2019-2020年高中数学课时达标训练十二抛物线及其标准方程新人教A版选修

2．3　抛物线课时作业18　抛物线及其标准方程知识点一 抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5＝|3x ＋4y －12|，则动点x 2＋y 2M 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案　C解析　方程5＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直x 2＋y 2|3x ＋4y －12|5线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；③抛物线的焦点一定在y 轴上．其中假命题是________(填序号)．答案　②③解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解　解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，则＝|x |＋1.(x －1)2＋y 2两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝Error!于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．解法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．知识点二 抛物线的标准方程4.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________，准线方程为________．答案 y ＝－(0，18)18解析　抛物线方程即x 2＝y ，可知焦点在y 轴上，且＝，所以12p 218焦点坐标是，准线方程为y ＝－.(0，18)185．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解　(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .p2(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为，准线为x ＝－，(p 2，0)p2则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x.一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4x 或x 2＝4yD.y 2＝4x 或x 2＝－4y答案　C解析　设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A. B.112C.2D.4答案　C解析　由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－.p 2由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋＝4，∴p ＝2.故选C.p 23．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝(k >0)与C 交于点k x P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A. B.112C. D.232答案　D解析　易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2，(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝(k >0)得k ＝2.故选D.k x 4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.y 2＝8xB.y 2＝－8xC.y 2＝4xD.y 2＝－4x答案　A解析　设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .故选A.5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝x 0，则x 0等于( )54A.4B.2C.1D.8答案　C 解析　如图，F ，(14，0)过A 作AA ′⊥准线l ，∴|AF |＝|AA ′|，∴x 0＝x 0＋＝x 0＋，54p 214∴x 0＝1.故选C.二、填空题6．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案　9解析　由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.7．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．答案　x ＝－54解析　OA 的垂直平分线方程为y ＝－2x ＋，52令y ＝0，得x ＝，54∴焦点F 的坐标为.(54，0)∴抛物线方程为y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－.548．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.答案　26解析　以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 m.6三、解答题9．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解　当m >0时，准线方程为x ＝－，m4由条件知1－＝3，所以m ＝8.(－m 4)此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－，m4由条件知－－1＝3，m4所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．22＋125如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.12(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，12因为＞2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

2.3.1　抛物线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )B.(-2,0) C.(4,0)D.(-4,0)2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0=0 D.4y+1=0y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y==12,且焦点在‒14,4y+1=0.3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )212y B.y 2=12x C.y 2=-12x D.x 2=12yx=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )B.6 C.8 D.12P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6.由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24‒y 22=1上,则抛物线的方程为( )A.y 2=8x B.y 2=4x C.y 2=2x D.y 2=±8x,即为(-2,0)或(2,0),线x 24‒y 22=1的顶点所以抛物线的方程为y 2=8x 或y 2=-8x.6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 x 2y==14y ,准线为‒116.因为点M 到焦点的距离为1,所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.7.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 .,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.2=-8y 8.已知抛物线y 2=2px (p>0)上一点M (1,m )到其焦点的距离为5,双曲线x 2‒y 2a =1的左A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则实数a =_________________.1p=8.+p 2=5,解得由点M 在抛物线上,可得m=±4.不妨取M (1,4),则AM 的斜率为2,由已知a 得‒a ×2=‒1,故=14.9.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上.设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①由题意可知直线l 与x 轴的交点为(2,0).当抛物线的焦点是F (2,0),则p 2=2,∴p =4,∴抛物线的标准方程是y 2=8x.②由题意可知直线l 与y 轴的交点为(0,-3),当抛物线的焦点是F (0,-3),则p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程是x 2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2=8x 或x 2=-12y.10.设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ∈C ,已知以点F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程.F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点,所以△BFD 为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p ,又因为点A 到准线l 的距离d=|FA|=|FB|S △ABD ==2p ,所以42=12|BD |p=2.×d =12×2p ×2p ,所以所以圆F 的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.二、能力提升1.过点F (0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y 2=12xB.y 2=-12x2y D.x 2=-12y2.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A .34B.1C.54D.743.已知双曲线C 1:x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A.x 2=833y B.x 2=1633y 2yD.x 2=16ye 2=1y=+b 2a 2=4,得b a =3,则双曲线的渐近线方程为±3x ,即3x ±y =0.抛物线C 2的焦点坐标2,可为(0,p 2),由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为得p22=2,p=8.解得故抛物线C 2的方程为x 2=16y.4.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8x 2x D.y 2=8xy 2=ax (a ≠0)的焦点F 的坐标l 的方程为y=y 轴的为(a 4,0),则直线2(x -a4),它与交点△OAF 的面积a=±8.为A (0,-a 2),所以为12|a 4|·|a 2|=4,解得所以抛物线的方程为y 2=±8x ,故选B.5.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .抛物线的焦点坐标为F (p2,0),线段FA 的中,点B (p 4,1)在抛物线上∴12=2p ×p 4,∴p =2,∴x=B (24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B 到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=324.★6.已知M 是抛物线y 2=2px (p>0)上的点,若点M 到此抛物线的准线和x 轴的距离分别为5和4,则点M 的横坐标为 .M (x 0,y 0),则x 0+p2=5,|y 0|=4.又y 20=2px 0,∴x 0=8p ,∴8p +p 2=5.∴p=2或p=8,则x 0=4或x 0=1.或47. 如图,已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A 在抛物线上,且是横坐标为4,位于x 轴上方的点,点A 到抛物线准线的距离等于5,过点A 作AB 垂直于y 轴,垂足为点B ,OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N的坐标.抛物线y 2=2px 的准线方程为x=4‒p 2,于是+p 2=5,p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)由题意得A (4,4),B (0,4),M (0,2).又F (1,0),所以k AF FA 的方程为y =43,则=43(x ‒1).因为MN ⊥FA ,所以k MN =‒34,则MN 的方程为y=‒34x +2.解方程组{y =-34x +2,y =43(x -1),得{x =85,y =45.所以N (85,45).★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?设曲线方程为y=ax 2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知 {x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC |=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。

课时达标检测（十二）抛物线及其标准方程一、选择题．顶点在原点，且过点(－)的抛物线的标准方程是( )．＝－．＝．＝－或＝．＝或＝－解析：选设抛物线方程为＝－或＝，把(－)代入得＝或＝，即＝或＝.故抛物线的标准方程为＝－或＝.．已知点(，)在抛物线＝上，且点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为( )．．．．解析：选准线方程为＝－，∴＋＝，＝.∴焦点到准线的距离为＝.．已知抛物线＝(＞)的准线与圆(－)＋＝相切，则的值为( )．．．解析：选∵抛物线＝的准线＝－与圆(－)＋＝相切，∴－＝－，即＝.．设圆与圆＋(－)＝外切，与直线＝相切，则的圆心轨迹为( )．抛物线．双曲线．椭圆．圆解析：选由题意知，圆的圆心到点()的距离比到直线＝的距离大，即圆的圆心到点()的距离与到直线＝－的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．．已知点在抛物线＝上，那么点到点(，－)的距离与点到抛物线焦点距离之和取最小值时，点的坐标为( )．() ．(，－)解析：选点到抛物线焦点距离等于点到抛物线准线距离，如图，＋＝＋，故最小值在，，三点共线时取得，此时，的纵坐标都是－，点坐标为.二、填空题．抛物线＝的焦点坐标是．解析：解析：方程改写成＝，得＝，∴＝，即焦点()．答案：()．已知抛物线＝(＞)上一点(，)到其焦点的距离为，双曲线－＝的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数＝.解析：根据抛物线的定义得＋＝，＝.不妨取()，则的斜率为，由已知得－×＝－，故＝.答案：．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()．其中满足抛物线方程为＝的是．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线＝的焦点在轴上，②满足，①不满足；设(，)是＝上一点，则＝＋＝＋＝≠，所以③不满足；由于抛物线＝的焦点为，过该焦点的直线方程为＝，若由原点向该直线作垂线，垂足为()时，则＝－，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点(，－)到焦点的距离为，求的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为＝－(＞)，则焦点，准线：＝.作⊥，垂足为，则＝＝，而＝＋，＋＝，。

课时达标训练（十二）[即时达标对点练]题组抛物线的几何性质．设抛物线的焦点到顶点的距离为，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()．(，＋∞)．[，＋∞)．(，＋∞) ．[，＋∞)．已知抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线－＋＝上，则此抛物线的方程是( )．＝－．＝．＝－．＝题组抛物线的焦点弦问题．过抛物线＝的焦点作倾斜角为°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )．．．．．过抛物线＝(>)的焦点作一直线交抛物线于(，)、(，)两点，则·的值为( )．．－．．－．过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点，若＋＝，则＝．．线段是抛物线＝的一条焦点弦，且＝，则线段的中点到直线＋＝的距离为．题组直线与抛物线的位置关系．已知直线＝－及抛物线＝(>)，则( )．直线与抛物线有一个公共点．直线与抛物线有两个公共点．直线与抛物线有一个或两个公共点．直线与抛物线可能没有公共点．设抛物线＝的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )．[－，]．[－，] ．[－，]．在抛物线＝上求一点.使到直线－＋＝的距离最短，并求出距离的最小值．．如图所示，过抛物线＝(>)的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若＝，且＝，求此抛物线的方程．[能力提升综合练]．设为过抛物线＝(>)的焦点的弦，则的最小值为( )．．．无法确定．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－．过抛物线＝(>)的焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在准线上的射影为、，则∠等于( )．°．°．°．．已知抛物线：＝的焦点为，直线＝－与交于，两点，则∠＝( )．－．－．已知直线＝(＋)(>)与抛物线：＝相交于，两点，为的焦点．若＝，则＝．．抛物线＝(>)的焦点为，其准线与双曲线－＝相交于，两点，若△为等边三角形，则＝．．已知是抛物线＝(>)的焦点弦，且(，)，(，)，点是抛物线的焦点．()证明：＝－，＝；()求＋的值．．如图，已知两条抛物线：＝(>)和：＝(>)，过原点的两条直线和，与，分别交于，两点，与，分别交于，两点．()证明：∥；()过原点作直线(异于，)与，分别交于，两点．记△与△的面积分别为与，求的值．答案即时达标对点练.解析：选∵抛物线的焦点到顶点的距离为，∴＝，即＝.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，。

1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为：y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C ．32D ．52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：选 C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2018·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6， 所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192 C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2018·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

第二章 2.4 2.4.1基础练习1．过点A (1,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】D【解析】设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．点(7，－4)到抛物线y 2＝16x 焦点的距离是( ) A ．5 B ．8 C ．11 D ．15 【答案】A【解析】抛物线的焦点为(4,0)，点(7，－4)到点(4,0)的距离为(7－4)2＋(－4)2＝5.故选A ． 3．抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x 【答案】A【解析】抛物线的准线方程为x ＝－6a ，由题意得3＋6a ＝5，∴a ＝13.∴抛物线的方程是y 2＝8x .故选A ．4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】A【解析】设抛物线焦点为F ，则点F 为(1,0)，x ＝－1为抛物线的准线方程，∴点P 到l 2的距离与|PF |相等．∴当PF ⊥l 1时，所求和最小，最小值为点F 到l 1的距离，其值为|4＋6|5＝2.故选A ．5．(2019年江苏南京模拟)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1的大小为________．【答案】π2【解析】由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，∴∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.6．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________． 【答案】2【解析】由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A＝y 2A4＝3.∴所求距离为3－1＝2. 7．分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)若抛物线焦点落在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)．将点(－3,2)代入方程得22＝－2p ·(－3)，p ＝23.故抛物线方程为y 2＝－43x .若抛物线焦点落在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)．将点(－3,2)代入方程得 (－3)2＝2p ·2，p ＝94.故抛物线方程为x 2＝92y .综上，抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，则抛物线的焦点坐标为(4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，p2＝4，p ＝8，则抛物线方程为y 2＝16x .直线x －2y －4＝0与y 轴的交点为(0，－2)，则抛物线的焦点坐标为(0，－2)． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，－p2＝－2，p ＝4，则抛物线方程为x 2＝－8y .综上，抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .8．(1)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求该抛物线方程；(2)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，求点P 的轨迹方程． 解：(1)抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4. 令x ＝0得y ＝－a 2，故△OAF 的面积为12×⎪⎪⎪⎪a 4×⎪⎪⎪⎪－a 2＝a 216＝4.解得a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .(2)由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，∴点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等．∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线． ∴点P 的轨迹方程为x 2＝8y .能力提升9．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋4 2C ．213D ．4＋2 5【答案】C【解析】设A (x 0，y 0)．∵|AF |＝4，由抛物线的定义得|AF |＝2－x 0，∴2－x 0＝4.解得x 0＝－2.∴A (－2，±4)．设坐标原点关于准线x ＝2的对称点的坐标为B (4,0)，则|P A |＋|PO |＝|P A |＋|PB |≥|AB |＝(4＋2)2＋42＝213.故选C ．10．(2019年河北邢台模拟)从抛物线y 2＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的内切圆的面积为( )A ．15－352πB ．15－552πC ．17－352πD ．17－552π【答案】B【解析】如图，∵|PM |＝5，∴点P 的坐标为(4,4)．∴S △PMF ＝12×5×4＝10.设△PMF 的内切圆圆心为O ′，半径为r ，则S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF ，即12(5＋5＋25)r ＝10.解得r ＝5－52.故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π.11．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，P 是抛物线准线上一点，Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若PQ →＝ 2 QF →，则直线PF 的方程为________．【答案】x ＋y －2＝0或x －y －2＝0【解析】抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，设点Q 到准线l 的距离为d ，则|QF |＝d .∵PQ →＝ 2 QF →，∴|PQ →|＝|2 QF →|＝2d .∴直线PF 的倾斜角为45°或135°.∴直线PF 的斜率为±1.∴直线PF 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.12．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的一点R 与焦点连线的中点为M (－5,4)，求抛物线的标准方程．解：由题意，知抛物线的焦点一定在x 轴的负半轴上，设其方程为y 2＝－2px (p >0)，则F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，令R (x 0，y 0)．∵－5＝x 0－p22，4＝y 0＋02，∴x 0＝p 2－10，y 0＝8.代入y 2＝－2px ，得64＝－2p ⎝⎛⎭⎫p 2－10，即p 2－20p ＋64＝0.解得p ＝4或16.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x 或y 2＝－32x .。

课时达标训练（十二）[即时达标对点练]题组1 抛物线的几何性质1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x题组2 抛物线的焦点弦问题3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．644．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB 的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 25．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．6．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．题组3 直线与抛物线的位置关系7．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点8．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．在抛物线y 2＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．10．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．[能力提升综合练]1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－23．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．1204．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－455．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________．6．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．7．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．。

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课时自测·当堂达标
1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(4,0)
D.(-4,0)
【解析】选 A.=4,焦点在y轴上,开口向下,焦点坐标应为,即(0,-4).
2.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a,则点M的横坐标是
( )
A.a+
B.a-
C.a+p
D.a-p
【解析】选 B.设M(x0,y0),由点M到焦点的距离为a,可得点M到准线x=-的距离也为a,即x0+=a,所以x0=a-.
3.若椭圆+=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p为.
【解析】由题意,得-=-,解得p=.
答案:
4.若抛物线y2=2px(p≠0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则实数p= .
【解析】因为椭圆+=1,所以a2=6,b2=2,
所以c2=a2-b2=4,故c=2,
所以右焦点为(2,0),所以=2,p=4.
答案:4
5.抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M点的坐标.
【解析】设焦点为F,
M点到准线的距离为d,
则d=|MF|=10,
即9+=10,所以p=2,
所以抛物线方程为y2=-4x.
将M (-9,y)代入抛物线的方程,
得y=±6.所以M点坐标为(-9,6)或(-9,-6).
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