精品 九年级数学 中考集训题 18

课时提升作业十八切线长定理(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2020·河北模拟)如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=4,则☉O的面积为( C )A.πB.2πC.4πD.0.5π2.如图,PA、PB、CD分别切☉O于A、B、E,CD交PA、PB于C、D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为( D )A.50°B.62°C.66°D.70°3.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(6,0),B(0,6),☉O的半径为2(O为坐标原点),点P是直线AB上的一动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为( D )A. B.3 C.3 D.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2020·无锡一模)如图,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6 cm,OP的长为10 cm,则△PDE的周长是16 cm .5.如图,AB,AC为☉O的切线,B,C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO=64°.三、解答题(共30分)6.(8分)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交☉O于点D.(1)求证:PO平分∠APC;(2)连接DB,若∠C=30°,求证DB∥AC.解:(1)如图,连接OB.∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,又OA=OB,∴PO平分∠APC.(2)∵AO⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°.∵PO平分∠APC,∴∠OPC=∠APC=×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°.又OD=OB,∴△ODB是等边三角形.∴∠OBD=60°.∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°.∴∠DBP=∠C.∴DB∥AC.7.(10分)已知☉O中,AC为直径,MA、MB分别切☉O于点A、B.(1)如图①,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;(2)如图②,过点B作BD⊥AC于E,交☉O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小. 略8.(12分)如图,AB是☉O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切☉O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.(1)求证:OD∥BE;(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.略。

中考集训题15一、选择题：1.直线y kx y 与4-=轴相交所成锐角的正切值为21，则k 的值为（）A.21B.2C.±2D.21±2.如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线()0>=x x k y 的图象经过点A ，若S △BEC ＝8，则k 等于()A．8B．16C．24D．23.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于（）A．9B．10C．11D．124.已知整数x 满足52,2,5021+-=+=≤≤x y x y x ,对任意一个x，y 1，y 2中的较大值用m 表示，则m 的最小值是（） A.3 B.5 C.7 D.25.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按滑动到A 为止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按滑动到B 为止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图象的面积记为S,点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点到四个顶点A、B、C、D 的距离均不小于1的概率记为P，则S=()A.(4-π)PB.()P -14C.4PD.(π-1)P6.如图，两圆内切于点P，MN 是外公切线，大圆的弦AB 切小圆于C，延长PC 交大圆于D，PB 交小圆于E，则图中与∠MPD 相等的角共有()A、1个B、2个C、3个D、4个7.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时56AOE ∠=︒，则α的度数是（）A．52︒B．60︒C．72︒D．76︒8.如图，在半径为1的⊙O 上任取一点A，连续以1为半径在⊙O 上截取AB=BC=CD，分别以A、D 为圆心，A 到C 的距离为半径化弧，两弧交于E，以A 为圆心O 到E 的距离为半径化弧，交圆于F，则⊿ACF 的面积是（）A、2B、3C、3224+D、334+9.如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是()A．2367a π-B．2365a π-C．2367a D．2365a 10.已知，如图所示，三个正方形ABCD,CEFG,FJIH 如此摆放，连接AI,且G 点在线段AI 上，连接AE，IE，得到一个△AEI，已知正方形CEFG 的边长为4，则△AEI 的面积为（）A.8B.16C.24D.32二、填空题：11.定义新运算“*”，规则：()()a a b a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，如122*=，()522-*=。

中考基础训练（18）时间:30分钟 你实际使用 分钟班级 姓名 学号 成绩一、精心选一选1．气象台预报“本市明天降水概率是80%”．对此信息，下面的几种说法正确的是（ ） Ａ．本市明天将有80%的地区降水 Ｂ．本市明天将有80%的时间降水 Ｃ．明天肯定下雨 Ｄ．明天降水的可能性比较大 2．若反比例函数ky x=的图象经过点()12-，，则这个函数的图象一定经过点（ ） Ａ．()21--，Ｂ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｃ．()21-，Ｄ．122⎛⎫ ⎪⎝⎭，3．在M B N △中，6BM =，点A ，C ，D 分别在MB ，NB ，MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，且NDC MDA =∠∠，则ABCD 的周长是（ ） Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．12 4．由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（ ）51平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t 为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ）MABCDＮ（第3题图）（图1） （图2）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（第4题图）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（第5题图）6．已知点)A，()00B ，，)C ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，则直线AE对应的函数表达式是（ ）Ａ．3y x =-Ｂ．2y x =-Ｃ．1y =-Ｄ．2y =-二、细心填一填二、填空题（本大题共8小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）． 7．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，海外学习汉语的学生人数已达38200000 人，用科学记数法表示为_____________人（保留3个有效数字）． 8．从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是_____________． 9．钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是_____________．10．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩，的解为21x y =⎧⎨=⎩，，则23a b -的值为_____________．11．将点()31A ，绕原点O 顺时针旋转90到点B ，则点B 的坐标是_____________． 12．如图：已知ABC △中，AB AC =，90BAC =∠，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF =②APE CPF =∠∠③EPF △是等腰直角三角形④EF AP =⑤12ABC AEPF S S =△四边形．当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有______________． 三、解答题13．解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：33213(1)8.x x x x -⎧+⎪⎨⎪--<-⎩，≥ 答案：二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）PB第14题图7．73.8210⨯ 8．1169．20πcm 310．61．(13)-， 12．①②③⑤三、解答题13．（本小题满分6分） 解：解不等式332x x -+≥，得3x ≤， 解不等式13(1)8x x --<-，得2x >-．所以，原不等式组的解集是23x -<≤． 在数轴上表示为。

一、选择题1. 答案：D解析：由题意知，x^2 + 4x + 4 = 0，即 (x + 2)^2 = 0，所以 x = -2。

2. 答案：A解析：由题意知，a + b = 5，a - b = 1，联立方程组解得 a = 3，b = 2。

3. 答案：B解析：由题意知，|x - 2| + |x + 1| = 5，当x ≥ 2 时，x - 2 + x + 1 = 5，解得 x = 3；当 -1 ≤ x < 2 时，2 - x + x + 1 = 5，无解；当 x < -1 时，-x + 2 - x - 1 = 5，解得 x = -1。

综上，x 的值为 -1 或 3。

4. 答案：C解析：由题意知，函数 f(x) = 2x - 3，f(-1) = 2(-1) - 3 = -5。

5. 答案：B解析：由题意知，a + b = 5，a^2 + b^2 = 29，所以 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 29 + 2ab = 25，解得 ab = -2。

二、填空题6. 答案：3解析：由题意知，x^2 - 2x - 8 = 0，因式分解得 (x - 4)(x + 2) = 0，所以 x = 4 或 x = -2。

7. 答案：-3解析：由题意知，a + b = 5，ab = -2，所以 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 25 + 2(-2) = 21，解得 a^2 + b^2 = 21 - 2(-2) = 25，所以 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 25 - 2(-2) = 29，所以 a - b = ±√29。

8. 答案：-1解析：由题意知，x^2 + 2x + 1 = 0，即 (x + 1)^2 = 0，所以 x = -1。

9. 答案：3解析：由题意知，|x - 2| + |x + 1| = 5，当x ≥ 2 时，x - 2 + x + 1 = 5，解得 x = 3；当 -1 ≤ x < 2 时，2 - x + x + 1 = 5，无解；当 x < -1 时，-x + 2 - x - 1 = 5，解得 x = -1。

中考数学专题集训（三角形专题练习）题型一：三角形的基本概念1.一个三角形三个内角的度数之比为1∶1∶3,则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2.若三角形三边长分别为2,x,3,且x为正整数,则这样的三角形个数为( )A.2B.3C.4D.53.如果一个等腰三角形的周长是18,其中一条边长为8,那么这个等腰三角形的腰长为____.4.如图,在△ABC中,AD,AE分别是边BC上的中线与高,AE=4,△ABC的面积为12,则CD的长为____.题型二：三角形的基本线段1.如图,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点,且AE,BF,CD交于点O,它们将△ABC 分成6个面积相等的三角形,则AE,BF,CD一定是△ABC的( )A.高B.中线C.角平分线D.三边的垂直平分线2. 如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,AD的垂直平分线交AC于点E,连接DE,则△CDE的周长为( )A.23B.26C.18D.153. 如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB= __.4. 如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=55°,则∠ADC=____°.5. 如图,已知点P是∠AOB平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为.6.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E,EF⊥BD于点F.求证:∠BEF=∠DEF.题型三：三角形与全等问题1.如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )A.AB=DC,AC=DBB.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠DD.AB=DC,AO=DO2. 如图,∠MON=60°.①以点O为圆心,2 cm长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,C;②分别以A,C为圆心,2 cm长为半径画弧,两弧交于点B;③连接AB,BC,则四边形OABC的面积为( )A.4√3 cm2B.2√3 cm2C.4 cm2D.2 cm23.如图,AB=DE,∠B=∠E,使得△ABC≌△DEC,请你添加一个适当的条件___(填一个即可).4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C 在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为____时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.5.如图,AD是△ABC的中线,延长AD,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,过点C作CF⊥AD于点F.求证:DE=DF.6.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点E是线段BA延长线上的一点,CD为AB 边上的高.(1)直线BF垂直于直线CE,垂足为点F,交线段DC延长线于点G(如图1),求证:AE=CG.(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交线段CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.题型四：三角形与相似问题1.已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A,C重合),以BD为边作正△BDE,边DE与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有______对( )A.6B.5C.4D.32.如图,在▱ABCD中,点E在AD边上,BE交对角线AC于点F,则下列各式错误的是( )A.BFEF =BCAEB.AFBF=EFCFC.BFBE=CFACD.AEAD=AFCF3.如图,∠B=∠D,请你添加一个条件,使得△ABC∽△ADE,这个条件可以是____.4. 在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为6,△BCF的面积为9,△CEF的面积为6,则四边形ADFE的面积为____.5.如图a,在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE交于点G.(1)求证:AF⊥DE;(2)如图b,连接BG,BD,BD交AF于点H.①求证:GB2=GA·GD;②若AB=10,求三角形GBH的面积.题型五：三角形与锐角三角函数1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,则∠A的正切值为( )A.43B.45C.54D.342.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2√5,E是BC的中点,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点F处,连接CF,则cos∠ECF的值为( )A.23B.√104C.√53D.2√553.如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为____米.(精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)4.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界.其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥,两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布,塔高AB为163米,大桥主跨BD的中点为E,记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α,那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为__米.5.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°,塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)6.小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架BCO′后,电脑转到BO′A′位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=28 cm,O′C⊥OB于点C,O′C=14 cm.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236)(1)求∠CBO′的度数.(2)显示屏的顶部A′比原来升高了多少cm?(结果精确到0.1cm)(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O′A′与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O′A′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?(不写过程,只写结果)题型六：三角形的综合问题1.如图,将直角三角形ABC折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,若∠C=90°,∠A=35°,则∠DBC的度数为( )A.40°B.30°C.20°D.10°2.在平面直角坐标系中,已知A(1,2),B(3,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.83.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=4,点D,E 分别是边BC,AB 的中点,将△BDE 绕着点B 旋转,点D,E 旋转后的对应点分别为点D′,E′,当直线D′E′经过点A 时,线段CD′的长为___.4.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,P 是BC 边上一点(点P 不与点B,C 重合),设AP 的长度是t,则t 的取值范围是.5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F 为线段AB 上两动点,且∠ECF=45°,过点E,F 分别作BC,AC 的垂线相交于点M,垂足分别为H,G.现有以下结论:①AB=√2;②当点E 与点B 重合时,MH=12;③AF+BE=EF;④MG·MH=12,其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.46.问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=12AB.探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.(1)如图1,连接AB 边上中线CP,由于CP=12AB,易得结论: ①△ACP 为等边三角形;②BP 与CP 之间的数量关系为________;(2)如图2,点D 是边CB 上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E 在∠ACB 的内部,连接BE.试探究线段BE 与DE 之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明;(3)当点D 为边CB 延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE 与DE 之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论________;拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,√3),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2√3,0)时,求C点的坐标.。

一、选择题1. 答案：C解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，即a² + b² = c²。

其中a和b为直角边，c为斜边。

本题中，a = 3，b = 4，代入公式得c² =3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以c = 5。

2. 答案：B解析：根据不等式的性质，两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变。

本题中，2x > 4，两边同时除以2，得到x > 2。

3. 答案：D解析：平行四边形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。

所以四边形ABCD是平行四边形。

4. 答案：A解析：根据圆的性质，圆的周长是直径的π倍，即C = πd。

本题中，直径d = 8，所以周长C = π × 8 = 8π。

5. 答案：C解析：根据一元二次方程的解法，首先将方程两边同时乘以x-2，得到x² - 2x - 8 = 0。

然后因式分解得到(x - 4)(x + 2) = 0，解得x = 4或x = -2。

二、填空题6. 答案：-3解析：根据有理数的加法法则，-2 + (-5) = -2 - 5 = -7，所以-2 + (-5)的相反数是-(-7) = 7。

7. 答案：3解析：根据二次根式的性质，√(4x²) = 2|x|。

当x > 0时，|x| = x，所以√(4x²) = 2x。

本题中，√(4x²) = 2x = 3，解得x = 1.5。

8. 答案：60°解析：根据三角形的内角和定理，三角形内角和为180°。

本题中，已知∠A = 45°，∠B = 30°，所以∠C = 180° - 45° - 30° = 105°。

9. 答案：4解析：根据整式的乘法法则，(2x - 3)(x + 1) = 2x² + 2x - 3x - 3 = 2x² - x - 3。

精华培训学校初三特训班数学测试题〔测试时间30分钟〕姓名 班级 学号 分数一、填空题〔2分×8＝16分〕1．点〔3,－2〕关于原点对称点的坐标是. 2．函数221x y x +=-中自变量x 的取值范围是.3．直线y ＝kx ＋b 经过〔2,0〕和〔0,－1〕两点,那么此直线解析式为 . 4．抛物线213(1)2y x x m =-++与y 轴交点的纵坐标是5,那么m ＝.5．假设ab ＞0,bc ＜0,那么直线b cy x a a=--过第象限.6．一条弧所对的圆心角是60°,那么这条弧所对的圆周角等于.7．圆的直径为4cm,一条弦长为2cm,那么此弦与它所对的弧组成的弓形的高为 cm. 8．圆内接四边形ABCD ,∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶7,那么∠D ＝°.二、选择题〔2分×5＝10分〕1．以下函数中,y 随x 的增大而减小的函数是〔 〕 〔A 〕13y x =〔B 〕235y x =--〔C 〕12y x =-+ 〔D 〕22(0)y x x =>2．变量y 与x 之间的函数图象如下图,它们之间的函数解析式是〔 〕〔A 〕22(30)3y x x =-+-≤≤〔B 〕22(30)3y x x =---<<〔C 〕22(30)3y x x =--≤< 〔D 〕22(30)3y x x =---≤≤3．三角形的外心是三角形的三条〔 〕的交点. 〔A 〕高线〔B 〕中线〔C 〕角平分线〔D 〕边的中垂线4．圆的直径长5cm,假设直线l 与圆相交,设圆心到直线l 的距离为d ,那么〔 〕 〔A 〕d ＞5cm〔B 〕d ＜5cm〔C 〕d ＜2.5cm〔D 〕d ＞2.5cm5．如图,等边△ABC 内接于圆O ,D 是AB 弧上一点,AB 与CD 交于E ,连结BD ,那么图中等于60°的角共有〔 〕个. 〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕6三、证实题〔4分〕如图,△ABC 内接于圆O ,AE 是圆O 的直径,AD ⊥BC 于D , 求证：∠BAE ＝∠DAC精华培训学校初三特训班数学测试题答案一、1．〔－3,2〕2．122x x≥-≠且3．112y x=-4．m＝4 5．一、二、四象限6．30°7．22+-或8．120°<注>第7小题答出一个给一半分二、1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 三、证实：连结BE∵AE是圆O的直径∴∠ABE＝90°∴∠BAE＋∠E＝90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC＋∠C＝90°1分而∠E＝∠C 1分∴∠BAE＝∠DAC 1分。

九年级数学中考专题--图形的旋转精炼卷1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长A1A2（结果保留π）．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上.(1)求n的值；(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.3.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．4.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．5.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC．（1）特殊情形：如图1,当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．6.（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．7.在平面直角坐标系中,O为原点,点B在x轴的正半轴上,D（0,8）,将矩形OBCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A,若OD=2CP,求点A的坐标．（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点,求∠AOB的度数．（3）如图②，在（1）的条件下,擦去折痕AO,线段AP,连接BP,动点M在线段OP上（点M与P，O不重合）,动点N在线段OB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M，N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化？若变化,说明理由；若不变,求出线段EF 的长度（直接写出结果即可）8.如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．9.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为 (直接写答案)；（3）求在旋转过程中线段AB ，OB扫过的图形的面积和．10.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是；（2）旋转角是度；（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．11.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．12.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．13.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ(0°<ɑ<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求ɑ的值．14.在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．15.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．参考答案1.解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长==π．2.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；(2)四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形.3.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．4.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．5.解：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．6.解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．7.解：（1）∵D（0，8），∴OD=BC=8，∵OD=2CP，∴CP=4，设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：4=（x﹣4）：AC，则AC==3，∴AB=5，∴点A（10，5）；（2）∵点 P 恰好是CD边的中点，设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+y2=（2y）2，解得：y=，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：y=y：AC，则AC==，∴AB=8﹣=，∵OB=2y=，∴tan∠AOB===，∴∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=4，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．8.9.解：（1）△A1OB1如下图所示；（2）由勾股定理得，BO==，所以，点B所经过的路径长==π；（3）由勾股定理得，OA==，∵AB所扫过的面积= S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB=S扇形A1OA==π．10.解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，因为∠ADE′=∠ADF=90°，所以E'、D、F三点共线，又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．11.证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．12.由∠BAC=120°知∠ABC＋∠ACB=60°.又∵∠ABD=∠ABC＋∠CBD=∠DCE，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB＋∠BCD＋∠DCE=∠ACB＋∠BCD＋∠ABC＋∠CBD=180°，即点A．C、E在一条直线上．又∵AD=ED，∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC＋CE=AC＋AB=5.13.(1)30°-0.5α.(2)△ABE为等边三角形．证明：连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°.∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°－∠DBE=∠EBC=30°－0.5α.又∵BD=CD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD=CD.又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC=0.5α.∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°－(30°－0.5α)－150°=0.5α.∴∠BAD=∠BEC.在△ABD与△EBC中，△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB=BE.又∵∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形．(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°.∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD=CE=BC.∵∠BCE=150°，∴∠EBC=15°.又∵∠EBC=30°－0.5α=15°，∴α=30°14.解：15.（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．。

中考集训题19一、选择题：1.已知，如图所示，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 是MN 上任意一点，CD ，BD 的延长线分别与AB 、AC 交于F 、E ，若611=+BFCE ,则等边△ABC 的边长为（ ） A.81B.41C.21D.12.如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：)50(535≤≤-=x x d ，则结论：（1）AF=2;(2)BF=4;(3)OA=5;(4)OB=3,正确结论的序号是（ ）A.(1)(2)(3)B. (1)(3)C.(1)(2)(4)D.(3)(4)3.人民币一元硬币如图所示，要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的一元硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币外切，且相邻的硬币也外切，则这枚硬币周围最多可摆放（ ） A. 4枚硬币 B.5枚硬币 C.6枚硬币 D. 8枚硬币4.同学们还记得“乌鸦喝水”的故事吧，在一片树林里有一只丢弃的圆柱体玻璃瓶中盛了一点水，由于瓶口直径D cm 较小，水又比较少，只有h cm 高，而瓶高有H cm （H >h ）乌鸦根本喝不到水，那么乌鸦至少需叨（ ）3cm 的碎石子才能喝到水（与瓶口持平）又不至于溢出来。

A.2()2D H h -π B.4)(2h H D-π C.H D 2π D.h D 2π5.有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=4cm ，上面有一个以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，如图1。

将它沿DE 折叠，是A 点落在BC 上，如图2。

这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ） A ．（π－32）cm 2B ．（21π＋3）cm 2C ．（34π－3）cm 2D ．（32π＋3）cm 26.如图：已知P 是线段AB 上的动点（P 不与B A ，重合），分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP ∆和等边PFB ∆，连结EF ，设EF 的中点为G ；点D C 、在线段AB 上且BD AC =，当点P 从点C 运动到点D 时，设点G 到直线AB 的距离为y ，则能表示y 与P 点移动的时间x 之间函数关系的大致图象是( )7.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将期中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 1答案：C解析：绝对值表示一个数与0的距离，所以绝对值最小的数是0。

2. 已知等腰三角形底边长为8，腰长为10，那么这个三角形的面积是（）A. 32B. 40C. 48D. 64答案：B解析：等腰三角形的面积可以用公式 S = 1/2 底高来计算。

由于是等腰三角形，所以高是底边上的高，即垂直于底边且通过顶点的线段。

根据勾股定理，高可以通过腰长计算得出：高 = √(腰长^2 - (底边长/2)^2) = √(10^2 - 4^2) =√(100 - 16) = √84。

因此，面积S = 1/2 8 √84 = 4 √84。

简化后得到 S = 40。

3. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x - 3C. y = √xD. y = 3/x答案：B解析：一次函数的一般形式是 y = ax + b，其中a和b是常数，且a不等于0。

在选项中，只有B符合一次函数的定义。

4. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,4)，那么线段AB的中点坐标是（）A. (3/2, 7/2)B. (3/2, 1/2)C. (1/2, 7/2)D. (1/2, 1/2)答案：A解析：线段AB的中点坐标可以通过取两个端点坐标的平均值来得到。

即中点坐标为 [(2 + (-1))/2, (3 + 4)/2] = [1/2, 7/2]。

5. 下列方程中，有无数个解的是（）A. x + 2 = 0B. 2x - 3 = 0C. x^2 - 1 = 0D. x^2 + x - 6 = 0答案：C解析：方程x^2 - 1 = 0可以分解为(x - 1)(x + 1) = 0，解得x = 1或x = -1。

因为x可以取无数个值，所以这个方程有无数个解。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x + y = 5，那么x^2 + y^2 = __________。

九年级数学暑期集训基础练习（18）20190731 预习检测1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B=20°，则∠C的大小为（）A．20°B．25°C．40°D．50°第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系x O y中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）3．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．67.5°第3题第4题4．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，若以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.65．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC第5题第6题6．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数（单位：cm）如图所示，那么该圆的半径为cm．7．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为2.5，CD=4，则弦AC的长为．牛刀小试1．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，弦AC平分∠BAD且交BD于点F．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（）A．97°B．104°C．116°D．142°第1题第2题2．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB 的最小值是（）A B C．3 D．2第3题第4题4．如图，线段AB是⊙O的一条直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．5．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D，AC=2，，则OD的长度为．第5题第6题6．如图，射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以1cm/s 的速度向右移动，经过t s ，以点P 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值： ．7．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）求证：AF=CF ；（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA 的长．参考答案预习检测1-5 DCDBC6．2567．牛刀小试1-3 CBB4．50°5．16．2t =或37t ≤≤或8t =7．（1）（2）证明略；（3）。

压轴题集训一．选择题（共3 小题）1.如图，已知直线a∥b，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB= ．试在直线a 上找一点M，在直线b 上找一点N，满足MN⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．122.如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）3.如图，在⊙O 上有定点C 和动点P，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC= ，则CQ 的最大值是（）A．5 B．C．D．二．填空题（共11 小题）4.如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB，AC 于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．5.如图，直线y=﹣与x 轴、y 轴分别交于点A、B；点Q 是以C（0，﹣1）为圆心、1 为半径的圆上一动点，过Q 点的切线交线段AB 于点P，则线段PQ 的最小值是．6.如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC⊥MN 于点C，过B 作BD⊥MN 于点D，P 为DC 上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB 的最小值是．7.如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．8.如图，∠AOB=30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP+PQ+QN 的最小值是．9.如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为2 和1，P、E、F 分别是边CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是．10.如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．11.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．12.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= ．13.如图，直线l 与半径为4 的⊙O 相切于点A，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是．14.如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E、F 分别是AC、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G、H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为．三．解答题（共1 小题）15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于D，P 是上的一个动点，连接AP，求AP 的最小值．压轴题集训参考答案与试题解析一．选择题（共3 小题）1.如图，已知直线a∥b，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB= ．试在直线a 上找一点M，在直线b 上找一点N，满足MN⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b 交于点N，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M，连接AM，过点B 作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′=MN=4，∴四边形AA′NM 是平行四边形，∴AM=A′N．由于AM+MN+NB 要最小，且MN 固定为4，所以AM+NB 最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB 的最小值为A′B．∵AE=2+3+4=9，AB= ，∴BE= =，∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，∴A′B==8所以AM+NB 的最小值为8．故选：B．2.如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b，把A、B 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b= ，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+ ，当y=0 时，x=，即P（，0），故选：D．3.如图，在⊙O 上有定点C 和动点P，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC= ，则CQ 的最大值是（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC= ，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ= •PC=PC，当PC 最大时，CQ 最大，即PC 为⊙O 的直径时，CQ 最大，此时CQ=×5=．故选：D．二．填空题（共11 小题）4.如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB，AC 于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，如图，连接OE，OF，过O 点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH 中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=．故答案为：．5.如图，直线y=﹣与x 轴、y 轴分别交于点A、B；点Q 是以C（0，﹣1）为圆心、1 为半径的圆上一动点，过Q 点的切线交线段AB 于点P，则线段PQ 的最小值是．【解答】解：过点C 作CP⊥直线AB 于点P，过点P 作⊙C 的切线PQ，切点为Q，此时PQ 最小，连接CQ，如图所示．当x=0 时，y=3，∴点B 的坐标为（0，3）；当y=0 时，x=4，∴点A 的坐标为（4，0）．∴OA=4，OB=3，∴AB= =5，∴sinB= =．∵C（0，﹣1），∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴CP=BC•sinB=．∵PQ 为⊙C 的切线，∴在Rt△CQP 中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ= =．故答案为：．6.如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC⊥MN 于点C，过B 作BD⊥MN 于点D，P 为DC 上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB 的最小值是14 ．【解答】解：∵MN=20，∴⊙O 的半径=10，连接OA、OB，在Rt△OBD 中，OB=10，BD=6，∴OD= ==8；同理，在Rt△AOC 中，OA=10，AC=8，∴OC= ==6，∴CD=8+6=14，作点B 关于MN 的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB 的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E，在Rt△AB′E中，∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，∴AB′===14 ．故答案为：14．7.如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【解答】解：如图 1 所示：作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D 是AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴=，即=，BP= ，CP=BC﹣BP=3﹣=，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=．故答案为：．8.如图，∠AOB=30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP+PQ+QN 的最小值是．【解答】解：作M 关于OB 的对称点M′，作N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．9.如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为2 和1，P、E、F 分别是边CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是 3 ．【解答】解：作A 点关于直线DC 的对称点A′，连接BD，DA′，可得A′A⊥DC，则∠BAA′=90°，故∠A′=30°，则∠ABA′=60°，∠ADN=∠A′DN=60°，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADB+∠ADA′=180°，∴A′，D，B 在一条直线上，由题意可得出：此时P 与D 重合，E 点在AD 上，F 在BD 上，此时PE+PF 最小，∵菱形ABCD 中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF 的最小值是3．故答案为：3．10.如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′M N，连接A′C，则A′C 长度的最小值是﹣1 ．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF⊥DC 于点F，∵在边长为 2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD= MD= ，∴FM=DM×cos30°= ，∴MC= =，∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．故答案为：﹣1．11.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是 1 ．【解答】解：在Rt△ABC 中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，当A、B′、C 三点在一条直线上时，B′A 有最小值，∴B′A min=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．12.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= ．【解答】解：将N 点向左平移2 单位与P 重合，点B 向左平移2 单位到B′（2，﹣1），作B′关于x 轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0 时，x=，即P（，0），a=．故答案填：．13.如图，直线l 与半径为4 的⊙O 相切于点A，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB 是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴，∵PA=x，PB=y，半径为4，∴=，∴y= x2，∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4 时，x﹣y 有最大值是2，故答案为：2．14.如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E、F 分别是AC、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G、H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为10.5 ．【解答】解：当GH 为⊙O 的直径时，GE+FH 有最大值．当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC=14．∵∠ABC 是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴AB= AC=7．∵点E、F 分别为AC、BC 的中点，∴EF= AB=3.5，∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．故答案为：10.5．三．解答题（共1 小题）15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于D，P 是上的一个动点，连接AP，求AP 的最小值．【解答】解：找到BC 的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2 是AP 的最小值，∵AE= =，P2E=1，∴AP2= ﹣1．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 若方程 2x-3=5 的解为 x=a，则 a 的值为（）A. 2B. 4C. 1D. -12. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，若 a1=3，d=2，则 a6 的值为（）A. 9B. 11C. 13D. 153. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^54. 在直角坐标系中，点 P（-2，3）关于直线 y=x 的对称点为（）A. （-2，3）B. （3，-2）C. （2，-3）D. （-3，2）5. 若复数 z 满足 |z+1|=|z-1|，则 z 在复平面上的几何意义是（）A. z 在实轴上B. z 在虚轴上C. z 在直线 y=x 上D. z 在直线 y=-x 上6. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数 x，x^2≥0B. 对于任意实数 x，x^3≥0C. 对于任意实数 x，x^4≥0D. 对于任意实数 x，x^5≥07. 在三角形 ABC 中，若角 A、B、C 的度数分别为60°、45°、75°，则角 A、B、C 所对的边分别为（）A. 1、√2、2B. √3、1、2C. √2、1、√3D. 2、√2、√38. 若等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，若 a1=2，q=1/2，则 a4 的值为（）A. 2B. 1C. 1/2D. 1/49. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^410. 在直角坐标系中，点 P（2，-3）关于原点的对称点为（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （-2，-3）D. （2，3）二、填空题（每题3分，共30分）11. 若 a=2，b=-3，则 |a+b|=__________。

12. 若x=√3，则 x^2=__________。

13. 若等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，则 a10=__________。