1.2充分条件与必要条件(2)(学生学案)

1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3 充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？参考答案知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A 不一定闭合，即p ⇒q ，qp ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒ 充分 充分 必要 必要2.充分必要 充要 互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练 【答案】 ①③④【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3 充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．【答案】A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．【答案】B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。

1.2 充分条件与必要条件教学目标1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

2.过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。

3.情感、态度与价值观通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

教学重点与难点1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学方法及教学准备1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。

2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。

3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了能让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。

§1.2充分条件与必要条件班级： 学号： 姓名： _______________学习目标：1．理解充要条件的概念；根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．【自主学习】1.符号“⇒”的含义：“若p 则q ”为真，记作 并且说 条件 ； “若p 则q ”为假，记作 并且说 条件. 符号“⇒” 叫做推断符号.2、几个相关的概念：结合教材P9-11并完成例1，例2，P11 例3，完成下列问题 若p q ，但p q ⇐，则说p 是q 的 ；若p q ⇒，但p q ，则说p 是q 的 ； 若p q ⇒，且p q ⇐，则说p 是q 的 ；若p q ，且p q ，则说p 是q 的 .【合作探究】例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=； （2）若x 为无理数，则2x 为无理数.（3）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =； （2）若a b >，则ac bc >（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；练习：分析下列各题中p 与q 的关系：（1）p: x>5，q: x>3； （2）p: a 2=4，q:a=2；（3）p:向量00==βα或向量，q: βα•=0；例3. 下列命题中，哪些命题中的p 是q 的充要条件？（1）:p b=0, :q 函数c x ++=b ax (x )f 2是偶函数。

（2）:p x>0,y>0,:q xy>0（3）:p a>b,:q a+c>b+c巩固提升：1.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，则p 是s 的_________条件.2. 已知20:100x p x x ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，:{11,0}q x m x m m -≤≤+>，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.§1.2充分条件与必要条件 训练案1. 从“⇒”、“”中选出适当的符号填空：（1）1x >- 1x >； （2）a b >11a b <； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.2. 判断下列命题的真假：（1）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （2）ab ≠0是a ≠0的充分条件（3）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件（4）“a b >”是“22a b >”的充分条件；3．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的什么条件？（1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若直线1//l l 2，则12k k =.5．已知1:123x p --≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若q 是p 的充分条件，求实数m 的取值范围。

§ 1.2 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能(1)、正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义.(2)、会判断命题的充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.(3)、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.2、过程与方法(1)、通过对充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.(2)、在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质.3、情感、态度与价值观(1)、通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育.(2)、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神.教学重点(1) 、正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的概念.(2) 、正确运用“条件”的定义解题.教学难点如何正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.教学方法探究式，从生活中的具体事例引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出相关定义• 教学设想通过学生举例，教师例题设计，教师学生共同总结定义的思想来学习本节课，培养他们的辨析能力以及观察总结能力，同时培养他们良好的思维品质•教学过程一、复习回顾、课题引入上课之前我们先来看两个生活中的问题：问题1：P：大A (男性)是小a的父亲q:小a是大A (男性)的儿子思考：1、说出“若P，则q”与“若q,则P”形式的命题；2、判断真假.问题2: p:鱼缸里的鱼能存活q:鱼缸里有水思考：1、说出“若p，则q”与“若q，则p”形式的命题；2、判断真假.学生回答：有同学可能会用到能够保证，必须具备等这样的词语来描述p与q的关系，那我们在数学上应该怎样准确的来刻画命题的条件与结论之间的关系呢？宣布课题充分条件与必要条件.二、新课教学＜一＞、充分条件与必要条件的定义进行讨论提纲讨论一的讨论，引出充分条件与必要条件的定义；讨论一：下列“若p、则q”的命题中，p、q关系如何？(1). 若x -1,则x2 =1; (2).若a,b都为偶数、贝S a b是偶数;讨论结果：一般地，“若p、则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q,记作：p= q.于是我们就把p叫做q充分条件，q叫做p的必要条件•定义：一般地口果命题“若p贝好为真命题，即归• q,那么我们就说是q的充分条件; q是p必要条件.注意：1命题是“若p、则q”形式的，要认清p、q分别指什么.2.命题必须是真命题.所以讨论一中的(1). X=1是X2=1的充分条件；X2=1是x=1的必要条件.(2). a,b都为偶数是a b是偶数的充分条件；a b是偶数是a,b都为偶数必要条件例1.下列“若p、则q”的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1) .若x =1,贝V x2—4x 3=0.(2) .若f(x) x,则f (x)在R上是增函数.(3) .若x为无理数，则x2为无理数.分析：因为(1).(2是真命题，所以p是c的充分条件(3)不是真命题，所以不是q的充分条件从这个例子强调判断条件的第一步是判断命题的真假，同时从说明如果“若p则q”是假命题时p、c的关系.结论：如果“若p、则q”是假命题，即p不能推出q,记为q，这时我们说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.思、考1：观察我们应该如何根据定义来判断p与q的关系呢？回答：1、可以判断命题的真假；2 、p能否推出q，即p=? q是否成立.＜二＞、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的定义进行讨论提纲讨论二的讨论，引出充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的定义.讨论二设计思想：巩固充分条件、必要条件的定义，同时引出充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的定义.设计命题分为四类，如下:⑴.“若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题.⑵.“若p、则q”为假命题且“若q、则p”为真命题.⑶.“若p、则q”为真命题且“若q、则p”为真命题.⑷.“若p、则q”为假命题且“若q、则p”为假命题.讨论二：下列“若p则q”的命题中，写出命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假⑴“若x分则x^y2”；⑵、“若ac二be、贝怙二b” ;(3) 、“若两直线平行、则内错角相等”；(4) 、“若a b 则ac bC'.讨论结果：⑴中p是q的充分条件且p不是q的必要条件，即p= q且q总p，这时我们把p叫做q的充分不必要条件.⑵中p是q的必要条件且p不是q的充分条件，即q= p且p q，这时我们把p叫做q的必要不充分条件.⑶中p是q的充分条件且p是q的必要条件，即p= q且q= p,这时我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件⑷中p不是q的充分条件且p不是q的必要条件，即p 且q = • p，这时我们把p叫做q的既不充分也不必要条件.定义：(1).“若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题.即pn q且q斜p，我们把p 叫做q的充分不必要条件.(2) . “若p则q”为假命题且“若q、则p”为真命题即q= p且p^ q，我们把p叫做q的必要不充分条件.⑶:若p则q”为真命题且“若q、则p”为真命题.即p—q且q—p，我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件.(4) . “若p则q”为假命题且“若q、则p”为假命题即p = 且q p，我们把p叫做q的既不充分也不必要条件.所以讨论二中：(1)、x = y是x2= y2充分不必要条件(2) 、ac = be是a = b必要不充分条件(3) 、若两直线平行是内错角相等充要条件⑷、a b是ac - be既不充分也不必要条件总结：完善思考i如何判断p与q的关系步骤.还要判断由q能否推出p，即q= p是否成立例2（11年高考卜下例四个条件中，使 a ■ b成立的充分而不必要的条件是（）A、a b+1B、a b-1C、a2 b2D、a3 b3分析：搞清楚命题中的p指什么，q指什么；题目中的选项是p, a - b是q,所以根据定义只要“若p、则q”为真命题且“若q、则p”为假命题即可，故选A分别讲解B、C、D是什么条件，让学生能从同一个例题理解不同的知识2 2思、考2：讨论二中的（1）x二y是x二y充分不必要条件例2中的a • b成立的充分而不必要的条件是 a b+1这两种句型（1）P是q的充分条件；（2）P的充分条件是q；辨析以下这两种说法.（1）中谁是条件，谁是结论；（2）中的呢？回答：（1）的条件是p结论是q；（2）的条件是q结论是p；所以我们在判断条件与结论的关系时，首先要判断谁是条件谁是结论.总结：再次完善思考1如何判断p与q的关系步骤.1、可以判断命题的真假；2 、（1）首先判断谁是p，谁是q；（2）p能否推出q，即p=? q是否成立；还要判断由q能否推出p，即q=? p是否成立例3、证明：ABC是等边三角形的充要条件是a2 b2 c2二ab ac be这里a，b，c是上ABC的三条边.分析：此题中的p是a2b2c^ ab ac be； q是ABC是正三角形证明：① “ p =• q "2,22, ,f a b c ab ac bc .2a 2 2b 2 2c 2 =2ab 2ac 2bc 即(a -b)2 (b - c)2 (a - c)2 = 0.a = b = c 即AABC 是正三角形② “q= p "7 ABC 是正三角形.a = b = c.ab ac be = a 2 • b 2 c 2即卩 a 2 b 2 c 2 = ab ac bc..■： ABC 是正三角形的充要条件是 a 2 b 2 c^ ab ac bc课堂练习(2) 、p: tan ： =1 q: ; 4(3) 、p:直线I 与平面「内的两条相交直线垂直q:直线I 与平面〉垂直; ⑷、p:函数f (x)满足f(x)=O q:函数f(x)是奇函数.课堂小结1、掌握6个定义定义1： 一般地,如果命题“若p 则q”为真命题，即p= q,那么我们就说p 是q 的充分条件; q 是p 必要条件.定义2:如果“若p 、则q”是假命题，即p 不能推出q ,记为p = q ,这时我们说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.定义3:若卩=q 且q^ p,把p 叫做q 的充分不必要条件.定义4: q= p 且p = • q ,把p 叫做q 的必要不充分条件.定义5: p= 4且4= p ,把p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件.定义6: : p = • q 且q = - p ,把p 叫做q 的既不充分也不必要条件.1、准确理解如何判断条件与结论的关系 方法1、可以通过判断命题的真假；方法2、(1)首先判断谁是p ，谁是q ；(2) p 能否推出q ，即p=? q 是否成立；还要判断由q 能否推出p ,即q=? p 是否成立作业1、判断下列各组问题中,p 与q 的关系如何? (1) p: x =x q:x 2 _0;R2习题1.2A组2题、4题板书设计把黑板分为四部分：一、定义板块；二、总结板块；三、例题板块；四、探究板块•教学反思本节课我采用的是探究式教学，通过生活中的例子引入，从开始上课就能激发学生求知的欲望，接下来都是通过和同学们共同探讨例子来总结出定义，一步步的完善判断命题中条件与结论的步骤及方法，给学生留下深刻印象。

1.2.1 充分条件与必要条件教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.三、数学运用【例1】若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M 是Q的什么条件?【例2】若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1<x<3,求实数a的取值范围.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.【例4】求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.四、课堂练习1. “xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的条件.2. “A∩B=A”是“A=B”的条件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.课堂练习答案【例1】【答案】解由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.【例2】【答案】解由|x-a|<2,得a-2<x<a+2.由题意得2123aa-≤⎧⎨+≥⎩(等号不能同时成立),解得1≤a≤3.因此,实数a的取值范围是[1, 3].【例3】【答案】证明①充分性:因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.因为x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命题得证.【例4】【答案】证明必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.课后练习1. 【答案】充要2.【答案】必要不充分3. 【答案】充分不必要4. 【答案】证明充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.。

§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

_1.2 充分条件与必要条件1.2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的公倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：是充分条件，也是必要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．3．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．4．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．充分条件、必要条件、充要条件的判断[1] 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[一点通](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．1．下列命题中，p是q的充分条件的是( )A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a> b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故φ＝0是函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.根据充分、必要条件求参数的取值范围[例6≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到綈p ，利用綈p 是綈q 的必要不充分条件，即綈q ⇒綈p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得 3a <x <a ， ∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， ∴q ：－2≤x ≤3.∵綈q ⇒綈p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)．[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．4．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2]解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a≤10，1－a>－2或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1＋a<10，1－a≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3].充要条件的证明和求解[例3] a ＋b ＋c ＝0. [思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [一点通](1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．6．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. 充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件． 解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a >0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1.若a <0，则1a <0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种： (1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论p ⇒q ，但q ⇒/ p p 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ q p 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒q ，q ⇒p ，即p ⇔q p 是q 成立的充要条件p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B，则p是q的充分不必要条件若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与綈B⇒綈A，A⇔B与綈B⇔綈A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )B．必要不充分条件A．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B 2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件C．充要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A 3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，又因丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．所以有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，综上，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得綈p ：－1≤x ≤1，綈q ：－2≤x ≤1，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．答案：A＝2相切的充要条件是________．2－1)y (＋2－1)x ＝0与圆(m ＋y ＋x 5．直线 的0＝m ＋y ＋x 到直线(1,1)圆心⇔相切2＝21)－y (＋21)－x (与圆0＝m ＋y ＋x 直线解析：2距离等于 0.或4＝－m ⇔2＝2|＋m |⇔2＝|1＋1＋m|2⇔答案：m ＝－4或06．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分∈x ：p 1}，命题≥|m －x ||x ＝{B ，2]}，12[－∈x ＋1，x 32－2x ＝y |y ＝{A 7．已知集合A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．，配方，得1＋x 32－2x ＝y ，由A 先化简集合解：.716＋2)34－x (＝y ，2]，12－[∈x ∵ ．2]，716[∈y ∴ ．2}≤y ≤716|y {＝A ∴ 由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .3.≥m 或916－≤m ，解得2≥1－m 或716≤1＋m ∴ ．)∞，＋[3∪]916，－∞－(的取值范围是m 故实数 }为等比数列的充要n a 1)，求证：数列{≠p 0且≠p (q ＋n p ＝n S 项和n }的前n a 8．已知数列{条件为q ＝－1.1.－p ＝1a 时，1＝－q 充分性：当证明： ．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 当n ＝1时，上式也成立．为等比数列．}n a {，即数列p ＝错误!＝an ＋1an于是 .q ＋p ＝1S ＝1a 时，1＝n 必要性：当 ．1)－p (1－n p ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 ∵p ≠0且p ≠1， .p ＝错误!＝an ＋1an ∴ 为等比数列，}n a {因为 ，1＝－q ∴，错误!＝p ＝an ＋1an＝a2a1所以}n a{即数列为等比数列的充要条件为q＝－1.。

1.1.2 充分条件与必要条件【学习目标】1.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．2.交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．【课前预习】创设情境当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“⇒”“”的含义简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的；同时称q是p的；如果p⇒q，且q⇒p，那么就说：p是q的，简称为p是q的；如果p⇒q，且q p，那么称p是q的；如果p q，且q⇒p，那么就说：p是q的；如果p q，且q p，那么就说：p是q的；【课堂研讨】例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.（2）p：两条直线平行；q：内错角相等.（3）p：a>b；q：a2>b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形例2. 如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：①命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B 为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.②命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.【学后反思】。

充分与必要条件学案（2）（学生学案）1.2.2充要条件问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竞成（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器在数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c;（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x>1,q：x>2；（3）p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.例1（课本P11例3）：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2例2：两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？（答：充分不必要条件）例3：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？例4（课本P11例4）：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．例5: 求证实系数一元二次方程20++=有两个异号根的充要条件是0.x px qq<五、布置作业：A组：1、（课本P12习题1.2 A组 NO：3）2、（课本P12习题1.2 A组 NO：4）3．“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．“A∩B=A”是A=B的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为x=2的充要条件是__________6．若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ．B 组：1、（课本P12习题1.2 B 组 NO ：1）2、（课本P12习题1.2 B 组 NO ：2）3．判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件A ∶ax 2+ax+1＞0的解集为R ，结论B ∶0＜a ＜4；(2)条件p ∶AB ，结论q ∶A ∪B=B.4．已知全集R ，A=｛x ｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x ｜｜x ｜＞a,a ∈N +｝.当a 为何值时.①A 是B 的充分而不必要条件；②A 是B 的必要而不充分条件；③A 是B 的充要条件.C 组：1、设A=｛x ｜-2≤x ≤a ｝，B=｛y ｜y=2x+3,x ∈A ｝，M=｛Z ｜Z=x 2,x ∈A ｝.求使M ⊆B 的充要条件是什么?2、试寻求关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.。

教学准备1. 教学目标（1）知识目标：正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；会判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件，充要条件。

（2）过程与方法目标：利用多媒体教学，多让学生举例讨论，教学方法较灵活，学生参与意识强，培养他们的良好的思维品质。

（3）情感与能力目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力；利用命题的等价性，培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。

2. 教学重点/难点【教学重点】：理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念。

【教学难点】：关于充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断。

3. 教学用具多媒体4. 标签充分条件与必要条件教学过程一．引入课题问题1：写出下列命题的条件和结论，并说明条件和结论有什么关系？（1）；（2）若ab = 0，则a = 0；（3）两直线平行，同位角相等。

二、知识建构⑤若，且，则是q的既不充分也不必要条件．三、体验与运用例1、指出下列各组命题中， p是 q的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。

四、学生探究问题2：P是q的什么条件？从中能发现什么规律？例2、若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？解：由题意，分析如下图所示。

根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．课堂小结1充分、必要、充要条件的定义。

在“若p则q”中（1）p q，（p为q的充分条件，q为p的必要条件）（2）q p，（p为q的充要条件，q为p的充要条件）2给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={X|X 满足条件q},B={X|X满足条件p}课后习题板书。

1.2充分条件与必要条件
一、学习目标：1.理解充分、必要、充要条件的意义；
2.能熟练判断条件与结论之间的充分（必要、充要）性；
3.掌握证明充要条件的一般方法.
学习重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念.
学习难点：判断命题的充分不必要、必要不充分、充要条件.
二、导学指导与检测
1、用符号“⇒”和“⇏”填空：
（1）22y x = y x =；
（2）内错角相等 两直线平行；
（3）整数a 能被6整除 a 的个位数字是偶数
（4）bc ac = b a =
2、判断下面命题的真假
（1）βαsin sin =是βα=的充分条件；
（2）0≠ab 是0≠a 的充分条件
3、下列各题中，p 是q 的什么条件？
（1）三角形是等腰三角形三角形是等边三角形，::q p
（2）51:,32:≤≤-≤-x q x p
闯关题：
证明：ABC ∆是等边三角形的充要条件是bc ab c b a ++=++ac 222，这里c b a ,,是ABC ∆的三条边.。

1.1.2充分条件和必要条件（2）教学目标：1．巩固理解充分条件与必要条件的意义，进一步掌握判断的方法．2．会求命题的充要条件以及充要条件的证明．教学重点：从不同角度来进行充分条件、必要条件和充要条件的判断．教学难点：充要条件的求解与证明．教学方法：问题链导学，讲练结合．教学过程：一、数学建构充要条件判断的常用方法：（1）从定义出发：首先分清条件和结论，然后运用充要条件的定义来判断；（2）从集合出发：从两个集合之间的包含关系来判断．“A是B的子集等价于A是B的充分条件”；“A是B的真子集等价于A是B的充分不必要条件”；“A＝B等价于A是B的充要条件”．（3）从命题出发：如“原命题为真（即若p则q为真）”就说明p是q的充分条件．二、知识应用例1指出下列命题中，p是q的什么条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）（1）p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1；（2）p：A1A2＋B1B2＝0，q：直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0垂直；（3）p：E，F，G，H不共面，q：EF，GH不相交；（4）p：b2＝ac，q：a，b，c成等比数列．例2如果y＝ax2＋bx＋c，则y＜0恒成立的充要条件是什么？例3若一元二次方程为x2－x＋m＝0，求此方程有两个不等实根的必要不充分条件．例4假设a，b，c为三角形ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与方程x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝900．三、阶段小结1．如何求充要条件：（1）先利用结论求出必要条件，然后再验证其充分性；（2）在求解过程中，若每一步都是可逆的，则求出的条件就是充要条件．2．如何求充分不必要条件或者必要不充分条件：（1）先求结论成立的充要条件．（2）如果要求必要不充分条件，可将求出的充要条件相应的范围适当放大；如果要求充分不必要条件，可将求出的充要条件相应的范围适当缩小．（3）所得的答案往往不惟一．3．如何证明充要条件：在证明“p是q的充要条件”时，需要分别验证“充分性”和“必要性”两个方面，而且表述中要注意两者的对应关系．四、巩固练习例5求圆(x－a)2＋(y－b)2＝0经过原点的充要条件．例6求证：ac＜0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．如何求命题的充分条件和必要条件；2．如何证明充要条件．。

1．2.2充分条件和必要条件最新课程标准1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．学科核心素养1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理)2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象)3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理)教材要点要点一充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系由p 可以推出q ，记为：________由p 不能推出q ，记为：________条件关系p 是q 的____________p 不是q 的____________q 是p 的____________q 不是p 的____________状元随笔若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，所谓“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；q 是p 的必要条件，所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可．要点二充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．即p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，此时我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p 是q 的充要条件”可以说成“p 与q 是等价的”“q 成立当且仅当p 成立”“q 成立必须且只需p 成立”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．()(2)p 是q 的必要条件的含义是：如果p 不成立，则q 一定不成立．()(3)p 是q 的充分条件只反映了p ⇒q ，与q 能否推出p 没有任何关系．()(4)若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的充要条件．()2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“x ＞0”是“x ＞1”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．△ABC 是锐角三角形是∠ABC 为锐角的________条件．题型1充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形；(3)p ：平行四边形，q ：正方形；(4)p ：m ＜－1，q ：x 2－x －m ＝0无实根．方法归纳充分条件、必要条件判断方法(1)定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是()A．x＞3.5B．x＜3C．x＞4D．x＜4题型2充要条件的判断例2(1)(多选)下列结论中，正确的有()A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含关系判断．(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练2(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件题型3充分条件、必要条件和充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.方法归纳充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．跟踪训练3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c ＝0.题型4充分条件、必要条件和充要条件的应用例4设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．变式探究设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．方法归纳根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练4集合A＝y y=x2−32x+1，34≤x≤2，，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．易错辨析混淆条件与结论致误例5使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是()A．0＜x＜1B．－13＜x＜1C．－1＜x＜2D．0＜x＜2解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”⇔B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.答案：A易错警示易错原因纠错心得混淆条件与结论容易得出错误答案C.弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集．课堂十分钟1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．已知x∈R，则“x＜2”是“2x＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(多选)下列说法中正确的是()A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．参考答案与解析新知初探·课前预习要点一p⇒q p⇒q充分条件充分条件必要条件必要条件要点二p⇔q逆命题[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．答案：A3．解析：∵x>0D⇒/x>1但x>1⇒x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，反之不一定．答案：充分不必要题型探究·课堂解透例1解析：(1)∵a＋b＝0⇒a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇒四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．(3)由图可知B A，所以p是q的必要不充分条件．(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－14.∵m<－1⇒m<－14，m<－14D⇒/m<－1，∴p是q的充分不必要条件．跟踪训练1解析：(1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.(2)∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.答案：(1)A(2)AC例2解析：(1)A中，x2>4⇔x<－2或x>2D⇒/x3<－8，但x3<－8⇒x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0⇔a，b 不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数⇒x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件．②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．③∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要条件．答案：(1)AC(2)见解析跟踪训练2解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.答案：(1)D(2)A例3证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝c a<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝c a<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.跟踪训练3证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，(1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.(2)必要性(q⇒p)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.例4解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤12，由q是p的必要不充分条件，即p⇒q，q⇒p，即{x|0≤x≤12}{x|a≤x≤a＋1}．∴a≤0，a+1≥12，且“＝”不能同时成立，解得－12≤a≤0，故实数a的取值范围是{a|−12≤a≤0}.变式探究解析：∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，p⇒q，∴{x|a≤x≤a＋1}{x|0≤x≤12}，∴a≥0a+1≤12，且“＝”不能同时成立，∴此不等式组无解．故实数a的取值范围是∅.跟踪训练4解析：A＝{y|y= 2−32x+1，34≤x≤2}＝{y|716≤y≤2}，B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴1－m2≤716.解得m≥34或m≤－34.故m的取值范围为m≤－34或m≥34.[课堂十分钟]1．解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．答案：B2．解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但2x<0，故“2x<1”，故“x<2”不是“2x>1”的充分条件，“2x>1”等价于x−2x<0⇔0<x<2，即2x>1能推出x<2，∴“x<2”是“2x>1”的必要条件，故“x<2”是“2x>1”的必要不充分条件，故选B.答案：B3．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m 是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD.答案：ACD4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.答案：a＜－15．解析：由已知条件，如{x|x>m}{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．。

1.2 充分条件与必要条件教学目标1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

2.过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。

3.情感、态度与价值观通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

教学重点与难点1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学方法及教学准备1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。

2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。

3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了能让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。

教学准备1. 教学目标1.知识与技能（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系．（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法（1）培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性．（2）培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律．（3）培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观（1）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受．（2）通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养学生的辩证唯物主义观点．2. 教学重点/难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性3. 教学用具多媒体4. 标签教学过程一、问题导思1.给出下列命题：（1）若x＞a2＋b2，则x＞2ab.（2）若ab＝0，则a＝0.（3）若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数．命题（1）的条件成立，结论一定成立吗？命题（2）中呢？【提示】命题（1）中只要满足条件x＞a2＋b2，必有结论x＞2ab成立；命题（2）中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.命题“如果p，则q”为真命题，我们就说由p成立可以推出q成立，记作p⇒q，读作“p推出q”．这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.2．若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？【提示】因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.p是q的充要条件，又常说成“q当且仅当p”或“p与q等价”二、典例精讲命题方向1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1.（1）(2013·陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C.a2>b2 D．a3＞b3【解析】（1）当|a·b|＝|a//b|时，若a，b中有零向量，显然a//b；若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cosa，b|＝|a||b|，∴|cosa，b|＝1，∴a，b＝π或0，∴a//b，即|a·b|＝|a||b|⇒a//b.当a//b时，a，b＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cosa，b|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a//b⇒|a·b|＝|a||b|，综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a//b”的充分必要条件．（2）若a＞b＋1，则a＞b一定成立；但若a＞b，a＞b＋1不一定成立，因此“a＞b＋1”是“a＞b”的一个充分不必要条件；若a＞b－1，则a＞b不一定成立，不是充分条件；若a2＞b2，则a＞b不一定成立，不是充分条件；若a3＞b3，则a＞b一定成立；若a＞b，则a3＞b3也一定成立，因此“a3＞b3”是“a＞b”的一个充要条件．【答案】（1）C（2）A【小结】充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系，在具体判断时，常用如下方法：（1）定义法：①若p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；④若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．（2）集合法：如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．（3）等价法：当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可以利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即判断其逆否命题是否成立．三、变式训练（1）设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】（1）若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．（2）由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．【答案】（1）A（2）C命题方向2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2.是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．【解析】由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.令A＝{x|x>2或x<－1}，由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．【小结】（1）设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A⊆B.（2）由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．∵p⇒q而q⇒p，∴A B，∴－≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞).命题方向3 充要条件的证明例3.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)．求证：{an}为等比数列的充要条件是q＝－1.【解析】充分性：当q＝－1时，Sn＝pn－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时，也成立，∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1(p－1)．又∵p≠0且p≠1，∴数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，又∵{an}为等比数列，综上可知，{an}是等比数列的充要条件是q＝－1.【小结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．四、变式训练已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【证明】必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.五、当堂检测1．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B的( )条件．A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A /⇒B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．【答案】B2．不等式成立的一个充分不必要条件是( )A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞1 D．x ＞1【解析】画出y＝x与y＝的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x－＞0⇔－1＜x＜0或x＞1，显然x＞1；但D/⇒x＞1.【答案】D3．若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}．若B⊆A，则满足解得2≤a≤3，所以“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件，选A.【答案】 A4．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|＜a(a＞0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解】A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3＜x＜a＋3}，因为p是q的充分不必要条件，从而有A⊆B.故解得a＞4.板书充分条件与必要条件。