精讲分式的概念与基本性质 (2)

八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

分式教案一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学八年级下册第22章《分式》。

本节课主要讲解分式的概念、分式的基本性质、分式的运算以及分式方程的解法。

二、教学目标1. 理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2. 学会分式的运算方法，提高运算能力。

3. 学会解分式方程，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：分式的概念、分式的基本性质、分式的运算方法、分式方程的解法。

难点：分式方程的解法。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师出示实际问题：“甲、乙两地相距100公里，甲地有一辆汽车以每小时40公里的速度向乙地行驶，同时乙地有一辆汽车以每小时60公里的速度向甲地行驶。

问两辆汽车相遇时，它们之间的距离是多少？”学生尝试解决实际问题，引出分式的概念。

2. 自主学习：学生自主阅读教材，理解分式的概念，并尝试解决教材中的例题。

3. 课堂讲解：教师讲解分式的概念，强调分式的分子、分母以及分式的值。

4. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的概念。

5. 分式的基本性质：教师讲解分式的基本性质，引导学生发现分式的基本性质。

6. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的基本性质。

7. 分式的运算：教师讲解分式的运算方法，引导学生发现分式的运算规律。

8. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的运算方法。

9. 分式方程的解法：教师讲解分式方程的解法，引导学生发现解分式方程的方法。

10. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固解分式方程的方法。

六、板书设计板书设计如下：分式的概念：分子分母分式的值分式的基本性质：分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变。

分式的运算：加减法：通分后相加（减）乘除法：分子相乘（除），分母相乘（除）分式方程的解法：去分母求解七、作业设计1. 请解释分式的概念，并给出一个例子。

第二讲分式的概念、性质及运算（二）分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等。

典型例题1．已知0199152=--xx，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-xxxx的值为( D )A．1996 B．1997 C．1998 D．19992．已知a、b、c、d都是正数，且dcba<，给出下列4个不等式：①dccbaa+>+；②dccbaa+<+；③dcdbab+>+；④dcdbab+<+，其中正确的是( D )A．①③ B．①④ C．②④ D．②③3.如果11=+ba，12=+cb，那么ac2+等于( B )A．1 B．2 C．3 D．4思路点拨把c、a用b的代效式表示．显然0a≠且1b≠，则由1bab-=，得221ba b=-，由21bc=-，得21cb=-，于是22ca+=。

选B4. 已知yxyxyxyxyx---+=-2232,311则分式的值为__________．解法一：∵311=-yx，∴ y－x＝3xy⇒x－y＝－3xy．∴原式＝xyyxxyyx2)(3)(2--+-53233)3(2=--+-=xyxyxyxy．解法二：将分子、分母同除以xy（≠0）．∴原式＝223112y xy x+---1132()112()x yx y--=---3233235-⨯==--分析：∵填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解．解法三：取x＝21，y＝－1，)31211(=+=-yx．∴原式1123(1)2(1)22112(1)(1)22⨯+⨯⨯--⨯-=-⨯⨯---3/23.5/25==注意：特殊值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧．取特殊值要注意满足条件等式，其原则是要便于计算．5.已知实数b a 与满足等式22224422121996a b a b a b a b -==-+，则 1134 解：由224412a b a b=-得422420a a b b --=得222a b =，220a b +=.后略 6.若a 为整数，且分式()()()()211812624422332-+-+--+--+-a a a a a a a a a a 的值是正整数，则a 的值等于 1 或等于 -1 解：()()()()211812624422332-+-+--+--+-a a a a a a a a a a 332122a a a a -+=---32a =- 21,3a -=±±，有1,1,3,5a =-，又20,2a a -≥≤。

8 、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。

在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。

【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。

例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。

解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。

∴当x =5时，分式55||+-x x 的值为零。

例3. 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4 分析： 113113a b b a-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。

例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y2222323-++-的值。

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。

第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。

① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。

3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。

4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。

5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。

二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。

3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。

3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。

做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。

分式的概念及基本性质-（教师版）课题：分式的概念及基本性质知识精要：⼀、分式的定义两个整式A 、B 相除，即A B ÷时，可以表⽰为A B ．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式．分式有意义的条件：分母不等于零；分式⽆意义的条件：分母等于零；分式值为零的条件：分母不等于零且分⼦等于零．⼆、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分⼦和分母都乘以（或除以）同⼀个不为零的整式，分式的值不变，即A A M A MB B M B M÷==÷（其中M 、N 为整式，且0B ≠，0M ≠，0N ≠）． 2、约分和通分（1）约分：把⼀个分式的分⼦与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．（2）通分：将⼏个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分． 3、最简分式：如果⼀个分式的分⼦与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式． 4、化简分式的基本步骤：化简分式时，如果分式的分⼦和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最⼤公因数、相同因式的最低次幂．如果分⼦、分母都是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式．精解名题：例1、在有理式22a ，2x y π+，5x a -，234a -，1()5x y -中，分式的个数为（） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．例2、若分式11x x -+的值为0，则x 的值为（） A ．1； B ．1-； C ．1±； D ．0．例3、下列分式2b a ，x y x y +-，22()x y xy y ++，22m nm n +-中，是最简分式的有（）个A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．x y+中的x 、y 都扩⼤到原来的3倍，那么分式的值为（） A ．扩⼤到原来的3倍； B ．缩⼩⼤到原来的13； C ．扩⼤到原来的1 6； D ．不变．例5、若0x <，则22x x --的值为（） A ．1-； B ．0； C ．1； D ．2．例6、若分式1xx -有意义，则x 的取值范围为（）A ．1x ≠；B ．0x >且1x ≠；C ．0x ≠；D ．x ≥0且1x ≠．．例7、下列各式从左到右变形正确的是（）A ．132(1)23x y x y ++=++； B ．0.020.3230.040.545a b a bc d c d --=++； C ．b a a b c b b c --=--； D ．22m n m n c d c d--=++．例8、化简222m n m mn-+的结果是（）A ．2m n m -； B ．m n m -； C ．m n m +； D ．m nm n-+．例9、若1x =-时，分式211x x +-的值为（）A ．0；B ．1；C ．1-；D ．⽆意义．例11、不改变分式的值，使分式115101139()a b a b c c ---=-；②x y x y x x -+-=-；③a b a b c c -++=-；④m n m nm m---=-中，成⽴的是（）A ．①②；B ．③④；C ．①③；D ．②④．例13、分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例14、不改变分式的值，把分式235100.40.5x x +-中的分⼦、分母的各项系数化为整数，可得（） A ．2345x x +-； B ．2325x x +-； C ．2345x x --； D ．4345x x +-．例15、分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（）A ．分式的值为零；B ．分式⽆意义；C ．若13a ≠-时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零．例16、不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分⼦、分母最⾼次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++-； B ．2332523x x x x -++-；C ．2332523x x x x +--+；D ．2332523x x x x ---+．例17、下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+， 1x yx y +-，是分式的有：21a a a -++有意义的条件为______．例19、( )a b a bc d --+=-．例20、当x =________时，分式12x +的值为正数．例21、当m =_________时，2(1)(2)32m m m m -+-+的值为0．例22、若分式313x x-=--，则x 的取值范围是_________．例23、若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于______．例24、分式2231x x x +--的值为0，则x 的取值为__________；当x __________时，分式2545x x x ---的值为零．例25、⼀件商品售价x 元，利润率为%a （0a >），则这中商品每件的成本是_____元．例26、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44x x -+；（2）232x x +；（3）221x -；（4）63xx --；（5）11x x-．x x -+；（2）224x x --；（3）222356x x x x ----．例28、（1）当x 有何值时，分式48x-为正；（2）当x 有何值时，分式253(1)xx -+-为负；（3）当x 有何值时，分式23x x -+为⾮负数．例29、不改变分式的值，把分⼦、分母的系数化为整数．（1）12231134x y x y -+；（2）0.20.030.04a ba b-+．例30、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的⾸项的符号变为正号．（1）x yx y-+--；（2）aa b---；（3）a b---．例32、已知：115x y+=，求2322x xy y x xy y -+++的值．例33、已知：12x x -=，求221例34、若21(23)0x y x -++-=，求142x y-的值．例35、已知20y x -=，求代数式22222222()()()()x y x xy y x xy y x y --+++-的值？例36、已知34y x =，求2222352235x xy y x xy y -++-的值．例37、对于分式3x m x n +-，当3x =时，分式的值为0，当1x =时，分式⽆意义，求2m n m n+-的值．例38、x 取何值时，分式2661x x +-的值是正整数？例39、⽼师布置⼀道作业题：当x 为何值时，分式211a a --⽆意义？⼩刚解法如下：因为21111(1)(1)1a a a a a a --==--++，由10a +=，得1a =-．所以当1a =-时，分式⽆意义．试问，⼩刚的解法是否有错误？如果有，请你帮助⼩刚找出错误的原因并改正．例40、在学完分式的基本性质后，王⽼师让同桌之间交流⼀下，看看对这部分知识的理解情况，下⾯是两位同学的对话：⼩亮说：“1y x xy =”，⼩红说：“22b ab a=” ．它们互相批评对⽅不对，于是请邻座⼩华评判，她说他们两⼈都对．聪明的同学们，请你们给判断⼀下他们三⼈谁对谁错．巩固练习：1、根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（） A ．a a b --； B ．a a b +； C ．a a b --； D ．aa b+．x y x yx y x y-+-=--+；B．x y x yx y x y-+--=--；C．x y x yx y x y-++=---；D．x y x yx y x y-+-=-+．3、下列各式中，正确的是（）A．a m ab m b+=+；B．0a ba b1111ab bac c--=--；D．221x yx y x y-=-+．4、下列分式变形中正确的是（）A．2a ab ab=；B．2212111a a aba a+++=--=；D．211b aba a++=．5、不改变分式的值，分式22923aa a---可变形为（）A．31aa++；B．31aa--a+-；D．31aa-+6、当x有何值时，下列分式有意义：（1）163x-；（2）23(1)1xx-++；（3）111x+.7、当x有何值时，下列分式的值为零：xx--+；（2）222565xx x--+.8、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的系数化为整数.（1）0.030.20.080.5x yx y-+；（2）30.4511410a ba b+-.9、已知：13x x+=，求2421x x x ++的值.310x x ++=，求221x x +的值．11、已知：113a b -=，求232a ab bb ab a+---的值.12、若2226100a a b b ++-+=，求235a ba b-+的值.13、如果12x <<，试化简2121x xx x x x---+--．14、设0xyz ≠，且3270x y z +-=，74150x y z +-=，求222 22245623x y z x y z --++的值．15、若13+a 表⽰⼀个整数，则整数a 可以取哪些值？16、约分：（1）3222366xy z x y z ；（2）239aa --；（3）22699x x x ++- （4）2232m m m m -+-；（5）22n m m n --；（6）2226x x x x +---． 17、通分：（1）26x ab ，29ya bc （2）2121a a a -++，261a -（3）2c ab -，23b a c ，25ab ca b -，22b b a -；（5）21x x -，212x x x -+，2 22x x --；（6）2a +，12a-。