m5. 如图，在高为5m,坡长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A. 17mB. 18mC. 25mD. 26m6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（）A. 8B. 5C. 3D. 27. 放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。

已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（）A. 正东方向B. 正南方向C. 正西方向D. 正北方向8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上答案都不对二、填空题9. 一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。

勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，则△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．11.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”)．13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则AD=______ ．15.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2，则BC=______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）16.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．17.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45∘，∠B=∠C=120∘，请求出这块草地面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60∘，∠C=45∘．(1)求∠BAC的度数．(2)若AC=2，求AB的长．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）20.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=4cm.点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．(1)点Q的速度为______cm/s(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. 2410. 61211. 13或√11912. 能13. 414. 16515. √216. 解：连接AC，如图所示：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，则S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．17. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．18. 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如图所示：∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠ABD=90∘．∴CE=12CD=10，∴BE=10√3，∵∠A=45∘，∴AB=BD=2BE=20√3，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=12AB⋅BD+12BD⋅CE =12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)m2．19. 解：(1)∠BAC=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵AC=2，∴AD=AC⋅sin∠C=2×sin45∘=√2；∴AB=ADsin∠B =√2sin60∘=2√63．20. 解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90∘，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．21. 43x【解析】1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，整理得：x2=16，解得：x=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．故选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，∴△ACB≌△DCE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．3. 解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38∘，∠B=52∘，∴∠C=180∘−∠A−∠B=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．故选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)”是关键．4. 解：∵72+242=49+576=625=252．∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．故选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于基础题．5. 解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90∘，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∵∠ABC+∠CAB=90∘，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故选C．先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1= AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4= 3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.也考查了勾股定理和正方形的性质．6. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=5+9=14．∴△ABC的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选D．本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．7. 解：∵a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，∴(a−b)(a2+b2−c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a−b=0成立时，是等腰三角形．当只有a2+b2−c2=0成立时，是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．故选：A．因为a，b，c为三边，根据a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，可找到这三边的数量关系．本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．8. 解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB=√CD2−CH2=√32−12=2√2，∵AD//BC，∠ABC=90∘，∴∠A=90∘，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90∘，∵∠AED+∠ADE=90∘，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE =AEBC=DECE，设BE=x，则AE=2√2−x，即1x =2√2−x2，解得x=√2，∴ADBE =DECE=1√2，∴CE=√2DE，故选：B．过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．本题主要考查了相似三角形的性质及判定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．9. 解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB=√AD2+BD2=√32+42=5，因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即12×12×5−12×3×4=30−6=24．先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解.综合运用勾股定理及其逆定理．10. 解：由勾股定理，AC=√AB2−BC2=√132−52=12(m)．则地毯总长为12+5=17(m)，则地毯的总面积为17×2=34(平方米)，所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．故答案为：612．地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．11. 解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为√52+122=13；②若12为斜边，5和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为√122−52=√119，则第三边长为13或√119；故答案为：13或√119．分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12. 解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900<5000，所以能放进去．故答案是：能．在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．本题考查了勾股定理的应用.解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．13. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=√AB2−BD2=√52−32=4cm．故答案为4．14. 解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：165．根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考查了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=2，∠A=30∘，∴CD=12AC=1，∵在Rt△BCD中，∠B=45∘，∴CD=BD=1，则BC=√CD2+BD2=√2，故答案为：√2．作CD⊥AB，由AC=2、∠A=30∘知CD=1，由∠B=45∘知CD=BD=1，最后由勾股定理可得答案．本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．16. 连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．17. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．18. 易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．本题考查解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决本题的突破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．19. (1)根据三角形的内角和是180∘，用180∘减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．(2)首先根据AC=2，AD=AC⋅sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．20. (1)由于∠PCB=∠BCQ=45∘，故有∠PCQ=90∘．(2)由等腰直角三角形的性质知，AC=4√2，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．21. 解：(1)设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=43x，故答案为：43x；(2)AC=√AB2+BC2=√32+42=5，CD=5−1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm/s，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65(cm/s)，答：点P原来的速度为65cm/s．(1)设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5−1=4，列方程即可得到结论．本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。

初中数学鲁教版七年级上册第三章3勾股定理的应用举例练习题一、选择题1.如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为()A. 10mB. 13mC. 14mD. 8m2.如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为()A. 1mB. 1.1mC. 1.2mD. 1.3m3.一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是()A. 28cmB. 4√29C. 4√17D. 20cm4.如图，高速公路上有A、B两点相距10m，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是()km．A. 4B. 5C. 6D. √205.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距()A. 20海里B. 40海里C. 35海里D. 30海里6.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，∠B=90°，AB=8米，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=()米时，有DC2=AE2+BC2．A. 2B. 2.5C. 3.4D. 3.67.如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是()A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm8.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为()尺．A. 10B. 12C. 13D. 149.我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为A. 29B. 16C. 19D. 4810.如图所示，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面.若知道红莲移动的水平距离为6尺，则此处的水深是()A. 3.5尺B. 4尺C. 4.5尺D. 5尺二、填空题11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问最短路线长为______．12.如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm．13.两艘海警船在某小岛附近进行巡航，其中一艘以12海里/时的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16海里/时的速度离开该岛向东北方向航行，经过1.5小时它们相距____海里．14.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开4米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________．三、计算题15.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．16.如图，已知A、B两艘船同时从港口Q出发，船A以40km/ℎ的速度向东航行；船B以30km/ℎ的速度向北航行，它们离开港口2h后相距多远？四、解答题17.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC、BC可以从工厂C到达公路，经测量AC=600m，BC=800m，AB=1000m，现需要修建一条公路，使工厂C到公路的距离最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建的路的长．18.一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m．(1)这个梯子AC的顶端A距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，又∵OA=5m，OB=12m，∴AB=√OA2+OB2=√52+122=13(m)．故选：B．由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2.【答案】A【解析】解：如图：∵高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.6m，BD=0.8m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=√A′D2+BD2=√0．62+0．82=1(m)．故选：A．将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．3.【答案】D【解析】解：有两种情形：如图1所示：AB=√162+122=20(cm)，如图2所示：AB=√82+202=4√29(cm)．∵20<4√29故爬行的最短路程是20cm．故选：D．把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：设BE=x，则AE=(10−x)km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=42+(10−x)2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=62+x2，由题意可知：DE=CE，所以：62+x2=42+(10−x)2，解得：x=4km．所以，EB的长是4km．故选：A．根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：√322+242=40(海里)．故选B．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．6.【答案】C【解析】解：如图，连接CD，∵∠B=90°，AB=8，BC=6，∴AC=10，假设AE=x，可得EC=10−x．∵正方形DEFH的边长为2，即DE=2，∴DC2=DE2+EC2=22+(10−x)2，AE2+BC2=x2+36，∵DC2=AE2+BC2，∴4+(10−x)2=x2+36，解得：x=3.4，所以，当AE=3.4米时，有DC2=AE2+BC2．故选：C．根据已知得出假设AE=x，可得EC=10−x，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2= 4+(10−x)2，AE2+BC2=x2+36，即可求出x的值．此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，×24=12cm，则SE=BC=12EF=18−1−1=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=√SE2+EF2=√122+162=20(cm)，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD 于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．本题考查了勾股定理、平面展开−最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．8.【答案】C【解析】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，)2=(x+1)2，根据勾股定理得：x2+(102解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺)，答：芦苇长13尺．故选：C．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求得2ab的值是解题的关键．易求得2ab的值和a2+b2的值，根据完全平方公式即可求得(a+ b)2的值，即可解题．【解答】解：∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，ab=13，∴四个直角三角形面积和为16−3=13，即4×12∴2ab=13，又a2+b2=16，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=16+13=29．答：(a+b)2的值为29，故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=ℎ，AC=ℎ+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(ℎ+3)2=ℎ2+62，解得：ℎ=4.5．故选C．11.【答案】5【解析】解：如图1，AC1=√62+12=√37，如图2，AC1=√42+33=5，如图3，AC1=√22+52=√29，故沿长方体的表面爬到对面顶点C处，只有图2最短，其最短路线长为：5，故答案为：5．分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．12.【答案】√73【解析】解：如图所示，∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，∴展开后AC=1cm×8=8cm，BC=3cm，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√73cm．故答案为：√73．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AC=8cm，BC= 3cm，根据勾股定理求出即可．本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．13.【答案】30【解析】【分析】此题主要考查勾股定理的应用.根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知ΔABC 为直角三角形，然后根据勾股定理解答．【解答】解：如图，∵由图可知AC=16×1.5=24海里，AB=12×1.5=18海里，∠BAC=90°在Rt△ABC中，BC=√AC2+AB2=√242+182=30(海里)．故答案为30．m14.【答案】152【解析】【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力.根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+42=(x+1)2，，解得x=152∴AB=15，2m.∴旗杆的高152m.故答案为15215.【答案】解：设AB=AB′=x，由题意可得出：B′E=1.4−0.6=0.8(m)，则AE=AB−0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2=AB2，∴(x−0.8)2+2.42=x2解得：x=4，答：秋千AB的长为4m．【解析】设AB=x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/ℎ的速度向东航行；船B以30km/ℎ的速度向北航行，∴∠AOB=90°，它们离开港口2h后，AO=40×2=80km，BO=30×2=60km，∴AB=√802+602=100km，答：它们离开港口2h后相距100km．【解析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程=速度×时间，再根据勾股定理求解即可．此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．17.【答案】解：过A作CD⊥AB，垂足为D，∵6002+8002=10002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，S△ACB=12AB⋅CD=12AC⋅BC，1 2×600×800=12×1000×DB，解得：BD=480，∴新建的路的长为480m．【解析】过A作CD⊥AB.修建公路CD，则工厂C到公路的距离最短，首先证明△ABC 是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求得CD的长．此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形．18.【答案】解：(1)由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC=6m AC=10m．∴由勾股定理得：AB=√132−52=12(m)，∴梯子的高为12米；(2)由题意可知DE=AC=13m，∵AD=3m，∴BD=12−3=9(m)，在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE=√BE2−BD2=√132−92=2√22(m)，∴CE=BE−BC=(2√22−5)(m)．【解析】(1)直接根据勾股定理求出AB的长即可；(2)先根据梯子的顶端下滑了3米求出AD的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．。

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用练习题【基础训练】1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120 cm,CF=50 cm,那么选取的木条EF的长度至少为( )(A)130 cm (B)150 cm (C)170 cm (D)200 cm2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为mm.5.在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.7.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE ⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【综合训练】8.如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )(A)72 (B)52 (C)80 (D)769.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)310.(2020济宁附中)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点(不与B,C 重合),若线段AD的长为整数,则AD的长度为( )(A)3 (B)3或4或5 (C)3或4 (D)3或511.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面A′D=2米,求小巷的宽度.12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求△AED的面积.13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:(1)根据图形验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.【提高训练】14.如图,在△ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求△ABC的面积.。

章节测试题1.【答题】在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m【答案】B【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】如图：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．BC=5m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得x=12，∴旗杆的高12m．选B.2.【答题】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可。

【解答】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．选C.3.【答题】一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯底端距地面1m，云梯的最大伸长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A.16mB.13mC.14mD.15m【答案】B【分析】根据勾股定理解答即可。

【解答】如图所示，由题意可知AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC=，又消防车的云梯底端距地面1m，所以云梯可以达到该建筑物的最大高度=12+1=13m，选B.4.【答题】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1m），却踩伤了花草（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【分析】根据勾股定理解答即可。

知能提升作业（十八）3 勾股定理的应用举例（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.如图，有一个圆锥，高为8cm，底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )(A)8cm (B)9cm(C)10cm (D)11cm2.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为( )(A)45m (B)40m(C)50m (D)56m3.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )(A)90米(B)100米(C)120米(D)150米二、填空题(每小题4分，共12分)4.在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米.5.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=11cm，BC=9cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所用的时间为________.三、解答题(共26分)7.(8分)一个抽屉内壁的长、宽、高分别是24cm，32cm，9cm，要把一个长42cm 的画轴放入抽屉，能不能放进去(画轴半径忽略不计)，为什么？8.(8分)我国古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，(如图)则这根藤条有几尺？(注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺)【拓展延伸】9.(10分)如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4m，秋千座位离地0.4m，小红荡到最高时，座位离地0.8m.此时小红荡出的水平距离是多少？(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)答案解析1.【解析】选C.如图，点A，点B和圆锥底面圆的圆心O构成一个直角三角形，其中OA=8cm，OB=6cm，则AB2=62+82=102，所以AB=10cm.2.【解析】选 B.因为AO=32m，BO=24m，所以AB2=BO2+AO2=242+322=1600，则AB=40m.3.【解析】选B.如图，构造Rt△ABC，根据勾股定理得AC2=(40+40)2+(70-10)2=10000=1002，即AC=100(米).4.【解析】设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为10+20=30(米).由勾股定理得：x2+202=[30-(x-10)]2，解得x=15(米).故这棵树高15米.答案：155.【解析】如图所示，因为PA=2×(4+2)=12cm，AQ=5cm，所以PQ2=PA2+AQ2=122+52=132，所以PQ=13cm.答案：136.【解析】在Rt△PCQ中，QC2+PC2=102，设P，Q相遇距10cm时所用时间为ts，则(2t)2+(11-t)2=(10)2，解得t=3或1.4.当时间为3s时，PC=8cm，QC=6cm；当时间为1.4s时，PC=9.6cm，QC=2.8cm，均符合题意.答案：3s或1.4 s7.【解析】不能.如图，连接FH，CF，在Rt△FGH中，FH2= FG2+GH2=242+322=402，所以FH=40cm.在Rt△CFH中，CF2= CH2+FH2=92+402=412，所以CF=41cm.因为41cm<42cm，故画轴不能放入抽屉.8.【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=BC2+AC2，因为BC=20，AC=3×7=21，所以AB2=202+212=841，所以AB=29，所以这根藤条有29尺.9.【解析】如图为秋千侧面图，座位最低点为A，最高点为B，则OA=OB=2m，过B点作OA的垂线，垂足为C，则AC=0.8-0.4=0.4(m)，OC=2-0.4=1.6(m)，由勾股定理得：BC2=OB2-OC2= 22-1.62=1.22，所以BC=1.2m，所以2BC=2×1.2=2.4(m)，故小红荡出的水平距离是2.4m.。

知能提升作业（十八）3 勾股定理的应用举例（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.如图，有一个圆锥，高为8cm，底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )(A)8cm (B)9cm(C)10cm (D)11cm2.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为( )(A)45m (B)40m(C)50m (D)56m3.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )(A)90米(B)100米(C)120米(D)150米二、填空题(每小题4分，共12分)4.在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米.5.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=11cm，BC=9cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所用的时间为________.三、解答题(共26分)7.(8分)一个抽屉内壁的长、宽、高分别是24cm，32cm，9cm，要把一个长42cm 的画轴放入抽屉，能不能放进去(画轴半径忽略不计)，为什么？8.(8分)我国古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，(如图)则这根藤条有几尺？(注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺)【拓展延伸】9.(10分)如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4m，秋千座位离地0.4m，小红荡到最高时，座位离地0.8m.此时小红荡出的水平距离是多少？(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)答案解析1.【解析】选C.如图，点A，点B和圆锥底面圆的圆心O构成一个直角三角形，其中OA=8cm，OB=6cm，则AB2=62+82=102，所以AB=10cm.2.【解析】选B.因为AO=32m，BO=24m，所以AB2=BO2+AO2=242+322=1600，则AB=40m.3.【解析】选B.如图，构造Rt△ABC，根据勾股定理得AC2=(40+40)2+(70-10)2=10000=1002，即AC=100(米).4.【解析】设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为10+20=30(米).由勾股定理得：x2+202=[30-(x-10)]2，解得x=15(米).故这棵树高15米.答案：155.【解析】如图所示，因为PA=2×(4+2)=12cm，AQ=5cm，所以PQ2=PA2+AQ2=122+52=132，答案：136.【解析】在Rt△PCQ中，QC2+PC2=102，设P，Q相遇距10cm时所用时间为ts，则(2t)2+(11-t)2=(10)2，解得t=3或1.4.当时间为3s时，PC=8cm，QC=6cm；当时间为1.4s时，PC=9.6cm，QC=2.8cm，均符合题意.答案：3s或1.4 s7.【解析】不能.如图，连接FH，CF，在Rt△FGH中，FH2= FG2+GH2=242+322=402，所以FH=40cm.在Rt△CFH中，CF2= CH2+FH2=92+402=412，故画轴不能放入抽屉.AB2=BC2+AC2，因为BC=20，AC=3×7=21，所以AB2=202+212=841，所以AB=29，所以这根藤条有29尺.9.【解析】如图为秋千侧面图，座位最低点为A，最高点为B，则AC=0.8-0.4=0.4(m)，OC=2-0.4=1.6(m)，由勾股定理得：BC2=OB2-OC2=22-1.62=1.22，所以BC=1.2m，所以2BC=2×1.2=2.4(m)，故小红荡出的水平距离是2.4m.。

章节测试题1.【答题】直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为______．【答案】2.4【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝______．【答案】50【分析】【解答】3.【答题】如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【答案】13【分析】【解答】4.【答题】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为______cm2．【答案】49【分析】【解答】5.【题文】（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15，求a、b的值．【答案】（8分）解：∵a：b＝3：4，∴设a＝3k，b＝4k；（2分）由勾股定理得：（3k）2+（4k）2＝152，（3分）解得k＝3，（2分）∴a＝9，b＝12．（1分）【分析】【解答】6.【题文】（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8，求AB、CD的长．【答案】（8分）解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8∴AB２＝AC２＋BC２（2分）∴AB＝10（2分）∴CD＝==＝4.8（4分）【分析】【解答】7.【题文】（10分）某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？【答案】（10分）解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，据勾股定理可得：BC＝＝＝40（m）（4分）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；（4分）∵72（km/h）＞70（km/h）（1分）∴这辆小汽车超速行驶．（1分）答：这辆小汽车超速了．【分析】【解答】8.【题文】（10分）如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．【答案】（10分）解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2（3分）（2）∵正方形EFMN的面积为64∴c2＝64，即c＝8（2分）∵Rt△ABC的周长为18∴a+b+c＝18∴a+b＝10（2分）则Rt△ABC的面积＝ab＝[（a+b）2-（a2+b2）]＝9．（3分）【分析】【解答】9.【题文】附加题（20分）：我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2＝c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+l（n为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2-n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n）时，a，b，c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．【答案】附加题（20分）：解：（1）证明：（ka）2+（kb）2＝k2（a2+b2）＝k2c2（4分）∴ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数（1分）（2）证明：（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+1（2n2+2n+l）2＝4n4+8n3+8n2+1∴（2n+1）2+（2n2+2n）2＝（2n2+2n+l）2（4分）∴满足以上公式的a，b，c是一组勾股数；（1分）（3）解：[（m2-n2）]2+（mn）2＝m4-m2n2+n2+m2n2＝m4+m2n2+n2＝[（m2+n2）]2＝c2，（6分）∴a，b，c构成一组勾股数；当m＝4，n＝2时，a＝（m2-n2）＝6，b＝mn＝8，c＝（m2+n2）＝10，（3分）∴6，8，10构成一组勾股数．（1分）【分析】【解答】10.【答题】在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若∠A＝90°，则（）A. a2+b2＝c2B. b2+c2＝a2C. c2+a2＝b2D. b+a＝c【答案】B【解答】11.【答题】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【分析】【解答】12.【答题】如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 8B. 10C. 64D. 136【答案】C【分析】【解答】13.【答题】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5B. a：b：c＝5：12：13C. ∠A+∠B＝∠CD. a＝1.5b＝2c＝2.5【分析】【解答】14.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】【解答】15.【答题】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A. 121B. 120C. 90D. 不能确定【答案】C【分析】【解答】16.【答题】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC 斜边上的高CD的长为（）A. cmB. cmC. 6cmD. 8.5cm【答案】A【解答】17.【答题】如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm【答案】C【分析】【解答】18.【答题】如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解答】19.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC 为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】C【分析】【解答】20.【答题】若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为______．【答案】30【分析】【解答】。

勾股定理的应用举例一、选择题（每小题5分，共25分）1．直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（）．A．5 B．1 C．1.2 D．2.42．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）．A．12米B．13 米C．14米D．15米3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（）．A．8 B．10 C．12 D．134．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（）．A．121B．132C．120D．110二、填空题（每小题5分，共40分）6．求下列直角三角形中未知边的长度：b=______ c=______．7．△ABC中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则b=_____．8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．图1 图2 图39．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求．10．如图3，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米．图4 图512．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为______．13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．三、解答题（14题7分，15题8分，16、17各10分）14．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．图615．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积．图716．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的距离?图817．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？图9参考答案：一、1．D 2．A 3．B 4．C 5．B二、6．12，26; 7．7; 8．20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形); 9．5; 10．2 ; 11．370; 12．4; 13．S1+S3=S2．三、14．解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以AB2+1402=5002，解得AB=480．15．解：在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=82+152=172，所以AD=17，所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．16．AB2=OA2+OB2=82+62=100，所以AB=10．17．解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离，所以CE=DE．所以CE2=DE2．即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．因此，阅览室E应建在距A10km处．。

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.3勾股定理应用举例练习题【基础训练】1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线长( )(A)13 cm (B)12 cm (C)10 cm (D)9 cm2.如图,圆柱的高BC为20 cm,底面周长是32 cm,一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食,且PC=BC,则最短路线长为( )(A)20 cm (B)13 cm (C)14 cm (D)18 cm3.如图,AB=1.2 m,BC=0.5 m,AD=CE=0.2 m,则加固小树的木棒DE的长是 m.4.(2020广饶期中)如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为 5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是.5.(2020莱州期末)受台风影响,一棵树在离地面4 m处断裂,树的顶部落在离树根底部3 m 处,这棵树折断前有多高?【综合训练】6.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m的C处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )(A)12 m (B)13 m (C)16 m (D)17 m7.如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为 6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm.8.如图,有一块四边形的绿地,其中 AB=20米,BC=15米,CD=14米,AD=25米,且∠B=90°,求这块绿地的面积是多少平方米?【提高训练】9.如图所示,点A是一个半径为 400 m 的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B,C两个村庄,现要在B,C两村庄之间修一条长为1 000 m的笔直公路将两村连通,经测量得AB=600 m,AC=800 m,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.。