【学生版】2016至2018年北京高三模拟分类汇编之三角函数

2018北京各区数学一模试题分类汇编——三角函数1. （朝阳理15）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a . 解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. 因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ……………………………………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos 4C =，cos 8A =. 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+8484=+=sin aA=，所以a =…………………………13分2. （朝阳文15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2c a =，4C π=. （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-的值. 解：（Ⅰ）因为2c a =，4C π=，由正弦定理sin sin a c A C =得：sin 4A =. ……………………………5分（Ⅱ）因为sin 4A =，2c a =可知a c <，4A π<.则cos A ==sin 22sin cos A A A ==,23cos 22cos 14A A =-=.则cos(2)3A π-=ππcos 2cos sin 2sin 33A A +=38+. ………………13分3. （丰台理15）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． ∵ 0<A <π ， ∴3A π=． …………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 22x x =++1sin()62x π=++，∵3A π=∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23．又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． ……………………13分4. （丰台文15）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． ∵ 0<A <π ∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++1sin()62x π=++，∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ………………13分5. （门头沟理15）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为2a b c a b ==、、，，1cos 2A =-． （I ） 求角B 的大小；（Ⅱ）若2()cos2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单增区间．解：（Ⅰ）sin 2A =…………………………2分 由sin sin a b A B = 得1sin 2B = , 6B π= ……………………5分 （Ⅱ） 2c = ………………………6分2()cos 22sin ()6f x x x π=++=cos 2cos(2)13x x π-++1cos 2cos 2212x x x =-+sin(2)16x π=++ …………………………10分 所以，所求函数的最小正周期为π 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以所求函数的单增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈ ……………………………13分6. （门头沟文15）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.解：（Ⅰ）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==及已知，得c b c b c b a )2()2(22+++=…………2分 整理，得bc c b a ++=222…………3分有余弦定理bca cb A 2cos 222-+=，得21cos -=A…………5分在ABC ∆中，π<<A 0，所以 32π=A…………7分（Ⅱ）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==及已知，得C B C B C B A s i n )s i n s i n 2(s i n )s i n s i n 2(s i n 22+++=…………9分即C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+=结合32π=A 及已知sin sin 1BC +=解得 21s i n s i n==C B 即 C B =…………12分 因此ABC ∆是一个等腰钝角三角形…………13分7. （石景山理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为27,,,4sin cos 2.22A B a b c C +-=且 （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．8. （石景山文15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为27,,,4sin cos 2.22A B a b c C +-=且 （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．9. （延庆理15）已知()sin()3f x x π=+（Ⅰ）如果3sin ,52x x ππ=<<，求()f x 的值; （Ⅱ）如果02x π<<，设()2(2)g x f x =，求()g x 的最大值和最小值解：（Ⅰ）∵ 3sin ,52x x ππ=<< ∴ 4cos 5x =- …………… 2分∴ ()sin coscos sin33f x x x ππ=+ …………………… 4分314()525=⨯+- …………………………… 6分=……………………………… 7分 （Ⅱ）()2sin(2)3g x x π=+ ……………………………… 8分∵ 02x π<< ， ∴ 02x π<<，∴42333x πππ<+<……………………………… 10分∴ sin(2)13x π≤+≤ ∴ ()2g x ≤≤ ………… 12分∴ max min ()2,()g x g x = ………………………… 13分10. （延庆文15）已知()sin()3f x x π=+（Ⅰ）如果3sin ,52x x ππ=<<，求()f x 的值; （Ⅱ）如果02x π<<，设()2(2)g x f x =，求()g x 的最大值和最小值解：（Ⅰ）∵ 3sin ,52x x ππ=<< ∴ 4cos 5x =- …………… 2分 ∴ ()sin coscos sin33f x x x ππ=+ …………………… 4分314()525=⨯+- …………………………… 6分=……………………………… 7分 （Ⅱ）()2sin(2)3g x x π=+ ……………………………… 8分∵ 02x π<< ， ∴ 02x π<<，∴42333x πππ<+<……………………………… 10分∴ sin(2)13x π≤+≤ ∴ ()2g x ≤≤ ………… 12分∴max min ()2,()g x g x = ………………………… 13分11. （海淀理15）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , ………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. ………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . ……………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分12. （海淀文15）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分 （II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分 又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin C =， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a = …………………13分13. （东城理15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠． 所以1cos 2A =，3A π∠=． （Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤所以三角形面积的最大值为14. （东城文15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4cos 5C =，2cos c b A =． （Ⅰ）求证：A B =； （Ⅱ）若△ABC 的面积152S =，求c 的值． （Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅， 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅， sin()0A B -=，在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-<所以A B =． ……………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．因为4cos 5C =，所以3sin 5C =． 因为△ABC 的面积152S =，所以115sin 22S ab C ==，5a b ==． 由余弦定理2222cos 10c a b ab C =+-=所以c = ……………………13分15. （西城一模理15）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . …………………2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . ………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ………………6分 （Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， …………………7分所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ………………11分所以10≤ac ，（当a c == ………………12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. …………………13分16. （西城一模文15）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =,2=b . （Ⅰ）当o30=A 时，求a 的值；（Ⅱ）当ABC ∆的面积为3时，求c a +的值. 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . …………………2分 由正弦定理B b A a sin sin =，可得10sin 303a =. …………………4分 所以35=a . ………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B ，所以3310ac =，10=ac . …………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ……………………9分 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a . …………………10分 所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=， ……………………12分 所以，102=+c a . …………13分17. （怀柔一模理15）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长． 解：（Ⅰ） 222+c b a bc -= ， 2221c o s22b c a A bc +-==-------------------------4分π<<A 03π=∴A -----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A，a =，cos 3C =sin C ∴== ------------------------------------------8分 由正弦定理知：,sin sin a C A C= ∴ACa c sin sin=3==．-----------------------------12分∴362=c -------------------------------------------------------13分18. （怀柔一模文15）已知1sin 0,,tan 23⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭πααβ． （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求()tan 2+αβ的值． 解：（Ⅰ）∵sin 0,,2⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα ∴cos ===α. ------------------4分∴sin 1tan cos 2===ααα. ------------------------6分 （Ⅱ） ∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- ------------------------------8分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭ 34=. ------------------------------------10分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ132413124+=-⨯ 2=. ----------------------------------13分。

三角函数分类汇编一．选择题1、函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．2、关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③3、tan255°=A ．B ．C ．D ．4、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．35、下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是2sin cos ++x xx xC ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │6、已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．55 C ．33 D ．255 7、若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．128、曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9、设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 10、函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为11、设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12、已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.213、已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（ ）A.2π B. 3π C. 4πD. 5π14、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足，且C=60°，则ab 的值为A ．B ．C ． 1D ．15、若，，，，则A ．B ．C ．D ．16、在ABC 中．．则A 的取值范围是A ．（0，]B ．[ ，）C ．（0，] D ．[ ，）17、若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω= 22a b 4c +-=（）438-2302πα＜＜02πβ-＜＜1cos()43πα+=cos()423πβ-=cos()2βα+=-∆222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-6π6ππ3π3ππ()sin f x x ω=0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦322318、已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A ）（B ） （C ） （D ）19、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于A ．B ．C ．D ．20、已知函数，若，则x 的取值范围为A ．B ．C ．D ．21、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=，则（A ）（B） （C（D22、设sin ，则 （A ）（B ） （C ） （D ）23、若tan =3，则的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6θ2y x =cos2θ45-35-3545()cos (0)f x x ωω=＞()y f x =3πω13369()cos ,f x x x x R =-∈()1f x ≥|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈a 2=a b1+=43πθ（）sin2θ=79-19-1979α2sin 2cos a α()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)πωϕ><()()f x f x -=（A ）在单调递减 （B ）在单调递减 （C ）在单调递增 （D ）在单调递增 25、已知函数，其中为实数，若对恒成立，且 ，则的单调递增区间是（A ） （B ）（C ） （D ）二．填空题1、在相距2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是（ ）千米。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.832(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,833(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.44(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞B.32,73∪52,+∞C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,BC=3.(1)若AB=6,AD=3,CD=4，求BD；(2)若∠ABC=120°,△ABC的面积为932，求四边形ABCD周长的取值范围.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C=3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．3(2024·河北衡水·一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足AB ⊥BD ,BD =2，且a 2=-233S +ab cos C .(1)求角B ；(2)求2AD+1CD 的取值范围.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a =8，ac =1+sin 2A -sin 2C sin 2B ，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)已知点M 在线段AC 上，且∠ABM =∠CBM ，求BM 的取值范围．1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,62已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 ；则正确的个数为()A.0B.1C.2D.33设函数f x =sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx cos ωx ω>0 ，当x ∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,133B.73,133C.83,143D.83,1434将函数f x =sin ωx -cos ωx (ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.565已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为() A.23B.13C.1D.126(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+37已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.9已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 满足f x ≥f π12，且f x 在区间-π3,π3 上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4(ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.11若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3 内单调递减，则ω的最大值为．12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．13在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B ；(2)求sin A +sin C 的取值范围.15在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且2b sin A -3a =0．(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围．16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求cb的取值范围.20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。

三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。

有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。

本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

（注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333απαπααααααπαπαααααπαπαααα-+=--=-+=-=-+=-=三角形的一些简单的恒等式1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2sin2sin 2sin 41cos cos cos 2cos2cos 2cos 4sin sin sin 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot1cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A CB AC B A CB AC B A AC C B B A CB AC B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A233sin sin sin 23cos cos cos 1cot cot cot tan tan tan sin sin sin cos cos cos 1812cos 2cos 2cos 812sin 2sin 2sin≤++≤++<++>++++<+++≤≤C B A C B A CB AC B A C B A C B A C B A C B A例题精讲一．三倍角公式 【例1】【题目来源】【题目】设x 为锐角，并且满足31cos 3cos =x x ，求x x sin 3sin 的值。

2018年全国高考模拟文科数学分类汇编——三角函数和解三角形一、选择题1. 10．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x ）+f （2﹣x ）=0，（2）f （x ﹣2）=f （﹣x ），（3）在[﹣1，1]上表达式为f （x ）=，则函数f （x ）与函数g （x ）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82. 11．（5分）已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f （x ）的图象（ ） A ．关于直线x=对称 B ．关于直线x=对称 C ．关于点（，0）对称 D ．关于点（，0）对称3. 4．若tanθ+=4，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．4. 7.将函数()2sin 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为 A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭5. 7．（5分）若将函数f （x ）=sin （2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为（ ）A ．[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z ）B ．[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）C ．[kπ﹣，kπ﹣]（k ∈Z ）D ．[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z ）6. 11．函数()[]()cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是7. 8. 已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增8. 9. 函数，则函数的导数的图象是（ ）A. B. C. ． D.9. 8．（5分）已知函数y=Asin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜，x ∈R ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（ ）A ．[2+16k ，10+16k]（k ∈Z ）B ．[6+16k ，14+16k]（k ∈Z ）C ．[﹣2+16k ，6+16k]（k ∈Z ）D ．[﹣6+16k ，2+16k]（k ∈Z ）10. 8．已知曲线1215:sin ,:cos 26C y x C y x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，则下列说确的是 A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C C.把曲线1C 向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C D ．把曲线1C 向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C 11. 10．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是12. 9．已知曲线12:2cos ,:2cos2C y x C y x x =-，则下面结论正确的是 A ．把1C 各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线C 2B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3π个单位长度，得到曲线C 2C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线C 2D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线C 213. 11．现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③cos y x x =⋅ ④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①14. 6.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则 A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间()0,π上单调递增 15. 7．函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为16. 11．已知函数2()2ln ||f x x x =-与()sin()g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x =（ ）A ．πsin π2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πsin 2x ⎛⎫+π ⎪⎝⎭D ．πsin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭17. 3．已知1sin()3απ+=-，则tan 2απ⎛⎫- ⎪⎝⎭值为（ ）A ．22B ．22-C ．24D ．22±18. 5.为了得到函数2sin(3)4y x π=+的图象,只需把函数2sin3y x =的图象上所有的点（ ） A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移12π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移12π个单位 19. 6.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示,则)(x f 的解析式是（ ） A. ()sin(3)3f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=+C. ()sin()3f x x π=+ D. ()sin(2)6f x x π=+ 二、填空题1. 14．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ϖx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则|f （）|= ．2. 15．设△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=4，A=，B=，则△ABC 的面积S= ．三、解答题1. 17．（10分）已知点，Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数．（1）求函数f （x ）的最小值及此时x 的值；（2）若A 为△ABC 的角，f （A ）=4，BC=3，求△ABC 的周长的最大值．2. 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin sin a b c a B C ==，且．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a =B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度．3. 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB=2a+b ．（1）求角C ；（2）若△ABC 的面积为，求ab 的最小值．4. 17. 在△中，分别为角的对边，.(Ⅰ) 求的大小； (Ⅱ) 若,, 求△的面积.5. 17．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsin （B+C ）+acosA=0，且c=2，sinC=． （1）求证：A=+B ；（2）求△ABC 的面积．6. 17．(12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,2sin 3.a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；(2)若2a ABC =∆，求的面积．7. 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，O 为原点，()221,0,2cos,sin ,2cos ,22OA OB OC βαα⎛⎫⎛=== ⎪ ⎝⎭⎝)sin ,0ββαπ<<<．(I)若,AB AC BC ⊥求；(Ⅱ)设()1,1,OD AB AC AD αβ=+=若求，的值.8. 17．（12分）在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．（1）若223cos cos20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =,6c =，求b 的值；（2）若a =,3A π=，求b c +的取值围．答案一、选择题1. 10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又f（x）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．2. 11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．3. 4．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====。

精品范文，下载后可编辑2016北京高三二模分类汇编三角函数一、三角函数基础应用1.【2016西城高三二模，文数第05题】在∆ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

若1sin()3A B+=，3a=，4c=，则sin A=（）（A）23（B）14（C）34（D）162.【2016海淀高三二模，文数第06题】3.【2016海淀高三二模，文数第14题】4. 【2016海淀高三二模，理数第04题】5.【2016昌平高三二模，理数第10题】在极坐标系中，O 为极点，点A 为直线:sin cos 2l ρθρθ=+上一点，则||OA 的最小值为___ ____.6.【2016朝阳高三二模，理数第05题】同时具有性质:“①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称； ③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是A ．cos()26x y π=+B ．sin(2)6y x 5π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=-7.【2016朝阳高三二模，文数第05题】同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间 5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二、三角函数复杂应用（大题）8.【2016西城高三二模，文数第15题】 （本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域.9.【2016海淀高三二模，文数第16题】10.【2016昌平高三二模，理数第16题】 （本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式及0x 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[, ]44-上的最大值与最小值.详细解答1. B2. D3. 44. B5.6. D7. B8.9.10.解：（I ）023()2sin(2),.324f x x x ππ=+=…………………7分 （II ）由ππππ5π[, ],2[, ]44366x x ∈-+∈-， (9)分当π236x π+=-时，即4x π=-，min ()()1;4f x f π=-=-当232x ππ+=时，即12x π=，max ()() 2.12f x f π== ……………………13分。

第四章三角函数一．选择题：1．(2016朝阳期中理2)已知α∈ (0 , π)，且cos α = −35，则tan α =A．34B．−34C．43D．−432．(2016朝阳期中理5)已知函数f (x) = A sin (ωx + ϕ) (x ∈ R，A > 0，ω> 0，| ϕ | <π2)的图象(部分)如图所示，则f (x)的解析式是A．f (x) = 2sin πx+π6B．f (x) = 2sin2πx+π6C．f (x) = 2sin πx+π3D．f (x) = 2sin2πx+π33．(2016朝阳期中文4)已知tan θ = 13，那么tan θ+π4等于A．2 B．–2 C．12D．−124．(2016朝阳期中文5)要得到函数y = sin2x−π3的图象，只需将函数y = sin 2x的图象A．向左平移π6个单位B．向右平移π6个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位5．(2016东城期末文6)“sin 2α–3cos 2α = 1”是“α = π4”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2016丰台期末理5)函数f (x) = sin 2x + 3cos 2x在区间[0 , π]上的零点之和是A．2π3B．7π12C．7π6D．4π37．(2016丰台期末文6)函数f (x) = sin 2x – cos 2x的一个单调递增区间是A． −3π4,π4B． −π4,3π4C． −3π8,π8D． −π8,3π88．(2016海淀期中理5文5)已知函数f (x) = cos 4 x – sin 4 x，下列结论错误的是A．f (x) = cos 2x B．函数f (x)的图象关于直线x = 0对称C．f (x)的最小正周期为πD．f (x)的值域为[−2,2]9．(2016海淀期中文6)“x = 0”是“sin x = –x”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．(2016海淀期中理6)“x > 0”是“x + sin x > 0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．(2016朝阳一模理5)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2 + c2– b2) tan B = 3ac，则角B的值为A．π3B．π6C．π3或2π3D．π6或5π612．(2016朝阳一模文5)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a cos B + b sin A = 0，则B =A．π6B．π3C．2π3D．5π613．(2016东城联考2文1) sin7π6=A．−12B．12C．−32D．3214．(2016东城一模文6)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a = b”是“a cos B = b cos A”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．(2016西城一模理7)设函数f (x) = A sin (ωx + ϕ)(A，ω，ϕ是常数，A > 0，ω> 0)，且函数f (x)的部分图象如图所示，则有A．f −3π4<f5π3<f7π6B．f −3π4<f7π6<f5π3C．f5π3<f7π6<f −3π4D．f5π3<f −3π4<f7π616．(2016海淀一模理7)已知函数f (x) = sin(x+a),x≤0cos(x+b),x>0是偶函数，则下列结论可能．．成立的是A．a=π4，b=−π4B．a=2π3，b=π6C．a=π3，b=π6D．a=5π6，b=2π317．(2016石景山一模理7)函数f (x) = A sin (ωx + ϕ)(A > 0，ω> 0，| ϕ | <π2)的部分图象如图所示，则将y = f (x)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数图象的解析式为A．y = sin 2x B．y = sin2x+2π3C．y = sin2x−π6D．y = cos 2x61218．(2016海淀一模文7)已知函数f (x) = sin(x +α),x ≤0cos(x +α),x >0，则“α = π4”是“函数f (x)是偶函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．(2016石景山一模文6)函数f (x) = 2 sin (ωx + ϕ)(ω> 0，| ϕ | <π2)的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是 A ．2，−π3 B ．2，−π6 C ．4，−π6D ．4，π320．(2016朝阳二模理5文5)同时具有性质： “①最小正周期是π；②图象关于直线x = π3对称；③在区间 5π6,π 上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．y = cos x2+π6B ．y = sin 2x +5π6C ．y = cos 2x −π3D ．y = sin 2x −π621．(2016西城二模理3文5)在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin (A + B) = 13，a = 3，c = 4，则sin A = A ．23B ．14C ．34D ．1622．(2016海淀二模理4)在∆ABC 中，cos A = 35，cos B = 45，则sin (A – B) =A ．−725B ．725C ．−925D ．92523．(2016海淀二模文6)在∆ABC 中，cos A = 35，cos B = 45，则sin (A + B) =A ．725B ．925C ．1625D ．124．(2016丰台二模文6)将函数f (x) = sin 2x的图象向左平移π6个单位后与函数g (x)的图象重合，则函数g (x)为A．sin2x−π6B．sin2x+π6C．sin2x−π3D．sin2x+π325．(2016房山一模文3)在∆ABC中，若b = 2，a = 3，cos C = −14，则c = A．3B．2 C．3 D．426．(2016房山二模文3)在∆ABC中，“A = π3”是“cos A = 12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二．填空题：27．(2016朝阳期末理9)函数y = 2sin2x+π6+ 1的最小正周期是，最小值是．28．(2016朝阳期末文11)在∆ABC中，若BC = 1，AC = 2，cos C = 14，则AB = ，sin A = ．29．(2016朝阳期中理12)若函数f (x) = 2 sin (ωx + ϕ) (ω≠ 0，ϕ> 0)是偶函数，则ϕ的最小值为．30．(2016朝阳期中文12)已知函数f (x) = 2 sin ωx (ω> 0)的最小正周期为π，则ω = ，在(0 , π)内满足f (x0) = 0的x0 = ．31．(2016东城联考1理10)已知cos α = 35，且sin 2α> 0，则sin α+3π2= ；sin (α–π) = ．32．(2016东城联考1理11)在∆ABC中，若b = 2，c = 1，B = π4，则A的大小为．33．(2016东城联考1文11)已知a，b，c分别是∆ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a = 3，b = 1，cos A = 63，则sin B = ．34．(2016东城期末理9)在∆ABC中，a，b分别为角A，B的对边，如果B = 30︒，C = 105︒，a = 4，那么b = ．35．(2016东城期末文10)在∆ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c = 4，B = 45︒，面积S = 2，则a = ；b = ．36．(2016海淀期中理10)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c = 4，sin C = 2 sin A，sin B = 15，则a = ，S∆ABC = ．437．(2016海淀期中理13)已知函数f (x) = sin (ωx + ϕ) (ω> 0)，若f (x)的图象向左平移π个3个单位所得的图象重合，则ω的最小值为单位所得的图象与f (x)的图象向右平移π6．= ．38．(2016海淀期中文10)若角α的终边过点(1 , –2)，则cos α+π239．(2016海淀期中文13)已知函数f (x) = sin (ωx + ϕ) (ω> 0)，若f (x)的图象向左平移π个3单位所得的图象与f (x)的图象重合，则ω的最小值为．40．(2016石景山期末理11)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a = 15，b = 10，A = 60︒，则cos B = ．41．(2016石景山期末文12)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a = 15，b = 10，A = 60︒，则sin B = ．42．(2016西城期末理10)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A = B，a = 3，c = 2，则cos C = ．43．(2016西城期末文13)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．−B ，a = 3，c = 2，则cos C = ；若sin A = cosπ2∆ABC的面积为．44．(2016东城联考2理14)已知f (x) = A sin (2x + ϕ)，其中A > 0．(I) 若∃x ∈ R使f (x + a) – f (x) = 2A成立，则正实数a的最小值是；(II) 若A = 1，则f (x + π6) – f (x)的最大值为．45．(2016东城一模理12)若sinπ4−α =35，且α∈0,π4，则sin 2α的值为．46．(2016西城一模文10)在∆ABC中，b = 7，a = 3，tan C = 32，则c = ．47．(2016海淀一模文13)已知函数f (x) = sin (2x + ϕ)．若fπ12−f −5π12= 2，则函数f (x)的单调增区间为．48．(2016丰台一模理11)在∆ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3b sin A = c cos A + a cos C，则sin A = ．49．(2016丰台一模文9)在锐角∆ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b = 2a sin B，则∠A = ．50．(2016石景山一模文12)设a = 12sin2°+32cos2°，b = 1 – 2 sin 2 13︒，c = 32，则a，b，c的大小关系是．(从小到大排列)51．(2016东城二模文10)若函数f (x) = a + sin x在区间[π , 2π]上有且只有一个零点，则实数a = ．52．(2016海淀二模理13文14)已知点Aπ6,32，Bπ4,1，Cπ2,0，若这三个点中有且仅有两个点在函数f (x) = sin ωx的图象上，则正数．．ω．的最小值为．53．(2016房山一模理11)在 ABC中，若a = 3，c = 4，cos C = −14，则b = ．54．(2016房山一模文11)若tanθ=13，则tan θ+π4= ．三．解答题：55．(2016朝阳期末理16)如图，在∆ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD = π4，AC = 72， cos ∠ADB = − 210． (I) 求sin ∠C 的值；(II) 若BD = 5，求∆ABD 的面积．56．(2016朝阳期末文16)已知函数f (x) = cos 2x + 3sin x cos x +a 的图象过点 π6,1 ．(I) 求实数a 的值及函数f (x)的最小正周期； (II) 求函数f (x)在 0,π2 上的最小值．57．(2016朝阳期中理15)已知函数f (x) = 2 sin x2cos x2−2cos 2x2．(I) 求f π3 的值；(II) 求函数f (x)的单调递减区间及对称轴方程．58．(2016朝阳期中理17)在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B = −12．(I) 若a = 2，b = 2 3，求角C ； (II) 求sin A ⋅ sin C 的取值范围．ADB59．(2016朝阳期中文15)已知函数f (x) = 23sin x2cos x2+2cos2x2．(I) 求f (x)的最小正周期；(II) 求函数f (x)的单调递减区间．60．(2016朝阳期中文18)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos B = −12．(I) 若a = 2，b = 23，求∆ABC的面积；(II) 求sin A ⋅ sin C的取值范围；61．(2016东城联考1理15)已知函数f (x) = 3sin2x−2sin2x．(I) 求fπ6的值；(II) 试讨论f (x)在区间 −π2,0上的单调性．62．(2016东城联考1文15)已知函数f (x) = sin 2x –cosπ6−2x ．(I) 求fπ12的值；(II) 当x ∈0,2π3时，求f (x)的最大值，并指出取得最大值时的x的值．63．(2016东城期末理16)已知函数f (x) = sin 2 x + 23sin x cos x – cos 2 x (x ∈ R)．(I) 求f (x)的最小正周期和在[0 , π]上的单调递减区间；(II) 若α为第四象限角，且cos α = 35，求fα2+7π12的值．64．(2016东城期末文16)已知函数f (x) = sin (ωx + ϕ) (ω> 0，0 <ϕ< 2π)在一个周期内的部分对应值如下表：(I) 求f (x)(II) 求函数g (x) = f (x) + 2 sin x的最大值和最小值．65．(2016丰台期末理15)如图，在∆ABC中，AB = 12，AC = 36，BC = 56，点D在边BC上，且∠ADC = 60︒．(I) 求cos C；(II) 求线段AD的长．66．(2016丰台期末文15)如图，在∆ABC中，点D在BC边上，AD ⊥AC，cos B = 63，AB = 3BD = 3．(I) 求∆ABD的面积；(II) 求线段DC的长．67．(2016海淀期末理15)已知函数f (x) = 22cos x sin x−π4+1．(I) 求函数f (x)的最小正周期；(II) 求函数f (x)在区间π12,π6上的最大值与最小值的和．AB CD68．(2016海淀期末文16)已知函数f (x) = 2 cos x (sin x + cos x) – 1．(I) 求函数f (x)的最小正周期；(II) 求函数f (x)在区间 −π6,−π12 上的最大值与最小值的和．69．(2016海淀期中理16)已知函数f (x) = 3sin 2x +π3 +cos 2x +π3． (I) 求f π6的值；(II) 求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间．70．(2016海淀期中理17)如图，在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 3，CD = 5，∠A = π3，cos ∠ADB = 17． (I) 求BD 的长；(II) 求证：∠ABC + ∠ADC = π．71．(2016海淀期中文16)已知函数f (x) = 3sin 2x −π6 +cos 2x −π6． (I) 求f π6的值；(II) 求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间．72．(2016海淀期中文17)如图，在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 3，CD = 5，∠A = π3，cos ∠ADB = 17． (I) 求BD 的长； (II) 求∆BCD 的面积．73．(2016石景山期末理15文16)已知函数f (x) = 23sin x cos x−2sin2x，x ∈ R．(I) 求函数f (x)的最小正周期与单调增区间；(II) 求函数f (x)在0,π4上的最大值与最小值．74．(2016西城期末理15)已知函数f x=cos x sin x+cos x −32，x ∈ R．(I) 求f (x)的最小正周期和单调递增区间；(II) 设α> 0，若函数g (x) = f (x + α)为奇函数，求α的最小值．75．(2016西城期末文16)已知函数f x=cos x sin x+3cos x −32，x ∈ R．(I) 求f (x)的最小正周期；(II) 若x ∈ (0 , π)，求函数f (x)的单调增区间．76．(2016朝阳一模理15)已知函数f (x) = 12sinωx+3cos2ωx2−32，ω> 0．(I) 若ω = 1，求f (x)的单调递增区间；(II) 若fπ3=1，求f (x)的最小正周期T的最大值．77．(2016朝阳一模文15)已知函数f (x) = 2sinωx cos ωx+π3(ω> 0)的最小正周期为π．(I) 求ω的值；(II) 求f (x)在区间 −π6,π2上的最大值和最小值．，78．(2016东城联考2理15)如图，在∆ABC中，cos B = 1114BC = 7，点D在边AB上，且BD = 3．(I) 求DC的长；(II) 若A = 45︒，求AC．．79．(2016东城联考2文15)在∆ABC中，b = 3，B = π3(I) 如果a = 2c，求c的值；(II) 设f (A)表示∆ABC的周长，求f (A)的最大值．80．(2016东城一模理15)在∆ABC中，BC = 22，AC = 2，且cos (A + B) = −2．2(I) 求AB的长度；(II) 若f (x) = sin (2x + C)，求y = f (x)与直线y = 3相邻交点间的最小距离．2+2cos2x．81．(2016东城一模文15)已知函数f (x) = sin2x−π6(I) 求f (x)的最小正周期；上的最大值和最小值．(II) 求f (x)在区间0,π282．(2016西城一模理15)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设A = π，3 sin B = 3 sin C．(I) 若a = 7，求b的值；(II) 求tan C的值．DABC83．(2016西城一模文15)设函数f (x) = sin x cos x –sin 2 x −π4．(I) 求函数f (x)的最小正周期；(II) 求函数f x −π6 在 0,π2上的最大值与最小值．84．(2016海淀一模理15)如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，且AD DB =13．记∠ACD = α，∠BCD = β．(I) 求证：ACBC =sin β3sin α；(II) 若α = π6，β = π2，AB = 19，求BC 的长．85．(2016海淀一模文15)在∆ABC 中，∠C =2π3，a = 6．(I) 若c = 14，求sin A 的值；(II) 若∆ABC 的面积为3 3，求c 的值．86．(2016丰台一模理15)已知函数f (x) = cos x (cos x + 3cos x)．(I) 求f (x)的最小正周期；(II) 当x ∈ 0,π2 时，求函数f (x)的单调递减区间．87．(2016丰台一模文15)已知函数f (x) = 3sin x cos x +sin 2x −12．(I) 求函数f (x)的最小正周期；(II) 求f (x)在区间 π4,π2 上的最大值和最小值．88．(2016石景山一模理15)设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A = 3a cos B．(I) 求角B的大小；(II) 若b = 3，sin C = 2 sin A，求a，c的值．89．(2016石景山一模文16)设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A = 3a cos B．(I) 求角B的大小；(II) 若b = 3，sin C = 2 sin A，求a，c的值．90．(2016朝阳二模理15文15)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A = −13，c = 3，sin A = 6sin C．(I) 求a的值；(II) 若角A为锐角，求b的值及∆ABC的面积．91．(2016东城二模理15)已知函数f (x) = 2sin12ωx ∙cos12ωx +2cos212ωx(ω> 0)，且函数f (x)的最小正周期为π．(I) 求ω的值；(II) 求f (x)在区间0,π2上的最大值和最小值．92．(2016东城二模文15)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2 = 3bc．(I) 若sin A = sin C，求cos A；(II) 若A = π4，且a = 3，求∆ABC的面积．93．(2016西城二模理15)已知函数f (x) = 1+3tan x cos2x．(I) 若α是第二象限角，且sin α = 63，求f (α)的值；(II) 求函数f (x)的定义域和值域．94．(2016西城二模文15)已知函数f (x) = 1+3tan x cos2x．(I) 求函数f (x)的定义域和最小正周期；(II) 当x ∈0,π2时，求函数f (x)的值域．95．(2016海淀二模理15文16)已知函数f (x) = –2 sin x – cos 2x．(I) 比较fπ4，fπ6的大小；(II) 求函数f (x)的最大值．96．(2016丰台二模理15)设∆ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C + 12c = b．(I) 求角A的大小；(II) 若a = 21，b = 5，求c的值．97．(2016丰台二模文15)在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c sin A = 3a cos C．(I) 求角C的大小；(II) 若b = 23，c = 5，求a的值．98．(2016房山一模理15)已知函数f (x) = sin x cos x + sin2x−12．(I) 求f (x)的最小正周期和最大值；(II) 若α∈0,π2，且f (α) = 22，求α的值．99．(2016房山一模文15)已知函数f (x) = sin x cos x + sin2x−12．(I) 求f (x)的最小正周期和最大值；(II) 若α∈0,π2，且f (α) = 22，求α的值．100．(2016房山二模理15)如图，在∆ABC中，点D在BC边上，∠CAD = π4，cos ∠C = 35．(I) 求sin ∠ADB的值；(II) 若BD = 2DC = 5，求∆ABD的面积．101．(2016房山二模文15)已知函数f (x) = 3cosπ2−x +2cos2x2．(I) 求fπ3的值和f (x)的最小正周期；(II) 求f (x)在[0 , π]上的取值范围．AD C。

2018北京市高三期末数学分类汇编之三角函数、解三角形（文）（一）试题细目表1.（2018·丰台期末·11）已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．2.（2018·石景山期末·6）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图 象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，3.（2018·昌平期末·11）已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ．4.（2018·西城期末·15）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．5.（2018·东城期末·16）已知函数2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-(01)a <≤.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]122ππ上的最大值与最小值；（Ⅱ）当()f x 的图像经过点(,2)3π时，求a 的值及函数()f x 的最小正周期.6.（2018·朝阳期末·15）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．7.（2018·海淀期末·16）已知函数()cos 2tan()4f x x x π=⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.8.（2018·通州期末·15）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．9.（2018·房山期末·15）已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间上的值域．解三角形（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·西城期末·12）在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则b =____；c =____．2.（2018·东城期末·12）在△ABC 中，5,7a c ==，cos 5C 1=，则c = ，△ABC 的面积为 . 3.（2018·海淀期末·11）在△ABC中，1,a b ==，且△ABCc = . 4.（2018·通州期末·11）在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______. 5.（2018·房山期末·9）在△ABC 中，三个内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，．若,64π=∠=B b ，31sin =A 则a = ．6.（2018·朝阳期末·14）如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）7.（2018·丰台期末·15）在ABC ∆222sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，b =c 的值.8.（2018·石景山期末·16）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小； （Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．lα9.（2018·昌平期末·16）在sin cosC c A=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABCS∆2b c+=+a的值．ABC∆图1B DACAB D C图2数学试题答案（二）试题解析 1.【答案】102. 【答案】A3. 【答案】π4.【答案】解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()332x --=-≥， [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]5.【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-2cos 2cos 1x x x =⋅+-2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+.因为[,]122x ππ∈， 所以72366x πππ≤+≤． 所以，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值为-1. ………6分（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-(01)a <≤，所以()f x 2cos 2ax ax =+2sin(2)6ax π=+．因为()f x 的图象经过点(,2)3π，所以2sin(2)26ax π+=，即sin(2)16ax π+=． 所以22362a k ππππ+=+． 所以132a k =+k z ∈． 因为01a <<，所以12a =． 所以()f x 的最小正周期221T ππ==． ……13分 6.【答案】解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x -1sin 2cos 2)14x x x π=+-=-+.所以函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=-+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π-∈-，sin(2)[42x π-∈-，)11]4x π-+∈.当2,44x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0． 所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分7.【答案】解：（Ⅰ）24π+π≠π-k x ，Z k ∈------------------------2分 解得：43π+π≠k x ，Z k ∈------------------------3分 所以，函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(42π-⋅=x x x f xx x x tan tan )sin (cos +-⋅-=1122------------------------6分xx xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +-⋅+-=------------------------8分2)sin (cos x x --=12-=x x cos sin12-=x sin ------------------------9分因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以32,2x k k Z ππ≠+∈， 所以sin 21x ≠-，------------------------11分所以，函数()f x 的值域为],(02-.------------------------13分 8.【答案】解：（Ⅰ）因为()f x sin2cos2x x =+2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==……………………5分 由222242k x k πππππ-+<+<+，得3.88k x k ππππ-+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数5 1.4π=-．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和1-．……………………13分 9.【答案】解：（Ⅰ）()x x x x f cos sin 3sin 2+=x x x cos sin 2322cos -1+=x x 2sin 2322cos -1+=212cos 21-2sin 23+=x x 212cos 6sin -2sin 6c +=x x os ππ216-2sin +=）（πx22T ππ∴== …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，因此，所以的值域为． …………………13分解三角形（二）试题解析 1.【答案】12.【答案】6,3.【答案】 2或4.【答案】 5. 【答案】38 6.【答案】sin l α;cos 2sin l αα7.222sin B B =，所以2cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得(222424cos3c c π=+-⋅⋅⋅，所以24120c c --=， 解得6c =或2c =-（舍）. 解得6c =. 8.【答案】解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β== …………2分 所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-…………5分因为(0,)αβπ+∈，所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC的延长线于点H ， 因为23ADB π∠=， 所以3ADC π∠=，所以sin3AH AD π=⋅= …………11分所以12ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 9.【答案】解：（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以 tan 3A =． AB DC H11 / 11 又因为 (0,)A ∈π，所以 6A π=． …………… 6分 （II）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos 6a b c bc π=+-，即222()2()12a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分。

北京市2018届高三上学期期末数学试卷分类汇编三角函数一、选择、填空题1.【北京市昌平区2018届高三上学期期末理】在AABC中，若b=2V2 , c=l , tanB=M，贝ij a =.【答案】3【解读】由tanB = 2V2 >0, JUO <B < —,得sillB = , cosB = i ,由余弦定理可2 3 3得CO sB= a +c~~b~ =即犷+]_8 =丄整浬得3a2 — 2a —21 = 0 ,解得a = 3或2ac 3 2a 3 7a =—(舍去)。

32.【北京市东城区2018届高三上学期期末理】若sin a =--,且tail a > 0 ,则5cosa =___ •4【答案】一上5【解读】因为山10 = -^<0, tail a > 0所以a为第三象限，所以cosavO,即5L 4cosa = -Jl-(-—) = -- o3.【北京市房山区2018届高三上学期期末理】在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c, A=-,a = >/13,b = 3,则。

= _________ , △ABC3的面积等于—.【答案】4, 3x54.【北京市丰台区2018届高三上学期期末理】函数y = 2sin(ft«+ 0)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解读式町能是【答案】B【解读】由图象可知所以函数的周期T 二;r,又T = —= ，所以2 8 8 2 0）a ）= 2 o 所以 y = 2sin （2x+0）, 又 y= f （兰■） = 2sin （2x 彳■+©）= 2 , 所 以 8 8 sin （兰+0） = 1 , 即 —+（p= — + 2k7r,keZ , 所 以（p= —+21ar , 所 以 4 4 24 y = 2sin （2x+扌），选B.5. 【北京山•石景山区2018届高三上学期期末理】在AABC 中，若 a=2,ZB = 60°,b=>/7 •则BC 边上的高等于 _____________【答案】【解读】由余弦定理得b —356。

2016年北京高三模拟题分类汇编之三角函数精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2016北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共11小题，共0分）1.（2016北京西城区高三一模数学(文)）设函数2π()sin cos sin ()4f x x x x . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数π()6f x 在π[0,]2上的最大值与最小值. 2.（2016北京东城区高三二模数学(文)）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a bc ．（Ⅰ）若sin sin A C ，求cos A ；（Ⅱ）若4A ，且3a ，求△ABC 的面积．3.（2016北京西城区高三二模数学(文)）已知函数2()(13tan )cos f x x x . （Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x 时，求函数()f x 的值域. 4.（2016北京朝阳区高三一模数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。

微专题三角函数的范围与最值【秒杀总结】一、三角函数f(x)=A sin(ωx+φ)中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即k T2(k∈Z)；3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即T4+k T2(k∈Z)；4.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内单调⇒b-a≤T2且kπ-π2≤aω+φ≤bω+φ≤kπ+π2(k∈Z)5.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调⇒(a,b)内至少有一条对称轴，aω+φ≤kπ+π2≤bω+φ(k∈Z)6.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内没有零点⇒b-a≤T2且kπ≤aω+φ≤bω+φ≤(k+1)π(k∈Z)7.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内有n个零点⇒(k-1)π≤aω+φ<kπ(k+n-1)π<bω+φ≤(k+n)π(k∈Z) ．二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：(1)函数法；(2)导数法；(3)数形结合法；(4)基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，cos A=725，△ABC的内切圆的面积为16π，则边BC长度的最小值为( )A.16B.24C.25D.36例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|≤π2,-π4为f(x)的零点：且f(x)≤f π4恒成立，f(x)在-π12,π24区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( ) A.11 B.13 C.15 D.17例3.(2023·高一课时练习)如图，直角ΔABC 的斜边BC 长为2，∠C =30°，且点B ,C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA =xOB +yOC ，(x ,y ∈R )，记M =OA ⋅OC，N =x +y ，分别考查M ,N 的所有运算结果，则A.M 有最小值，N 有最大值B.M 有最大值，N 有最小值C.M 有最大值，N 有最大值D.M 有最小值，N 有最小值例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23B.22C.3D.2例5.(2023·全国·高三专题练习)已知m >0，函数f (x )=(x -2)ln (x +1),-1<x ≤m ,cos 3x +π4,m <x ≤π,恰有3个零点，则m 的取值范围是( )A.π12,5π12 ∪2,3π4B.π12,5π12 ∪2,3π4C.0,5π12 ∪2,3π4D.0,5π12 ∪2,3π4例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增，且当x ∈π4,π3 时，f x ≥0恒成立，则ω的取值范围为( )A.0,52 ∪223,172B.0,43 ∪8,172 C.0,43 ∪8,283D.0,52 ∪223,8例7.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2S b 2-a 2，则tan A +13tan (B -A )的取值范围为( )A.233,+∞ B.233,43C.233,43D.233,43例8.(2023·上海·高三专题练习)在钝角△ABC 中，a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是( )A.0,63B.45,63C.63,1D.45,1例9.(2023·全国·高三专题练习)设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a=3，则b2+c2+bc的取值范围为( )A.(1，9]B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]例10.(2023·上海·高三专题练习)某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形MN,NP,PQ,QM为亲水木平台区域(四边形MNPQ是矩形，A，D分别为MN,PQ的中点，OA=OD=50米)，亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域MQ,NP边界上(不含端点)，且设计成∠BAC=π2，另一段玻璃桥F-D-E满足FD⎳AC,FD=AC,ED⎳AB,ED=AB．(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；(附：2≈1.414 ,3≈1.732)(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．(玻璃桥总长为AB+AC+DE+ DF，宽度、连接处忽略不计)．例11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b sin A =a sin B +π3(1)设a =3，c =2，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE ⋅EA的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =2，求△ABC 面积的取值范围．【过关测试】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ∈R ，设函数f 1(x )=cos2x ，f 2(x )=a -b cos x ，若当f 1(x )≤f 2(x )对x ∈[m ,n ](m <n )恒成立时，n -m 的最大值为3π2，则( )A.a ≥2-1B.a ≤2-1C.b ≥2-2D.b ≤2-22.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为( )A.0B.1C.3D.53.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中，若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ，且3sin C +cos C =2，则a +b 的取值范围是( )A.23,4B.2,23C.0,4D.2,44.(2023·全国·高三专题练习)设ω∈R ，函数f x =2sin ωx +π6 ,x ≥0,32x 2+4ωx +12,x <0,g x =ωx ．若f (x )在-13,π2 上单调递增，且函数f x 与g (x )的图象有三个交点，则ω的取值范围是( )A.14,23B.33,23C.14,33D.-43,0 ∪14,235.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +π3(ω>0)在π3,π 上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A.83,113 ∪4,143 B.113,4 ∪143,173C.113,143 ∪5,173D.143,5 ∪173,203 6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f (x )的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是134，174；④f (x )在区间0,π15上单调递增．其中所有正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.②③④7.(2023·全国·高三专题练习)函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是( )A.在0,π 不存在x 1，x 2使得f x 1 -f x 2 =2B.函数f x 在0,π 仅有1个最大值点C.函数f x 在0,π2上单调进增D.实数ω的取值范围是136,196 8.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin (A +C )cos B b +cos C c=sin A sin C，B =π3，则a +c 的取值范围是( )A.32,3B.32,3C.32,3 D.32,3二、多选题9.(2023秋·山东济南·高三统考期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且tan A+B1-tan A tan B=3ca cos B，则下列结论正确的是( )A.A=π6B.若b-c=33a，则△ABC为直角三角形C.若△ABC面积为1，则三条高乘积平方的最大值为33D.若D为边BC上一点，且AD=1,BD:DC=2c:b，则2b+c的最小值为97710.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)已知函数f x =sin2x1+2cos2x，则下列说法中正确的是( )A.f x+π=f xB.f x 的最大值是33C.f x 在-π2,π2上单调递增D.若函数f x 在区间0,a上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为60643π,60673π11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是( )A.Sa2+2bc的最大值为3 12B.当a=2，sin B=2sin C时，△ABC不可能是直角三角形C.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，△ABC的周长为2+23D.当a=2，sin B=2sin C，A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3-1312.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c-b=2b cos A，则下列结论正确的有( )A.A=2BB.B的取值范围为0,π4C.a b的取值范围为2,2D.1tan B-1tan A+2sin A的取值范围为533,3三、填空题13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4 =f5π12 且f(x)在区间π4,5π12 上有最小值无最大值，则ω=_______．14.(2023·全国·高三专题练习)函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2 ，已知f π3=3且对于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0，若f x 在5π36,2π9上单调，则ω的最大值为______.15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，-π4为f (x )的零点，且f (x )≤f π4恒成立，f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______16.(2023·全国·高三对口高考)在△ABC 中，AB =3cos x ,cos x ,AC=cos x ,sin x ，则△ABC 面积的最大值是____________17.(2023·高一课时练习)用M I 表示函数y =sin x 在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足M [0,a ]≥2M [a ,2a ]，则a 的最大值为________．18.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a =2，b cos C -c cos B =4，π4≤C ≤π3，则tan A 的最大值为_______.19.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，若∠BAC =120°，点D 为边BC 的中点，AD =1，则AB⋅AC的最小值为______.20.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．21.(2023·全国·高三专题练习)已知θ>0，对任意n ∈N *，总存在实数φ，使得cos (nθ+φ)<32，则θ的最小值是___22.(2023·上海·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，其中ω>0，0<φ<π，f (x )≤f π4恒成立，且y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．23.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A >B ，若sin C =2cos A sin B +725，则tan B 的取值范围为_______．24.(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =43x -13sin2x +a cos x 在-∞,+∞ 内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.25.(2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末)设函数f x =2sin ωx +φ -1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．26.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =(sin ωx )2+12sin2ωx -12ω>0,ω∈R ，若f x 在区间π,2π 内没有极值点，则ω的取值范围是___________.27.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)某小区有一个半径为r 米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I (区域ACD )，区域II (区域CBE )内分别种上甲和乙两种花卉(如图)，已知甲种花卉每平方米造价是a 元，乙种花卉每平方米造价是3a 元，设∠BOC =θ，中植花卉总造价记为f θ ，现某同学已正确求得：f θ =ar 2g θ ，则g θ =___________；种植花卉总造价最小值为___________.28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =2sin ωx +π6+a cos ωx a >0,ω>0 对任意x 1,x 2∈R 都有f x 1 +f x 2 ≤43，若f x 在0,π 上的取值范围是3,23 ，则实数ω的取值范围是__________．29.(2023·全国·高三专题练习)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a =2，且sin 2B =sin A (sin A +sin C )，则△ABC 的周长的取值范围为__________．30.(2023·全国·高三专题练习)在锐角ΔABC 中，BC =2，sin B +sin C =2sin A ，则中线AD 长的取值范围是_______;四、解答题31.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =2sin 2ωx +π6+1.(1)若f x 1 ≤f x ≤f x 2 ，x 1-x 2 min =π2，求f x 的对称中心；(2)已知0<ω<5，函数f x 图象向右平移π6个单位得到函数g x 的图象，x =π3是g x 的一个零点，若函数g x 在m ,n (m ，n ∈R 且m <n )上恰好有10个零点，求n -m 的最小值；32.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b sin A =a cos B -π6．(1)求角B 的大小；(2)设点D 是AC 的中点，若BD =3，求a +c 的取值范围．。

三角【西城期末】11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则c =____． 【东城期末】（2）函数3sin(2)4y x π=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是 A. 2π B. π C. 2π D. 4π 【朝阳期末】14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）【石景山期末】4．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B.3- C ．13D ．3【海淀期末】（15）（本小题13分）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3,,36AD BC AB ADB C ππ==∠=∠=.（Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.【西城期末】15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 【东城期末】（15）（本小题13分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. （Ⅰ）求c 的长； （Ⅱ）若1cos 24C =-，求ABC ∆的面积. 【朝阳期末】15. (本小题满分13分) 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-， 且02A π<<，求()fB 的取值范围. 【丰台期末】）15．在ABC ∆222sin B B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a =，ABC S ∆=b 的值.【石景山期末】15．（本小题共13分）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =． （Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADBπ∠=，求ABCV的面积．图1B DACAC图2。

2018年全国高考理科数学分类汇编——三角函数1.（北京）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．2.（北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．3. （江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．4.（江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．5.（江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．6. （江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解答】解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．7.（全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．8.（全国1卷）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．9.（全国2卷）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）AA．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10. （全国2卷）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．11.（全国2卷）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．12.（全国3卷）若sinα=，则cos2α=（）BA．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13.（全国3卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）CA．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，∴sinC==cosC，△ABC∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14.（全国3卷）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315.（上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．16.（天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）AA．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k ∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．17.（天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin =cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．18. （浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．19.（浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。

高三一轮复习 3.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用（练习卷教师版） 一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是( )【答案】D【解析】∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.故选D2．(2016学年北京模拟）要得到函数)34sin(π-=x y 的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（ ）A ．向左平移单位B ．向右平移单位 C ．向左平移单位D ．向右平移单位 【答案】B【解析】因为函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=)12(4sin )34sin(ππx x y ，要得到函数)34sin(π-=x y 的图象， 只需将函数y=sin4x 的图象向右平移12π单位．故选B ． 3．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是( )A ．y ＝cos2x ＋sin2xB ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝sin x cos x【答案】B【解析】y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――→向左平移π4个单位y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π2＝2cos ⎝⎛⎫2x ＋π4＝cos2x －sin2x 。

故选B4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则 只需将f (x )的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π3个长度单位 C ．向右平移π6个长度单位 D ．向左平移π3个长度单位【答案】C【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象可得A ＝1，根据T 4＝14·2πω＝7π12－π3，求得ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，求得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故把f (x )的图象向右平移π6个长度单位，可得g (x )＝sin2x 的图象。