数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算

数学高考复习名师精品教案第74课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面垂直课题：直线与平面垂直 一．复习目标：1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二．知识要点：1．直线与平面垂直的判定定理是 ；性质定理是 ； 2．三垂线定理是 ；三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：三．课前预习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若mα⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则mα⊥。

上述判断正确的是 （ B ）()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④3．在直四棱柱1111ABC D A B C D -中，当底面四边形A B C D 满足条件A CB D⊥时，有111A C B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P A B C -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若P A B C⊥，P B A C⊥，则H 是A B C ∆的垂心②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是A B C ∆的垂心 ③若90ABC∠=，H 是A C 的中点，则PA PB PC ==④若PA PB PC ==，则H 是A B C ∆的外心其中正确命题的命题是 ①②③④ 四．例题分析：例1．四面体A B C D 中，,,ACBD E F=分别为,AD BC 的中点，且2EFAC=，90BDC ∠=，求证：B D ⊥平面A C D证明：取C D 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点， ∴E G12//A C=12//F G B D=，又,AC BD =∴12F G A C=，∴在E F G ∆中，222212E GF G A CE F+==∴E GF G⊥，∴B DA C⊥，又90BDC ∠=，即BDC D⊥，AC CD C =∴B D ⊥平面A C D例2．如图P 是A B C ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面P A B ，M 是P C 的中点，NMPCBAM DA 1C 1B 1CBAN是AB 上的点，3A NN B=（1）求证：M N A B⊥；（2）当90APB ∠= ，24AB BC ==时，求M N 的长。

2019-2020年高考数学复习 第71课时第九章直线、平面、简单几何体-课题：平面的基本性质一•复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 二•课前预习： 1.、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是(C )A 丨，A 三 *,B 丨，B ：=丨二：；一,B——二:--AB 直线，且不共线与重合2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为， 腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 (D )例2.已知：a , b , c , d 是不共点且两两相交的四条直线,求证： a , b , c , d 共面. 证明1 o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a , b , c 相交于一点A , 但A'd ,如图1.3•对于空间三条直线,有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条个由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五AB// CD 直线AB BC AD DC 分别与平面a 相交于点 AB T A/D--CH2, 即先证明这些点都是某二• a , b , c , d 四条直线在同一平面 a 内.说明：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件 中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据公理 1证明其余的线（或点）均在这个平面内•本题最容易忽视“三线共点”这一种情况•因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每 一句话的含义.例3•如图，点 A , B , C 确定的平面与点 D, E , F 确定的 平面相交于直线I ,且直线AB 与 I 相交于点G,直线EF 与 l 相交于点H,试作出平面 ABD 与平面CEF 的交线.解：如图3,在平面ABC 内，连结 AB 与I 相交于点G, 则G€平面DEF 在平面DEF 内，连结DG 与EF 相交于点M 则M€平面 ABD 且M€平面CEF 所以，M 在平面ABD 与平面CEF 的交线上.同理，可作出点N N 在平面ABD 与平面CEF 的交线上•连结 MN 直线MN 即为所求.例4.如图，已知平面 a , 3 ,且a3= I .设梯形 ABCDh , AD// BC 且ABa , CD 3 ,求证: AB CD I 共点（相交于一点）.证明 •••梯形 ABCD^ , AD// BC • AB, CD 是梯形ABCD 勺两条腰. • AB CD 必定相交于一点，• ••直线d 和A 确定一个平面a.又设直线d 与a , b , c 分别相交于E, F , 则 AE ，F ， G€ a .T A , E € a , A , E € a ,「. a a . 同理可证b a, c a .• a , b , c , d 在同一平面a 内.2当四条直线中任何三条都不共点时，如图•••这四条直线两两相交，则设相交直线 a , 面a .设直线c 与a , b 分别交于点H K,则H 又 H, K € C ,「. c a .同理可证d a . 、Aa/ .• r... d /a E Fb G c图12.b 确定一个平H" K ad /K € a .ab c图2G例3I DB设ABC& M又T ABa , CD3 , • ME a ,且M€ 3 . • M€ a 3 . 又T a 3 = I , —M€ I ,即AB CD l 共点.说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理 2,这与证明多点共线是一样的.四•课后作业：1 •在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么 ( ) 一定在直线上一定在直线上可能在直线上，也可能在直线上 既不在直线上，也不在直线上 2.有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面； ②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四 点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形； ④垂直于同一直线的两直线平行⑤ 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 _______________ . 答案：①③ 3.—个平面把空间分成 __2__部分，两个平面把空间最多分成 _4___部分，三个平面把空间 最多分成__8__部分. 4 .四边形中，AB 二BC 二CD 二DA 二BD =1，则成为空间四面体时，的取值范围 答案：. 5.如图，P 、Q R 分别是四面体 ABC 啲棱AB ACAD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为 M 直线RQ M 与直线DC 的交点为 N,直线PR 与直线DB 的交点为L , 试证明M N,L 共线.证明：易证 M N , L €平面 PQR 且 M N, L €平面BCD所以M N, L €平面PQF 平面BCD 即M N, L 共线.6. 如图，P 、Q R 分别是正方体 ABCD-ABCD 的棱AA ,DD 上的三点，试作出过 P , Q, R 三点的截面图. 作法 ⑴连接PQ 并延长之交 AB 的延长线于T ;⑵连接PR 并延长之交AD 的延长线于S ; ⑶连接ST 交CD 、BC 分别于M N,则线段 MN 为平面PQF 与面ABCD 的交线.⑷连接RMQN 则线段RMQN 分别是平面PQF 与面DCCD , 面BCGB 的交线.得到的五边形 PQNM 即为所求的截面图(如图 4). 说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1.解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共 占 八、、♦有时同时还要运用公理 2、3及公理的推论等知识.7.如图，在平行六面体 ABC -A i B CD 的中，A i CBD = O , BD 平面A i BC = P. 求证：P € BO.S图4证明在平行六面体 ABC D ABC D 中，•/ BD 平面 ABC = P,「. P € 平面 ABC , P € BD. •/ BD 平面 BBDD. ••• P € 平面 ABC ,且 P € 平面 BBDD.••• P €平面 ABC 平面 BBDD,••• A i C B i D = O , AC 平面 ABC , BD 平面 BBD D, •••O €平面 ABC,且 O €平面 BBDD.又B €平面A i BC , 且 B €平面BBDD, •平面 A i BC 平面 BBDD = BO .「. P € BO.说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这 个点在过这条直线的两个平面上.2019-2020年高考数学复习 第72课时第九章直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案课题：空间直线 一. 复习目标：1. 了解空间两条直线的位置关系.2. 掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长. 二. 课前预习： 1. 下列四个命题：(1 )分别在两个平面内的两条直线是异面直线 (2) 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 (3) 和两条异面直线都相交的两条直线必异面 (4 )若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 (D )3212.在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为( A )0 0 03045 603. ______________________________________________ 在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为 ____________________________________________ .(答案：)4. ________________________________________ 两条异面直线、间的距离是 1cm,它们所成的角为60°,、上各有一点 A B ,距公垂线的 垂足都是10cm,贝U A 、B 两点间的距离为 .答案：三. 例题分析：CC例1.已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线.证一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为a，那么点P、A B C D都在平面a内，.••直线a 、b 、c 都在平面a 内，与已知条件 a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，二 AD 和BC 是异面 直线。

数学高考复习名师精品教案第81课时：第九章直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥课题：棱柱、棱锥一．复习目标：了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：1．叫棱柱2．正棱柱的性质有3．叫正棱锥4．正棱锥的性质有P={四棱柱}，Q={平行六面体}，R={长方体}，M={正方体}，N={正四棱柱},S={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是三．课前预习：1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的( D )()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )()A 4π ()B 3π ()C 2π()D 32π4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是6013.5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面所成的角为030，160B BC ∠= ，则ACB ∠的余弦为3四．例题分析：例1．正四棱锥S ABCD -中，高SO =γ，tan 2γ=(1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CF SB ⊥于F ，连结AF ，则CFB ABF ∆≅∆且AF SB ⊥，故AFC ∠是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF ，则AFC γ∠=，G F E D C 1B 1A 1CBA2OFC γ∠=，在R t O F C ∆与Rt OBF ∆中， tan 2γ＝OF OC ＝αsin 1=OF OB (其中SBO ∠为SB 与底面所成的角，设为α) 故sin 60αα== 。

平面（1）教学目的： 1. 使学生了解立体几何研究的对象、内容；2. 培养学生的空间想象能力，初步建立空间概念；3. 理解平面的基本概念，初步掌握平面的基本性质。

教学重点：空间概念的建立与平面的基本性质。

教学难点：空间概念的建立 教学过程 一、引言：1. 思考：是否存在三条直线两两互相垂直？若存在请举出实际中的例子。

2. 立体几何的研究对象、内容平面几何研究的对象是平面图形（点、线以及组合）的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系。

两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同一平面内； 空间图形——所研究的对象不一定在同一平面内。

两者的关系：前者为后者的特殊情形,许多空间问题可以转化为平面问题来解决，体现了数学的转化思想. 在立体几何学习中，要善于与平面几何作比较，认识其相同点，发现其不同点，这种方法称之为类比思想。

二、新课： （一）平面：1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45ο，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）。

3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β； （2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(图1（1）). （二） 直线在平面内的依据（公理1）a βαB A βB A αβB A ααβa 图 2A （1）1. 有关概念：所谓直线在平面内，即指直线上的所有点都在平面内；若点A 在直线a 上，记做A ∈a ，若点A 在直线a 外，记做A ∉a ；若点A 在平面α上（外），记作A ∈α（A ∉α）；若直线a 在平面α内，记做a ⊂α，若直线a 不在平面α内，记做a ⊄α.这.图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上AaA a ∉点A 不在直线a 上AαA α∈点A 在平面α内AαA α∉ 点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点aαa α⊂直线a 在平面α内aαa α=∅I 直线a 与平面α无公共点aAαa A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I平面α、β相交于直线l2、公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内. ⅰ）说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线.公理一是判定直线在平面内的依据. ⅱ）公理1的含义如图3所示，可用符号表示为 A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂lⅲ)以“直线在平面内”的意义为依据，常用下面的推理 判定“点在平面内”： A l ∈，α⊂l ⇒α∈A 简言之：点在线上，线在面内，则点在面内.(三) 两个平面相交的依据（在本章中，没有特别说明的“两个平面”，都是指不重合的两个平面）：1、一条直线l 既在平面α内，又在平面β内，即α和β有一条公共的直线l ，则称α与β相交，交线是l ，记做α∩β=l .2、公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

九、直线、平面、简单多面体1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12cos cos cos θθθ=)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等⇒斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos S S θ=影原)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.如长方体中：对角线长l =4()a b c ++，全(表)面积为2()ab bc ca ++，(结合2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，222cos cos cos 2(1)αβγ++=；如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.如正四面体和正方体中：7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．9．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.球体积公式343V R π=，球表面积公式24S R π=，是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).。

数学高考复习名师精品教案第 83课时:第九章直线、平面、简单几何体——立体几何小结课题:立体几何小结一.课前预习:1.已知两条异面直线 , a b 所成的角为 3π,直线 l 与 a ,直线 l 与 b 所成的角为θ, 则θ的范围是 ( A( A [, ]62ππ ( B [, 32ππ ( C 5[, ]66ππ ( D 2[, ]33ππ2.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A 、 B C、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为( C( A 90° ( B 60° ( C 45° ( D 30°3.长方体的一个顶点上三条棱长分别为 1, 2,3,该长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为14π4.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α内, , AC BC 与平面α分别成 30,45 的角, 若10ABC S ∆=,则ABC ∆在平面α内的射影构成的三角形的面积为二.例题分析:例 1.已知斜三棱柱 111ABC A B C -中, 112, , 233BAC BAA CAA πππ∠=∠=∠= 1AB AC == , 12, AA =点 O 是 1B C 与 1BC 的交点, (1基向量 1, , AB AC AA表示向量 AO ;(2求异面直线 AO 与 BC 所成的角;(3判定平面 ABC 与平面 11B BCC解:设 1, , AB a AC b AA c ===GPDCBAC 1B 1A 1CBA(1 11( 2AO AB BO AB BC CC =+=++1( 2a b c =++(2由题意,可求得 23,||2AO AO == ,BC AC AB =-,1AO BC ⋅=, ||BC =cos , AO BC <>= ∴异面直线 AO 与 BC所成的角为 arccos3(3取 BC 的中点 E ,连结 AE ,则 11( ( 22AE AB AC a b =+=+∵ AB AC =,∴ AE BC ⊥,且 11( 02AE BB a b c ⋅=+⋅=,∴ 1AE BB ⊥∴ 11AE BB C C ⊥平面 , AE ⊂平面 ABC ,∴平面 ABC 与平面 11B BCC例 2.如图在四棱锥 P ABCD -中,底面 ABCD 是 60DAB ∠= ,且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD 。

第78课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面、直线与直线所成的角课题；直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角． 二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）()A 60 ()B 90()C arccos3 ()D arccos 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB所成的角的余弦是（ ）()A 12 ()B()C ()D 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点， 若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：A BC VE D 1C 1B 1A 1OD CBA· B 1PCD A 1C 1D 1BO H · 例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业：1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C所成的角为α，则α=（ ）()A 13 ()B 4π ()C ()D AMBCDF EP2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（ ）()A [,)2ππ ()B [0,)2π ()C (0,]2π ()D [0,]2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1AB =，10AC BD ==，CD =则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==，（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A1与平面11B ADC 所成的角．ABCPDC1 B1A1DCBAD1。

第九章 直线、平面、简单几何体第一课时 平面的基本性质掌握平面的基本性质；会用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图；理解用反证 法证明命题的思路；会用反证法证明一些简单的问题．（1）平面的基本性质（三个公理及其三个推论）及其运用（证明三线共点；三点共线；三线共面）；（2）水平放置的平面图形的直观图的画法——斜二测画法的规则； （3）会用间接证法证明命题（反证法；同一法）．（1）运用公理证明三线共点、三点共线； 、“符号语言” ． 1．下列命题中；正确的是（ ）A ．首尾相接的四条线段在同一平面内；B ．三条互相平行的线段在同一平面内；C ．两两相交的三条直线在同一平面内；D ．若四个点中的三个点在同一直线上；那么这四个点在同一平面内． 2．下列四个推理过程；错误的是（ ）A ．l ∥α；α∉⇒∈A l A ；B ．ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,C ．AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,D ．A 、B 、C α∈；A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线⇒α与β重合3．一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为45°；腰和上底长均为1的等腰梯形；则这个平面图形的面积是（ ）A ．2221+B ．221+C ．21+D ．22+4．不重合的三条直线；若相交于一点；可以确定____________平面；若相交于两点可确定__________平面；若相交于三点可确定_________平面． 已知在空间四边形ABCD 中；E 、F 分别是AB 、AD 的中点；G 、H 分别是BC 、CD 上的点；且2==HCDHGC BG ；求证；直线EG 、FH 、AC 相交于一点．例2．如图；已知；α∉l ；A 、B 、C l ∈；α⊥1AA ；α⊥1BB ；α⊥1CC ； 求证；111,,CC BB AA 共面．例3．如图；正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；棱长为8㎝；M 、N 、P 分别是 A 1B 1、AD 、BB 1的中点；（1）画出过M 、N 、P 三点的平面与平面ABCD ；平面BB 1C 1C 的交线； （2）设过M 、N 、P 三点的平面与BC 交于Q ；求PQ 的长．例4．如图；在四面体ABCD 中作截面PQR ；若PQ 、CB 的延长线交于M ；RQ 、DB 的 延长线交于N ；RP 、DC 的延长线交于K ；求证；M 、N 、K 三点共线．C D 1 D NM C 1 B 1A 1 A BP CA DF EBGH l A BCA 1B 1C 1αB P K N CA D M Q R班级 学号 姓名1．下列命题中不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交；那么这三条直线共面； ②每两条都相交；但不共点的四条直线一定共面； ③两条互相垂直的直线共面；④两条直线都和第三条相交；那么这两条直线可以确定一个平面 A ．①与② B ．③与④ C ．①与③ D ．②与④ 2．一条直线和它外面不共线的三点可以确定的平面的个数（ ）A ．1个或3个B ．1个或4个C ．3个或4个D ．1个、3个或4个3．平面α∩平面l =β；点A α∈；点B β∈；且B l ∉；点C α∈；又AC ∩R l =；过A 、B 、C 三点确定的平面为γ；则β∩γ是（ ）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC4．若点E 、F 、G 、H 依次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点；EG=3；FH=4；则AC 2 +BD 2的值为 ．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；E 、F 分别为D 1C 1；B 1C 1的中点；AC ∩BP=P ； A 1C 1∩EF=Q 求证；（1）D 、B 、E 、F 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBEF 于R 点；则P 、Q 、R 三点共线．6.已知；直线a,b,c,d 是两两相交且不过同一点的四条直线。

二面角练习课教学目标1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角．教学设计过程重温二面角的平面角的定义．（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．教师：请同学们看下图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．教师：请同学们对以上特征进行剖析．学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．教师：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．（上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．）例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6）由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C 所成的二面角的大小的正切值．练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．教师：请大家研究下面的例题．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E 于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．（练习课的一个重要特征是概括．解题重要的不是统计做了多少题目，而是是否掌握了一类题的实质，即有无形成基本的解题模式，只有真正掌握了一类问题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的基本规律．当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训，获得有意义的练习成果）例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．作业1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。

高二数学第九章直线、平面、简单几何体复习教案平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：=b Aaαα=∅α=Al αβ= 平面α、β相交于直线lα⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a A α=4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭． 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．BA α推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，lα推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a bα推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法b aa b a b D 1C 1B 1A 1D C B A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的X 围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 10两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a α，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: aA α=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒．3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒． 7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒． 9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：a α，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥a β⇒⊥ 9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量 6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a 或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式 9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ 11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++222123||b b b b b b =⋅=++5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的X 围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角b ′O b a直线和平面所成角X 围：[0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：①二面角的平面角X 围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ， 其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离⊥，垂足为A，则PA 1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα唯一，则PA是点P到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a 的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量⑹两平行直线,a b 之间的距离：22|||AB a d AB a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。

2008高考数学基础知识复习第九章直线、平面、简单的几何体引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取0z轴，使90xOz∠=，且90yOz∠=；②画直观图时，把它们画成对应的轴,,O x O y O z''''''，使45x O y'''∠=(或135)，90x O z'''∠=,x Oy''所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。

2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任．一平面内.平面 及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ，则a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是(0,90⎤⎦． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a ，b 所成角为θ, 则EF 2=m 2+n 2+d 2±2mnc os θ 或AB EF d AB⋅=②证明两条直线是异面直线一般用反证法。

DECBA第79课时：第九章 直线、平面、简单几何体——平面所成的角课题：平面所成的角一．复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法． 二．知识要点：1．二面角的概念： ． 2．二面角的平面角： ． 3．求二面角平面角大小的一般方法： ． 三．课前预习：1．二面角l αβ--内有一点P ，若P 到平面,αβ的距离分别是5,8，且P 在平面,αβ的内的射影的距离为7，则二面角l αβ--的度数是（C ）()A 30 ()B 60 ()C 120 ()D 1502．已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，则截面1AEFD 与底面ABCD 所成二面角的正弦值是 （C ）()A 32 ()B 32()C 35 ()D 322 3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 ． 4．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E是AC 中点，异面直线,AD BE 所成的角为，则二面角D AC B --的大小为 ． 四．例题分析：例1．如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N ，（1）求证：MN CC ⊥1；AA 1B CMNPB ECDFA 1B 1D 1C 1ABDCPA BDC PM N EO（2）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．例2．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．（1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角P BD C --的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．解：（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO ．∵PB PC =，∴PO BC ⊥．又∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD BC =，∴PO ⊥平面ABCD ． 在梯形ABCD 中，可得Rt ABO Rt BCD ∆≅∆， ∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=， 即AO BD ⊥， ∴PA BD ⊥ ．（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO BD ⊥，可得PE BD ⊥， ∴PEO ∠为二面角P BD C --的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，则在Rt PEO ∆中，,,5PO OE ==.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角PBD C --为． （3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ， 则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB ． 取PA 的中点M ，连结,DM MN ，则由////MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴//CN DM ， ∴DM ⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ． 解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ， PBC ∆是等边三角形， 得PO ⊥底面ABCD ．以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴， 过点O 与AB 平行的直线为y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 设1CD =，则在直角梯形中，2AB BC ==， 在等边三角形PBC中，PO ．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴,PA BD PA BD ⊥⊥．（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE ．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅得,OA BD AO BD ⊥⊥即． 又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE BD ⊥，PEO ∠为二面角P BD C --的平面角． 在Rt BEO ∆中，sin OE OB OBE =∠=． 在Rt PEO ∆中，tan POPEO OE∠== ∴二面角P BD C --为（3）取PA 的中点M ，连结DM ，则M的坐标为1(,2-．又3(2DM =，(1,0,PB =，∴310(2)(02DM PA ⋅=⨯+⨯-=3100(022DM PB ⋅=⨯+⨯+=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即∴DM ⊥平面PAB ． ∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．五．课后作业：1．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）()A 30 ()B 45 ()C 60 ()D 902．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范围（ ）()A ︒<<︒18060θ ()B ︒<60θ ()C ︒>90θ ()D ︒>90θ或︒<60θ3．已知正方形ABCD ，BD AC ,交于点O ，若将正方形沿BD 折成60的二面角，并给出四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）CO AD ⊥；（3）AOC ∆为正三角形；（4）43cos =∠ADC ，则其中正确命题的序号为 ．4．平行六面体1111D C B A ABCD -的底面是矩形，侧棱长为2cm ，点1C 在底面ABCD 上的射影H 是CD 的中点，1CC 与底面ABCD 成60的角，二面角1A CC D --的平面角等于30，求此平行六面体的表面积．5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （1）证明//PA 平面EDB ：（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C PB D --的大小．6．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==,M N 分别是,AB SB 的中点．（1）证明AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B--的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．。

数学高考复习名师精品教案
第76课时：第九章直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算
课题：空间向量及其运算
一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．
二．主要知识：
1．向量共线的充要条件：；
2．三点共线：；
3．三向量共面：；
4．四点共面：；
5．两向量夹角的范围；
三．课前预习：
1．如图：在平行六面体中，为
与的交点。

若，，，则下列向量中与
相等的向量是（）
2．有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）
①②①③②③①②③
3．下列命题正确的是（）
若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；
4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）
四．例题分析：
1．已知在正三棱锥中，分别为中点，为
例
例2．已知分别是空间四边形的边的中点，
（1）用向量法证明四点共面；
（2）用向量法证明：∥平面；。

2019-2020年高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案课题：空间直线 一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长． 二．课前预习： 1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 （4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 （ D ） 3 2 1 02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ） 300 450 6003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm ，它们所成的角为600，、上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______． 答案：三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。

证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C 平面α，B ∈平面α，AD 平面α，BAD ，∴AD 和BC 是异面直线。

例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300= ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600。

三垂线定理（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．（三）德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法（1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？（板书）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．）师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？（教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．）师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？（学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．）师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？（学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．）（三）层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？（若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．）已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．（四）初步运用，提高能力1．（见课后练习题1．）已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．（学生先思考，教师作如下点拨）（1）什么叫做三角形垂心？（2）点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？（3）可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．）证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直（定理）；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直（逆定理），同学们必须理解掌握．2．（见课本例1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．（学生思考，教师作适当的点拨．）（1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？（2）PE＝PF给我们提供了什么结论？（3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．（课堂练习，师生共同完成．）如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）．（五）归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P 到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．（课后练习题2略作改变）如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定（或构造）一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。

第九章直线、平面、简单几何体知识结构高考能力要求1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．4．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．5．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．6．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．7．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．8．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．9．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．10．了解棱柱的概念；了解棱柱的性质；会画直棱柱的直观图．11．了解棱锥的概念；掌握正棱锥的性质；会画正棱锥的直观图．12．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．高考热点分析本章高考命题形式比较稳定，难易适中，主要考查线线、线面及面面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，空间角和距离的计算，从解答题来看，遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法、反证法、平移法、向量法和等积变换法等数学方法．注重考查转化与化归的思想．近年来在传统题型的基本上，进行了一些改革，每年在选择题或填空题中有一个开放题，考查学生综合运用知识的能力，高考试题中本章内容一般有2~3道小题，1道大题．高考复习建议本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．9．1 平面的基本性质知识要点公理1 如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2 如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是(证明多点共线的依据)．公理3 经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．例题讲练【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C 与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．求证：点C1、O、M共线．【例2】已知直线 与三条平行线a、b、c都相交．求证： 与a、b、c共面．【例3】若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．【例4】求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．OC1B1A1ABCA1小结归纳1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．基础训练题一、选择题1．下列四个条件中，能确定一个平面的条件是( ) A．空间任意三点B．空间两条直线C．两条平行线D．一条直线和一个点2．两个平面重合的条件是( ) A．空间只有三个公共点B．有无数个公共点C．有一条公共直线D．有两条公共直线3．若3个平面将空间分成n部分，则n的值为( ) A．4 B．4或6C．4或6或7 D．4或6或7或84．空间四点中，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面有( )A．必定有4个B．4个或1个C．3个或1个D．1个或3个或4个5．下列命题：( )①若点A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；②若α∩β＝l，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A，则A∈l；③两两相交的三条直线必在同一平面内；④任意三点不共线的四点必共面．其中真命题的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，平面α⋂β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C∉l，又AB⋂l＝P，过A、B、C确定平面r，则β⋂r 是( )A．ACB．BCC．CPD．AP二、填空题7．空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、G、H、F，如果EF与GH相交于点M，那么点M一定在直线上．8．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．9．已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形，那么原三角形ABC的面积为．10．a、b为异面直线，在a上取不同的三点，在b上取不同的四点，这七个点确定个平面．三、解答题11．已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．12．如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．RP QαCBAABGCDEFHM13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面； (2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．提高训练题14．在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 作平面α交正方体下底A 1B 1C 1D 1于l ． (1) 画出截面；(2) 设l ⋂A 1B 1＝P ，求PB 1的长．15．如图，已知直线a 与b 不共面，c ⋂a ＝M ，b ⋂c ＝N ，a ⋂α＝A ，b ⋂α＝B ，c ⋂α＝C ，求证：A 、B 、C 三点不共线．9．2 空间直线知识要点1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．例题讲练【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝a ，AB ＝CD ＝b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2) 求AB 和CD 间的距离．【例2】 S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角．【例3】 如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为A 1B 1、BB 1、CC 1的中点．(1) 求异面直线D 1P 与AM ，CN 与AM 所成角； (2) 判断D 1P 与AM 是否为异面直线？若是，求其距离．A B E C DF A 1 B 1 C 1 D 1 B MA N C S P C 1D 1MB 1 A 1NA E BCF D【例4】 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE ⊥PD ，EF ∥CD ，AM ＝EF ．(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；(2) 若PA ＝3AB ，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．小结归纳1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．基础训练题一、选择题1． 两条异面直线所成角θ，则θ的范围是 （ ）A ．(0，2π)B ．[0，2π)C ．[0，2π]D ．(0，2π]2． 设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出的四个命题：①如果a ⊥b ，b ⊥c ，a ∥c ；②如果a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线；③如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中正确的命题个数为 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03． 直线L 1、L 2互相平行的一个充分条件是 （ ）A ．L 1、L 2都平行于同一个平面B ．L 1、L 2与同一平面所成的角相等C ．L 1平行于L 2所在的平面D ．L 1、L 2都垂直于同一平面4． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ） A ．三角形 B ．四边形C ．五边形D ．六边形5． 空间四边形ABCD 的各边与两条对角线长均为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在边CD 上移动，则点P 与Q 的最短距离为 （ ） A ．21 B ．22 C ．43 D ．236． 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O为底面ABCD 中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角余弦值 （ ）A ．510B ．515 C ．54D ．32二、填空题7． 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上)．8． 如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中异面的有 对．9． 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，若侧面与底面所成角大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小为 ．10．已知两异面直线a 、b 所成的角为3π，直线l 分别与a 、ACOD F A 1D 1B 1C 1EE H GCAB DA DB P CC D B EF A M Pb 所成的角都是θ，则θ的取值范围是 ．三、解答题11．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．12．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． (1) 求异面直线SC 和AB 的距离； (2) 求异面直线SA 和EF 所成角．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．提高训练题14．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，且AE:ED ＝BF:FC ＝1:2，AB ＝CD ＝3，EF ＝7，求AB 、CD 所成的角．15．如图，在二面角α－l －β中，A 、B ∈α，C ，D ∈l ，ABCD 是矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M ，N 依次是AB 、PC 的中点． (1) 求二面角α－l －β的大小； (2) 求证：MN ⊥AB ；(3) 求异面直线PA 与MN 所成角的大小．9．3 直线和平面平行知识要点1．直线和平面的位置关系 、 、 ．直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2．直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．(记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)例题讲练【例1】 如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，M ∈PB ，试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据．A CBNM 1C 1B 1 ABCFDEBC N Pβ αAMD l【例2】设直线a∥α，P为α内任意一点，求证：过P且平行a的直线 必在平面α内．【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．( I ) 证明：PA∥平面EDB；( II ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．【例4】已知：∆ABC中，∠ACB＝90°，D、E 分别为AC、AB的中点，沿DE将∆ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．小结归纳1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．基础训练题一、选择题1．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交2．(06年高考重庆卷理科第4题)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线3．α、β表示平面，m、n表示直线，则m∥α的一个充分条件是（）A．α⊥β且m⊥n B．α⋂β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β4．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 5．直线a∥α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有6．已知直线a∥α，a与α相距4cm，平面α内直线b 与c相距6cm，且a∥b，a与b相距5cm，则直线a 与c之间的距离是（）A．5cm B．97cm或5cmC．97cm D．65cm或5cm二、填空题7．已知E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与ACE平面的位置关系是．8．已知∆ABC，A∈α，BC∥α，BC＝b，∠BAC＝90°，AB、AC与平面α分别成30°、45°，则BC 到平面α的距离为．9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D．DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及内部运动，则M只须B CA PMA1D1 F C1B1 BDC EP满足条件时，就有MN∥面B1BDD1(只填上正确的一个条件即可)10．(06年高考辽宁卷第3题)给出下列四个命题：(1) 垂直于同一直线的两条直线互相平行；(2) 垂直于同一平面的两个平面互相平行；(3) 若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；(4) 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是．三、解答题11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．求证：MN∥平面BB1C1C．12．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．13．如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？提高训练题14．如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD、ABEF相互垂直，点M在AC上移动，点N 在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)(1) 求证：MN∥面BCE；(2) 求MN的长；(3) 当a为何值时，MN的长最小．15．(2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．( I ) 求证：AC⊥BC1；(II) 求证：AC1∥平面CDB1；(III) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．AE FBH G DDA FNEBMC9．4 直线和平面垂直知识要点1．直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．2．直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线和平面垂直性质若a⊥α，b⊂α则若a⊥α，b⊥α则若a⊥α，a⊥β则过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．4．点到平面距离过一点作平面的垂线叫做点到平面的距离．5．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离．例题讲练【例1】OA、OB、OC两两互相垂直，G为∆ABC 的垂心．求证：OG⊥平面ABC．【例2】如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．(1) 求证：MN⊥CD；(2) 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．【例3】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．(1) 求证：EF⊥平面PAB；(2) 设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．【例4】如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(3) 求点P到平面ABD1的距离．ADBB1 C1A1CCPMB CDANPDABCFE小结归纳 线面垂直的判定方法： (1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；(3) 面面垂直的性质；(4) 面面平行的性质：若α∥β，a ⊥β则a ⊥α基础训练题一、选择题1． 下列说法中正确的是 （ ）A ．若一条直线垂直于一个平面的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B ．若一条直线垂直于一个平面的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C ．若一条直线平行于这个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线D ．若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面2． 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题： ① 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n② 若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n ③ 若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33． 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，在下列关于a 、b 在α上的射影的命题中： ① 两条平行线；② 两条互相垂直的直线；③ 同一条直线；④ 一条直线和其外一点 不可能有 （ ）A ．②③B ．①③④C ．③D ．①④4． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB ．BC 中点，现在沿DE 、DF 及EF 把∆ADE 、∆CDF 和∆BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P －DEF 中有 （ ） A ．DP ⊥面PEF B ．DM ⊥面PEF C ．PM ⊥面DEF D ．PF ⊥面DEF⇒5． ∆ABC 在平面α内，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AC＝6cm ，PC ⊥α，PC ＝4cm ，K 是边AB 上的一个动点，则∆PCK 的面积的最小值 （ ）A ．36B ．33C ．312D ．266． 如图在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成角α，则α等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．410arcsinD ．46arcsin二、填空题7． 共点三直线PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC＝3，则点P 到面ABC 距离等于 ． 8． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面A 1CD所成角大小 ．9． 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D(填上你认为正确的一种条件即可)．10．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外两条不同直线，给出四个论断①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题 ．三、解答题11．如图SA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥SB ，且SB∩AE ＝E ，AF ⊥SC ，且AF ∩SC ＝F ，求证： (1) BC ⊥面SAB ； (2) AE ⊥面SBC ；(3) SC ⊥EF ．12．PD 垂直于□ABCD 所在平面，PB ⊥AC ，PA ⊥AB ． 求证：① ABCD 是正方形；A 1C 11C MED FABDFMEP (A 、B 、C)A 1DC 1 B 1C SA B CF E② PC ⊥BC ．13．如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，AB ＝AD ＝32，BC ＝2CD ．求：(1) 求AC 的长；(2) 求证：平面ABC ⊥平面ACD ； (3) 求D 点到平面ABC 的距离d ．提高训练题14．三棱锥V －ABC 的三条侧棱V A 、VC 两两垂直，顶点V 在底面内的射影是H ．(1) 求证H 是△ABC 的垂心；(2) ABC ABH ABV S S S ∆∆∆=2．15．三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA＝PB ＝PC ＝3．(1) 求证：AB ⊥BC ；(2) 设AB ＝BC ＝23，求AC 与平面PBC 所成角的大小．9．5 三垂线定理知识要点 1．和一个平面相交，但不和这个平面的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ．斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．垂线在平面上的射影只是 ．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线的一条直线．3．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB⊥α，B 为垂足，AC ⊂α，∠OAB ＝1θ，∠BAC ＝2θ，∠OAC ＝θ，则c os θ＝ ．4．直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角． 斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直． 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．例题讲练【例1】 已知Rt ∆ABC 的斜边BC 在平面α内，A 到α的距离2，两条直角边和平面α所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD 和平面α所成的角；(2) 点A 在α内的射影到BC 的距离．ABDCVEH ACBDCO B A CPAB【例2】 如图，矩形纸片A 1A 2A 3A 4，B 、C 、B 1、C 1分别为A 1 A 4、A 2A 3的三等分点，将矩形片沿BB 1，CC 1折成三棱柱，若面对角线A 1B 1⊥BC 1； 求证：A 2C ⊥A 1B 1．【例3】 如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．(1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ；(2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小．【例4】 (2005年江西高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．小结归纳1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面⇒线⊥线；向量法．基础训练题一、选择题1． PC 垂直于菱形ABCD 所在平面，则PA 和BD 的关系（ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．其它2． 在∆ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥面ABC ，PA ＝3，则P 到BC 距离为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．53 3． 已知A 、B 、C 、D 是空间四个点，且AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则BD 与AC（ ） A ．互相平行 B ．互相垂直 C ．相交 D ．是异面直线 4． PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为 （ ） A ．21 B ．22 C ．36 D ．33 5． 在三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两垂直，则顶 P 在底面ABC 中的射影是O ，则O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心 6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是6，点F在棱AB 上，且AF ＝2，点P 是平面AC 内的AA 1C 1D 1B CEDB 1B 1 A 1 BC A 4 A 1 A 2 B 1 C 1 A 3A 2 C 1C B B A 1 D动点，若点P 到直线A 1的距离相等，则动点P （ ） A ．直线 C ．双曲线二、填空题7． Rt ∆ABC 中∠B ＝90°中点，AC ＝4，DE ⊥面到AC 距离 ．8． PO ⊥平面ABC ，O BAC ＝30°，BC ＝5，PA 的长等于 ．9． 已知正方体ABCD —A A 1到面AB 1D 1与平面AB 1D 110．AB 为Rt ∆ABC 同侧，它所在α果∆A'B'C'CC'＝4，则∆A'B'C'三、解答题11顶A 到道路距离为AC 在道路上取一点D ，＝45°．求电塔AB12．如图，在正三棱柱ABC AA 1＝4，M 为AA 1由P 沿棱柱侧面经过棱长29(1) PC 和NC 的长；(2) 平面NMP 与平面大小．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ，(1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ ⊥AD ．提高训练题14．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ． (1) 求证：PD ⊥面ABCD ； (2) 求直线PB 与AC 所成角； (3) 求二面角A －PB －D 大小．15．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝8，AD ＝34，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角60°． (1) 求四棱锥P －ABCD 的体积；(2) 证明PA ⊥BD ．P A B C D ABC DP9．6 平面与平面平行知识要点1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．(记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．例题讲练【例1】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ；(2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值．【例2】 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nmFD CF EB AE ==． 求证：EF ∥α∥β．【例3】 已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．【例4】 如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、β内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2．求∆A 1B 1C 1的面积．A 1 A BCB 1C 1 EF M ND 1 DB 1A 1C 1βα BCAO小结归纳1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．基础训练题一、选择题 1．“平面α内不共线的三点到平面β的距离相等”是α∥β的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 2． 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：① 存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ② 存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③ α内有不共线的三点到β的距离相等； ④ 存在异面直线L 、m ，使得L ∥α，L ∥β，m ∥α，m ∥β．其中可以判断α与β平行的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3． 设α、β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是 （ ） A ．m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α B ．m ⊂α，n ⊂β且m ∥ n C ．m ⊥α，n ⊥β且m ∥ n D ．m ∥α，n ∥β且m ∥ n 4． 下列命题中正确的是 （ ）A ．一条直线和两个平面成等角，则此两平面平行B ．一个平面和两个平面成等角，则此两平面平行C ．平行于两条异面直线的两个平面必平行D ．两个平面夹有三条等长的线段，则此两平面平行 5． 已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为 （ ）A ．16B ．24或524C ．14D ．20 6． 如果α∥β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，直线AB 与平面成30°角，那么线段CD 的取值范围是 （ ） A ．(334,332) B ．[1，+∞)C ．[1，332] D ．[332，+ ∞)二、填空题7． 如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，而另一条和另一个平面垂直，则这两个平面的位置关系是 ． 8． 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1C与平面A 1C 1D 之间距离为 ．9． 正四棱柱AC 1的底面边长为3，侧棱长为4，则两平行平面A 1C 1D 与平AB 1C 的距离为 ． 10．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α⋂β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α⋂γ＝m ，β ⋂γ＝ n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α⋂β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α、n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确的命题序号 (把你认为正确的序号都填上)三、解答题11．如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ，CD 交α、β于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间，AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ．12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：(1) AP ⊥MN ；(2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．B Dβ αA C O13．如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．提高训练题14．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E是PD的中点．（I）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．15．(06年高考福建卷第18题)如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB＝AD＝2，CA＝CB＝CD＝BD＝2．(1) 求证：AO⊥平面BCD；(2) 求异面直线AB与CD所成角的大小；(3) 求点E到平面ACD的距离．9．7 两个平面垂直知识要点1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝θcos2222mnnmd±++，其中：d是异面直线a、b的，θ为a、b，m、n分别是a、b上的点E、F到AA'与a、b的交点A，A'的距离．例题讲练【例1】如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面ABC⊥平面BSC．QFDECABαβPCASDBDEACBP。

数学高考复习名师精品教案第82课时：第九章直线、平面、简单几何体——球与多面体课题：球与多面体一．复习目标：1.了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式；2．球的表面积；球的体积公式；3．球的截面的性质：．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为( )D7200C6480 ()B5400 ()()A2160 ()2．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是( )D6πC()()A3π()B4π()3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( ) ()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 614．地球表面上从A 地(北纬45 ，东经120 )到B 地(北纬45 ，东经30 )的最短距离为（球的半径为R ） （ ）()A 4Rπ ()B R π ()C 3Rπ ()D 2Rπ5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若P A P B P C a===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P A B C -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60 圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2Rπ(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，B C 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，C A 是球O 的直径， (1) 求证：平面ABD ⊥平面A D C ； (2) 如果球半径是13，D 分 BC为两部分, 且 :1:2BD DC =，求A C 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC D C =，求二面角B A C D --的大小。