2019-2020年高二数学：课时达标训练(十二)

课时作业(十二)1．设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 由于(1＋x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x r ，因此a r ＝C r8(其中r ＝0,1,2，…，8)，由此可知，其中a 0、a 8是奇数，其余的系数均为偶数，因此选A.2．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )n展开式的各项系数和为( ) A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2答案 C解析 令x ＝1得各项系数和为1＋2＋22＋23＋ (2)＝2n ＋1－12－1＝2n ＋1－1. 3．在(1＋x )2n(n ∈N *)的展开式中，系数最大项是( ) A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项答案 C4．若(x ＋1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120答案 B5．关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小 答案 C解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．6．在(x ＋y )n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项答案 A解析C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．7．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3答案 C8．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )A．45 B．55C．70 D．80答案 C解析(1＋2)5＝C05＋C15·2＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55(2)5＝41＋292＝a＋b2，∴a＋b＝41＋29＝70.故选C.9．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.答案解析C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝C710a3(a)7＝.10．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．答案 1 64解析令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C06＋C16＋C26＋…＋C66＝26＝64.11．要使组合数C m27有最大值，则m的值应是________________．答案13或14解析因C m27表示(a＋b)27展开式中二项式系数，而二项式系数最大项在中间，所以m＝13或14.12．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案－256解析令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a5＝25，∴a0＋a2＋a4＝24，a1＋a3＋a5＝－24，∴(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－28＝－256.13．(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展开式中所有x的奇次项的系数之和等于________，所有x的偶次项的系数之和等于________．答案 41 40解析 设(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 22x 22.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 22＝81；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 21＋a 22＝－1，∴所有x 的奇次项的系数之和等于12[81－(－1)]＝41，所有x 的偶次项的系数之和等于12[81＋(－1)]＝40.14．证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1.证明 方法1：∵k ·C kn ＝k ·n ！k ！n －k ！＝n ·n －！k －！n －k ！＝n C k －1n －1，∴原式＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1 ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.命题得证． 方法2：(倒序相加)令S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ，∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋C 1n . ∵C k n ＝C n －k n ，且C 0n ＝C nn ，两等式相加，得 2S ＝n C 0n ＋n C 1n ＋n C 2n ＋…＋n C n －1n ＋n C nn ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝n ·2n. ∴S ＝n ·2n －1，命题成立．►重点班选做题 15．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2答案 C解析 a r ＝C r 2 013(－2)r，r ＝0,1,2，…，2 013，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－C 12 013＋C 22 013－C 32 013＋…－C 2 0132 013.又C 02 013－C 12 013＋C 22 013－…－C 2 0132 013＝0. 故原式＝－1.16．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n的值为( )A ．0B ．ABC ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2答案 C解析 (1＋x )n＝A ＋B ，(1－x )n＝A －B ，所以(1－x 2)n＝A 2－B 2.1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n－1 C ．2n ＋1－1D ．2n答案 C2．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8答案 C3．试判断7777－1能否被19整除？ 答案 能1．(2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析 将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3种方法，将2个小组的同学分给两名教师带有A 22＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484 答案 C解析 完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C13C13C24C14＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C项．3．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案 C解析完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有A33A33A33种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33A33，故选C项．4．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种B．15种C．20种D．30种答案 C解析甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C23＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C24＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C项．5．(2012·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种 B．360种C．480种 D．720种答案 C解析由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A14，剩余5人进行全排列：A55，故总的情况有：A14·A55＝480种．故选C项．6．(2011·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种C．30种 D．36种答案 B解析先从4人中选2人选修甲课程，有C24种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C24×22＝24种方法．7．(2012·安徽)(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 D解析 (1x 2－1)5的通项为T r ＋1＝C r 5(1x 2)5－r (－1)r ＝(－1)r C r 51x 10－2r .要使(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.8．(2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r ＋1＝C r 2 012522 012－r·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为C 2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a ＝12时，512 012＋12被13整除．9．(2012·重庆)(x ＋12x)8的展开式中常数项为( )A.3516 B.358 C.354D ．105答案 B解析 二项式(x ＋12x)8的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r·(2x )－r ＝2－r C r8x8－2r2，令8－2r ＝0，得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－4C 48＝358，故选B 项．10．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 答案 B解析 由二项式定理可知(1＋2x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 515－r(2x )r ＝C r 5·2r ·x r，令r ＝2，得T 3＝C 25·22·x 2＝40x 2.∴x 2的系数等于40.11．(2012·广东)(x 2＋1x)6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)答案 20解析 T r ＋1＝C r6·(x 2)6－r·(1x)r ＝C r 6·x 12－3r ，∴要求展开式中x 3的系数，即12－3r ＝3，∴r ＝3，即T 4＝C 36·x 3＝20x 3.∴x 3的系数为20.12．(2012·大纲全国)若(x ＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为______．答案 56解析 ∵C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.T r ＋1＝C r 8x 8－r(1x )r ＝C r 8x 8－2r .令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴1x2的系数为C 58＝56.。

2019-2020年高二数学12月月考试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m=的焦点坐标为 （ ） .A ．1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭４B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 （ ）.A ．14-B ．4-C ．4D ．144、给出以下四个命题：①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5、已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点1F 的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是 （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8（D ）236、设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF（ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 97．已知p 是q 的必要条件，r 是q 的充分条件，p 是r 的充分条件，那么q 是r 的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，非“p ”为真的是（ ）A ．=0:p Φ,∈0:q ΦB ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．{}a p : ≠⊂{}b a , ，{}b a a q ,:∈D ．:,35:q p >12是质数 9、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）.A.B. C. 2 D. 110．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1B.2C. 3D.411、命题甲：“双曲线C 的方程为12222=-by a x ”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y bax =±”，那么甲是乙的-------------------------------（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件12、已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、命题“若ab =0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是 ．14、 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。

高二数学课时练习题及答案第一章：二次函数1. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

若 f(x) 在 x = 1 处取得最小值 3，且 f(2) = 4 和 f(3) = 5，求函数 f(x) 的解析式。

解析：由题意可得：f(1) = 3 → a + b + c = 3f(2) = 4 → 4a + 2b + c = 4f(3) = 5 → 9a + 3b + c = 5将以上方程组写成矩阵形式：⎡1 1 1⎤⎡a⎤⎡3⎤⎢4 2 1⎥⎢b⎥ = ⎢4⎥⎣9 3 1⎦⎣c⎦⎣5⎦通过高斯消元法解得 a = 1，b = -2，c = 4。

因此，函数 f(x) 的解析式为 f(x) = x^2 - 2x + 4。

2. 已知二次函数 f(x) = 4 - (3 - k)x + 2x^2 是开口向上的抛物线，求实数 k 的取值范围。

解析：对于开口向上的抛物线，判别式必须大于 0，即 b^2 - 4ac > 0。

根据 f(x) 的表达式可得：b^2 - 4ac > 0(3 - k)^2 - 4(2)(4) > 09 - 6k + k^2 - 32 > 0k^2 - 6k - 23 > 0通过求解一元二次不等式可得 k ∈ (-∞, -3 + 2√6) ∪ (-3 - 2√6, +∞)。

因此，实数 k 的取值范围是 (-∞, -3 + 2√6) ∪ (-3 - 2√6, +∞)。

第二章：排列组合与概率1. 从数字 0、1、2、3、4、5、6 中任选 3 个数字组成一个三位数，且三位数不可重复。

求满足要求的三位数的个数。

解析：对于第一位数字，可以从 1、2、3、4、5、6 中任选一个。

对于第二位数字，可以从剩余的 6 个数字中任选一个。

对于第三位数字，可以从剩余的 5 个数字中任选一个。

因此，满足要求的三位数的个数为 6 * 6 * 5 = 180。

=2n — n 2.课时达标训练（九）等差数列的前n 项和［即时达标对点练］题组1等差数列前n 项和的有关计算1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 2= 3, a 6= 11,则S ?等于（）A . 13B . 35C . 49D . 63[a 2= a 1 + d = 3,[a 1= 1,或由 解得|a 6= a 1 + 5d = 11, |d = 2. 7X 6即 S 7= 7a 1 + - d = 49.故选 C.2.在等差数列｛a n ｝中，a 6= a 3 +牝，则S 9等于( )A . 0B . 1C . - 1D . - 1 或 1解析：选 A 因为 a §= 83+ a 8，故 a 5 + d = a 2 + d + a 8，得 a 5 = 2a 5, 即卩 a 5= 0.又 a 1 + a 9 = 9 ( a 1 + a 9) ,2a 5= 0, S 9= = 9a 5= 0,故选 A.3.(2018全国卷I )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若3S 3= S 2+ S 4,a 1= 2，则a 5=( )A . - 12B . - 10C . 10D . 12解析：选B 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由3S 3 = S 2 + S 4,得3(3a 1 + 3d) = 2a 1 + d + 4a 1+ 6d ,即 3a 1 + 2d = 0.将 a 1= 2代入上式，解得 d =- 3，故 a 5=內 + (5 — 1)d = 2+ 4X (- 3)= —10.4.已知等差数列｛a n ｝中，a 1= 1, a 3=- 3. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；⑵若数列｛a n ｝的前k 项和S k =- 35,求k 的值. 解：(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,贝V a n = a 1 + (n — 1)d.由 a 1 = 1, a 3= — 3 可得 1 + 2d = — 3.解得 d = — 2. 从而，a n = 1 + (n — 1) X (— 2) = 3 — 2n. (2) 由(1)可知 a n = 3— 2n ,所以S n =解析：选C 7 (a 1+ a 7)27 (a 2+ a 6) 27 (3+11)2 49,n[1+( 3—2n)]2=2n —n2.进而由S k=- 35可得2k —k2=- 35,即k2- 2 k- 35 = 0,解得k = 7 或k =- 5.又k € N ,故k= 7为所求结果.题组2 已知S n求通项公式a5.若数列｛a n｝的前n项和S n = n2- 10n(n= 1, 2, 3,…)，则此数列的通项公式为a n解析：当n= 1 时，a1=S i= 1- 10=- 9;当n>1 时，a n= S n- S n-1=『一10n- [(n- 1)2- 10(n- 1)] = 2n- 11.又2x 1- 11=- 9 =所以数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n - 11.答案：2n-116.已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且lg(S n+ 1) = n + 1,求通项公式.解：因为lg(S n+ 1) = n + 1，所以S n + 1 = 10n+ 1,即卩S n= 10n+1- 1.当n= 1 时, a1= S1 2=102- 1 = 99,当n>2时,a n = S n - S n-1= (10叫1- 1) - (10“ - 1) = 9X 10“,从而，数列｛a n｝的通项公式为: 99 (n=1), a n= 1 9x 10n( n>2).题组3等差数列前n项和的性质7.设S n是等差数列｛an｝的前n项和，若詐3则遵等于()1 1 1B.3C.8 %解析: 选A 设S3= m,〔S = 1 ,「S6= 3m,「・S6—S3= 2m, 由等差数列依次每S6 3k项之和仍为等差数列，得S3= m, S6- S3= 2m, S9- S6= 3m, S12- S g= 4m,S6 3•S6= 3m, S12= 10m.二—=亦，故选A.佥―2n，则亜=(8.已知等差数列｛a n｝和｛b n｝的前n项和分别为S n和T n，且TI n 3n 十1 b52 A.27B.7 C.2•'a6> 0,题组4等差数列前n 项和的最值9.已知｛a n ｝是等差数列，a i = — 26, a $+ a i3= 5,当｛a n ｝的前n 项和S n 取最小值时，n等于()C . 10•••-26+ 7d — 26+ 12d = 5,解得 d = 3,••｛a n ｝的前n 项和S n 取最小值时，n = 9•故选B.10.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知玄3= 12,且0, $3< 0. (1)求公差d 的范围；⑵问前几项的和最大，并说明理由. 解：(1)•/ a 3= 12,.a= 12— 2d , '•S 12> 0, S 13< 0, 12a 1+ 66d > 0, 13a 1+ 78d < 0, 24+ 7d > 0, 即3 + d < 0, ••—: < d <— 3.7故d 的取值范围为—学—3 .⑵ T S 12> 0, S 13< 0,[a 1 + a 12> 0, [a 6+ a 7 > 0, a 1 + a 13< 0. I a 7< 0.S 9 解析：选D•••等差数列®｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n , S n _ 2nTn3n + 1a 5 9a 5b s = 9b 5£ = 14•故选 D.D . 11解析：选B '-｛a n ｝是等差数列,a 1 = — 26, a 8+ a 13 = 5,26n + 甲 x 3 = 3n 255 3 55 2 3 025 2 n = 2 n — 6 ― 24 ,又由(1)知dv 0.•'a6> 0,10 (4+13) =85. 数列前6项为正，从第7项起为负. 数列前6项和最大. ［能力提升综合练］1. 在等差数列｛a n ｝中，若a 2 + a 8= 4，则其前9项的和S g 等于( )A . 18B . 27C . 36D . 9解析：选A •••数列｛a n ｝是等差数列， •'a i + a 9= a 2+ a 8= a 3 + a z = a 4 + a 6= 2a 5. •'S 9= g(a 2+ a 8)= 18.故选 A. 2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 120 °公差为5°那么这个多边形的边数n 等于()A . 12B . 16C . 9D . 16 或 9解析：选C 设凸多边形的内角组成的等差数列为｛a n ｝,则a n = 120+ 5(n — 1)= 5n + 115,*n(n — 1)由 an<180，得 n<13 且 n€N .由 n 边形内角和定理得，(n — 2) X 180 = n x 120 +一2— X 5. 解得 n = 16 或 n = 9.Tn<13 , -'n = 9.3. 在等差数列｛a n ｝中，7a 5 + 5a 9= 0,且a ?〉a 5,则使数列前n 项和取得最小值的n 等于()A . 5B . 6C . 7D . 8解析：选 B T a ?〉a 5,-公差 d >0.由 7a 5 + 5a 9= 0，得3207(a 1+ 4d) + 5(a 1+ 8d)= 0,「d =—石a 1.由 a n = a 1+ (n — 1)d < 0，解得 n < —，即使 S n 取 得最小值的n 等于6.4.已知数列｛a n ｝ , ｛b n ｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1, 6,且a 1+ m= 5,a 1>b 1.a 1, b 1, n € N *，则数列｛a bn ｝的前10项和等于()A . 55B . 70C .85D . 100解析： 选 C a n = a t + n — 1,b n = d + n — 1.ab n =a 1 +b n — 1 = a t + (d + n —1) — 1 = a t + * + n — 2= 5+ n — 2 = n + 3,因此数列｛a bn｝也是等差数列，并且前10项和等于5.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0, S 2 018<0.若对任意的正整数 n ,都有S n < S k ,贝y k 的值为 _________ .-、 2 017fa i + a 2 017 \解析：•等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S 2 017>0 , S 2 018<0，•丫 = 22 018(a i + a 2 018)017a i 009>0 ,2= 1 009(a i009 + a i 0i0)<0,「.a i 009>0, a i010<0,.°.在前 n 项和 S n中，S 1 009最大，•.对任意正整数 n ,S1 009，贝U k = 1 009.答案：1 0096.已知等差数列｛a n ｝的前三项为a — 1, 4, 2a ,记前n 项和为S n . (1) 设S k = 2 550,求a 和k 的值；(2) 设 b n = Sn ，求 b 3 + b 7+ bn + …+ b 4n -1 的值.n 解：(1)由已知得 a 1 = a — 1, a 2 = 4, a 3= 2a , 又 a 1 + a 3= 2a 2,「・(a — 1) + 2a = 8，即卩 a = 3. •'a 1= 2，公差 d = a 2— a 1= 2. k ( k — 1)k ( k — 1)由 S k = ka 1 + ~ d ,得 2k +2 x 2= 2 550,即 k 2+ k — 2 550= 0,解得 k = 50 或 k =— 51(舍去).•'a = 3, k = 50.•'b n = = n + 1 ,「.｛b n ｝是等差数列.n则 b 3+ b 7+ b 11+ …+ b 4n — 1= (3 + 1) + (7 + 1) + (11 + 1) + …+ (4n — 1+ 1)= 2n 2+ 2n. 7.(选做题)在等差数列｛a n ｝中，a 10= 23, a ?5 =— 22, (1) 该数列第几项开始为负？ (2) 前多少项和最大？⑶求数列｛|a n |｝的前n 项和.(2)由 S n = na 1 +n (n — 1)2d,得 S n = 2n + n ( n —1)2x 2 = n 2+ n.解：设等差数列｛a n｝中，公差为d,所以n = 17.即前17项和最大.53 — 3n (0v n W 17),(3) |a n |= |53— 3n| =3n — 53 ( n > 17).•'S n = |a 1|+ |a 2| + |a 3| + …+ |a n | = a 1+ a 2 + …+ a 17— (a^ + a 19 + …+ a n ),当 n W 17 时，S n '=—n 2+ 晋n ；3 2 103 3 2 103——尹 +_2 n + 2S 17 = ? — n + 884,由题意得a 25 — a io = 15d =— 45,a i = 50,1123= a i +( 10 — 1) x d , |d =— 3. 53(1)设第n 项开始为负，a n = 50 — 3(n — 1) = 53 — 3n v 0, n >罟，所以从第18项开始为负.n (n — 1)3 2 103 3(2)法一：设前 n 项和为 S n ,则 S n = 50n + 云(—3) = — qn + _2~n = —-所以当n = 17S n 最大•即前a n + 1 W 0 ,50 — 3n < 0,当 n > 17 时，S n。

2020年高二数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥棱台的结构特征课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台球及简单组合体的结构特征课时跟踪检测三中心投影与平行投影及空间几何体的三视图课时跟踪检测四空间几何体的直观图课时跟踪检测五柱体锥体台体的表面积与体积课时跟踪检测六球的体积和表面积课时跟踪检测七平面课时跟踪检测八空间中直线与直线之间的位置关系课时跟踪检测九空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系课时跟踪检测十直线与平面平面与平面平行的判定课时跟踪检测十一直线与平面平面与平面平行的性质课时跟踪检测十二直线与平面垂直的判定课时跟踪检测十三平面与平面垂直的判定课时跟踪检测十四直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课时跟踪检测十五倾斜角与斜率课时跟踪检测十六两条直线平行与垂直的判定课时跟踪检测十七直线的点斜式方程课时跟踪检测十八直线的两点式方程课时跟踪检测十九直线的一般式方程课时跟踪检测二十两条直线的交点坐标两点间的距离课时跟踪检测二十一点到直线的距离两条平行线间的距离课时跟踪检测二十二圆的标准方程课时跟踪检测二十三圆的一般方程课时跟踪检测二十四直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十五圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课时跟踪检测二十六空间直角坐标系课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是( )A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A 三棱柱只有面对角线,没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．3．如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D 三棱锥的每一个面均可作为底面,应选D.5．下面说法中,正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B 由棱台的结构特点可知,A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是( )解析：选C 棱台的底面为多边形,各个侧面为梯形,侧棱延长后又交于一点,只有C项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中,不是三棱柱展开图的是( )解析：选C 本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱,故选C.8．如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题：①点H与点C重合；②点D,M,R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记,若记面NPGF为“下”,面PSRN为“后”,则面PQHG,MNFE,EFCB,DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体,则点D,M,R重合；点G,C重合；点B,H重合；点A,S,Q重合．故②④正确,①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致,故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D.3解析：选A 由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱,故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )解析：选A 两个☆不能并列相邻,B、D错误；两个※不能并列相邻,C错误,故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是( )A．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误；选项C错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱,则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知,棱台的上下底面为相似多边形,边数相同；侧面为梯形,侧面个数与底面多边形边数相同,可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后,(1)为________,(2)为________,(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知,(1)是四棱柱,(2)是三棱锥,(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两夹角都是30°,在一条棱上取A、B 两点,OA＝4 cm,OB＝3 cm,以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图,如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中,∠AOB＝30°×3＝90°,OA＝4 cm,OB＝3 cm,所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.课时跟踪检测（二）圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D 根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C 圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球,得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确,因为直径必过球心；③不正确,因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是( )解析：选D A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥,是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D 如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形,使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( )A．8 B.8π C.4πD.2π解析：选B 由题意可知,假设围成的圆柱底面周长为4,高为2,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr＝4,所以r＝2π,所以截面是长为2,宽为4π的矩形,所以截面面积为2×4π＝8π.同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为________cm. 解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B 圆旋转一周形成球,圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱,所以选B.2．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为9 π和16 π,则这两个平面间的距离是( )A．1 B．7C．3或4 D.1或7解析：选D 如图(1)所示,若两个平行平面在球心同侧,则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示,若两个平行截面在球心两侧,则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体,其中说法正确的是________．解析：①正确,圆柱的底面是圆面；②正确,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确,圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm,高为 2 cm,其内部有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a,则a2＝1－22a1,即a ＝22. 答案：22cm7.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD <BC ,当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征．解：如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,延长AA 1交OO 1的延长线于S ,在Rt △SOA 中,∠ASO ＝45°, 则∠SAO ＝45°,所以SO ＝AO ＝3x ,SO 1＝A 1O 1＝x , 所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392,所以x ＝7.所以圆台的高OO 1＝14 (cm), 母线长l ＝2OO 1＝142(cm), 两底面半径分别为7 cm,21 cm.课时跟踪检测（三） 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一 平行投影和中心投影 1．直线的平行投影可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．射线D.曲线解析：选A 直线的平行投影可能是直线也可能是点,故选A. 2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是( )解析：选A 根据平行投影和中心投影的画法规则,B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形,而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图,E,F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的组成为( )A．上面为棱台,下面为棱柱B．上面为圆台,下面为棱柱C．上面为圆台,下面为圆柱 D.上面为棱台,下面为圆柱解析：选C 结合三视图,易知该几何体上面为圆台,下面为圆柱．5．如图所示的几何体中,正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形,(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形,其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三 由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D.2解析：选B 先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M ,N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ,N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示,连接MN ,则图中MN 即为M 到N 的最短路径．∵ON ＝14×16＝4,OM ＝2,∴MN ＝OM 2＋ON 2＝ 22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图,则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知,此几何体为一个正四棱锥． 答案：正四棱锥9．如图,图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图,其中图(1)是________,图(2)是________,图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知,(1)为正视图,(2)为侧视图,(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D 矩形的平行投影可能是线段,平行四边形或矩形,梯形的平行投影可能是线段或梯形,两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错,故D正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )解析：选B 依题意,侧视图中棱的方向从左上角到右下角,故选B.3.某个游戏环节,玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池．类似地,有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞,则该几何体为( )解析：选A 由题意知,图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图,结合选项中给出的图形分析可知,A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中,正视图和侧视图是两个完全相同的图形,如图所示,则相应的俯视图可以为( )A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D 若俯视图为图①,则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线,故俯视图不可能为图①,排除选项A；若俯视图为图③,则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形,故俯视图不可能为图③,排除选项B、C；若俯视图为图②,则该几何体是由上面是正四棱锥,下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④,则该几何体是由上面是正四棱锥,下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知,几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形,侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长,尺寸23为俯视图正三角形的高,所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示,试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体 (如图所示)．8.如图,在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AB ＝1,AA 1＝2,点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点,求三棱锥P ­ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点,则三棱锥P ­ABC 的正视图始终是一个底为1,高为2的三角形, 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时,其俯视图的面积最小, 最小面积S 2＝12×1×1＝12,所以三棱锥P ­ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.课时跟踪检测（四） 空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时,若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴,且∠A ＝90°,则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时,∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴,而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法,原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知,平行于y 轴的线段长度减半,直角坐标系变成斜坐标系,而平行性没有改变,故只有选项D 正确．4．如图,已知等腰三角形ABC ,则如图所示的四个图中,可能是△ABC 的直观图的是 ( )A ．①②B ．②③C ．②④D.③④解析：选 D 原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．5．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴,垂足为E ,如图(1)所示,画出对应的x ′轴、y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)如图(2)所示,在x ′轴上取点B ′,E ′, 使得O ′B ′＝OB ,O ′E ′＝OE ； 在y ′轴上取一点D ,使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴,使E ′C ′＝12EC .(3)连接B ′C ′,C ′D ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(3)所示,四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．对点练二 由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )解析：选A 由直观图的画法可知,落在y 轴上的对角线的长为22,结合各选项可知选A.6．如图所示,△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图,则在△ABC 的三边及中线AD 中,最长的线段是( )A ．AB B ．AC C ．BCD.AD解析：选B 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,所以斜边AC 最长． 8.如图所示,Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图,直角边O ′B ′＝1,则这个平面图形的面积是( )A ．2 2B ．1 C. 2D.4 2解析：选C 在△AOB 中,OB ＝O ′B ′＝1,OA ＝2O ′A ′＝22,且∠AOB ＝90°,S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.2.如图所示的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32) cmD.(2＋23) cm解析：选B 直观图中,O ′B ′＝2,原图形中OC ＝AB ＝(22)2＋12＝3,OA ＝BC ＝1,∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ,如图所示,∠ABC ＝45°,AB ＝AD ＝1,DC ⊥BC ,则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ,垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ,∴ADCE 是矩形,∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°,AB ＝AD ＝1知BE ＝22,∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22,高为2, ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图,四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形,且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ,使点A 与O 重合, 在x 轴上取点C ,使AC ＝2, 再在y 轴上取点D ,使AD ＝2, 取AC 的中点E , 连接DE 并延长至点B , 使DE ＝EB ,连接DC ,CB ,BA ,则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴,且使CB ＝AD ＝2,然后连接AB ,DC ),如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形,∵AD ＝2,AC ＝2,∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示．课时跟踪检测（五） 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形．从而,其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶ 3C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ,则高h ＝2r ,∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2,S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图,设球心为O ,半径为r ,则在Rt △AOF 中,(4－r )2＋(2)2＝r 2,解得r ＝94,所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π,解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π,S 侧＝2πr ·h ＝4π,所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,高为2的直四棱柱,直角梯形的两底边长分别为1,2,高为2,∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2,设圆锥的底面半径为r ,则2πr ＝12×2π×2,∴r ＝1,则高h ＝ l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等,则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点,上底面为底面的四棱锥,其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图,在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,AB ＝4,AA 1＝6.若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点,则三棱锥A ­A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,AA 1∥BB 1,AA 1⊂平面AA 1C 1C ,BB 1⊄平面AA 1C 1C ,所以BB 1∥平面AA 1C 1C ,从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离,作BH ⊥AC ,垂足为点H ,由于△ABC 是正三角形且边长为4,所以BH ＝23,从而三棱锥A ­A 1EF 的体积VA ­A 1EF ＝VE ­A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图,ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱,则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( )。

课时达标训练(五) 数列的概念与通项公式[即时达标对点练]题组1 数列的概念及分类1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，13，132，133，…B ．sinπ13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，… C ．－1，－12，－13，－14，…D ．1,2,3,4，…，30解析：选C 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sinπ13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，...是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4， (30)递增数列，但不是无穷数列．2．已知下列数列：(1)2 014，2 016，2 018，2 020，2 022； (2)1，12，14，…，12n －1，…；(3)1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；(4)1，0，－1，…，sin n π2，…； (5)9，9，9，9，9，9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．解析：分析可知：(1)是有穷递增数列； (2)是无穷递减数列； (3)是摆动数列，是无穷数列； (4)是摆动数列，是无穷数列； (5)是常数列，是有穷数列．答案：(1)(5) (2)(3)(4) (1) (2) (5) (3)(4)题组2 根据数列的前几项写出通项公式3．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．4．一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2＋12n －6 C ．a n ＝12n 2－12n ＋1D ．a n ＝6n 2－6n ＋11解析：选C 对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n＝n 3－6n 2＋12n －6，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝6n 2－6n ＋11，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选C.5．写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1，11，111，1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2nn ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．题组3 数列通项公式的应用6．已知数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8 解析：选C a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10， ∴a 2a 3＝2×10＝20.7．数列3，3，15，21，…，则3 3 是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第9项 D ．第10项 解析：选A a n ＝6n －3，由6n －3＝33，得n ＝5.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 解：(1)a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n 2－28n ＝－49，解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68，解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．[能力提升综合练]1．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B ．5 C ．6 D.log 23＋log 31325解析：选B a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝cos nπ2，则该数列的首项a1和第4项a4分别为()A．0,0 B．0,1 C．－1,0 D．－1,1解析：选B∵a n＝cos nπ2，∴a1＝cos π2＝0，a4＝cos 2π＝1.4．下列命题：①已知数列{a n}，a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第一项；②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n＝3n－1；③已知数列{a n}，a n＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.其中正确命题的个数为()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：选A对于①，令a n＝1n（n＋2）＝1120⇒n＝10，易知最大项为第一项．①正确；对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…⇒a n＝3n－1，②正确；对于③，a n＝kn－5，且a8＝11，故k＝2.即a n＝2n－5.所以a17＝2×17－5＝29.故③正确．5．已知数列{a n}的前四项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n＝10n＋n.答案：a n＝10n＋n6．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析：令a n＝n2－8n＋12<0，解得2<n<6，又因为n∈N*，所以n＝3，4，5，一共有3项．答案：37．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n ，且a 4－a 2＝72. (1)求实数q 的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解：(1)由题意知q 4－q 2＝72⇒q 2＝9或q 2＝－8(舍去)，∴q ＝±3.(2)当q ＝3时，a n ＝3n ，显然－81不是此数列中的项；当q ＝－3时，a n ＝(－3)n ，令(－3)n ＝－81＝－34，也无解．∴－81不是此数列中的项．8．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 018；(3)判断2 018是否为数列{a n }中的项？ 解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 018＝4×2 018－2＝8 070. (3)令2 018＝4n －2， 解得n ＝505∈N *，∴2 018是数列{a n }的第505项．。

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课时达标训练(十）等比数列［即时达标对点练］题组1 等比数列的判定与证明1．数列a，a，a，…，a，…（a∈R)必为（）A．等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．等差数列解析：选D a＝0时为等差数列，a≠0时既是等比数列也是等差数列．2．已知数列错误!的前n项和为S n，S n＝错误!（a n－1）（n∈N*)．(1）求a1，a2;（2)求证：数列错误!是等比数列．解：（1)由S1＝错误!（a1－1）,得a1＝错误!(a1－1)．∴a1＝－错误!。

又S2＝错误!(a2－1),即a1＋a2＝错误!(a2－1）,得a2＝错误!.(2)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!（a n－1)－错误!（a n－1－1)，得错误!＝－错误!,又a1＝－错误!，所以错误!是首项为－错误!，公比为－错误!的等比数列．3．数列｛a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝错误!S n（n＝1，2，3，…)．证明：(1）数列错误!是等比数列；(2）S n＋1＝4a n。

证明：(1）∵a n＋1＝S n＋1－S n,a n＋1＝错误!S n，∴(n＋2)S n＝n(S n＋1－S n)．整理，得nS n＋1＝2（n＋1)S n，∴S n＋1n＋1＝2错误!。

课时达标训练（十二）一、选择题1．下列幂函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12C ．y ＝x 3D ．y ＝x 22．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 4．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)二、填空题5．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数y ＝f (x )的图像上，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________. 6．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝________，g (x )＝________.7．如果y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x ，f x x 是奇函数，则f (x )＝________.8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图像如图所示，则不等式f x g x＜0的解集是________．三、解答题9．研究函数y ＝x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫即y ＝1x 2的奇偶性、单调性，并作出函数的图像． 10．已知函数f (x )＝x ＋m x，且f (1)＝2.(1)求m;(2)判断f (x )的奇偶性；(3)函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明．答案1．解析：选D 由偶函数的性质f (－x )＝f (x )知，D 正确．2．解析：选A 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，(a ≠0)，其定义域为R ，且g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．3．解析：选A 作出示意图可知：f (2x －1)＜f (13)⇔－13＜2x －1＜13，即13＜x ＜23.4．解析：选D y ＝f (x ＋8)为偶函数，∴f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，∴y ＝f (x )的对称轴为x ＝8.∵f (x )在(8，＋∞)为减函数，∴由对称性知f (x )在(－∞，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f (7)＞f (10)．5．解析：设f (x )＝x α(α为常数)，则2α＝12＝2－1， ∴α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4. 答案：46．解析：∵f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2， ①∴f (－x )＋g (－x )＝(－x )2＋(－x )－2.又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (x )－g (x )＝x 2－x －2. ②由①②解得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .答案：x 2－2 x7．解析：设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x ，f x x ，当x <0时，－x >0，则 g (－x )＝2(－x )－3＝－(2x ＋3)．∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴当x <0时，g (x )＝2x ＋3，即f (x )＝2x ＋3.答案：2x ＋38．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在[－π，π]上的图像．由图像知，不等式f x g x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 9．解：∵y ＝x －2＝1x 2， ∴函数的定义域为{x |x ≠0}．取任意的x (x ≠0)，则－x ≠0.又∵f (－x )＝1－x 2＝1x 2＝f (x )， ∴y ＝x －2在定义域内是偶函数．当任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22 ＝x 1＋x 2x 2－x 1x 21x 22，∵0＜x 1＜x 2，∴x 21x 22＞0，x 1＋x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，即f (x )＝x －2在(0，＋∞)上为减函数．由偶函数的性质知f (x )＝x －2在(－∞，0)上为增函数．通过描点作图可得y ＝x －2(x ≠0)的图像如上图所示．10．解：(1)因为f (1)＝2，所以1＋m ＝2，即m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x，显然函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )＋1－x ＝－x －1x ＝－(x ＋1x)＝－f (x )， 所以，函数f (x )＝x ＋1x是奇函数． (3)函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，设x 1、x 2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝x 1－x 2＋(1x 1－1x 2) ＝x 1－x 2－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2， 当1＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0，x 1－x 2<0，从而f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数.。